Rk1var3

Практика/РК1/Варианты/Вариант 3.md

@@ -1 +1,230 @@
-#пустой
+# 1. Язык слов в алфавите $a,b$, у которых совпадает число подвыражений, удовлетворяющих условиям $ab^+ab^+$ и $b^+ab^+a$
+язык регулярный.
+Рассуждение классическое для похожих языков.
+В-первых, подходят все слова, для которых эти количества равны 0, то есть слова не содержащие подслова соответсвующего вида. 
+
+
+# 2. Грамматика
+$$\begin{matrix} 
+S \to baTaT \quad T \to aSbS \quad T \to bT\\
+T \to a
+\end{matrix}$$
+В втором задании РК был дан КС язык в виде грамматики. Для него нужно либо построить PDA, либо регулярное выражение(или автомат) с доказательством регулярности языка. 
+
+## Нулевой вариант(aka полный недетерминизм)
+==!!!АХТУНГ - Так делать на РК нельзя!!!==
+
+Для любой КС грамматики всегда есть способ построить максимально недетерминированный PDA, по следующему принципу
+- с помощью переходов по пустому символу недетерминированно порождаем на стеке строку по правилам переписывания
+- После недетерминированно выбираем, что мы остановились и начинаем разбирать стек и читать слово
+
+Но такой метод дает самый неэффективный автомат, поэтому мы его пропускаем.
+
+## Первый вариант(aka попытка в смысловой анализ языка)
+Для анализа этого языка мы можем сначала рассмотреть некоторые ограниченные его варианты. 
+Если ограничить язык двумя правилами $\boxed{T \to bT \mid a}$, то мы получаем регулярный язык $b^*a$, что не требует особых пояснений.
+Для наглядности выделим его в отдельный нетерминал R, тогда грамматика примет вид
+$$\begin{matrix}
+S \to baTaT\\
+T \to aSbS \mid R \\
+R \to bR \mid a
+\end{matrix}$$
+Преобразуем правила переписывания внутри S таким образом, чтобы исключить из грамматики нетерминал T. Для этого мы заменим внутри правила переписывания S нетерминал T на его варианты раскрытия. Таким образом получим
+$$\begin{matrix}
+S \to baRaR \mid baaSbSaR \mid baRaaSbS \mid baaSbSaaSbS\\
+R \to bR \mid a
+\end{matrix}$$
+Отрежем одинаковый префикс от S
+$$\begin{matrix}
+S \to baP \\
+P \to RaR \mid aSbSaR \mid RaaSbS \mid aSbSaaSbS\\
+R \to bR \mid a
+\end{matrix}$$
+
+## Второй вариант(aka LL разбор)
+Воспользуемся идеями построения стекового автомата для LL разбора.
+Рассмотрим нетерминал S
+$$S \to baTaT$$
+Перед чтением слова мы кладем на стек $BATAT$, после чего последовательно снимаем стековые символы. Принимаем слово только по пустому стеку из начального состояния. Стековые символы $A,B$ соответствуют единственному символу слова $a,b$ соответственно и являются служебными. Стековый символ $T$ соответствует нетерминалу T. Здесь приведен черновик PDA разбирающий язык. 
+
+```dot
+digraph{
+	rankdir=LR
+	point[shape=point]
+
+	T[label="..." shape=none]
+
+	point -> S [label=". x/BATATx"]
+	S:n -> S:n [label="b B/."]
+	S:s -> S:s [label="a A/."]
+	S -> T [label=". T/."]
+	T -> S 
+}
+```
+
+Теперь нужнно рассмотреть нетерминал $T$. Как было доказано в разделе "теоретический анализ языка" его правила имеют вид:
+$$T \to abaTaTbbaTaT \mid bT \mid a$$
+Здесь основная проблема в том, что на первый взгляд, мы не можем сказать, когда мы прочитали нетерминал полностью, а когда мы его еще продолжаем читать. Очевидно, что сначала мы пытаемся прочитать какое-то количество символов $b$, после чего начинаем читать нетерминал по правилу 1 или 3. Таким образом мы получаем следующий PDA. 1 и 3 помечены переходы по правилу 1 или по правилу 3.
+```dot
+digraph{
+	rankdir=LR
+	point[shape=point]
+
+	T[label="T" ]
+
+	point -> S [label=". x/BATATx"]
+	S:n -> S:n [label="b B/."]
+	S:s -> S:s [label="a A/."]
+	S -> T [label=". T/."]
+	T -> T [label=b]
+	T -> S:n [label="1"]
+	T -> S:s [label="3"]
+}
+```
+
+Теперь необходимо понять, что нужно делать в случае когда при разборе $T$ мы видим букву $a$. Один из способов - это добавить дополнительное состояние, которое также будет соответстовать дополнительному символу грамматики.
+$$\begin{matrix}
+T \to bT \mid aP \\
+P \to baTaTbbaTaT \mid \varepsilon
+\end{matrix}$$
+На данный момент нами уже рассмотрены префиксы $T$, начинающиеся с b. По таблице разбора и по грамматике видно, что если при разборе P мы видим $a$ то нужно раскрываться в пустое правило, и(так как мы уже прочитали этот символ, то нужно его снять с стека) Если мы видим $b$, то необходимо прочитать еще один символ, от которого зависит:
+- если мы видим, что следующий символ $a$, то мы раскрываемся по длинному правилу P;
+- если мы видим, что следующий символ $b$, то значит мы уже прочитали 2 символа с стека $BB$.
+
+Описанные выводы теперь интегрируем в PDA.
+```dot
+digraph{
+	rankdir=LR
+	point[shape=point]
+
+	T[label="T" ]
+
+	point -> S [label=". x/BATATx"]
+	S:n -> S:n [label="b B/."]
+	S:s -> S:s [label="a A/."]
+	S -> T [label=". T/."]
+	T -> T [label=b]
+	T -> P [label=a]
+	P -> S [label="a A/."]
+	P -> P1 [label="b"]
+	P1 -> S [label="a x/TATBBATAT"]
+	P1 -> P2[label="b B/."]
+	P2 -> S [label=". B/."]
+}
+```
+
+Теперь нужно аккуратно добавить финальные состояния. В финальное состояние мы можем перейти только по пустому стеку. Перейти в него из состояния $S$ нельзя, так как последним символом на стеке всегда будет $T$, которое мы разбираем в всех остальных состояниях. Из состояния T мы также не можем перейти по пустому стеку, так как оно соответствует рекурсивному правилу $T \to bT$. Если в состоянии P мы оказались в конце слова и при этом с пустым стеком, то тогда мы имеем полное право закончить разбор и принять слово, поэтому добавляем переход. Из состояний $P1, P2$ мы не можем добавить такой переход, так как он будет противоречить разбору. Поэтому наш автомат примет следующий вид:
+
+```dot
+digraph{
+	rankdir=LR
+	point[shape=point]
+
+	F[shape=doublecircle]
+
+	point -> S [label=". x/BATATx"]
+	S:n -> S:n [label="b B/."]
+	S:s -> S:s [label="a A/."]
+	S -> T [label=". T/."]
+	T -> T [label=b]
+	T -> P [label=a]
+	P -> S [label="a A/."]
+	P -> P1 [label="b"]
+	P1 -> S [label="a x/TATBBATAT"]
+	P1 -> P2[label="b B/."]
+	P2 -> S [label=". B/."]
+
+	P -> F [label=". ./."]
+}
+```
+
+Этот PDA не идеален, так как, например, его можно дополнить состоянием ловушкой, чтобы все переходы по всем символам языка и стека были явно прописаны, но идейно уже в этом виде он описывает разбор.
+
+%%## Третий вариант(aka LR разбор)
+Так как мы получили, что описываемый нами язык является LR(0) язком, то для него возможно построить грамматику и соответственно позиционный автомат, разбирающий язык.%%
+
+## Теоретический анализ языка
+Язык очевидно КС, так как задается грамматикой. Приведенная грамматика является недетерминированной, что ничего не говорит о детерминированности самого языка. 
+
+Язык не является регулярным, что можно доказать с помощью отрицания леммы о накачке для регулярных языков.
+Пусть n - длинна накачки, тогда
+$$\omega = (baa)^n S (bSaT)^n$$
+Раскроем S
+$$\omega = (baa)^n baTaT (bbaTaTaT)^n$$
+Раскроем T по самому маленькому правилу
+$$\omega = (baa)^n baaaa (bbaaaaaa)^n$$
+Слово гарантировано лежит в языке, так как мы его породили по правилам грамматики. По лемме о накачке для регулярных языков, у любого слова есть подслово не дальше чем на $n$ символов от начала строки, которое можно накачать и не выйти из языка. Применяя отрицательную накачку, на первых n символах(дополнительно можно ограничить регулярную структуру $(baa)^* ba^3 (ba^5)^*$) мы выходим из языка. Значит язык нельзя накачать и поэтому язык не регулярный.
+
+Доказав, что язык не является регулярным(язык также очевидно не VPL, можно использовать тот же контрпример), мы можем задаться вопросом является ли он детерминированным КС. 
+
+На наше счастье мы можем произвести преобразование грамматики к следующему виду
+$$\begin{matrix}
+S \to baTaT\\
+T \to abaTaTbbaTaT \mid bT \mid a
+\end{matrix}$$
+И уже по этой грамматике видно, что она является $LL(3)$.
+
+| нетерминал/префикс | aaa | aab | aba | abb | baa | bab | bba | bbb |
+| ------------------ | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
+| $S$                | -   | -   | -   | -   | 1   | 1   | -   | -   |
+| $T$                | 3   | 3   | 1   | 3   | 2   | 2   | 2   | 2   |
+
+Таблица $LL(3)$ разбора не содержит противоречий, поэтому мы получили, что рассматриваемый нами язык является $LL$-языком, а соответственно является детерминированным КС языком.
+
+Более того, мы можем говорить, что язык является LR(0) так как для данного языка возможно построить распознаватель, принимающий язык только по пустому символу. 
+
+# 3. Язык всех палиндромов в $\{a,b\}$ таких, что они являются конкатенацией префикса некоторого палиндрома $v_1$ длинны больше $\frac{2|v_1|}{3}$ и суффикса некоторого палиндрома $v_2$ длинны больше $\frac{2|v_2|}{3}$
+Здесь сначала приведены попытки доказательства, что язык является контекстно зависимым. В конце приведен вывод о истинном виде языка, но данные рассуждения все равно оставлены в обучающих целях.
+
+Данный язык можно описать иначе, как палиндром, к которому присоединен непалиндромный префикс или суффикс, который меньше по длине чем половина. Такое описание получается, если рассматривать язык только как конкатенацию префикса и суффикса палиндромов.
+Таким образом все слова описываются как 
+$$\{v xx^R yy^Ru \mid |v| < |x| \space \& \space |u| < |y|\}$$
+Но также эти слова сами по себе должны быть палиндромными, то есть 
+$$vxx^Ryy^R u = ww^R$$
+Также стоит учесть, что все подслова $v,x,y,u$ могут быть также пустыми.
+На этом этапе нужно четко оценить место в слове, на которое выпадают переходы между левыми и правыми частями палиндрома. 
+Всего возможны , которые можно дополнить симметричными случаями путем обращения языка(также стоит заметить, что при обращении языка мы получим тот же язык, так как все слова - палиндромы):
+1) центр слова внутри $v$ нельзя предъявить, так как тогда мы получим противоречие: $|v| > 2|x|+2|y|+|u| \space\&\space |v| < |x|$
+2) центр слова находится между $v$ и $x$ также невозможен, по тем же причинам(вместо знака ">" знак равенства)
+3) центр слова находится внутри $x$. Разобьем подслово еще на 3(с двумя случаями) $x=aa^Rb$ или $x = baa^R$(центр слова между $aa^R$)
+   3.1. $x=aa^Rb$, тогда $$\underbrace{va}\underbrace{a^Rbb^Raa^Ryy^Ru}$$
+   получаем противоречие между длинами подслов
+   3.2. $x=baa^R$, тогда
+   $$\underbrace{vba}\underbrace{a^Raa^Rb^Ryy^Ru}$$
+   также получаем противоречие между длинами подслов.
+4) центр слова находится на перемычке $xx^R$. Тогда мы имеем, что $v^R = yy^Ru \implies v = u^Ryy^R$, тогда
+   $$\underbrace{u^Ryy^R x}\underbrace{x^Ryy^Ru}$$
+   и дополнительное ограничение $|u^Ryy^R| < |x|$. Здесь можно в всех случаях накачать перемычки $xx^R$ и $yy^R$.
+5) центр слова находится внутри $x^R$ также приводит к двум вариантам: $x^R=aa^Rb$ или $x^R = baa^R$
+   5.1 $x^R = aa^Rb$($x=b^Raa^R$), тогда
+   $$\underbrace{vb^Raa^Ra} \underbrace{a^Rb yy^Ru}$$
+   и получаем дополнительное ограничение
+   $$\begin{cases}
+   |v| < |b| + 2|a|\\
+   |v| + |b| + 2|a| = |b| + 2|y| + |u|
+   \end{cases}$$
+   5.2 $x^R=baa^R(x=aa^Rb^R)$, тогда
+   $$\underbrace{vaa^Rb^Rba} \underbrace{a^Ryy^Ru}$$
+   и получаем дополнительное ограничение
+   $$\begin{cases}
+   |v| < |b| + 2|a|\\
+   |v| + 2|b| + 2|a| = 2|y| + |u|
+   \end{cases}$$
+6) центр слова находится на перемычке $x^Ry$ приводит к ситуации, когда $x^R=y \& u=v$. И мы получаем $vxx^Rxx^Rv^R$ без дополнительных ограничений кроме $|v| < |x|$. Эта ситуация полностью валидна, но при этом всегда допустимы накачки(полложительные без ограничений) в центр слова, что не поможет в нашем доказательстве.
+
+Из наших рассуждений получили, что для слов из языка допустимы только следующие ситуации
+1) центр слова находится по середине $xx^R$(или $yy^R$)
+2) центр слова находится в $x^R$(или $y$)
+3) центр слова находится по середине $x^Ry$ - накачивается
+
+Здесь дальнейшие рассуждения прекращаются, потому что было замечено, какой именно вид имеет рассматриваемый язык. 
+
+---
+
+%%Меня терзают смутные сомнения%% Заметим, что этот язык полностью совпадает с языком палиндромов над $\{a,b\}$, так как мы любое слово из языка можем представить как конкатенацию префикса, который совпадает с всем словом, и суффиксом пустого палиндрома. Собственно поэтому представленные выше рассуждения, по доказательству контекстной зависимости приводили в тупик. 
+
+Итак, описываемый в задаче язык, является языком палиндромов над алфавитом $\{a,b\}$, без пустого слова, так как оно не подходит по определению($|\varepsilon|\not>\frac23|\varepsilon|$). Описывается классической грамматикой
+$$\begin{matrix}
+S \to aSa \mid bSb \mid a \mid b \mid aa \mid bb
+\end{matrix}$$
+Как известно, является недетерминированным КС языком.