자동제어 중간

날짜: 2022년 10월 14일 → 2022년 10월 27일 태그: 중간

• 교재 완독 및 문제풀이

  • 개념 및 수식 : 쓰임 및 원리 (10.14 ~ 10.16) + 과제
  • 예제 풀이 & 연습문제

• 강의록 완독(1회)

  • 교재의 개념 재확인

시스템의 기본적인 성질

중첩의 원리

중첩의 원리가 적용되면 함수 및 응답을 쪼개고 확장하는 것이 가능

→ 주어진 입력신호가 개별적인 입력 신호의 합으로 표현 가능할 때

→ 시스템의 응답 또한 개별적으로 표현이 가능하다는 거

해당 법칙은 선형시스템에서만 성립

시불변(LTI system)

입력시간이 $\tau$ 만큼 지체되면, 출력이 $\tau$ 만큼 평행이동되는 시스템을 의미한다.

convolution 적분 : LTI + 중첩의 원리

• convolution 이란?

  필터 계산 : 함수로부터의 값을 원하는 방식으로 제어하기 위함

  https://supermemi.tistory.com/104

특정 펄스 입력에 대해 LTI 시스템의 출력은 $\tau$ 시간의 지연에 관계 없이 일정하므로, 단위 입력 함수 $h(t)$ 라 하면 $[\Delta,2\Delta,3\Delta,\cdots,n\Delta]$ 의 시간 지연에 대한 개별적인 응답의 합으로 표현할 수 있을 것이다.

즉 $n\Delta$ 시간에서의 응답은 다음과 같다.

$$ \Delta u(k\Delta)h_{\Delta}(n\Delta-k\Delta) $$

시스템의 전체 응답은 개별적인 입력에 따른 응답의 합이라 했으므로,

$$ y(t)=\sum_{k=0}^{k=\infty}\Delta u(k\Delta) h_{\Delta}(t-k\Delta)\\ y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau)h(t-\tau)d\tau=\int^{-\infty}_{\infty}u(t-\tau_1)h(\tau_1)(-d\tau_1)=\int_{-\infty}^{\infty}u(t-\tau)h(\tau)d\tau $$

Convolution to Laplace

$$ \begin{align*} Y(s) &=\int_{-\infty}^{\infty}y(t)e^{-st}dt\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)u(t-\tau)d\tau \right]e^{-st}dt\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}u(t-\tau)e^{-st}dt \right]h(\tau)d\tau\\ &=\left[\int_{-\infty}^{\infty}u(\eta)e^{-s\eta}d\eta \right]\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau\\ &=U(s)H(s) \end{align*} $$

$U(s)$ 는 입력함수의 Laplace 형태이고, 충격응답의 Laplace 변환은 $H(s)$ 이다.

$e^{st}$ 꼴의 입력에 의한 컨볼루션의 결과는 출력 $H(s)e^{st}$ 를 만든다.

$H(s)$ 를 시스템의 전달함수라고 정의한다.

여기서 $s$ 는 실수영역이 아닌 복수수 영역의 값이다. (허수일 수도 있는 것)

만약, $u(t)=e^{st}$ 로 주어진다면,

$$ \begin{align*} y(t) &=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)u(t-\tau)d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-s\tau}e^{st}d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau e^{st}\\ &=H(s)e^{st} \end{align*} $$

이고, 여기서 중요한 것은,

$$ H(s)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau $$

임을 알아둡시당~

해당 조건( $u(t)=e^{st}$ ) 일때, 입력은 모든 시간대($-\infty,\infty$) 에서 지수적이고, 위의 식은 모든 시간대 에서 정의 되므로 초기조건 이 없음을 인지하자.

만약 이상적으로 $H(s)$ 가 주어지고 입력이 지수적으로 주어진다면, 출력은 라플라스 변환을 통해 쉽게 얻을 수 있다. 또한 해당 경우에서 전달함수 $H(s)$ 는 입출력 사이의 스케일링 항 일 뿐이다.

그리고 인과적 시스템(($-\infty,0$)이 무시되는)에서

$$ H(s)=\int_{0}^{\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau\\ y(t)=\int_{0}^{\infty}h(\tau)u(t-\tau)d\tau $$

으로 간단하게 나타내진다.

• 예제

  시스템이 $\dot{y}+ky=u$ 으로 주어지고 입력 $u$ : $u(t)=e^{st}$ 으로 주어질 때, 모든 시간 $(-\infty,\infty)$ 에서의 출력 $y$ 를 구해본다.

  $$ \dot{y}(t)+ky(t)=u(t)=e^{st}\ y(t)=H(s)e^{st}\ \Rightarrow;;sH(s)e^{st}+kH(t)e^{st}=e^{st}\ H(s)=\frac{s}{s+k}\ \therefore y(t)=\frac{1}{s+k}e^{st} $$

  입력이 $e^{st}$ 로 주어졌음에 $y(t)=H(s)e^{st}$ 으로 쓸 수 있고, 주어진 시스템 방정식에 따라 $H(s)$ 를 구할 수 있었다. 전달함수는 입출력에 의한 스케일항(계수) 이므로 $y(t)$ 를 간단히 얻어낸다.

❗ 전달함수 $H(s)$ 는 입출력의 스케일 항, 즉 입력 $U(s)$, 출력 $H(s)$ 의 전달 이득(gain) 으로 작용한다. 즉, 말 그대로 비 : scaling term 으로서 입출력의 Laplace 비이다.

$$ y(t)=\int^{\infty}_{0}h(\tau)u(t-\tau)d\tau $$

에서는 시스템의 초기조건 이 0이라는 가정($t<0$ 에서 0) 하에

$$ \frac{Y(s)}{U(s)}=H(s) $$

이 된다.

단위함수

응답을 표현하기 위해 가장 단순한 형태의 함수를 정의할 필요가 있다. 소개하는 함수는 앞으로 제어할 신호의 가장 기본 단위가 되는 함수들이다.

단위충격함수 $\delta(t)$

만약 입력함수 $u(t)$ 가 단위충격함수 인 $\delta(t)$ 으로 주어진다면, $\mathcal{L}(y(t))=H(s)$ 이다.

따라서, $H(s)$ 는 단위충격응답(입력이 그르케 주어질때) $h(t)$ 의 Laplace 변환이다. $Y(s)=H(s)$

• dirac delta 함수

  $$ \delta(t)=0;(t\neq0);;;;\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt=1 $$

  을 만족하는 함수 $\delta(t)$ 를 디랙-델타 함수(또는 단위충격함수)라 하고, $\delta(t)$ 가 입력으로 주어질 때의 응답을 단위충격응답이라 한다.

  만약 함수 $f(t)$ 가 $t=\tau$ 에서 연속이라면, 다음이 성립한다.

  $$ \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t) $$

  이 같은 성질을 sift 성질이라고 한다.

• dirac delta 예제

  $$ \int^{\infty}_{0}\delta(t)e^{-st}=1 $$

  임을 보인다.

  $$ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-st}dt=e^{-s\tau}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-st+s\tau}dt=e^{-s\tau}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{s(\tau-t)}dt $$

  이므로 함수 $f(t)=e^{st}$ 이고 초기조건 $f(0)=0$ 으로 두면,

  $$ e^{-s\tau}\int^{\infty}{0}\delta(t)e^{s(\tau-t)}dt=f(-\tau)\int^{\infty}{0}\delta(t)f(\tau-t)dt $$

  이므로, sift 효과에 의해 준식은 $f(-\tau)f(\tau)=e^{-st}e^{st}=1$ 이 된다.

위의 언급된 유도와 조건에 따라, 초기 조건이 0 인 LTI 시스템을 특정지을 수 있는 방법을 생각해볼 수 있다. 초기조건이 0이라 했으므로, 단위충격을 인가한 후 해당 응답으로부터 시스템을 알아낼 수 있다.

일반적인 경우(꼭 단위충격이 아니더라도),

$$ \begin{equation*} a_1\ddot{y}+a_2\dot{y}+a_3y=b_1\ddot{u}+b_2\dot{u}+b_3u \end{equation*} $$

으로 초기조건이 0 인 시스템이 주어졌을 때,

$$ (a_1s^2+a_2s+a_3)Y(s)=(b_1s^2+b_2s+b_3)U(s)\\ \therefore H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_1s^2+b_2s+b_3}{a_1s^2+a_2s+a_3} $$

과 같이 전달함수를 구해낼 수 있다.

단위계단함수 $1(t)$

단위계단함수 $1(t)$ 는 단위충격함수 $\delta(t)$ 의 부정적분으로서 $1(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau$ 으로 표현된다.

$$ \begin{align*} 1(t)&=0;;; (t<0)\\ 1(t)&=1;;; (t\geq0) \end{align*} $$

단위계단함수의 라플라스 변환은 정의에 따라

$$ \mathcal{L}(1(t))=\int_{0}^{\infty}e^{-st}dt=\frac{1}{s} $$

간단하게 구할 수 있다.

따라서 입력이 단위계단입력이고 단위계단응답을 구하라는 것은 다음과 같은 말로 단축된다.

$$ given;;;;;U(s)=\frac{1}{s},;;;find;;;y(t) $$

최종값 정리

라플라스 변환을 사용하면, 시스템의 정상상태($t\rightarrow \infty$) 를 간단하게 구해낼 수 있다.

❗ 만약 $sY(s)$ 의 모든 극점이 $s$-평면의 좌반평면(실수부가 모두 $s<0$)에 있다면 다음이 성립한다.

$$ \lim_{x\to\infty}y(t)=\lim_{s\to0}sY(s) $$

위의 조건은 최종값 정리의 대상이 안정한 시스템임을 뜻한다.

DC 이득

최종값 정리를 사용하면, DC이득 또한 간단하게 구할 수 있다.

먼저 단위계단입력($U(s)=\frac{1}{s}$) 를 가정하고 출력의 정상상태를 구하기 위해 최종값 정리를 사용한다.

$$ \text{DC gain}=\lim_{s \to 0}sG(s)\frac{1}{s}=\lim_{s\to 0}G(s) $$

주파수 응답

입력함수 $u(t)=A\cos(\omega t)$ 으로 주어졌을 때 시스템의 응답을 알아본다.

오일러 변환에 의하여 아래와 같이 쓸 수 있고,

$$ A\cos(\omega t)=\frac{A}{2}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}) $$

$u(t)=e^{st}$ 으로 주어졌을 때의 응답 $y(t)=e^{st}H(s)$ 에 의하여, $s=j\omega$ 로 두면,

$$ u_1(t)=\frac{A}{2}e^{j\omega t};;;;u_2(t)=\frac{A}{2}e^{-j\omega t}\\ y_1(t)=\frac{A}{2}H(j\omega)e^{j\omega t};;;;;;y_2(t)=\frac{A}{2}H(-j\omega)e^{-j\omega t}\\ \therefore y(t)=\frac{A}{2}(H(j\omega)e^{j\omega t}+H(-j\omega)e^{-j\omega t} $$

전달함수 $H(j\omega)$ 는 복소수 이므로 극형식 : $H(j\omega)=M(\omega)e^{j\varphi};;H=Me^{j\varphi}$ 으로 치환할 수 있다.

따라서, $y(t)$ 는

$$ \begin{align*} y(t) &=\frac{A}{2}M(e^{j(\omega t+\varphi)}+e^{-j(\omega t+\varphi)})\\ &=AM\cos(\omega t+\varphi) \end{align*} $$

단, $M=|H(j\omega)|;;;\varphi=\angle H(j\omega)$

극점, 영점과 안정성

전달함수 $H(s)$ 가 다음과 같이 주어졌을 때,

$$ H(s)=\frac{b(s)}{a(s)}=K\frac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)} $$

$b(s)=0$ 의 해가 되는 해집합 $[z_1,z_2,\cdots,z_m]$ 을 시스템의 유한 영점 이라 하고,

$a(s)=0$ 의 해가 되는 해집합 $[p_1,p_2,\cdots,p_n]$ 을 시스템의 극점 이라 한다.

극점은 시스템의 안정성을 결정짓는 중요한 요소가 되는데,

분모의 항들은 결국 부분집합의 합으로 표현되기 때문이다.

예를 들어, $H(s)=\frac{1}{(s+2)(s+1)}$ 일 때, 응답함수 $h(t)=e^{-t}+e^{-2t}$ 로서 외부 충격에 의한 응답이 감쇠하는 형태를 띤다. 그러나 $H(s)=\frac{1}{(s-2)(s-1)}$ 의 경우 응답함수 $h(t)=e^{t}+e^{2t}$ 는 응답이 증가하는 양상을 띤다

즉, 극점이 0보다 크면 시스템이 불안정해지는 것이다.

이차미분방정식의 전달함수

전달함수 $H(s)$ 가 이차함수 꼴로 주어질때, 다음과 같이 정리한다.

$$ H(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}=\frac{\omega_n^2}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\zeta^2)} $$

따라서 극점은 $s=-\sigma \pm j\omega_d$ 이고, $\sigma=\zeta\omega_n,;;\omega_d=\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$ 이다.

여기서 $\zeta$ 는 감쇠비, $\omega_n$ 는 비감쇠 고유주파수이다. 극점은 $s$-평면에서 반경: $\omega_n$, 각도: $\theta=\sin^{-1}\zeta$ 이다.

이에 따른 응답 $h(t)$ 가 다음과 같이 얻어진다.

$$ h(t)=\frac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\sigma t}(\sin \omega_d t)1(t) $$

해석적으로 접근하면, $\zeta$ 가 클 때(1에 접근할 때) 응답은 거의 진동하지 않는다. 즉, 감쇠비를 통해 응답의 대체적인 양상을 해석할 수 있다.

                                                                       충격응답

                                                                               계단응답

Time Domain Specifications

감쇠계수에 따라 응답의 양상이 매우 다르게 나타나므로 모든 해석적 특성을 아우를 수 있는 정성적인 방법이 필요하다.

다음은 응답의 특성을 기술하기 위해 도입한 시간과 관련된 사양(specifications) 이다.

• 상승시간($ t_r $) rise time : 시스템이 새로운 설정값 근처에 도달하는 데 걸리는 시간

  • $t_r \cong \frac{1.8}{\omega_n}$
  • 위 식은 영점이 없는(분자가 상수인) 이차시스템에서 정확히 성립한다.
  • 외의 조건에서는 근사식으로 사용할 수 있다.

• 최고시간($t_p$) peak time : 시스템이 최대 오버슈트점에 도달하는 데 걸리는 시간

  • 오버슈트가 발생하는 지점의 시간

  $$ y(t)=1-\frac{e^{-\sigma t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\cos(\omega_dt-\beta);;;;\dot{y}(t)=\sigma e^{-\sigma t}\left(\frac{\sigma^2}{\omega_d}+\omega_d\right)\sin\omega_d t=0;;;;\omega_dt_p=\pi;;;;t_p=\frac{\pi}{\omega_d} $$

• 오버슈트($M_p$) overshoot : 최종값을 초과하는 시스템의 최댓값을 최종값으로 나눈 값(%)

  • 응답의 미분이 0이 되는 지점(극값을 의미)

  $$ \begin{align*} y(t_p) &\triangleq1+M_p\ &=1-e^{-\sigma\pi/\omega_d}\left(\cos \pi + \frac{\sigma}{\omega_d} \sin \pi \right)\ &=1-e^{-\sigma\pi/\omega_d}\ &\therefore;;M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \end{align*} $$

• 정착시간($t_s$) settling time : 시스템의 과도응답이 감소하는 데 걸리는 시간

  • $y(t)$ 가 정상상태에 도달하는 시간
  • $e^{-\zeta \omega_n t_s}=0.01{;;;}\zeta \omega_nt_s=4.6;;;t_s=\frac{4.6}{\zeta \omega_n}=\frac{4.6}{\sigma}$

이 같은 시간 사양을 통해 의도한 목표를 위한 설계방정식을 세울 수 있다.

$$ \omega_n\geq \frac{1.8}{t_r};;;;;;\zeta\geq\zeta(M_p);;;;;;\sigma\geq\frac{4.6}{t_s} $$

위의 모든 시간 사양은 시스템이 이차일때 해당되는 값이다.

영점과 추가 극점의 영향

영점의 영향

다음의 예시를 통해 영점이 시스템에 미치는 영향을 알아본다.

$$ \begin{align*} H_1(s) &=\frac{2}{(s+1)(s+2)}\\ &=\frac{2}{s+1}-\frac{2}{s+2}\\ \\ H_2(s) &=\frac{2(s+1.1)}{1.1(s+1)(s+2)}\\ &=\frac{2}{1.1}\left(\frac{0.1}{s+1}+\frac{0.9}{s+2}\right)\\ &=\frac{0.18}{s+1}+\frac{1.64}{s+2} \end{align*} $$

$H_2(s)$ 함수는 단순히 $H_1(s)$ 함수에 $(s+1.1)$ 항이 추가된 것이다.

만약 추가된 항이 $(s+1)$ 이라면, 해당 극점을 상쇄되었을 것이다. 이 점에 주목하여 식을 해석하면,

$H_1(s)$ 의 극점 $s=-1$ 과 영점의 $s=-1.1$ 은 상당히 가까우므로 $\frac{1}{s+1}$ 항의 비율이 작아짐을 기대할 수 있다.

위의 결과에서 보듯이 $\frac{1}{s+1}$ 의 영향이 2에서 0.18로 줄었음을 확인할 수 있다.

즉, 우리는 영점을 설계하여 극점에 대한 영향도를 키우거나 줄일 수 있다는 것이다. 위의 예시를 일반화시키면 다음과 같다.

$$ C_1=(s-p_1)F(s)|_{s=p_1} $$

여기서 시사하는 바는 $F(s)$ 가 $p_1$ 근처에서 영점을 갖는다면 $C_1$ 의 값이 작아진다는 것이다.

제어시스템을 설계 시 영점이 과도응답에 미치는 영향을 고려하기 위해 두 개의 복소수 극점과 한 개의 영점을 가진 전달함수를 고려해본다.

여러가지 경우에 대해 효과적인 해석을 하기 위해 다음과 같이 표준화된 시간 및 영점 위치를 나타내는 식으로 변환하여 사용한다.

$$ H(s)=\frac{(s/\alpha\zeta\omega_n)+1}{(s/\omega_n)^2+2\zeta(s/\omega_n)+1} $$

위의 식에서 영점은 $s=-\alpha\zeta\omega_n=-\alpha\sigma$ 에 위치한다. $\alpha$ 를 통해 극점의 실수부에 대한 영향을 설계할 수 있다.

$\alpha$ 가 크면, 영점은 극점에서 멀어질 것이고, 1에 가까워지면 극점의 실수부와 매우 가까워서 응답에 상당한 영향을 미칠 것이다.

다음의 그림을 통해 $\alpha$ 값이 응답에 미치는 영향을 직관적으로 확인해보라.

$$ \zeta=0.5 $$

$$ \zeta=0.707 $$

전달함수를 일반항과 미분항으로 분리해서 생각하면 영점이 오버슈트에 미치는 영향을 더 효과적으로 해석할 수 있다.

위에서 언급한 시스템을 보자.

$$ \begin{align*} H(s) &=\frac{(s/\alpha\zeta\omega_n)+1}{(s/\omega_n)^2+2\zeta(s/\omega_n)+1}=\frac{s/\alpha\zeta+1}{s^2+2\zeta s+1}\\ &=\frac{1}{s^2+2\zeta s+1}+\frac{1}{\alpha\zeta}\frac{s}{s^2+2\zeta s +1}\\ &=H_0(s)+H_d(s)\\ &=H_0(s)+\frac{1}{\alpha\zeta}sH_0(s)\\ \end{align*} $$

미분항은 일반항에 계수와 $s$ 를 곱한 형태이고, $\mathcal{L}(df/dt)=sF(s)$ 에 따라

$$ \begin{align*} y(t) &=y_0(t)+y_d(t)\\ &=y_0(t)+\frac{1}{\alpha\zeta}\dot{y}_0(t) \end{align*} $$

으로 간단하게 구할 수 있다.

RHP : $s$-평면의 오른쪽 LHP : $s$-평면의 왼쪽 $\Rightarrow ;\alpha$ 가 결정!!

영점의 $s$-평면 상의 위치 또한 응답을 효과적으로 해석하는 데 도움이 된다.

영점은 초기의 응답에 영향을 크게 미치기는 하지만, 정상상태에는 거의 영향을 미치지 않는다. 이것은 시스템을 표현하는 분모의 차수가 분자의 차수보다 크기 때문이다.

추가극점의 영향

표준 2차 계단응답에 대한 추가극점의 영향 고려 또한 설계의 중요한 사항 중 하나이다. 다음의 전달함수를 예로 든다.

$$ H(s)=\frac{1}{(s/\alpha\zeta\omega_n+1)[(s/\omega_n)^2+2\zeta(s/\omega_n)+1]} $$

주어진 전달함수를 $\alpha$ 에 따른 선도를 그리면,

                                                                    zeta=0.5

동적 응답의 극점-영점이 미치는 영향(통합)

• 유한 영점을 갖지 않는 2차 시스템에서 과도응답 파라미터는 다음과 같이 근사화될 수 있다.

  • 상승시간($t_r$ ) : rise time $t_r\approxeq \frac{1.8}{\omega_n}$

  • 오버슈트($M_p$)

    $$ \begin{align*} M_p&\approxeq5%;;;;;;;\zeta=0.7\ M_p&\approxeq16%;;;;;\zeta=0.5\ M_p&\approxeq35%;;;;;\zeta=0.3\ \end{align*} $$

  • 정착시간($t_s$) : settling time $t_s\approxeq\frac{4.6}{\sigma}$

• 만약 LHP(좌반평면)의 영점이 복소수 극점 실수부의 4배 이내에 있으면 오버슈트를 증가시킨다.

  • $z&lt;4\cdot RE(p);;(z&lt;0)\Rightarrow$ 오버슈트 증가

  

• RHP(우반평면)에 있는 영점은 오버슈트를 감소시킨다. 그리고 계단 응답을 반대방향으로 출발시킨다.

• 만약 LHP 에 있는 부가극점이 복소수 극점의 실수부의 4배 이내에 있으면 상승시간(rise time) 을 증가시킨다.

  • 복소수 극점의 실수부 : $\sigma=\zeta\omega_n$, 부가 극점 : $p_{add}=\alpha\zeta\omega_n$

  

    그래프에서 alpha 가 무한대로 가면 0
   (부가극점 없는 상황)이고 4 이후에도 상승효과의 증가가 분명 있지만, 매애애ㅐ애애우 작으므로 4를 기준으로 증가로 보겠다는 말임.