rk2 variants 8, 23, epsilon

Практика/2024 РК2/РК2 - Вариант 23.md

@@ -0,0 +1,190 @@
+# 1. Язык SRS $a \to bab \quad a^3 \to a^2 \quad ba \to ac$ над множеством базисных слов $b^n a^n$
+## Анализ завершимости SRS 
+Данная система очевидно является незавершимой, так как возможно бесконечно применять первое правило для любого слова, содержащее символ $a$.
+## Анализ класса языка, порождаемого SRS над множеством базисных слов
+Рассмотрим слова получаемых из базисного $a$ применением SRS
+
+Такие слова порождаются грамматикой
+```
+T -> bTb | TR | a
+R -> cRb | .
+```
+Где `.` - пустое слово, $\varepsilon$
+Это не трудно заметить, проанализировав поведение первого и третьего правил переписывания. Первое правило позволяет сколько угодно наращивать с обеих сторон символы $b$. С другой стороны третье правило позволяет часть из них перекинуть на другую сторону. Тем самым справа от корня роста (символ $a$ окруженный равным количеством $b$ в том числе и отдельным символом $a$) может наблюдаться уравновешенный блок $c^n b^n$. Для учета этого вводится отдельный нетерминал и отдельное правило переписывания.
+
+Для $a^n$ нужно дополнительно учитывать, что мы можем произвольным образом сначала уменьшить число $a$ до двух и более, а после применять правила 1 и 3. 
+
+Таким образом при рассмотрении языка над базисом $b^na^n$ нужно отдельно рассмотреть случаи $n=0, n=1, n\geq 2$
+
+При $n = 0$ имеем только пустое слово.
+
+При n = 1 язык состоит либо из присоединения слева b к T (нетерминалу рассмотренному в самом начале), либо справа $c$.
+```
+S -> bT | Tc
+...
+```
+
+При $n\geq2$ необходимо допустить, что третье правило будет применено к исходному базисному слову произвольное число раз.
+
+Приведем грамматику без условия на $n$
+```
+S -> bST | bS | TE
+E -> cE | .
+...
+```
+
+Преобразуем ее с $n\geq2$
+```
+P -> bbSTT | bTET | TcET
+
+S -> bST | bS | TE
+E -> cE | .
+...
+```
+
+Объединяем вместе грамматики
+```
+S'-> bT  | Tc | P | .
+P -> bbSTT | bTET | TcET
+S -> bST | bS | TE
+E -> cE  | .
+T -> bTb | aR
+R -> cRb | .
+```
+
+Таким образом мы предъявили КС грамматику (недетерминированную), порождающую все слова языка $\implies$ язык КС.
+## Анализ детерминированности данного языка
+Пусть $n$ - длинна накачки. Рассмотрим два слова из языка
+$$\begin{aligned}
+b^{n+2} a b^n &\mid b \\
+b^{n+2} a b^n &\mid b a b^{n+1} a^n
+\end{aligned}$$
+1) в втором слове нельзя **отрицательно** накачать префикс в КС смысле, так как первый отрезок $b$ уравновешивается $a$ в суффиксе, а второй отрезок $b$ уравновешивается $b$ из суффикса. Стоит сказать, что в положительную сторону накачка легко осуществима, например, при синхронной накачке участков $b$ они будут засчитаны за применение первого правила SRS.
+2) накачка конец префикса + суффикс не работает в первом слове, так как $b$ уравновешивается первым отрезком $b$ в префиксе.
+
+Таким образом по лемме о накачки для DCFL получили, что язык не DCFL
+
+Также автоматически проверили, что нарушается *префикс свойство*.
+
+> Линейность языка можно опровергнуть с помощью леммы о накачке для линейных языков:
+> Пусть $n$ - длинна накачки. Рассмотрим $w = b^{n+1} a (b^n a b^n)^n$
+> При накачке первых $n$ символов и последних $n$ символов мы гарантированно выйдем из языка, так как они уравновешиваются разными структурами $\implies$ язык не линейный КС.
+# 2. Язык $\{w \mid |w|_{ab}=|w|_{baa} \text{ \& } w=w^R\}$
+## Анализ класса языка
+Язык $L$ состоит из слов в котором число подслов $ab$ равно числу подслов $baa$ и при этом слова являются палиндромами (причем как четными так и нечетными). Можно заметить также дополнительный факт, что в силу обратимости языка, будет выполнено следующее условие $|w|_{ba}= |w|_{aab}$.
+
+Примеры слов из языка:
+- очевидно, что слова, состоящие только из $a$ или символов $b$ (в том числе и пустое слово), очевидно принадлежат языку, так как количество подслов обоих типов будут равны 0.
+- $baab \in L$ ровно как и $baabaab, baabaabaab$ и так далее. То есть можно сказать, что $baab(aab)^* \subseteq L$. Кроме того, каждый символ $b$ и $a$ можно расширить, если дополнительно уравновесить их в другой части слова, для сохранения палиндромности.
+- $aabaa \in L$, и аналогично $aabaabaa \in L$. То есть можно сказать, что $aabaa(baa)^* \subseteq L$
+
+Стоит сказать, что из структуры подслов очевидно наблюдается, что количество подслов $ab$ может значительно расти по сравнению с $baa$, например последовательность $(ab)^*$. В то время как количество $baa$ не может превышать число $ab$ больше чем на 1. 
+
+>[!note] Доказательство утверждения о количестве подслов
+> Пусть у нас есть строка $w : |w|_{ab}=|w|_{baa} \& |w| \ge 1$. Пусть оно заканчивается на $a$, тогда чтобы увеличить число $baa$ нужно будет добавить соответствующую подстроку к слову. Но вместе с тем и число $ab$ вырастет как минимум на 1. Если даже мы до этого добавим произвольную подстроку, то если там не встретится $ab$, то ситуация не поменяется, а если встретится, то количество вырастет еще сильнее.
+> Если слово $w$ заканчивалось на $b$, то тогда для увеличения количества хватит добавить $a^2$, что увеличит разницу на 1, но после ситуация сведется к первому случаю. Стоит сказать, что такой дисбаланс возможен только в случае, если первым в слове встретилось именно $baa$, что возможно если префикс слова имеет вид $b^*baa$ (для большего детерминизма $bb^*aa$)
+> Теперь пусть мы начинаем с пустого слова, тогда общая ситуация сводится лишь к тому, какой символ будет написан первым, что сведет задачу к предыдущим случаям.
+
+Таким образом можно выделить только 4 возможных основ языка 
+$$a^* \mid b^* \mid baab(aab)^* \mid aabaa(baa)^*$$
+и в каждой из этих основ могут дополнительно разрастаться количества $a$ и $b$ сохраняя соотношения между количествами слов. Есть ли ограничения на итерацию? Для первой и второй альтернативы очевидно нет. Для третьей и четвертой, итерации задают бесконечное количество одинаковых симметричных накладывающихся подслов, поэтому ограничений так же нет. 
+
+Поэтому для данного языка можно построить следующую грамматику:
+$$\begin{matrix}
+S \to A \mid B \mid C \mid D \\
+A \to aA \mid \varepsilon \\
+B \to bB \mid \varepsilon \\
+\\
+C \to bC_1b \mid B\\
+C_1 \to aC_2a \mid A\\
+C_2 \to aCa \\
+\\
+D \to C_1
+\end{matrix}$$
+Объяснение данной грамматики
+
+Данная грамматика не в полной мере отражает возможности по дополнительной накачке символов, и кроме того имеет не совсем удобную нумерацию и расположения. Поэтому финальный вариант грамматики выглядит следущим образом
+$$\begin{matrix}
+S \to C \mid D \\
+C \to bCb \mid bDb \mid B\\
+D \to aDa \mid aEa \mid A\\
+E \to aEa \mid aCa \\
+\\
+A \to aA \mid \varepsilon \\
+B \to bB \mid \varepsilon \\
+\end{matrix}$$
+
+Таким образом, язык является КС.
+## Анализ на детерминированность
+В-первых для повышения детерминированности стоит немного доработать грамматику, убрав лишний недетерминизм (например правила $C \to bCb \mid b^*$)
+$$\begin{matrix}
+S \to C \mid D \mid \varepsilon \\
+C \to bCb \mid bDb \mid bb \mid b \\
+D \to aDa \mid aEa \mid aa \mid a \\
+E \to aEa \mid aCa \\
+\end{matrix}$$
+Потенциально уже сейчас можно сказать, что данный язык будет недетерминированным, приведя в качестве аргумента недетерминированность языков палиндромов. Но фактически это не означает недетерминированность, а только намекает на нее.
+
+Наибольший недетерминизм создают нетерминалы $D$ и $E$, так как мы никогда не можем четко сказать, какой из них необходимо использовать. Это можно незначительно уменьшить, если убрать рекурсию нетерминала $E$ и если объединить оставшееся правило с D
+$$\begin{matrix}
+S \to C \mid D \mid \varepsilon \\
+C \to bCb \mid bDb \mid bb \mid b \\
+D \to aDa \mid aaCaa \mid aa \mid a \\
+\end{matrix}$$
+Таким образом мы теперь имеем 2 отдельных нетерминала, которые отвечают за разные символы в языке. И таким образом можно построить LL(3) разбор данного языка, который будет гарантировать детерминированность разбора. Можно добавить большую детерминированность, если перенести обязательные символы из последнего шага к первому в силу коммутативности перестановок одинаковых символов:
+$$\begin{matrix}
+S \to C \mid D \mid \varepsilon \\
+C \to bC_1b \mid bb \mid b \\
+C_1 \to bC_1b \mid D \\
+D \to aaD_1aa \mid aa \mid a \\
+D_1 \to aD_1a \mid C
+\end{matrix}$$
+## Прочие свойства
+Очевидно, нарушение префикс свойства (контрпример - $baab(aab)^*$)
+Построенная грамматика является линейной $\implies$ линейный язык.
+
+
+# 3. Атрибутная грамматика
+```
+S -> [regexp]
+[regexp] -> ([regexp][regexp])
+...
+Пока опущу грамматику из условия
+```
+
+Текстовое описание языка:
+Язык описывает регулярные выражения, состоящие из a, b и epsilon. Операции построения регулярки обрамляются в круглые скобочки, причем:
+- не допускаются вложенные звездочки вида (a* b*)*
+- внутри альтернативы есть как минимум одна не пустая альтернатива, и первый элемент не может быть альтернативой
+- не допускается звездочка или конкатенация с пустым словом
+
+Таким образом можно построить грамматику, которая учитывает эти условия:
+```
+R -> E | T | A | Cs | C
+S -> (T)* | (C)* | (A)*
+C  -> (TT) | (TS) | (TCs) | (TA) | (TC) | (ST) | (SA) | (SC) | (CsT) | (CsA) | (CsC) | (AT) | (AS) | (ACs) | (AA) | (AC) | (CT) | (CS) | (CCs) | (CA) | (CC)
+Cs -> (SS) | (CsS) | (SCs) | (CsCs)
+A -> (E|T) | (E|S) | (E|C) | (E|Cs) | (E|A) | (T|E) | (T|S) | (T|C) | (T|Cs) | (T|A) | (T|T) | (S|E) | (S|S) | (S|C) | (S|Cs) | (S|A) | (S|T) | (C|E) | (C|S) | (C|C) | (C|Cs) | (C|A) | (C|T) | (Cs|E) | (Cs|S) | (Cs|C) | (Cs|Cs) | (Cs|A) | (Cs|T)
+E -> epsilon
+T -> a | b
+```
+
+Описание смыслов нетерминалов:
+- $T$ - внутренний символ алфавита
+- $E$ - пустой символ выделен в отдельный символ, так как в грамматике требуется учет непустых альтернатив
+- $A$ - нетерминал, отвечающий за операцию альтернатива, которая учитывает правила языка - в альтернативе есть одна непустая альтернатив и первый элемент не может быть альтернативой.
+- $S$ - операция звездочка
+- $C$ - операция конкатенации без вложенных звездочек
+- $Cs$ - конкатенация двух звездочек
+- $R$ - нетерминал регулярного выражения.
+
+Язык беспрефиксный, так как все операции обрамляются скобками.
+
+По построенной грамматике возможно построить lr(0) парсер => язык детерминированный.
+Ссылка на построенную таблицу LR(0) разбора(Я вручную это все делать не буду)
+```
+https://smlweb.cpsc.ucalgary.ca/lr0.php?grammar=R+-%3E+E+%7C+T+%7C+A+%7C+Cs+%7C+C+%7C+S.%0AS+-%3E+%28+T+%29+%2A+%7C+%28+C+%29+%2A+%7C+%28+A+%29+%2A.%0AC++-%3E+%28+T+T+%29+%7C+%28+T+S+%29+%7C+%28+T+Cs+%29+%7C+%28+T+A+%29+%7C+%28+T+C+%29+%7C+%28+S+T+%29+%7C+%28+S+A+%29+%7C+%28+S+C+%29+%7C+%28+Cs+T+%29+%7C+%28+Cs+A+%29+%7C+%28+Cs+C+%29+%7C+%28+A+T+%29+%7C+%28+A+S+%29+%7C+%28+A+Cs+%29+%7C+%28+A+A+%29+%7C+%28+A+C+%29+%7C+%28+C+T+%29+%7C+%28+C+S+%29+%7C+%28+C+Cs+%29+%7C+%28+C+A+%29+%7C+%28+C+C+%29.%0ACs+-%3E+%28+S+S+%29+%7C+%28+Cs+S+%29+%7C+%28+S+Cs+%29+%7C+%28+Cs+Cs+%29.%0AA+-%3E+%28+E+%21+T+%29+%7C+%28+E+%21+S+%29+%7C+%28+E+%21+C+%29+%7C+%28+E+%21+Cs+%29+%7C+%28+E+%21+A+%29+%7C+%28+T+%21+E+%29+%7C+%28+T+%21+S+%29+%7C+%28+T+%21+C+%29+%7C+%28+T+%21+Cs+%29+%7C+%28+T+%21+A+%29+%7C+%28+T+%21+T+%29+%7C+%28+S+%21+E+%29+%7C+%28+S+%21+S+%29+%7C+%28+S+%21+C+%29+%7C+%28+S+%21+Cs+%29+%7C+%28+S+%21+A+%29+%7C+%28+S+%21+T+%29+%7C+%28+C+%21+E+%29+%7C+%28+C+%21+S+%29+%7C+%28+C+%21+C+%29+%7C+%28+C+%21+Cs+%29+%7C+%28+C+%21+A+%29+%7C+%28+C+%21+T+%29+%7C+%28+Cs+%21+E+%29+%7C+%28+Cs+%21+S+%29+%7C+%28+Cs+%21+C+%29+%7C+%28+Cs+%21+Cs+%29+%7C+%28+Cs+%21+A+%29+%7C+%28+Cs+%21+T+%29.%0AE+-%3E+epsilon.%0AT+-%3E+a+%7C+b.&substs=
+```
+
+Неформальное обоснование - все продукции однозначно зависят от наполнения внутри. В том числе из-за беспрефиксности исключаются конфликты в LR(0) разборе.
+