GitHub - mtahakoroglu/probability: Lecture notes of the probability class taught at EEM department of Gumushane University

EEM 217 Olasılık Kuramı

Normal Dağılım

Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability density function – pdf) aşağıdaki şekilde tanımlanır:

$$ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{\displaystyle \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

Burada

μ dağılımın ortalamasını (mean),
σ ise standart sapmasını (standard deviation) ifade eder.

Bu iki parametre, normal dağılımın hem konumunu hem de yayılımını tamamen belirler. Aşağıdaki şekilde, farklı parametre değerleri için normal dağılımın tipik görünümü verilmiştir.
📌 Not: Normal dağılım sürekli bir dağılımdır ve olasılıklar, pdf’in belirli aralıklardaki integrali ile hesaplanır.

Normal dağılımın modellediği problemlerde doğrudan integral alarak olasılık hesaplamak genellikle zahmetlidir. Bu nedenle uygulamada:

Rastgele değişken standartlaştırılır
Olasılıklar standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu (cdf) yardımıyla hesaplanır

Bu yaklaşım hesaplamaları oldukça kolaylaştırır.

Standard Normal Dağılım

X rastgele değişkeninin ortalaması $\mu$, varyansı $\sigma^2$ olan bir normal dağılıma sahip olduğunu varsayalım:

$$\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$$

Bu değişkeni, ortalamasını çıkarıp standart sapmasına bölerek standartlaştırırsak:

$$\displaystyle Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$$

elde edilir. Bu dönüşüm sayesinde, tüm olasılık hesapları tek bir tablo (standart normal dağılım cdf tablosu) kullanılarak yapılabilir.

Soru: Bir olasılık sınavında notların dağılımı, ortalaması 50 ve varyansı 25 olan bir normal dağılımla modellenmektedir. Buna göre, bir öğrencinin
a) 52'den daha düşük not alma olasılığı
b) 49'dan daha düşük not alma olasılığı
c) 48'den daha yüksek not alma olasılığı
d) 53'ten daha yüksek not alma olasılığı
nedir?

$$\displaystyle X \sim N(50, 25)$$

Standartlaştırma işlemi uygulanır:

$$\displaystyle P(X<52) = P \bigg (\frac{X-\mu}{\sigma} < \frac{52-50}{5} \bigg) = P(Z<0.4)$$

Standart normal dağılım cdf tablosundan:

$$P(Z<0.4) = \int_{-\infty}^{0.4}f_Z(z) = \Phi(0.4) \approx 0.6554$$

sonucu elde edilir.