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<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
</nav></div>
</div>
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<h1>Análisis de tiempos promedios</h1>
<!-- Table of contents -->
<div id="print-main-content">
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<div>
<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">8.1. Introducción</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#tiempo-de-ocupacion">8.1.1. Tiempo de ocupación</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#tiempo-de-primera-pasada">8.1.2. Tiempo de primera pasada</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#tiempo-antes-de-la-absorcion">8.1.3. Tiempo antes de la absorción</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#calculo-de-tiempos-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto">8.2. Cálculo de tiempos en Cadenas de Markov de Tiempo Discreto</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id1">8.2.1. Tiempo de ocupación</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#tiempos-de-primera-pasada">8.2.2. Tiempos de primera pasada</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#calculo-de-tiempos-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo">8.3. Cálculo de tiempos en cadenas de Markov de Tiempo Continuo</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id2">8.3.1. Tiempo de ocupación</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id3">8.3.2. Tiempo de primera pasada</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#anexos">8.4. Anexos</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#demostracion-formal-de-la-expresion-1">8.4.1. Demostración Formal de la expresión (1)</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#calculo-manual-de-los-tiempos-promedio-de-primera-pasada-en-cadenas-de-tiempo-continuo">8.4.2. Calculo Manual de los tiempos promedio de primera pasada en cadenas de tiempo continuo</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="analisis-de-tiempos-promedios">
<h1><span class="section-number">8. </span>Análisis de tiempos promedios<a class="headerlink" href="#analisis-de-tiempos-promedios" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este capítulo se presentan las técnicas para el análisis de tiempos
promedio en cadenas de Markov. En particular, se consideran en primer
lugar los <em>tiempos promedio acumulados de ocupación</em> de los estados de
una cadena de Markov en un horizonte de tiempo finito y después se
tratan los <em>tiempos de primera pasada</em> (<em>first hitting times</em>, en
inglés). Estos dos tipos de análisis aplican para cualquier Cadena de
Markov, sin importar su clasificación. Finalmente, se presenta el
análisis de tiempos promedio de absorción, lo cual es relevante solo
para cadenas absorbentes.</p>
<section id="introduccion">
<h2><span class="section-number">8.1. </span>Introducción<a class="headerlink" href="#introduccion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Todos los análisis que se han visto hasta el momento se realizan para
cuantificar probabilidades, sea en el transitorio o en estado estable. A
partir de dichas probabilidades, es posible estimar varios tiempos
promedio de interés (p. ej. el tiempo promedio necesario para completar
un servicio o el tiempo promedio de funcionamiento de una máquina).
Estos tiempos son de interés ya que muchas veces las características de
un sistema influencian directamente la calidad percibida.</p>
<p>Dada una Cadena de Markov, continua o discreta, siempre es posible hacer
varias preguntas sobre los tiempos del modelo. Consideramos por ejemplo
las dos siguientes:</p>
<ol class="arabic simple">
<li><p>Si ahora el proceso se encuentra en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y observamos su
evolución por un intervalo de tiempo de duración conocida, ¿cuánto
tiempo pasará en promedio el proceso en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> durante la
totalidad de este intervalo?</p></li>
<li><p>Si ahora el proceso se encuentra en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, ¿cuánto tiempo
pasará en promedio antes de que alcance por primera vez el estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>?</p></li>
</ol>
<p>Estas dos preguntas buscan determinar dos cantidades de tiempo muy
diferentes por su naturaleza. Además, para el caso particular de Cadenas
de Markov absorbentes, es posible preguntarse, además:</p>
<ol class="arabic simple" start="3">
<li><p>Si ahora el proceso se encuentra en el estado transitorio <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>,
¿cuánto tiempo pasará en promedio en el estado transitorio <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> antes
de llegar a alguno de los estados absorbentes?</p></li>
</ol>
<section id="tiempo-de-ocupacion">
<h3><span class="section-number">8.1.1. </span>Tiempo de ocupación<a class="headerlink" href="#tiempo-de-ocupacion" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>En la primera pregunta, dado el estado inicial y un intervalo de tiempo
de duración conocida, se quiere conocer el tiempo promedio total, o
acumulado, de ocupación de un estado. Este tiempo se llama <em>tiempo
promedio de ocupación</em> o <em>tiempo de ocupación</em>. Si <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> es el estado
inicial del proceso y <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> el estado cuyo tiempo de ocupación es de
interés, denotaremos con <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{i,j}^{t}\)</span> al tiempo promedio de ocupación
en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> dado que se inicia en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> en un intervalo de
tiempo de duración <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> para una Cadena de Markov de tiempo continuo. De
manera análoga, denotaremos con <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{i,j}^{n}\)</span> al tiempo promedio de
ocupación en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> dado que se inicia en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> en un
intervalo de tiempo de <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> pasos para una Cadena de Markov de tiempo
discreto. También, con la notación <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{t}\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{n}\)</span>
se denota la matriz de los tiempos promedio de ocupación condicionados
al estado inicial para el caso continuo y para el caso discreto,
respectivamente, es decir, las matrices cuyos elementos son los
<span class="math notranslate nohighlight">\(M_{i,j}^{t}\)</span> y los <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{i,j}^{n}\)</span>, respectivamente.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 1</p>
<p>Considere la CMTC <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X(t),t \geq 0\}\)</span> con espacio de
estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S = \{ A,B,C\}\)</span> cuyo diagrama de tasas de transición es:</p>
<p><img alt="Figura 1" src="_images/tiempos1.png" /></p>
<p>Para este modelo, podríamos preguntar cuánto tiempo pasa en promedio la
cadena en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span>, dado que en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(0\)</span> se encuentra en este
mismo estado, en el intervalo de tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(\lbrack 0,t\rbrack\)</span>. El valor
de dicho tiempo es precisamente el elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{A,A}^{t}\)</span> de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{t}\)</span>. Así mismo, el tiempo promedio que la cadena pasa en el
intervalo <span class="math notranslate nohighlight">\(\lbrack 0,t\rbrack\)</span> en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(B\)</span>, dado que al tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(0\)</span>
se encuentra en <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span> será dado por el elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{A,B}^{t}\)</span> de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{t}\)</span>. Ahora bien, si el estado de la cadena en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(0\)</span>
es desconocido y solo se conoce la distribución de probabilidad de los
estados, por ejemplo
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha} = \left( \alpha_{A},\alpha_{B},\alpha_{C} \right)\)</span>,
donde <span class="math notranslate nohighlight">\(\alpha_{A} + \alpha_{B} + \alpha_{C} = 1,\)</span> el tiempo promedio de
ocupación del estado <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span> se obtendrá multiplicando el vector
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha}\)</span> por la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{M}^{t}\)</span>, y
seleccionando el elemento que corresponde al estado <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span>. Eso es
equivalente a calcular un valor esperado de los tiempos promedio de
ocupación ponderados por las probabilidades iniciales.</p>
</div>
<div class="warning admonition">
<p class="admonition-title">Nota</p>
<p>Para el caso de las CMTD, el tiempo promedio de
ocupación tendrá que ser interpretado en términos discretos, es decir
corresponde al número promedio de veces que la cadena ocupa o visita el
estado de interés.</p>
</div>
</section>
<section id="tiempo-de-primera-pasada">
<h3><span class="section-number">8.1.2. </span>Tiempo de primera pasada<a class="headerlink" href="#tiempo-de-primera-pasada" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>En el caso de la segunda pregunta, dado el estado inicial, se quiere
conocer el tiempo promedio necesario para visitar algún estado por
primera vez. A este tiempo se le llama <em>tiempo de primera pasada.</em> Si
<span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> es el estado inicial del proceso y <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> el estado de interés se
denota con <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{i,j}\)</span> el tiempo de primera pasada al estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> dado el
estado inicial <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>. En este caso, la notación es la misma sin importar
que la cadena sea continua o discreta. Análogamente al caso anterior, se
denota con <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{m}\)</span> a la matriz que recoge todos los tiempos de
primera pasada condicionados al estado inicial de la cadena.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 2</p>
<p>Considere la CMTD <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X_{n},n \geq 0\}\)</span> con espacio de
estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S = \{ 1,2,3\}\)</span> cuyo diagrama de probabilidades de transición
es:</p>
<p><img alt="Figura 2" src="_images/tiempos2.png" /></p>
<p><em>Figura 2. Cadena de Markov en tiempo discreto</em></p>
<p>Si la cadena está actualmente en el estado 3, el tiempo promedio (en
este caso discreto, es decir el número de pasos de evolución necesarios)
para alcanzar por primera vez el estado 2 estará dado por el elemento
<span class="math notranslate nohighlight">\(m_{3,2}\)</span> de la matriz<span class="math notranslate nohighlight">\(\ \mathbf{m}\)</span>. Igual que en el ejemplo anterior,
si sólo se conoce el estado inicial en términos de una distribución de
probabilidad de estado, es posible calcular los tiempos de primera
pasada multiplicando el vector de las probabilidades iniciales por la
matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{m}\)</span>.</p>
</div>
</section>
<section id="tiempo-antes-de-la-absorcion">
<h3><span class="section-number">8.1.3. </span>Tiempo antes de la absorción<a class="headerlink" href="#tiempo-antes-de-la-absorcion" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Para esta pregunta, dado el estado inicial transitorio, se quiere
conocer el tiempo promedio que el proceso pasa en otro estado
transitorio antes de alcanzar cualquier estado absorbente. Dado que el
estado final de interés es absorbente, una vez que la cadena lo alcanza
nunca lo dejará. Este se llama <em>tiempo antes de la absorción</em>.</p>
</section>
</section>
<section id="calculo-de-tiempos-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto">
<h2><span class="section-number">8.2. </span>Cálculo de tiempos en Cadenas de Markov de Tiempo Discreto<a class="headerlink" href="#calculo-de-tiempos-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<section id="id1">
<h3><span class="section-number">8.2.1. </span>Tiempo de ocupación<a class="headerlink" href="#id1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Empecemos con un ejemplo sencillo. Consideremos la Cadena de Markov en
tiempo discreto con <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X_{n},n \geq 0\}\)</span> con espacio de estados
<span class="math notranslate nohighlight">\(S = \{ 1,2\}\)</span> cuyo diagrama de probabilidades de transición es el
siguiente:</p>
<p><img alt="Figura 3" src="_images/tiempos3.png" /></p>
<p>Preguntémonos cuáles son los elementos de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{n}\)</span> al
aumentar el valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>, o sea el número de pasos de evolución.</p>
<p>Abordemos el problema considerando el caso <span class="math notranslate nohighlight">\(n = 0\)</span>, es decir cuando la
cadena no hace ninguna transición y supongamos que el estado inicial de
la cadena es<span class="math notranslate nohighlight">\(\ 1\)</span>. En este caso, es fácil entender que obviamente
<span class="math notranslate nohighlight">\(M_{1,1}^{0} = 1\)</span>, ya que la cadena visita exactamente 1 vez el estado
inicial 1, y <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{1,2}^{0} = 0\)</span>, ya que la cadena en 0 pasos no puede
visitar el estado 2. Si el estado inicial fuese el 2, tendríamos que
<span class="math notranslate nohighlight">\(M_{2,1}^{0} = 0\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{2,2}^{0} = 1\)</span>. Esto equivale a decir que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{M}^{0} = \begin{matrix}
& \begin{matrix}
1 & 2 \\
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
1 \\
2 \\
\end{matrix} & \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} \\
\end{matrix}\mathbb{= I}\end{split}\]</div>
<p>Es decir, la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{0}\)</span> es la matriz identidad. Es fácil
intuir que la identidad <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{0}\mathbb{= I}\)</span> es válida para
cualquier Cadena de Markov en tiempo discreto.</p>
<p>Consideremos ahora los elementos de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{1}\)</span>.
Supongamos que el estado de la cadena es 1. Ahora <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{1,1}^{1}\)</span>, el
número promedio de visitas al estado 1 cuando se hace sólo una
transición. Este número será igual a 1 (lo cual es cierto porque la
cadena empieza en dicho estado) más otra visita si la cadena queda en el
estado 1, lo cual pasa con probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(1 - p\)</span>. Entonces se tiene que
<span class="math notranslate nohighlight">\(M_{1,1}^{1} = 1 + 1 \cdot (1 - p)\)</span>. Con este mismo razonamiento,
podemos obtener que <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{1,2}^{1} = p\)</span>. Si el estado inicial es 2, se
obtiene <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{2,2}^{1} = 1 + 1 \cdot (1 - q)\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{2,1}^{1} = q\)</span>. En
forma matricial se obtiene que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{M}^{1} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
1 - p & p \\
q & 1 - q \\
\end{bmatrix}\mathbb{= I +}\mathbf{P}\end{split}\]</div>
<p>Es también intuitivo entender que la expresión
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{1}\mathbb{= I +}\mathbf{P}\)</span> es válida para toda Cadena de
Markov en tiempo discreto. Ahora, podemos tener una intuición acerca de
la estructura aditiva de las matrices <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{n}\)</span> que hemos
empezado a vislumbrar con el ejemplo. El número de visitas promedio que
se acumulan en un horizonte de <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> pasos podrá ser calculado como la
suma de las visitas que se hacen en <span class="math notranslate nohighlight">\(0\)</span> pasos, <span class="math notranslate nohighlight">\(1\)</span> paso, <span class="math notranslate nohighlight">\(2\)</span> pasos y así
sucesivamente hasta <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> pasos. En cada paso el número de visitas es 0 o
1, y en promedio es igual a la probabilidad de que la cadena visite el
estado. En <span class="math notranslate nohighlight">\(k\ \)</span>pasos de evolución, si la cadena empezó en el estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, se encontrará en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> con probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij}^{k}\)</span>, es
decir, el elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j\)</span> de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}^{k}\)</span>. Así que, sumando
sobre todos los pasos, se obtiene para <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{ij}^{n}\)</span></p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[M_{ij}^{n} = p_{ij}^{0} + p_{ij} + p_{ij}^{2}\cdots + p_{ij}^{n}\]</div>
<p>Donde <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij}^{0} = 1\)</span> si y solo si <span class="math notranslate nohighlight">\(i = j\)</span>. Entonces, para la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{n}\)</span> se obtiene la siguiente fórmula</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\mathbf{M}^{n}\mathbb{= I +}\mathbf{P} + \mathbf{P}^{2}\cdots + \mathbf{P}^{n} = \sum_{k = 0}^{n}\mathbf{P}^{k}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>En la subsección 8.4.1 (anexo) se encuentra la demostración formal para
la expresión mostrada anteriormente.</p>
</section>
<section id="tiempos-de-primera-pasada">
<h3><span class="section-number">8.2.2. </span>Tiempos de primera pasada<a class="headerlink" href="#tiempos-de-primera-pasada" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Para calcular los tiempos promedios necesarios para alcanzar <strong>por
primera vez</strong> el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> a partir de un estado inicial <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>
<span class="math notranslate nohighlight">\((i \neq j)\)</span>, consideremos otra vez el ejemplo sencillo de la Figura 3.
Supongamos que se quiere determinar el tiempo de primera pasada
<span class="math notranslate nohighlight">\(m_{1,2}\)</span>. Podemos determinar el número promedio de pasos necesarios con
el siguiente razonamiento. Dado que la cadena empieza en el estado 1, el
número de pasos necesarios para alcanzar 2 será:</p>
<ul class="simple">
<li><p>Exactamente igual 1 si la próxima transición de la cadena es de 1 a
2, lo cual ocurre con probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(p\)</span>;</p></li>
<li><p>Exactamente igual a 1 más el número de pasos necesarios para
alcanzar el estado 2 a partir de 1, si la cadena queda en el estado
1, lo cual ocurre con probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(1 - p\)</span>.</p></li>
</ul>
<p>Si calculamos el promedio de este número obtenemos para <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{1,2}\)</span> la
siguiente expresión (recursiva):</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[m_{1,2} = 1 \bullet p + (1 + m_{1,2}) \bullet (1 - p)\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Solucionando la expresión (2), es posible hallar
<span class="math notranslate nohighlight">\(m_{1,2} = \frac{1}{p}\)</span>, lo cual corresponde al número promedio de veces
que la cadena repite el ciclo en el estado 1, más 1 (la transición al
estado 2). Si la probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(p\)</span> de transición es muy cercana a 1,
tendremos, como se espera, que <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{1,2}\)</span> será cercano a 1.</p>
<p>Ahora generalizamos el procedimiento utilizado en el ejemplo a Cadenas
de Markov de tiempo discreto en general. Consideremos la Cadena de
Markov en tiempo discreto <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X_{n},n \geq 0\}\)</span> con espacio de estados
<span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>. Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> el estado en el que inicia la cadena,
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P} = \lbrack p_{ij},\ \ i,j \in S\)</span>] la matriz de las
probabilidades de transición a un paso, y <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{i,j}\)</span> el número promedio
de pasos necesarios para que la cadena alcance, por primera vez, el
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> dado el estado inicial <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>.</p>
<p>Si la cadena se encuentra en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, visitará el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> :</p>
<ul class="simple">
<li><p>En 1 solo paso, transitando directamente de <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> a <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, con
probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij}\)</span> (si <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij} = 0\)</span>, esta opción no será
posible);</p></li>
<li><p>En más pasos, transitando primero (en 1 paso) del estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> a algún
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(k \neq j\)</span>, lo cual ocurre con probabilidad<span class="math notranslate nohighlight">\(\ p_{ik}\)</span>, y
después transitado del estado <span class="math notranslate nohighlight">\(k\)</span> al estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, lo cual en promedio
requiere <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{k,j}\)</span> pasos.</p></li>
</ul>
<p>Si calculamos el promedio de los casos (que son mutuamente exclusivos)
obtenemos la siguiente expresión:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[m_{i,j} = p_{ij} + \sum_{k \neq j}^{}{(1 + m_{k,j}}) \cdot p_{ik}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>La expresión (3) define <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{i,j}\)</span> en función de los tiempos de primera
pasada <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{k,j}\)</span>. Esto significa que para determinar <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{i,j}\)</span> será en
efecto necesario escribir las ecuaciones para los tiempos <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{k,j}\)</span> y
solucionar el sistema de ecuaciones lineales resultantes. El número de
ecuaciones lineales que será necesario solucionar simultáneamente
depende de la topología de la cadena. En el ejemplo de la cadena en la
Figura 3, para el cálculo de <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{1,2}\)</span> es suficiente una sola ecuación.
Sin embargo, para cadenas cuya matriz de probabilidades de transición
sea poco dispersa (con pocos elementos nulos o cero), el número de
ecuaciones tiende a ser cercano al número de posibles transiciones.</p>
</section>
</section>
<section id="calculo-de-tiempos-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo">
<h2><span class="section-number">8.3. </span>Cálculo de tiempos en cadenas de Markov de Tiempo Continuo<a class="headerlink" href="#calculo-de-tiempos-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<section id="id2">
<h3><span class="section-number">8.3.1. </span>Tiempo de ocupación<a class="headerlink" href="#id2" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Por la naturaleza continua de este tipo de cadenas, el cálculo de los
tiempos promedio de ocupación en un intervalo <span class="math notranslate nohighlight">\(\lbrack 0,t\rbrack\)</span>
requiere evaluar integrales de la matriz exponencial. Como ya vimos, si
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span> es la matriz de las tasas de transición de la cadena de
Markov en tiempo continuo, la matriz</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[e^{\mathbf{Q}t} = \sum_{j = 0}^{\infty}\frac{{(\mathbf{Q}t)}^{j}}{j!}\]</div>
<p>es la matriz de las probabilidades condicionales de estado, análoga a la
matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}^{n}\)</span> de las cadenas discretas. El elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j\)</span> de
<span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbf{Q}t}\)</span> es entonces la probabilidad que la cadena en el tiempo
<span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> se encuentre en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> dado que en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(0\)</span> se
encontraba en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>. Así como en el caso discreto la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M}^{n}\)</span> se obtiene sumando las matrices de probabilidades
condicionales <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}^{j}\)</span> para todo valor del número de pasos <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>,
en el caso continuo se integra la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(e^{\mathbf{Q}t}\)</span> por todo
valor posible de <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>. Entonces resulta que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\mathbf{M}^{t} = \int_{0}^{t}{e^{\mathbf{Q}u}du}\]</div>
<p>La integral anterior no tiene una solución sencilla y en general solo
puede calcularse a través de métodos numéricos.</p>
</section>
<section id="id3">
<h3><span class="section-number">8.3.2. </span>Tiempo de primera pasada<a class="headerlink" href="#id3" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Los tiempos promedio de primera pasada en cadenas
continuas se calculan de manera totalmente análoga al caso discreto. Sea
<span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X_{n},n \geq 0\}\)</span> una cadena de Markov en tiempo continuo con
espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> cuyo estado inicial es <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, y cuya matriz de
tasas de transición es <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span>. El tiempo necesario, en promedio,
para que la cadena alcance por primera vez el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j,\ \)</span>o sea
<span class="math notranslate nohighlight">\(m_{i,j}\)</span>, es el siguiente:</p>
<ul class="simple">
<li><p>Si la cadena alcanza <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en 1 solo paso, transitando directamente de
<span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> a <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, lo cual ocurre con probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{ij}/( - q_{ii})\)</span>, el
tiempo necesario será en promedio <span class="math notranslate nohighlight">\(1/q_{ij}\)</span> (si <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{ij} = 0\)</span>, esta
opción no será posible);</p></li>
<li><p>Si la cadena alcanza <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en más pasos, transitando primero (en 1
paso) del estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> a algún estado <span class="math notranslate nohighlight">\(k \neq j\)</span>, lo cual ocurre con
probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{ik}/( - q_{ii})\)</span>, pasará un tiempo promedio
<span class="math notranslate nohighlight">\(1/q_{ik}\)</span> en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y después para transitar del estado <span class="math notranslate nohighlight">\(k\)</span>
al estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> requerirá en promedio un tiempo igual a <span class="math notranslate nohighlight">\(m_{k,j}\)</span>.</p></li>
</ul>
<p>Usualmente los cálculos de los tiempos promedio de primera pasada, tanto
para cadenas discretas como para cadenas continuas, se realizan
utilizando software y métodos computacionales, en nuestro caso el
lenguaje R. En la sección de anexos se encuentra una manera de calcular
analíticamente los tiempos de primera pasada para cadenas de tiempo
continuo.</p>
</section>
</section>
<section id="anexos">
<h2><span class="section-number">8.4. </span>Anexos<a class="headerlink" href="#anexos" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<section id="demostracion-formal-de-la-expresion-1">
<h3><span class="section-number">8.4.1. </span>Demostración Formal de la expresión (1)<a class="headerlink" href="#demostracion-formal-de-la-expresion-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Enseguida se proporciona una prueba formal de la expresión (1). Fijamos
el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> inicial y el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, y definimos la siguiente variable
indicadora <span class="math notranslate nohighlight">\(Z_{k}\)</span>:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}Z_{k} = \left\{ \begin{matrix}
1 & si\ X_{k} = j\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
0 & de\ lo\ contrario \\
\end{matrix} \right.\ \end{split}\]</div>
<p>y sea <span class="math notranslate nohighlight">\(N_{j}(n) = Z_{0} + Z_{1} + \cdots + Z_{n}\)</span>. La variable aleatoria
<span class="math notranslate nohighlight">\(N_{j}(n)\)</span> es el número de visitas al estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> pasos de
evolución de la cadena. Ahora, con esta definición, tenemos:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[M_{ij}^{n} = E\left\lbrack N_{j}(n) \middle| X_{0} = i\ \right\rbrack = E\left\lbrack Z_{0} + Z_{1} + \cdots + Z_{n} \middle| X_{0} = i\ \right\rbrack\]</div>
<p>Ya que el promedio es distributivo respecto a la suma se obtiene:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[E\left\lbrack Z_{0} + Z_{1} + \cdots + Z_{n} \middle| X_{0} = i\ \right\rbrack = \sum_{k = 0}^{n}{E\left\lbrack Z_{k} \middle| X_{0} = i\ \right\rbrack}\]</div>
<p>Dado que <span class="math notranslate nohighlight">\(Z_{k}\)</span> toma sólo valores 0 y 1, las contribuciones al promedio
solo existirán cuando el valor de la variable sea 1, así que se obtiene</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{k = 0}^{n}{E\left\lbrack Z_{k} \middle| X_{0} = i\ \right\rbrack} = \sum_{k = 0}^{n}{P\left\lbrack Z_{k} = 1 \middle| X_{0} = i\ \right\rbrack}\]</div>
<p>Y por la definición misma de <span class="math notranslate nohighlight">\(Z_{k}\)</span> se obtiene finalmente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{k = 0}^{n}{P\left\lbrack Z_{k} = 1 \middle| X_{0} = i\ \right\rbrack} = \sum_{k = 0}^{n}{P\left\lbrack X_{k} = j \middle| X_{0} = i\ \right\rbrack} = \sum_{k = 0}^{n}p_{ij}^{k}\]</div>
<p>Entonces, <span class="math notranslate nohighlight">\(M_{ij}^{n} = \sum_{k = 0}^{n}p_{ij}^{k}\)</span>, lo cual en forma
matricial nos da la expresión (1).</p>
</section>
<section id="calculo-manual-de-los-tiempos-promedio-de-primera-pasada-en-cadenas-de-tiempo-continuo">
<h3><span class="section-number">8.4.2. </span>Calculo Manual de los tiempos promedio de primera pasada en cadenas de tiempo continuo<a class="headerlink" href="#calculo-manual-de-los-tiempos-promedio-de-primera-pasada-en-cadenas-de-tiempo-continuo" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Si calculamos el promedio de los casos (que son mutuamente exclusivos)
obtenemos la siguiente expresión:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[m_{i,j} = \frac{q_{ij}}{- q_{ii}}\frac{1}{q_{ij}}\ + \sum_{k \neq j}^{}{\frac{q_{ik}}{- q_{ii}}(\frac{1}{q_{ik}} + m_{k,j}}) = \frac{1}{- q_{ii}}\ + \sum_{k \neq j}^{}{(\frac{1}{- q_{ii}} +}{\frac{q_{ik}}{- q_{ii}}m}_{k,j})\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Si como en el caso anterior se denota con <span class="math notranslate nohighlight">\(1/r_{i} = - 1/q_{ii}\)</span> (nótese
que <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{ii}\)</span> es negativo por definición) el tiempo promedio que la
cadena pasa en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, podemos finalmente escribir la expresión
(5) como sigue</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[m_{i,j} = \frac{1}{r_{i}}\ + \sum_{k \neq j}^{}{(\frac{1}{r_{i}} +}\frac{q_{ik}}{r_{i}}m_{k,j}) = \frac{1}{r_{i}}\ \left( 1 + \sum_{k \neq j}^{}{q_{ik}m_{k,j}} \right)\]</div>
</section>
</section>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">7. </span>Cadenas embebidas</p>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">9. </span>Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</p>
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<i class="fa-solid fa-list"></i> Contents
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<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">8.1. Introducción</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#tiempo-de-ocupacion">8.1.1. Tiempo de ocupación</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#tiempo-de-primera-pasada">8.1.2. Tiempo de primera pasada</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#tiempo-antes-de-la-absorcion">8.1.3. Tiempo antes de la absorción</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#calculo-de-tiempos-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto">8.2. Cálculo de tiempos en Cadenas de Markov de Tiempo Discreto</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id1">8.2.1. Tiempo de ocupación</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#tiempos-de-primera-pasada">8.2.2. Tiempos de primera pasada</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#calculo-de-tiempos-en-cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo">8.3. Cálculo de tiempos en cadenas de Markov de Tiempo Continuo</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id2">8.3.1. Tiempo de ocupación</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id3">8.3.2. Tiempo de primera pasada</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#anexos">8.4. Anexos</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#demostracion-formal-de-la-expresion-1">8.4.1. Demostración Formal de la expresión (1)</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#calculo-manual-de-los-tiempos-promedio-de-primera-pasada-en-cadenas-de-tiempo-continuo">8.4.2. Calculo Manual de los tiempos promedio de primera pasada en cadenas de tiempo continuo</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
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<p class="component-author">
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</p>
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© Copyright 2022.
<br/>
</p>
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