Курс математической логики, КТ, осень 2023

Материалы

• Конспект 2018 года
• Конспект 2011 года
• Теоретические домашние задания
• Краткая инструкция по утилите make

Лекция 1

Что такое логика и математическая логика. Исчисление высказываний

• История вопроса. Логика.
• Парадоксы теории множеств, необходимость формализации математики, программа Гильберта.
• Язык исчисления высказываний
• Теория моделей, оценка высказываний
• Теория доказательств, доказательства, выводимость

Где почитать

• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления.
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Просвещение, 1976. - 318 с.
• О противоречиях в математическом анализе: Джордж Беркли, «Аналитик. Беседа, адресованная неверному математику: где исследуется, являются ли объект, принципы и выводы современного анализа более отчетливо задуманы или более явно выведены, чем религиозные мистерии и точки веры» --- М.: Мысль, 1978

Лекция 2

Теоремы об исчислении высказываний

• Теорема о корректности исчисления высказываний
• Теорема о дедукции
• Теорема о полноте исчисления высказываний

Где почитать

• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления.
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.

Лекция 3

Интуиционистское исчисление высказываний

• Введение в интуиционистское исчисление высказываний: история
• BHK-интерпретация связок
• Формализация ИИВ через изменение 10 схемы аксиом
• Общая топология, базовые определения
• Решётки, алгебра Гейтинга и булева алгебра
• Алгебра Гейтинга как модель ИИВ

Где почитать

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. --- М.: Издательство МЦНМО, 2010
• В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009
• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism

Лекция 4

Теоремы об интуиционистском исчислении высказываний

• Алгебра Линденбаума
• Теорема о полноте ИИВ в алгебрах Гейтинга
• Теорема о нетабличности ИИВ
• Теорема о дизъюнктивности ИИВ
• Теорема о разрешимости ИИВ

Где почитать

• В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009
• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism

Лекция 5

Подробнее про алгебру Линденбаума

• Доказательства корректности определения алгебры Линденбаума

Исчисление предикатов

• Язык исчисления предикатов
• Теория моделей, теория доказательств
• Теорема о дедукции
• Теорема о корректности

Где почитать

• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления.

Лекция 6

Теорема о полноте исчисления предикатов

• Непротиворечивые множества формул
• Модели для непротиворечивых множеств формул
• Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов
• Следствие о полноте исчисления предикатов
• Непротиворечивость исчисления предикатов

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления.

Лекция 7

Неразрешимость исчисления предикатов, аксиоматика Пеано

• Неразрешимость исчисления предикатов
• Аксиоматика Пеано

Лекция 8

Формальная арифметика, рекурсивные функции и представимость функций в формальной арифметике

• Теории первого порядка
• Формальная арифметика
• О разрешимости интуиционистского исчисления высказываний
• Рекурсивные функции
• Функция Аккермана, доказательство того, что она не является примитивно-рекурсивной
• Выразимость отношений, представимость функций в формальной арифметике
• Все рекурсивные функции представимы
• Гёделева нумерация, все представимые функции рекурсивны

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism
• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления.
• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Э. Мендельсон, Введение в математическую логику --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1971.

Лекция 9

Общие свойства формальной арифметики, теоремы Гёделя о неполноте, теорема Тарского

• Обзор общих свойств формальной арифметики (корректность, непротиворечивость, полнота, разрешимость).
• Классическая модель формальной арифметики, её корректность.
• Омега-непротиворечивость, семантическая и синтаксическая полнота.
• Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики.
• Теорема Гёделя о неполноте арифметики в форме Россера.
• Consis
• Условия выводимости Гильберта-Бернайса-Лёфа.
• Лемма об автоссылках, другая формулировка теоремы Гёделя о неполноте арифметики.
• Вторая теорема Гёделя о неполноте арифметики.
• Неразрешимость формальной арифметики, теорема Тарского о невыразимости истины.

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Гилберт Д., Бернайс П., Основания математики --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1982.

Лекция 10

Лямбда-исчисление

• Бестиповое лямбда-исчисление
• Натуральный вывод
• Импликационный фрагмент интуиционистского исчисления высказываний
• Просто-типизированное лямбда исчисление, изоморфизм Карри-Ховарда
• Обзор различных теорий, основанных на лямбда-исчислении и их приложений в математике и программировании.

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism

Лекция 11

Теория множеств

• История возникновения теории
• Аксиомы теории множеств
• Ординалы

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.
• Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010

Лекция 12

Алгебраические типы, мощность множеств

• Дизъюнктное объединение множеств.
• Алгебраические типы
• Мощность множеств и кардинальные числа
• Теорема Кантора-Бернштейна
• Диагональный метод и теорема Кантора
• Континуум-гипотеза

Где почитать

• Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010
• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Chris Taylor, The Algebra of Algebraic Data Types

Лекция 13

Теорема Лёвенгейма-Сколема, аксиома выбора

• Теорема Лёвенгейма-Сколема
• Парадокс Сколема
• Альтернативные формулировки аксиомы выбора: определения, лемма Цорна, теорема Цермело
• Доказательство эквивалентности (кроме вывода леммы Цорна)
• Использование аксиомы выбора (на примере эквивалентности пределов по Гейне и по Коши)
• Теорема Диаконеску (ИИП + ZF влечёт исключённое третье)
• Ослабленные варианты аксиомы
• Усиленный вариант аксиомы: универсум фон-Неймана и аксиома конструктивности.

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.
• Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010

Лекция 14

Трансфинитная индукция. Доказательство непротиворечивости формальной арифметики

• Математическая и трансфинитная индукция, различные формулировки.
• Система S-бесконечность
• Сечения. Теорема об устранении сечений
• Теорема о непротиворечивости формальной арифметики

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010
• Э. Мендельсон, Введение в математическую логику --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1971.

Лекция 15

Метод резолюций

• Сколемизация
• Эрбранов универсум
• Теорема Гёделя о компактности исчисления предикатов
• Унификация
• Метод резолюций

Где почитать

• Ч. Чень, Р. Ли, Математическая логика и автоматическое доказательство теорем --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1983.