Rozwiązanie równania transportu ciepła metodą elementów skończonych (FEM)

Projekt został zrealizowany w ramach przedmiotu "Równania różniczkowe i różnicowe", prowadzonego na II roku studiów na kierunku Informatyka na Wydziale Informatyki Akademii Górniczo-Hutniczej.

W repozytorium znajdują się:

1. sformulowanie_slabe.pdf
   Plik PDF z wyprowadzeniem sformułowania wariacyjnego (słabego) dla przedstawionego równania różniczkowego z odpowiednimi warunkami brzegowymi.

2. FEM.py
   Kod programu napisanego w Pythonie, który rozwiązuje zadany problem metodą elementów skończonych FEM.

3. equation.png
   Obrazek przedstawiający zapisane matematycznie równanie różniczkowe oraz warunki brzegowe rozwiązywanego problemu.

4. README.md
   Plik z opisem (który właśnie czytasz).

---

Opis problemu

Rozważamy zagadnienie transportu ciepła w przedziale [0, 2]. Równanie różniczkowe ma postać:

---

Plik PDF – sformułowanie słabe

W pliku sformulowanie_slabe.pdf zawarto:

1. Szczegółowe wyprowadzenie sformułowania wariacyjnego (słabego) dla powyższego problemu.
2. Opis metodologii przejścia od postaci różniczkowej do postaci całkowej, z uwzględnieniem warunków brzegowych typu Robina (w x=0) i Dirichleta (w x=2).

Kod źródłowy – FEM.py

Kod w pliku FEM.py:

• Generuje siatkę (punkty węzłowe) na odcinku [0, 2].
• Buduje macierz sztywności (stiffness matrix) oraz wektor obciążenia (load vector) w oparciu o funkcje kształtu elementów skończonych, uwzględniając warunki brzegowe.
• Rozwiązuje układ równań metodą numpy.linalg.solve.
• Zwraca (i/lub wizualizuje) dyskretne przybliżenie rozwiązania u(x) w węzłach.

Główne funkcje w FEM.py związane z rozwiązywaniem równania transportu ciepła:

1. generate_points(start, end, number_of_elements)
   Tworzy równomiernie rozłożone punkty (węzły) na zadanym przedziale.

2. generate_B_matrix(node_positions)
   Tworzy globalną macierz sztywności B, uwzględniając współczynnik przewodzenia k(x) i warunki brzegowe.

3. generate_L_matrix(node_positions)
   Tworzy globalny wektor obciążeń L, zawierający wkład od funkcji f(x) = 100*x^2 i uwzględniający warunek brzegowy Robina na lewym końcu (x=0) i Dirichleta na prawym (x=2).

4. solve_heat_equation(start, end, number_of_elements)
   Główna funkcja, która:

   • Generuje siatkę,
   • Buduje macierz B i wektor L,
   • Rozwiązuje liniowy układ równań,
   • Zwraca wektor węzłów i przybliżone rozwiązanie u.
   • Wizualizuje rozwiązanie.

---

Autor:

Maciej Kmąk