Fix typos

mathematical-analysis/sem4/holykpk#blessRNG4.tex

@@ -141,7 +141,8 @@ \subsubsection{Пространство $L^p(E,\mu)$}
 
 $L_p := \mathfrak{L}_p /_{\approx}$ --- точки этого пространства. Важно, что эти точки --- классы эквивалентности, как бы не просто функции. Однако, в большинстве случаев удобнее всего работать с каким-то одним представителем класса, ведь, если что, они отличаются только на множестве меры 0.
 
-$[f] = \{g: f \equiv g\}$
+$[f] = \{g: f \approx g\}$
+
 $[f_1] + [f_2] = [f_1 + f_2]$
 
 И введём норму $||[f]|| = \left(\int_{E} |f|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$
@@ -224,7 +225,7 @@ \subsubsection{Образ меры при отображении}
     \item Пусть $\Phi$ --- ``измеримо'' $\left(\Phi^{-1}(\mathfrak{B}) \subset \mathfrak{A}\right)$
 \end{enumerate}
 
-Для $E \in \mathfrak{B}$ зададим $\nu R := \mu\left(\Phi^{-1}(E)\right) = \int_{\Phi^{-1}(E)} 1 d \mu$
+Для $E \in \mathfrak{B}$ зададим $\nu E := \mu\left(\Phi^{-1}(E)\right) = \int_{\Phi^{-1}(E)} 1 d \mu$
 
 $\nu$ --- образ меры $\mu$ при отображении $\Phi$
 
@@ -240,7 +241,7 @@ \subsubsection{Плотность одной меры по отношению к
 
 $X = Y, \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \Phi = $ id
 
-$\nu b = \int_{B} \omega d \mu$ --- ещё одна мера в $X$
+$\nu B = \int_{B} \omega d \mu$ --- ещё одна мера в $X$
 
 Здесь $\omega$ называется плотностью меры $\nu$ относительно меры $\mu$. И в этом случае:
 
@@ -329,7 +330,7 @@ \subsubsection{Нормальное топологическое простра
 Нормальное топологическое пространство $X$ --- такое топологическое пространство $X$, в котором выполяются аксиомы:
 
 \begin{enumerate}
-    \item $F_0, F_1 \in X$ --- замкнутые, $F_0 \cap F_0 = \varnothing$
+    \item $F_0, F_1 \in X$ --- замкнутые, $F_0 \cap F_1 = \varnothing$
 
     Тогда $\exists U(F_0), U(F_1)$ --- открытые. $F_0 \subset U(F_0), \dbl F_1 \subset U(F_1), \dbl U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing$
 
@@ -428,7 +429,7 @@ \subsubsection{Теорема Лебега о мажорированной сх
 
 \textit{Доказательство:}
 
-Заведём последовательность $h_n := \sup (|f_n - f|, |f_{n + 1} - f|, |f_{n + 2} - f|, \ldots)$. Она убывает, так как по условию у нас есть сходимость почти везде. Также, можно ограничить её: $0 \le h_n \le 2 g$ (модули больше нуля и по условию все $|f_n| \ge g$). А ещё это просто определение последовательности из верхнего предела:
+Заведём последовательность $h_n := \sup (|f_n - f|, |f_{n + 1} - f|, |f_{n + 2} - f|, \ldots)$. Она убывает, так как по условию у нас есть сходимость почти везде. Также, можно ограничить её: $0 \le h_n \le 2 g$ (модули больше нуля и по условию все $|f_n| \le g$). А ещё это просто определение последовательности из верхнего предела:
 
 \[\lim_{n \rightarrow \infty} h_n = \overline{\lim_{n \rightarrow \infty}} |f_n - f| = 0 \text{ (почти везде)}\]
 
@@ -478,7 +479,7 @@ \subsubsection{Теорема Лебега о мажорированной сх
 
 \[\forall \varepsilon > 0 \dbl \exists A \subset X \text{ измеримое } \mu A < + \infty \quad \int_{X \setminus A} g < \varepsilon\]
 
-Если по-русски, то существует некоторое множество в исходном, на котором в основном концентрируется интеграл, следовательно, на остальном кусочке интеграл крайне мал. И мы можем предъявить такое для сколь угодно малого $\varepsilon$.
+Если по-русски, то существует некоторое конечное  множество в исходном, на котором в основном концентрируется интеграл, следовательно, на остальном кусочке интеграл крайне мал. И мы можем предъявить такое для сколь угодно малого $\varepsilon$.
 
 Рассмотрим интеграл как супремум ступенчатых функций:
 
@@ -516,7 +517,7 @@ \subsubsection{Принцип Кавальери}
 
 \begin{enumerate}
     \item при почти всех $x \quad C_{x} \in \mathfrak{B}$ 
-    \item $x \mapsto \nu C_{X}$ --- измеримо на $X$ (сама функция задана почти везде)
+    \item $x \mapsto \nu C_{x}$ --- измеримо на $X$ (сама функция задана почти везде)
     \item $m C = \int_{X} \nu (C_{x}) d\mu(x)$
 \end{enumerate}
 
@@ -1779,7 +1780,7 @@ \subsubsection{Теорема о сходимости в $L^p$ и по мере}
 
 Классический алгоритм: $E_n(\varepsilon) = E(|f_n - f| \ge \varepsilon)$. Понаблюдаем за мерой $n$-го такого множества:
 
-\[\mu E_n(\varepsilon) = \int_{E_n} 1 d\mu \le \int_{E_n} \frac{|f_n - f|}{\varepsilon} d\mu \le \int_{E_n} \frac{|f_n - f|^p}{\varepsilon^p} d\mu = \frac{1}{\varepsilon^p} \int_{E_n} |f_n - f|^p d\mu = \frac{||f_n - f||_p^p}{\varepsilon^n} \ntoinf 0\]
+\[\mu E_n(\varepsilon) = \int_{E_n} 1 d\mu \le \int_{E_n} \frac{|f_n - f|}{\varepsilon} d\mu \le \int_{E_n} \frac{|f_n - f|^p}{\varepsilon^p} d\mu = \frac{1}{\varepsilon^p} \int_{E_n} |f_n - f|^p d\mu = \frac{||f_n - f||_p^p}{\varepsilon^p} \ntoinf 0\]
 
 Ну, собственно говоря, просто череда оценок, в конце которой делаем предельный переход и получаем, что по определению сходимость по мере есть.
 
@@ -1816,7 +1817,7 @@ \subsubsection{Полнота $L^p$}
 \[\ldots\]
 \[\exists n_m: \forall n_k > n_m \dbl ||f_{n_m} - f_{n_k}||_p < \frac{1}{2^m}\]
 
-Соорудим функциональный ряд $S(x) := \sum_{k = 1}^{\infty} |f_{n_{k + 1}} - f_{n_k}|, S(x) \in [0, +\infty]$ (тут уже просто модуль, не перепутайте) и посмотрим на его частичные суммы $S_n$. Его норма ограничена (по неравенству треугольника):
+Соорудим функциональный ряд $S(x) := \sum_{k = 1}^{\infty} |f_{n_{k + 1}} - f_{n_k}|, S(x) \in [0, +\infty]$ (тут уже просто модуль, не перепутайте) и посмотрим на его частичные суммы $S_n$. Их норма ограничена (по неравенству треугольника):
 
 \[||S_n||_p \le \sum_{k = 1}^{n} ||f_{n_{k + 1}} - f_{n_k}||_p \le 1\]
 
@@ -1834,7 +1835,7 @@ \subsubsection{Полнота $L^p$}
 
 Посмотрим на $f_n$:
 
-\[f_{n_N} = f_{n_1} + \sum_{k = 1}^{N} (f_{n_{k + 1}} - f_{n_k}) = f_{n_{N + 1}}\]
+\[f_{n} = f_{n_1} + \sum_{k = 1}^{N} (f_{n_{k + 1}} - f_{n_k}) = f_{n_{N + 1}}\]
 
 У нас есть сходимость ряда $S(x)$ почти везде, из-за чего можно сказать, что $f_n \rightarrow f$ по сходимости изначального ряда (вроде бы очевидно). Ну вот, у нас есть теперь обычная сходимость, а надо притянуть её за уши к сходимости в $L^p$. Запишем ещё раз определение фундаментальной последовательности для нашего случая:
 
@@ -1863,15 +1864,15 @@ \subsubsection{Плотность в $L^p$ множества ступенчат
 
 \textit{Доказательство:}
 
-\textbf{1. $r = \infty$}
+\textbf{1. $p = \infty$}
 
 Давайте изменим нашу функцию нулями так, чтобы $|f| \le ||f||_{\infty} = \esssup |f|$ п. в. $x$. Заметим, что изменения эти будут на множестве меры 0! (по определению и свойствам существенного супремума). (чтобы корректно определять ступенчатую функцию для $f$, веди наша функция на множестве меры 0 может улетать в бесконечность, и такую нормально ступеньками не аппроксимируешь. Поэтому мы сразу избавляемся от такого).
 
 Тогда (сдувая пыль) по теореме из 3го семестра о характеризации измеримых функций ступенчатыми, а точнее по её следствию, у нас существуют $\varphi \rshe f_-, \psi \rshe f_+$, и их разность $\psi - \varphi \rshe f$. По определению равномерной сходимости:
 
 \[\forall \varepsilon > 0 \dbl \exists N \dbl \forall n > N \dbl \forall x \in E: \sup |f - (\psi - \varphi)| < \varepsilon\]
 
-\textbf{2. $r < +\infty$}
+\textbf{2. $p < +\infty$}
 
 Пусть $f \ge 0$. Тогда по той же теореме существует $g_n \ntoinf f, g_n$ --- ступенчатые.
 
@@ -2348,7 +2349,7 @@ \subsubsection{Векторное поле}
 
 $V: E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m$ --- непрерывное отображение. $V$ --- \textbf{векторное поле}.
 
-В каждой точке $E$ оно как бы задаёт вектор, который в этой точке находится. Широко применяется в физике, там кучу всего можно охарактеризовать векторным полем. Например, вы ложкой зачерпнули сметану, и теперь она с неё стекает. Каждой сточке сметаны можно сопоставить вектор скорости, с которой он стекает и таким образом что-то моделировать.
+В каждой точке $E$ оно как бы задаёт вектор, который в этой точке находится. Широко применяется в физике, там кучу всего можно охарактеризовать векторным полем. Например, вы ложкой зачерпнули сметану, и теперь она с неё стекает. Каждой точке сметаны можно сопоставить вектор скорости, с которой он стекает и таким образом что-то моделировать.
 
 
 \subsubsection{Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути}
@@ -3015,7 +3016,7 @@ \subsubsection{Равенство интегралов по гомотопным
 \[|\gamma_{u} - \tilde{\gamma}_{u}| < \frac{\delta}{4}\]
 \[|\gamma_{u_0} - \tilde{\gamma}_{u_0}| < \frac{\delta}{4}\]
 
-Тогда получается, что по всей цепочке $|\tilde{\gamma}_{u} - \tilde{\gamma}_{u_0}| < \delta$ ! (ну типа сравниваем $\tilde{\gamma}_{u}$ с $\gamma_{u}$ --- не больше $\frac{\delta}{4}$, потом $\gamma_{u}$ с $\gamma_{u_{0}}$ --- не больше $\frac{\delta}{2}$, ну и наконец $\tilde{\gamma}_{u}$ с $\gamma_{u}$ --- тоже не больше $\frac{\delta}{4}$ --- в сумме не больше $\delta$). Значит, по лемме кусочно-гладкие пути тоже похожи, и их интегралы ($\Phi$) равны. Таким образом, $\Phi$ --- локально-постоянно и всё супер!
+Тогда получается, что по всей цепочке $|\tilde{\gamma}_{u} - \tilde{\gamma}_{u_0}| < \delta$ ! (ну типа сравниваем $\tilde{\gamma}_{u_0}$ с $\gamma_{u_0}$ --- не больше $\frac{\delta}{4}$, потом $\gamma_{u}$ с $\gamma_{u_{0}}$ --- не больше $\frac{\delta}{2}$, ну и наконец $\tilde{\gamma}_{u}$ с $\gamma_{u}$ --- тоже не больше $\frac{\delta}{4}$ --- в сумме не больше $\delta$). Значит, по лемме кусочно-гладкие пути тоже похожи, и их интегралы ($\Phi$) равны. Таким образом, $\Phi$ --- локально-постоянно и всё супер!
 
 ч. т. д
 
@@ -3175,7 +3176,7 @@ \subsubsection{Ортонормированная система, примеры
 
 \begin{enumerate}
     \item $l^2 \quad e_k = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)$
-    \item $L^2[0, 2\pi] \quad \{1, \cos t, \sin t, \cos 2t, \sin 2t, \cos 3t, \sin 3t, ldots\}$
+    \item $L^2[0, 2\pi] \quad \{1, \cos t, \sin t, \cos 2t, \sin 2t, \cos 3t, \sin 3t, \ldots\}$
     \item $\left(\frac{e^{ikt}}{\sqrt{2\pi}}\right)_{k \in \mathbb{Z}}$
 \end{enumerate}
 
@@ -3212,7 +3213,7 @@ \subsubsection{Аппроксимативная единица}
 \subsection{Определения}
 \subsubsection{Ортогональный ряд}
 
-Ряд $\sum a_k$ --- ортогональный, если $\forall k, l a_k \perp a_l$
+Ряд $\sum a_k$ --- ортогональный, если $\forall k, l \quad a_k \perp a_l$
 
 \subsubsection{Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве}
 
@@ -3279,7 +3280,7 @@ \subsubsection{Тригонометрический ряд}
 
 Комплексный вариант получается подстановкой формул:
 
-\[\cos kt = \frac{e^{ikt} + e^{-ikt}}{2} \quad \sin t = \frac{e^{ikt} - e^{-ikt}}{2i}\]
+\[\cos kt = \frac{e^{ikt} + e^{-ikt}}{2} \quad \sin kt = \frac{e^{ikt} - e^{-ikt}}{2i}\]
 
 \subsubsection{Коэффициенты Фурье функции}
 
@@ -4191,14 +4192,14 @@ \subsubsection{Теорема о свойствах аппроксимативн
     \item $f \in \tilde{C}[-\pi, \pi]: (f * K_h) \rsh{h \rightarrow h_0} f$
     \item $f \in L^1[-\pi, \pi]: ||(f * K_h) - f||_1 \goesto{h \rightarrow h_0} 0$
     \item Если $f \in L^1[-\pi, \pi]$ непрерывна в точке $x$ и $(K_h)$ --- УАЕ (именно такой порядок букв, не перепутайте ;) ), тогда $(f * K)$ тоже непрерывна в точке $x_0$ и:
-    \[(f * g)(x) - f(x) \goesto{h \rightarrow h_0} 0\]
+    \[(f * K_h)(x) - f(x) \goesto{h \rightarrow h_0} 0\]
 \end{enumerate}
 
 \textit{Доказательство:}
 
 Для начала, заметим, что такую конструкцию можно представлять следующим образом (по АЕ1 $\int_{-\pi}^{\pi} K_h = 1$):
 
-\[(f * g)(x) - f(x) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)K_h(t)dt - \left(\int_{-\pi}^{\pi} K_h(t) dt \right) f(x) = \int_{-\pi}^{\pi} (f(x - t) - f(x))K(t)dt \dbl (*)\]
+\[(f * K_h)(x) - f(x) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)K_h(t)dt - \left(\int_{-\pi}^{\pi} K_h(t) dt \right) f(x) = \int_{-\pi}^{\pi} (f(x - t) - f(x))K(t)dt \dbl (*)\]
 
 \textbf{1.}
 
@@ -4277,7 +4278,7 @@ \subsubsection{Теорема о свойствах аппроксимативн
     \[|(f * K_h) - f|_1 \goesto{h \rightarrow h_0} \frac{1}{2}(f(x_0 + 0) - f(x_0 - 0))\]
 \end{enumerate}
 
-\subsubsection{Теорема Фейера }
+\subsubsection{Теорема Фейера}
 \textit{Формулировка:}
 
 Аналог теоремы о свойствах АЕ для сумм Фейера
@@ -5057,7 +5058,7 @@ \subsubsection{Признак Дирихле--Жордана}
 
 Утверждается, что функцию с конечной вариацией можно представить в виде линейной комбинации двух монотонно убывающих. Как? Ну, сначала представим в виде разности двух возрастающих $g - h$. Так точно можно, набросок доказательство:
 
-\[g(x) := \Var{a}{x} f + f(x), \quad h(x) := \Var{a}{x} f + f(x)\]
+\[g(x) := \Var{a}{x} f + f(x), \quad h(x) := \Var{a}{x} f - f(x)\]
 
 \[\forall y > x : g(y) - g(x) = \Var{a}{y} f + f(y) - \Var{a}{x} - f(x) = \Var{x}{y} f + (f(y) - f(x)) \ge 0\]