Особенности применения леммы Ю

Практика/Разбор задач/Ограниченные языки и стратифицированные множества.md

@@ -0,0 +1,16 @@
+
+Язык $\mathcal{L}$ называется ограниченным, если существует конечное число слов $w_1$, ..., $w_k$ таких, что $\mathcal{L} \subseteq w_1^*w_2^*\dots w_k^*$. Зная множество $\{w_1,\dots, w_k\}$, можно описать ограниченный язык $\mathcal{L}$ в терминах кортежей натуральных степеней, которые могут быть у опорных слов языка. Например, $\{a^n b^{k+n}\mid n,k\geq 0\}\cup\{a^n b \mid n>0\}$ можно описать через множество кортежей $\{\langle n,m\rangle\mid n,m\geq 0\land (n\leq m \lor m=1)\}$. Поскольку отрицательные степени слов не определены, первое условие в дальнейшем будем опускать. Множество кортежей опорных слов ограниченного языка $\mathcal{L}$ будем называть характеристическим множеством для $\mathcal{L}$.
+
+Оказывается, что контекстно-свободные ограниченные языки можно достаточно точно описать. А именно, их характеристические множества:
+- мультилинейны, то есть являются объединениями линейных комбинаций векторов, а именно могут быть представлены в виде $\bigcup\sum_{j} k_j\cdot \langle v_{1,j},v_{2,j},\dots, v_{k,j}\rangle$;
+- и стратифицированы, то есть в каждом из кортежей $\langle v_{1,j},v_{2,j},\dots, v_{k,j}\rangle$ не больше двух ненулевых компонент, и не существует двух кортежей вида $\langle 0,v_{i},0,\dots, v_{i+m},\dots, 0\rangle$, $\langle 0,v_{i+r_1},0,\dots, v_{i+m+r_2},\dots, 0\rangle$, $r_1 < m$. 
+Тем самым запрещены подъязыки, изоморфные ограниченным языкам $\{a^k b^k c^k\mid k\geq 0\}$, $\{a^n b^k c^n d^k \mid n,k\geq 0\}$ - известным примерам не контекстно-свободных языков.
+
+Главной проблемой при применении данного утверждения становится построение корректного характеристического множества для ограниченного языка. Поупражняемся в этом построении.
+
+Для уже упомянутого языка $\{a^n b^{k+n}\mid n,k\geq 0\}\cup\{a^n b \mid n>0\}$ характеристическим будет объединение $\{k_1\cdot \langle 1,1\rangle + k_2\cdot \langle 0,1\rangle\mid k_1, k_2 \geq 0\} \cup \{k'_1\cdot \langle 1,0\rangle + \langle 1,1\rangle\mid k'_1\geq 0\}$. Действительно, первая часть объединения строит вектора степеней, первый из которых не больше второго. Вторая часть объединения позволяет добавлять сколько угодно букв $a$ при наличии хотя бы одной буквы $a$ и единственной буквы $b$. Но это простой для представления язык, поскольку в нём нет неравенств. 
+С неравенствами помогает справиться объединение - можно упорядочить неравные степени по строгому возрастанию и перебрать все случаи этого упорядочения. Для примера рассмотрим язык $\{a^n b^m a^n \mid m,n\geq 0\land m\neq n\}$. Его характеристическое представление - это $\{k_1\cdot\langle 1,1,1\rangle + (k_2+1)\cdot\langle 0,1,0\rangle\mid k_1, k_2\geq 0\}\cup \{k'_1\cdot\langle 1,1,1\rangle + (k'_2+1)\cdot\langle 1,0,1\rangle\mid k'_1,k'_2\geq 0\}$. Первая часть объединения соответствует случаю, когда $m>n$, вторая - обратному ему.
+
+Однако следует проявлять осторожность в вопросе построения характеристических множеств, если опорные слова могут сливаться в неразличимые блоки. Например, язык $\{(ab)^n a (ba)^n (ab)^n\mid n>0\}$ так и хочется представить множеством $\{k\cdot\langle 1, 0, 1, 1\rangle + \langle 0, 1 , 0,0\rangle \mid k> 0\}$, очевидно не стратифицированным. Однако, если заметить, что первые два блока сливаются в один, и только на стыке двух последних возникает неоднородность - то есть переписать язык в форме $\{(ab)^{2n}a(ab)^n\mid n>0\}$, то удастся построить и стратифицированное характеристическое множество: $\{k\cdot \langle 2, 0, 1\rangle + \langle 0, 1 , 0\rangle \mid k>0\}$. 
+
+Также при построении характеристических множеств нужно проверить, чтобы объединения нельзя было представить более простым способом (чаще всего это происходит, если границы между объединяемыми множествами нет). Например, язык $a^* b^*$, очевидно, характеризуется множеством $\{k_1 \cdot \langle 1,0\rangle + k_2\cdot \langle 0,1\rangle\mid k_1,k_2\geq 0\}$. Но можно записать его и так: $\{k_1 \cdot \langle 1,1\rangle + k_2\cdot \langle 0,1\rangle\mid k_1,k_2\geq 0\}\cup \{k'_1 \cdot \langle 1,1\rangle + k'_2\cdot \langle 1,0\rangle\mid k'_1,k'_2\geq 0\}$. Хотя оба представления стратифицированы, легко понять, что экстраполяция этого же примера на язык $a^*b^* c^*$ уже даст неверное представление, если пользоваться вторым методом.