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Optique/001-Ondes/Q001-005.md

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 Montrez qu’une onde plane $\mathbf{E}\left( \mathbf{r}, t\right) = \mathbf{E}_\circ e^{i \left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t\right) }$ est une solution de l’équation d’onde.
 
 ### Réponse
+On peut vérifier que $Re(E_{0} e^{i(kx-\omega t)})$ est une solution de cette équation d'ondes.
+
+\begin{equation*}
+    Re(E_{0} e^{i(kx-\omega t)}) &= E_{0} cos(kx -\omega t)    
+\end{equation*}
+
+\begin{equation*}
+    \nabla^2 (E_{0} cos(kx -\omega t)) - \mu_{0} \epsilon \frac{d^2 (E_{0} cos(kx -\omega t))}{dt^2} = 0\\
+\end{equation*}
+
+\begin{equation*}
+    \frac{d^2 (E_{0} cos(kx -\omega t))}{dx^2} - \mu_{0} \epsilon \frac{d^2 (E_{0} cos(kx -\omega t))}{dt^2} = 0\\
+\end{equation*}
+
+\begin{equation*}
+    E_{0} (-k^2 cos(\omega t - kx)) - \mu_{0} \epsilon E_{0} (- \omega^2 cos(\omega t - kx)) = 0\\
+\end{equation*}
+
+\begin{equation*}
+ -k^2  + \mu_{0} \epsilon \omega^2 = 0\\
+\end{equation*}
+
+Ainsi, considérant que $k = \frac{\omega}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon}}$, nous pouvons affirmer que $Re(E_{0} e^{i(kx-\omega t)})$ est une solution de l'équation d'onde.