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<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
</nav></div>
</div>
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<h1>Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</h1>
<!-- Table of contents -->
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<div>
<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion-a-cadenas-absorbentes">9.1. Introducción a cadenas absorbentes</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#tiempo-antes-de-la-absorcion-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto">9.2. Tiempo antes de la absorción en Cadenas de Markov de Tiempo Discreto</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#tiempo-antes-de-la-absorcion-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo">9.3. Tiempo antes de la absorción en Cadenas de Markov de Tiempo Continuo</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#probabilidades-de-absorcion-para-cadenas-de-tiempo-discreto">9.4. Probabilidades de absorción para cadenas de tiempo discreto</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#probabilidades-de-absorcion-para-cadenas-de-tiempo-continuo">9.5. Probabilidades de absorción para cadenas de tiempo continuo</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#anexos">9.6. Anexos</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#probabilidades-de-absorcion-mediante-la-emc">9.7. Probabilidades de absorción mediante la EMC</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="cadenas-absorbentes-tiempos-antes-de-la-absorcion-y-probabilidades-de-absorcion">
<h1><span class="section-number">9. </span>Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción<a class="headerlink" href="#cadenas-absorbentes-tiempos-antes-de-la-absorcion-y-probabilidades-de-absorcion" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>Como vimos anteriormente, al caracterizar estados, existen cadenas de
Markov que incluyen estados absorbentes y estados transitorios. Los
últimos, corresponden a todos aquellos estados desde los cuales es
posible alcanzar un estado absorbente. En este capítulo se estudiarán
los cálculos de tiempos promedio antes de la absorción, es decir, el
tiempo promedio que un proceso estocástico visita los estados
transitorios antes de ser absorbido, dado que dicho proceso inicia en un
estado transitorio. Posteriormente, se presentan métodos para calcular
las probabilidades de que un proceso estocástico termine absorbido en el
largo plazo por algún estado absorbente, dado que dicho proceso inicia
en algún estado transitorio.</p>
<section id="introduccion-a-cadenas-absorbentes">
<h2><span class="section-number">9.1. </span>Introducción a cadenas absorbentes<a class="headerlink" href="#introduccion-a-cadenas-absorbentes" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Una cadena de Markov (discreta o continua) es <em>absorbente</em> si:</p>
<blockquote>
<div><ol class="arabic simple">
<li><p>Su espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> incluye un subconjunto de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(A \subset S\)</span>
tal que todo estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in A\)</span> es absorbente;</p></li>
</ol>
</div></blockquote>
<blockquote>
<div><ol class="arabic simple" start="2">
<li><p>Para todo estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j \in S\backslash A\)</span>, existe un estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in A\)</span>
tal que <span class="math notranslate nohighlight">\(j \rightarrow i\)</span>.</p></li>
</ol>
</div></blockquote>
<p>La definición anterior requiere la existencia de estados absorbentes
(punto 1), y que de todo estado que no es absorbente sea posible
alcanzar un estado absorbente (punto 2). Como consecuencia, en una
cadena absorbente todos los estados que no son absorbentes son
transitorios. Por ende, la cadena que se muestra en la figura 1 <strong>no
es</strong> una cadena de Markov absorbente.</p>
<p><img alt="Figura 1" src="_images/absorcion1.png" /></p>
<p>Si una cadena posee un estado absorbente no es ergódica, ya que pasaría
a ser reducible. Consecuentemente, <strong>en el largo plazo</strong> la CMTC
alcanzará un estado límite por el cual la probabilidad de estar en un
estado transitorio se vuelve nula y se tiene 100% de certeza que la CMTC
ocupará el estado absorbente o algún estado de la clase comunicante
cerrada. El análisis en el largo plazo de este tipo de cadenas permite
determinar las probabilidades con las que ocurren estos eventos.</p>
<p>Consideramos una cadena de Markov <strong>absorbente</strong> en tiempo discreto
<span class="math notranslate nohighlight">\(\{ Z_{n},n \geq 0\}\)</span>, con un espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> que contiene un
número finito <span class="math notranslate nohighlight">\(N\)</span> de estados. Supongamos que de los <span class="math notranslate nohighlight">\(N\)</span> estados de <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>,
<span class="math notranslate nohighlight">\(N_{A}\)</span> sean absorbentes y <span class="math notranslate nohighlight">\({N - N}_{A} = N_{T}\)</span> transitorios. Denotamos
con <span class="math notranslate nohighlight">\(A \subset S\)</span> y con <span class="math notranslate nohighlight">\(T \subset S\)</span> los subconjuntos de los estados
absorbentes y transitorios de la cadena, respectivamente. Por la
definición misma de cadena absorbente, se tiene que <span class="math notranslate nohighlight">\(A \cup T = S\)</span> y
también que <span class="math notranslate nohighlight">\(A \cap T = \varnothing\)</span>, o sea <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(T\)</span> forman una
partición de <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>. Si se ordena el espacio de estados de manera que
primero listemos los <span class="math notranslate nohighlight">\(N_{T}\)</span> estados transitorios y después aquellos
absorbentes, y se escribe la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span> de probabilidades de
transición a un paso según dicho ordenamiento, se observa la siguiente
estructura de la matriz:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbb{P =}\begin{matrix}
\ & \begin{matrix}
T & A
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
T \\
A
\end{matrix} & \left\lbrack \ \begin{matrix}
\mathbb{Q} & \mathbb{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{matrix}\ \right\rbrack
\end{matrix}\end{split}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Si tomamos un estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> en <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span> y un estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en <span class="math notranslate nohighlight">\(T\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij} = 0\)</span>,
<span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ii} = 1\)</span>, ya que <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> es absorbente.</p>
<p>Las dos sub-matrices en la parte superior de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span> son
la matriz cuadrada <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{Q}\)</span>, de dimensiones <span class="math notranslate nohighlight">\(N_{T} \times N_{T}\)</span>,
contiene todas las probabilidades de transición entre estados
transitorios, mientras que la matriz rectangular <span class="math notranslate nohighlight">\(R\)</span>, de dimensiones
<span class="math notranslate nohighlight">\(N_{T} \times N_{A}\)</span>, contiene todas las probabilidades de transición
entre estados transitorios y estados absorbentes. Las dos sub-matrices
en la parte inferior de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span> son la matriz rectangular
<span class="math notranslate nohighlight">\(N_{A} \times N_{T}\)</span> de valores nulos, y la matriz identidad de
dimensión <span class="math notranslate nohighlight">\(N_{A}\)</span>.</p>
<p>De una manera análoga, si <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X(t),t \geq 0\}\)</span> es una cadena de Markov
<strong>absorbente</strong> en tiempo continuo, reordenando el espacio de los estados
para separar los estados transitorios de aquellos absorbentes, es
posible obtener la siguiente forma de la matriz generadora <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{Q}\)</span>:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbb{Q =}\begin{matrix}
\ & \begin{matrix}
T & A
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
T \\
A
\end{matrix} & \left\lbrack \ \begin{matrix}
\mathbb{U} & \mathbb{V} \\
0 & 0
\end{matrix}\ \right\rbrack
\end{matrix}\end{split}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>La sub-matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{U}\)</span> contiene las tasas de transición entre
estados transitorios, y la sub-matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{V}\)</span> aquellas entre
estados transitorios y absorbentes de la cadena. En este tipo de
cadenas, la matriz de estados absorbentes a absorbentes se identifica
por estar compuesta de 0 únicamente, al no existir ninguna tasa de
salida de un estado absorbente.</p>
</section>
<section id="tiempo-antes-de-la-absorcion-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto">
<h2><span class="section-number">9.2. </span>Tiempo antes de la absorción en Cadenas de Markov de Tiempo Discreto<a class="headerlink" href="#tiempo-antes-de-la-absorcion-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Consideremos una Cadena de Markov absorbente, y preguntémonos cuál es el
número promedio de veces que un estado transitorio <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> es visitado, si
el estado inicial de la cadena es el estado transitorio<span class="math notranslate nohighlight">\(\ i\)</span>, antes de
que la cadena alcance uno de los estados absorbentes.</p>
<p>Recordando, la matriz de probabilidades de transición a un paso para una
cadena absorbente tiene la siguiente estructura:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
\mathbf{Q} & \mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>donde <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span> es la submatriz de las probabilidades de transición
entre estados transitorios, y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{R}\)</span> la submatriz de
probabilidades de transición entre estados transitorios y absorbentes.
Asimismo, si se define la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{M}^{n}\)</span> como la matriz que
contiene el número de transiciones entre de cada par de estados
<span class="math notranslate nohighlight">\((i,j) \in S\)</span> luego de <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> transiciones<a class="footnote-reference brackets" href="#id2" id="id1" role="doc-noteref"><span class="fn-bracket">[</span>1<span class="fn-bracket">]</span></a>, el número de visitas a los
estados transitorios puede ser determinado a partir del límite
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lim_{n \rightarrow \infty}{\mathbf{M}}^{n}\)</span>. Lo anterior, gracias a
que si dejamos que <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> se vuelva muy grande, la parte asociada a los
estadios transitorios convergerá a un valor finito, ya que la cadena
será absorbida. Podemos escribir el límite como sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\mathbf{M}^{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{j = 0}^{n}\mathbf{P}^{j}}\]</div>
<p>Ahora bien, la <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>-ésima potencia de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span>, para una
cadena absorbente se puede describir como:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{P}^{n} = \begin{bmatrix}
\mathbf{Q}^{n} & \sum_{h = 0}^{n - 1}\mathbf{Q}^{h}\mathbf{R} \\
\mathbf{0} & \mathbb{I}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>Y la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{n}\)</span> para una cadena de Markov en tiempo
discreto absorbente será entonces:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{M}^{n} = \sum_{j = 0}^{n}\mathbf{P}^{j} = \sum_{j = 0}^{n}\begin{bmatrix}
\mathbf{Q}^{j} & \sum_{h = 0}^{n - 1}\mathbf{Q}^{h}\mathbf{R} \\
\mathbf{0} & \mathbb{I}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\sum_{j = 0}^{n}\mathbf{Q}^{j} & \sum_{j = 0}^{n}{\sum_{h = 0}^{n - 1}\mathbf{Q}^{h}\mathbf{R}} \\
\mathbf{0} & \sum_{j = 0}^{n}\mathbb{I}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>Por la naturaleza de la cadena, el número promedio de visitas a estados
absorbentes será creciente en <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>, mientras el número promedio de
visitas a estados transitorios tendrá un límite finito. Dado que en este
análisis pretendemos evaluar en el número promedio de visitas a estados
transitorios cuando el estado inicial es transitorio, el bloque de la
matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{n}\)</span> que nos interesa es el primer bloque diagonal.
Por esta razón se tiene que:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{j = 0}^{n}\mathbf{Q}^{j}} = \sum_{j = 0}^{\infty}\mathbf{Q}^{j} = {(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Entonces, el elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j\)</span> de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\({\mathbb{(I -}\mathbf{Q})}^{- 1}\)</span> es el tiempo promedio que la cadena
pasa en el (o el número promedio de visitas al) estado transitorio <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>,
dado que empieza en el estado transitorio <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, antes de alcanzar
cualquier estado absorbente.</p>
</section>
<section id="tiempo-antes-de-la-absorcion-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo">
<h2><span class="section-number">9.3. </span>Tiempo antes de la absorción en Cadenas de Markov de Tiempo Continuo<a class="headerlink" href="#tiempo-antes-de-la-absorcion-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Para una Cadena de Markov en tiempo continuo absorbente, recordemos que
la matriz de tasas de transición <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span> tiene la siguiente
estructura:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{Q} = \begin{bmatrix}
\mathbb{U} & \mathbb{V} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>donde <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{U}\)</span> es la submatriz de las tasas de transición entre
estados transitorios y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{V}\)</span> la submatriz de las tasas de
transición entre estados transitorios y estados absorbentes. Debido a
esta particular estructura, el exponencial matricial
<span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbf{Q} \bullet t}\)</span> tiene la siguiente forma:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}e^{\mathbf{Q} \bullet t} = \begin{bmatrix}
e^{\mathbb{U} \bullet t} & \mathbb{U}^{- 1}\left( e^{\mathbb{U} \bullet t} - \mathbb{I} \right)\mathbb{V} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>Si <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span> es el estado inicial transitorio de la cadena en tiempo
continuo, y <span class="math notranslate nohighlight">\(j \in S\)</span> es otro estado transitorio de la cadena, el tiempo
esperado que la cadena pasa en <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> antes de la absorción, dado que
empezó en <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, se puede calcular a partir del límite cuando
<span class="math notranslate nohighlight">\(t \rightarrow \infty\)</span> de la integral del elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j\)</span> de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbf{Q} \bullet t}\)</span>. Observemos que, dado que ambos <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> son
estados transitorios de la cadena, el elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j\)</span> de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbf{Q} \bullet t}\)</span> es un elemento de la submatriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbb{U \bullet}t}\)</span>. Dado que la submatriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{U}\)</span> es
invertible, la integral de <span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbb{U \bullet}t}\)</span> tiene la siguiente
forma explícita:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\int_{0}^{t}{e^{\mathbb{U}x}dx = \mathbb{U}^{- 1}\left( e^{\mathbb{U}t} - \mathbb{I} \right)}\]</div>
<p>Entonces, el límite cuando <span class="math notranslate nohighlight">\(t \rightarrow \infty\)</span> de la integral es:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\lim_{\ t \rightarrow \infty}{\int_{0}^{t}{e^{\mathbb{U}x}dx} =}\lim_{\ t \rightarrow \infty}{\mathbb{U}^{- 1}\left( e^{\mathbb{U}t} - I \right) = \lim_{\ t \rightarrow \infty}{\mathbb{U}^{- 1}e^{\mathbf{U}t} - \lim_{\ t \rightarrow \infty}{\mathbb{U}^{- 1} =}}} - \mathbb{U}^{- 1}\]</div>
<p>Donde se utiliza el hecho de que en el límite cuando
<span class="math notranslate nohighlight">\(t \rightarrow \infty\)</span> todo elemento de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbb{U}t}\)</span>
converge a cero por ser la probabilidad de que la cadena absorbente se
encuentre en un estado transitorio. Entonces, si <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> es el estado
inicial de la cadena y <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> otro estado transitorio, el elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j\)</span> de
la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(- \mathbb{U}^{- 1}\)</span> es el tiempo promedio que la cadena
pasará en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, dado que empezó en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, antes de la
absorción.</p>
</section>
<section id="probabilidades-de-absorcion-para-cadenas-de-tiempo-discreto">
<h2><span class="section-number">9.4. </span>Probabilidades de absorción para cadenas de tiempo discreto<a class="headerlink" href="#probabilidades-de-absorcion-para-cadenas-de-tiempo-discreto" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>En esta sección consideramos una cadena <strong>absorbente</strong> en tiempo
discreto, y vamos a proporcionar un método para calcular las
probabilidades de absorción en el largo plazo de la cadena desde los
estados transitorios. Primero, observamos que la cadena cumpla con las
definiciones de cadena <strong>absorbente</strong> definidas anteriormente**.**
También, observamos que si el número de estados absorbentes <span class="math notranslate nohighlight">\(N_{A}\)</span> es
igual a 1, el problema es trivial, ya que la cadena será absorbida en el
único estado absorbente con total certeza.</p>
<p>Supongamos entonces que la cadena tenga un número de estados absorbentes
<span class="math notranslate nohighlight">\(N_{A} > 1\)</span>, y queremos determinar las probabilidades de absorción en
cada uno de esos estados. Esta situación se encuentra a menudo en el
análisis de sistemas, por ejemplo, cuando existen dos posibles estados
de parada para su evolución, con características o significado
diferentes. Quizá el ejemplo más clásico sea el modelo del apostador
(<em>gambler ruin problem</em>, en inglés), que representa la evolución del
monto de dinero de un apostador, que en cada ronda del juego gana o
pierde de manera probabilística una cantidad de dinero, y puede terminar
el juego ganándole al banco o perdiéndolo todo. Para este ejemplo,
podemos considerar el modelo de cadena de Markov en tiempo discreto
absorbente que se ilustra en la siguiente figura:</p>
<p><img alt="Figura 2" src="_images/absorcion2.png" /></p>
<p>En el modelo del apostador que se presenta en la Figura 2, el apostador
puede en cada ronda perder un dólar con probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(p\)</span> o ganar uno con
probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(1 - p\)</span>. Si alcanza a ganar 5 dólares (estado <span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span>), se
retira del juego. Si pierde todo el dinero (estado <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span>), también el
juego terminará. Una pregunta interesante para este problema es
determinar la probabilidad de ganar o perder el juego dado el estado
inicial, para lo cual es necesario evaluar las probabilidades de
absorción de la cadena en el largo plazo.</p>
<p>En términos de la distribución de estado del proceso estocástico, lo que
se quiere calcular es el siguiente límite:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\lim_{n \rightarrow \infty}P}\left\lbrack Z_{n} = j \middle| Z_{0} = i \right\rbrack\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Aquí vale la pena observar que el cálculo del límite en la expresión (3)
toma los valores mostrados a continuación, de acuerdo con los valores de
<span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\lim_{n \rightarrow \infty}P}\left\lbrack Z_{n} = j \middle| Z_{0} = i \right\rbrack = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall\ j \in T\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\lim_{n \rightarrow \infty}P}\left\lbrack Z_{n} = j \middle| Z_{0} = i \right\rbrack = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall\ i,j \in A\ |\ i \neq j\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\lim_{n \rightarrow \infty}P}\left\lbrack Z_{n} = j \middle| Z_{0} = i \right\rbrack = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall\ i,j \in A\ |\ i = j\]</div>
<p>Para calcular el límite de las probabilidades condicionales en la
expresión (3), observamos que
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack Z_{n} = i \middle| Z_{0} = j \right\rbrack\)</span> es el
elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j\)</span> de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{n}\)</span>, la potencia <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>-ésima de
la matriz de probabilidades de transición <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span>. La estructura en
bloques de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span>, que se muestra en (1), determina una
estructura particular de las potencias
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{2}\)</span>,<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{3}\)</span>,<span class="math notranslate nohighlight">\(\ldots\)</span>. En particular, para
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{2}\)</span>, es fácil determinar que:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{2}\mathbb{= P \bullet P =}\begin{bmatrix}
\mathbf{Q} & \mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}
\mathbf{Q} & \mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\mathbf{Q}^{2} & \mathbf{QR} + \mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\mathbf{Q}^{2} & (\mathbf{Q} + \mathbb{I})\mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix}\)</span>.</p>
<p>Para <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{3}\)</span>, se obtiene que</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{3} = \mathbb{P}^{2}\mathbb{\bullet P} = \begin{bmatrix}
\mathbf{Q}^{2} & \mathbf{QR} + \mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}
\mathbf{Q} & \mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\mathbf{Q}^{3} & \mathbf{Q}^{2}\mathbf{R} + \mathbf{QR} + \mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\mathbf{Q}^{3} & {(\mathbf{Q}}^{2} + \mathbf{Q} + \mathbb{I})\mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix}\)</span>.</p>
<p>Generalizando para cualquier <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>, obtenemos que la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{n}\)</span> tendrá la siguiente estructura en bloques:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbb{P}^{n} = \begin{bmatrix}
\mathbf{Q}^{n} & {(\mathbf{Q}}^{n - 1} + \mathbf{Q}^{n - 2} + \cdots + \mathbb{I})\mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\mathbf{Q}^{n} & \sum_{j = 0}^{n - 1}\mathbf{Q}^{j}\mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>En la expresión final para <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{n}\)</span> en (4) cabe recordar que,
para toda matriz, la potencia <span class="math notranslate nohighlight">\(0\)</span>-ésima es igual a la matriz identidad
(<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{I}\)</span>).</p>
<p>Ahora bien, podemos pasar la expresión de la potencia <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{n}\)</span>
al límite, como sigue:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\lim_{n \rightarrow \infty}{\mathbb{P}^{n}}^{\ } = \lim_{n \rightarrow \infty}\begin{bmatrix}
\mathbf{Q}^{n} & \sum_{j = 0}^{n - 1}\mathbf{Q}^{j}\mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
{\lim_{n \rightarrow \infty}\mathbf{Q}}^{n} & \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{j = 0}^{n - 1}\mathbf{Q}^{j}\mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Observamos que el límite del primer bloque <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{Q}^{n}\)</span> es una
matriz nula, dado que la probabilidad de que la cadena quede en un
estado transitorio en el largo plazo es nula. En cuanto al límite del
bloque súper-diagonal, se tiene lo siguiente:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{j = 0}^{n - 1}\mathbf{Q}^{j}\mathbf{R} = \sum_{j = 0}^{\infty}\mathbf{Q}^{j}\mathbf{R} = \left( \mathbb{I} - \mathbf{Q} \right)^{- 1}\mathbf{R}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>La expresión (6) se obtiene reemplazando la suma infinita de potencias
de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span> con la inversa de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\((\mathbb{I} - \mathbf{Q})\)</span>. Esta equivalencia es una extensión de las
series geométricas de los números reales a las series geométricas de
matrices. Tal como la serie geométrica de razón <span class="math notranslate nohighlight">\(x\)</span> converge a
<span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{1}{1 - x} = (1 - x)^{- 1}\)</span> cuando <span class="math notranslate nohighlight">\(x\)</span> es en módulo menor a 1, la
serie geométrica de una matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{A\ }\)</span> converge a
<span class="math notranslate nohighlight">\(\left( \mathbb{I} - \mathbb{A} \right)^{- 1}\)</span> cuando el módulo del
máximo autovalor de <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{A}\)</span> (lo que se llama el <em>radio espectral</em>
de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{A}\)</span>) es menor a 1. Esta condición siempre aplica
para la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{Q}\)</span> de una cadena de Markov en tiempo discreto
absorbente (sin demostración). Entonces, la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\left( \mathbb{I} - \mathbf{Q} \right)^{- 1}\mathbf{R}\)</span> es la matriz
cuyos elementos proporcionan las probabilidades que en el límite la
cadena sea absorbida en los estados <span class="math notranslate nohighlight">\(j \in A_{Z}\)</span>, dado que el estado
inicial es <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in T_{Z}\)</span>.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 1</p>
<p>Supongamos que la probabilidad de que el apostador gane
una ronda del juego es <span class="math notranslate nohighlight">\(p = 0.4\)</span>, y calculamos las probabilidades de
ganar o perder todo para la cadena de la Figura 2. La matriz de tasas de
transición <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span>, reordenada como se explica anteriormente, es la
siguiente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbb{P =}\begin{matrix}
1 \\
2 \\
3 \\
4 \\
L \\
W
\end{matrix}\begin{bmatrix}
0 & 0.4 & 0 & 0 & 0.6 & 0 \\
0.6 & 0 & 0.4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0.6 & 0 & 0.4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0.6 & 0 & 0 & 0.4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>Se identifican entonces los bloques:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q} = \begin{bmatrix}
0 & 0.4 & 0 & 0 \\
0.6 & 0 & 0.4 & 0 \\
0 & 0.6 & 0 & 0.4 \\
0 & 0 & 0.6 & 0
\end{bmatrix}\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{R =}\begin{bmatrix}
0.6 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0.4
\end{bmatrix}\)</span></p>
<p>La matriz <span class="math notranslate nohighlight">\((\mathbb{I} - \mathbf{Q})\)</span> es la siguiente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbb{I} - \mathbf{Q} = \begin{bmatrix}
1 & - 0.4 & 0 & 0 \\
- 0.6 & 1 & - 0.4 & 0 \\
0 & - 0.6 & 1 & - 0.4 \\
0 & 0 & - 0.6 & 1
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>y su inversa <span class="math notranslate nohighlight">\({(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\)</span> es la matriz:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}{(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1} = \begin{bmatrix}
1.54 & 0.9 & 0.47 & 0.18 \\
1.35 & 2.25 & 1.18 & 0.47 \\
1.06 & 1.77 & 2.25 & 0.9 \\
0.63 & 1.06 & 1.35 & 1.54
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>El producto <span class="math notranslate nohighlight">\({(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\mathbb{R}\)</span> es la
siguiente matriz de probabilidades:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}{(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\mathbb{R} = \begin{bmatrix}
1.54 & 0.9 & 0.47 & 0.18 \\
1.35 & 2.25 & 1.18 & 0.47 \\
1.06 & 1.77 & 2.25 & 0.9 \\
0.63 & 1.06 & 1.35 & 1.54
\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}
0.6 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0.4
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0.92 & 0.08 \\
0.81 & 0.19 \\
0.64 & 0.36 \\
0.38 & 0.62
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>Entonces, si el apostador empieza a jugar con 1 dólar (primer estado),
terminará ganando el juego con probabilidad 0.08. Esta probabilidad se
encuentra en la primera fila de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\({(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\mathbb{R}\)</span>, ya que 1 es el primer
estado, y en la segunda columna, ya que el estado final (<span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span>) es el
último de los absorbentes. Si el apostador empieza el juego con 4
dólares (último estado transitorio), la probabilidad de ganar es 0.62.
Esta probabilidad se encuentra en la cuarta fila de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\({(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\mathbb{R}\)</span>, ya que 4 es el último
estado, y en la segunda columna, ya que el estado final (<span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span>) es el
último de los absorbentes. Observamos que, por cada fila de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\({(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\mathbb{R}\)</span>, la suma de los elementos
es 1, ya que con probabilidad 1 la cadena es absorbida (no importa en
cual estado absorbente).</p>
<p>Finalmente, si no se conociera con exactitud el estado inicial, para
determinar por ejemplo la probabilidad de perder el juego (o sea de que
la cadena sea absorbida en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span>), podríamos usar la
distribución inicial sobre los estados transitorios. Si
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4})\)</span>
es el vector de la probabilidad de estado inicial, o sea
<span class="math notranslate nohighlight">\(\alpha_{i} = P\lbrack Z_{0} = i\rbrack\)</span>, donde es pertinente recalcar
que la distribución inicial se define únicamente para los estados
transitorios.</p>
<p>Por ejemplo, si
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha} = \left( \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4} \right)\)</span>,
es decir cualquier cantidad de dólares entre 1 y 4 con la misma
probabilidad, las probabilidades de absorción serían:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4} \right) \bullet \ \begin{bmatrix}
0.92 & 0.08 \\
0.81 & 0.19 \\
0.64 & 0.36 \\
0.38 & 0.62
\end{bmatrix} = (0.69,0.31)\end{split}\]</div>
<p>De este modo, la probabilidad de perder todo sería entonces 0.69, más
que el doble de la probabilidad de ganar (0.31).</p>
</div>
</section>
<section id="probabilidades-de-absorcion-para-cadenas-de-tiempo-continuo">
<h2><span class="section-number">9.5. </span>Probabilidades de absorción para cadenas de tiempo continuo<a class="headerlink" href="#probabilidades-de-absorcion-para-cadenas-de-tiempo-continuo" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Para el cálculo de las probabilidades de absorción en cadenas continuas
existen diferentes opciones. La primera consiste en obtener de la cadena
en tiempo continuo la cadena embebida EMC, y realizar el análisis de las
probabilidades de absorción en la EMC, ya que, para la distribución de
la probabilidad de estado en el largo plazo, las dos cadenas son
equivalentes.</p>
<p>Por otra parte, también es posible realizar el cálculo de las
probabilidades de absorción directamente en la cadena continua.
Observamos que, de manera totalmente análoga al caso discreto, las
probabilidades límite de una cadena absorbente continua pueden ser
calculadas a partir de las probabilidades condicionales del transitorio.
Dichas probabilidades se calculan a través del exponencial de la matriz
de las tasas de transición <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span>. En particular, recordamos que
el exponencial de una matriz cuadrada <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span> es la matriz</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[e^{\mathbb{A}} = I + \mathbb{A} + \frac{\mathbb{A}^{2}}{2!} + \frac{\mathbb{A}^{3}}{3!} + \frac{\mathbb{A}^{4}}{4!} + \cdots = \sum_{j = 0}^{\infty}\frac{\mathbb{A}^{j}}{j!}\]</div>
<p>En una cadena de Markov de tiempo continuo, el elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j\)</span> del
exponencial de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q} \bullet t\)</span> proporciona la
probabilidad de que la cadena, en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>, esté en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>,
dado que al tiempo 0 se encontraba en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, es decir que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\left\lbrack e^{\mathbf{Q} \bullet t} \right\rbrack_{(i,j)} = P\left\lbrack X(t) = j|X(0) = i \right\rbrack,\ \forall t \geq 0,\ i,j \in S\]</div>
<p>El límite por <span class="math notranslate nohighlight">\(t \rightarrow + \infty\)</span> de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbf{Q} \bullet t}\)</span> proporciona entonces las probabilidades en el
largo plazo de la cadena. Si una cadena continua es absorbente, la
matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q} \bullet t\)</span> tiene la estructura en bloques que se
ilustra en (2). Esta forma particular en bloques permite calcular las
probabilidades de absorción de manera sencilla. Antes que nada, dado que
el factor <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> es escalar, notamos lo siguiente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[e^{\mathbf{Q} \bullet t} = \ \mathbb{I} + \mathbf{Q} \bullet t + \frac{\left( \mathbf{Q} \bullet t \right)^{2}}{2!} + \frac{\left( \mathbf{Q} \bullet t \right)^{3}}{3!} + \cdots = \mathbb{I} + \mathbf{Q} \bullet t + \mathbf{Q}^{2}\frac{t^{2}}{2!} + \mathbf{Q}^{3}\frac{t^{3}}{3!} + \cdots\]</div>
<p>Ahora, las primeras potencias de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span> tienen la
siguiente forma:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{Q}^{2} = \mathbf{Q} \bullet \mathbf{Q} = \begin{bmatrix}
\mathbb{U} & \mathbb{V} \\
0 & 0
\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}
\mathbb{U} & V \\
0 & 0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\mathbb{U}^{2} & \mathbb{V} \\
0 & 0
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{Q}^{3} = \mathbf{Q}^{2} \bullet \mathbf{Q} = \begin{bmatrix}
\mathbb{U}^{2} & \mathbb{U}V \\
0 & 0
\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}
\mathbb{U} & \mathbb{U} \\
0 & 0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\mathbb{U}^{3} & \mathbb{U}^{2}\mathbb{V} \\
0 & 0
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>De esta forma, es posible determinar que la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}^{n}\)</span>
tendrá la siguiente estructura en bloques:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{Q}^{n} = \begin{bmatrix}
\mathbb{U}^{n} & \mathbb{U}^{n - 1}\mathbb{V} \\
0 & 0
\end{bmatrix},\ n > 0\end{split}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Entonces,</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}e^{\mathbf{Q} \bullet t} = \begin{bmatrix}
\mathbb{I} & 0 \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
\mathbb{U} & \mathbb{V} \\
0 & 0
\end{bmatrix}t + \begin{bmatrix}
\mathbb{U}^{2} & \mathbb{UV} \\
0 & 0
\end{bmatrix}\frac{t^{2}}{2!} + \begin{bmatrix}
\mathbb{U}^{3} & \mathbb{U}^{2}\mathbb{V} \\
0 & 0
\end{bmatrix}\frac{t^{3}}{3!} + \cdots =\end{split}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}= \begin{bmatrix}
\mathbb{I}\mathbb{+ U +}\mathbb{U}^{2}\frac{t^{2}}{2!} + \mathbb{U}^{3}\frac{t^{3}}{3!} + \cdots & \mathbb{V}t + \mathbb{UV}\frac{t^{2}}{2!} + \mathbb{U}^{2}\mathbb{V}\frac{t^{3}}{3!} + \cdots \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>Podemos reconocer que la suma infinita de matrices en el primer bloque
de <span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbf{Q} \bullet t}\)</span> es el exponencial de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{U} \bullet t\)</span>. En cuanto al bloque súper-diagonal, con pocas
transformaciones algebraicas se obtiene:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\mathbb{V}t + \mathbb{UV}\frac{t^{2}}{2!} + \mathbb{U}^{2}\mathbb{V}\frac{t^{3}}{3!} + \cdots = \left( \mathbb{I}t + \mathbb{U}\frac{t^{2}}{2!} + \mathbb{U}^{2}\frac{t^{3}}{3!} + \cdots \right)\mathbb{V} = \mathbb{U}^{- 1}\left( \mathbb{U}t + \mathbb{U}^{2}\frac{t^{2}}{2!} + \mathbb{U}^{3}\frac{t^{3}}{3!} + \cdots \right)\mathbb{V}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Ahora observamos que la suma infinita de matrices entre paréntesis en
(8) es la matriz exponencial <span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbb{U} \bullet t}\)</span> menos la matriz
identidad, así que finalmente, para el bloque 1,2 se obtiene la
expresión
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{U}^{- 1}\left( e^{\mathbb{U} \bullet t} - \mathbb{I} \right)\mathbb{V}\)</span>.
La matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbf{Q} \bullet t}\)</span>, para una cadena de Markov
absorbente en tiempo continuo es entonces la siguiente:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}e^{\mathbf{Q} \bullet t} = \begin{bmatrix}
e^{\mathbb{U} \bullet t} & \mathbb{U}^{- 1}\left( e^{\mathbb{U} \bullet t} - \mathbb{I} \right)\mathbb{V} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>En el límite por <span class="math notranslate nohighlight">\(t \rightarrow + \infty\)</span> se obtiene que</p>
<div class="math notranslate nohighlight">