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Optique/002-Optique Geometrique/Q002-021.md

@@ -8,71 +8,27 @@ Une goutte de pluie de forme sphérique tombe en direction d’une feuille d’a
 
 ### Réponse
 
-On obtient la matrice de transfert d’une surface diélectrique de rayon de courbure $R$ et d’indice (à droite), $n$ une propagation de $2R$ suivi d’une autre surface diélectrique de rayon de courbure  et $-R$  d’indice (à gauche) $n​$.
-
-$$
-\Biggr[
-\begin{matrix}
-1 & 0 \\
-\frac{1-n}{R} & n
-\end{matrix}
-\Biggl]
-
-\Biggr[
-\begin{matrix}
-1 & 2R \\
-0 & 1
-\end{matrix}
-\Biggl]
-
-\Biggr[
-\begin{matrix}
-1 & 0 \\
-\frac{1-n}{n R} & \frac{1}{n}
-\end{matrix}
-\Biggl]
-
-=
-
-\left[
-\begin{matrix}
- \frac{2(1-n)}{n}+1 & \frac{2R}{n} \\
- (n-1) \left[ \frac{2}{R}  + \frac{2(n-1)}{n R} \right] & 1+ \frac{2(1-n)}{n } \\
-\end{matrix}
-\right]
-$$
-
-$$
-\Biggr[
-\begin{matrix}
-1 & 0 \\
-\frac{n-1}{R_2} & n
-\end{matrix}
-\Biggl]
-
-\Biggr[
-\begin{matrix}
-1 & d \\
-0 & 1
-\end{matrix}
-\Biggl]
-
-\Biggr[
-\begin{matrix}
-1 & 0 \\
-\frac{1-n}{n R_1} & \frac{1}{n}
-\end{matrix}
-\Biggl]
-
-=
-
-\left[
-\begin{matrix}
- \frac{d (1-n)}{n R_1}+1 & \frac{d}{n} \\
--  (n-1) \left[ \frac{1}{R_1}- \frac{1}{R_2} + \frac{d (n-1)}{n R_1 R_2} \right] & 1+ \frac{d (n-1)}{n R_2} \\
-\end{matrix}
-\right]
-$$
+On peut approximer grossièrement la goutte d'eau comme une lentille diélectrique épaisse. On a donc la matrice d'une lentille épaise 
+
+$$\left(\begin{matrix}\frac{d(1-n)}{n R_1}+1&\frac{d}{n}\\-(n-1)\Big[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}+\frac{d(n-1)}{nR_1 R_2}\Big]&1+\frac{d(n-1)}{nR_2}\end{matrix}\right)$$\\
+
+Puisque les rayons du Soleil arrivent parallèlement sur la lentille, on sait qu'ils convergeront au foyer. Il faut donc que la feuille se trouve à une distance focale f du deuxième plan principal. f se trouve avec $f = -\frac{1}{C}$, soit :
+\begin{equation}
+    \frac{1}{f} = (n-1)\Big[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} + \frac{(n-1)d}{n R_1 R_2}\Big]
+\end{equation}
+où $R_1$ et $R_2$ sont égaux, mais de signe contraire. On a $R_1 = R$ et $R_2 = -R$. Aussi, $n = 1.33$ et $d = 2R$, puisque la goutte est sphérique. Alors la distance focale est :
+\begin{equation}
+    \frac{1}{f} = (1.33-1)\Big[\frac{1}{R}-\frac{1}{-R}-\frac{(1.33-1)2R}{1.33R^2}\Big] = 0.33(\frac{2}{R}-\frac{0.5}{R}) = \frac{0.5}{R}
+\end{equation}
+Donc $f=2R$. Le deuxième plan principal est situé à :
+\begin{equation}
+    L_{PP2} = \frac{1-A}{C}
+\end{equation}
+On a que $A = \frac{d(n-1)}{nR_1}+1$ et $C = -\frac{0.5}{R}$. Donc 
+\begin{equation}
+    L_{PP2} = \frac{1 - \frac{2R(0.33)}{1.33R}}{-\frac{0.5}{R}} = -\frac{0.5R}{0.5} = -R
+\end{equation}
+ Le deuxième plan principal est donc au centre de la lentille, puisqu'il est égal à $-R$. On peut donc conclure et dire que la feuille doit être à une distance R du bord de la goutte d'eau.