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<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
</nav></div>
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<h1>Clasificación de estados</h1>
<!-- Table of contents -->
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<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definiciones-preliminares">5.1. Definiciones preliminares</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-1-1">5.1.1. <strong>Definición 5.1.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-1-2">5.1.2. <strong>Definición 5.1.2:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-1-3">5.1.3. <strong>Definición 5.1.3:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-1-4">5.1.4. <strong>Definición 5.1.4:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-1-5">5.1.5. <strong>Definición 5.1.5:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#cadenas-de-markov-irreducibles">5.2. Cadenas de Markov irreducibles</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-2-1">5.2.1. <strong>Definición 5.2.1:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#estados-absorbentes-recurrentes-y-transitorios">5.3. Estados absorbentes, recurrentes y transitorios</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-3-1">5.3.1. <strong>Definición 5.3.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-3-2">5.3.2. <strong>Definición 5.3.2:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-3-3">5.3.3. <strong>Definición 5.3.3:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-3-4">5.3.4. <strong>Definición 5.3.4:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id1">5.3.5. <strong>Definición 5.3.4:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#periodo-de-un-estado-en-cmtds">5.4. Periodo de un estado en CMTDs</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-4-1">5.4.1. <strong>Definición 5.4.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-4-2">5.4.2. <strong>Definición 5.4.2:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-4-3">5.4.3. <strong>Definición 5.4.3:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#cadenas-ergodicas">5.5. Cadenas ergódicas</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-5-1">5.5.1. <strong>Definición 5.5.1:</strong></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="clasificacion-de-estados">
<h1><span class="section-number">5. </span>Clasificación de estados<a class="headerlink" href="#clasificacion-de-estados" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este capítulo se presenta la definición de periodicidad e
irreductibilidad de las cadenas de Markov, dos propiedades importantes
cuando se quiere analizar el comportamiento de la cadena en el largo
plazo. Para la construcción de estas propiedades, también se presentan
ciertas clasificaciones de los estados y las cadenas de Markov.</p>
<section id="definiciones-preliminares">
<h2><span class="section-number">5.1. </span>Definiciones preliminares<a class="headerlink" href="#definiciones-preliminares" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<section id="definicion-5-1-1">
<h3><span class="section-number">5.1.1. </span><strong>Definición 5.1.1:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-1-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea una cadena de Markov con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>. Se conoce como un
<strong>camino</strong> entre <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\((i,j \in S)\)</span> a una secuencia de arcos
<span class="math notranslate nohighlight">\(\left\lbrack a_{0},\ a_{1},\ldots,\ a_{k} \right\rbrack\)</span> (que no
necesariamente son todos) del diagrama de transiciones (o tasas) tal que
el origen del arco <span class="math notranslate nohighlight">\(a_{0}\)</span> es <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, el destino de <span class="math notranslate nohighlight">\(a_{k}\)</span> es <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, el
destino del arco <span class="math notranslate nohighlight">\(a_{h}\)</span> es el origen del arco <span class="math notranslate nohighlight">\(a_{h + 1}\)</span> (para
<span class="math notranslate nohighlight">\(h = 0,1,\ldots,k - 1\)</span>), y la probabilidad (en el caso de cadenas de
Markov de tiempo discreto) o la tasa (para cadenas de tiempo continuo)
asociada a cada arco es mayor a cero (sin importar su magnitud).</p>
<p>Por ejemplo, en la cadena que se muestra en la Figura 1, un camino entre
el estado 3 y el estado 6 está compuesto por el arco que conecta el
estado 3 con el estado 5 y el arco que conecta el estado 5 con el estado
6.</p>
</section>
<section id="definicion-5-1-2">
<h3><span class="section-number">5.1.2. </span><strong>Definición 5.1.2:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-1-2" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Considere una cadena de Markov con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>. Si existe al
menos un camino de <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> a <span class="math notranslate nohighlight">\(j\ \)</span>(<span class="math notranslate nohighlight">\(i,j \in S\)</span>) en el diagrama de
transiciones, se dice que el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> es <strong>alcanzable</strong> desde el
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> (y se nota como <span class="math notranslate nohighlight">\(i \rightarrow j\)</span>).</p>
<p>Esta es una relación transitiva, es decir:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[i \rightarrow j,\ j \rightarrow k\ \Rightarrow i \rightarrow k\ \]</div>
<p>Además, siempre se cumple que <span class="math notranslate nohighlight">\(i \rightarrow i\)</span>.</p>
<p>En particular en el caso de las cadenas en tiempo discreto, que <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> sea
alcanzable desde <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> significa que existe un <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> tal que
<span class="math notranslate nohighlight">\(P_{ij}^{n} > 0\)</span>.</p>
</section>
<section id="definicion-5-1-3">
<h3><span class="section-number">5.1.3. </span><strong>Definición 5.1.3:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-1-3" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Considere una cadena de Markov con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> y un par de
estados <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j \in S\)</span>. Si <span class="math notranslate nohighlight">\(i \rightarrow j\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(j \rightarrow i\ \)</span>, se dice
que el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{i}\)</span> <strong>se comunica con el estado</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{j}\)</span> (y
se denota <span class="math notranslate nohighlight">\(i \leftrightarrow j\)</span>). De la misma forma, <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> también se
comunica con <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>.</p>
<p>Se puede demostrar que esta es una relación transitiva, simétrica y
reflexiva, por lo que se puede usar para crear una partición de <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> en
clases.</p>
<p>Para el caso de la Figura 1, se puede afirmar que el estado 0 se
comunica con el estado 1 dado que el estado 0 es alcanzable desde el
estado 1, y viceversa.</p>
</section>
<section id="definicion-5-1-4">
<h3><span class="section-number">5.1.4. </span><strong>Definición 5.1.4:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-1-4" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Considere una cadena de Markov con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>. Un
subconjunto de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(C \subseteq S\)</span> es una <strong>clase comunicante</strong> si:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\({\forall\ i \in C,\ j \in C \Rightarrow i \leftrightarrow j\}\)</span>
<span class="math notranslate nohighlight">\({\forall\ i \in C,\ i \leftrightarrow j \Rightarrow j \in C}\)</span></p>
<p>Esto es, todos los estados en <span class="math notranslate nohighlight">\(C\)</span> se comunican entre sí, y <span class="math notranslate nohighlight">\(C\)</span> es un
conjunto máximo, esto quiere decir que no hay ningún estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(k \in S \smallsetminus C\)</span> que se comunique con algún estado en <span class="math notranslate nohighlight">\(C\)</span>.</p>
</section>
<section id="definicion-5-1-5">
<h3><span class="section-number">5.1.5. </span><strong>Definición 5.1.5:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-1-5" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Considere una clase comunicante <span class="math notranslate nohighlight">\(C\)</span>. Si no existe un par de estados
<span class="math notranslate nohighlight">\(i \in C\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(j \in S \smallsetminus C\)</span> tal que <span class="math notranslate nohighlight">\(i \rightarrow j\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(C\)</span> es
una <strong>clase comunicante cerrada</strong>.</p>
<p>En la figura 1, los estados <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ 0,1,2\}\)</span> conforman una clase comunicante
cerrada dado que no hay ningún estado por fuera de la clase que sea
alcanzable desde alguno de los estados en la clase comunicante.</p>
<p><img alt="Figura 1" src="_images/clasEstados1.png" /></p>
</section>
</section>
<section id="cadenas-de-markov-irreducibles">
<h2><span class="section-number">5.2. </span>Cadenas de Markov irreducibles<a class="headerlink" href="#cadenas-de-markov-irreducibles" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<section id="definicion-5-2-1">
<h3><span class="section-number">5.2.1. </span><strong>Definición 5.2.1:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-2-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Una cadena de Markov con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> es <strong>irreducible</strong> si
todos sus estados pertenecen a la misma clase comunicante, en otro caso
se dice que la cadena es reducible.</p>
<p>Además, si la cadena es irreducible la totalidad del espacio de estados
es también una clase comunicante cerrada.</p>
</section>
</section>
<section id="estados-absorbentes-recurrentes-y-transitorios">
<h2><span class="section-number">5.3. </span>Estados absorbentes, recurrentes y transitorios<a class="headerlink" href="#estados-absorbentes-recurrentes-y-transitorios" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<section id="definicion-5-3-1">
<h3><span class="section-number">5.3.1. </span><strong>Definición 5.3.1:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-3-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Un <strong>estado</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span> es <strong>absorbente</strong> si la probabilidad de hacer
una transición de <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> a otro estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j \in S\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(j \neq i\)</span>, es 0.</p>
<p>La identificación de un estado absorbente depende de la temporalidad de
la cadena.</p>
<ul class="simple">
<li><p>En las CMTD el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span> es absorbente si el único elemento
no nulo en la fila correspondiente a <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> en la matriz de
probabilidades de transición a un paso <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span> está en la
diagonal (y en este caso, por obvias razones, será 1). En resumen,
se tendría que <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ii} = 1\)</span>.</p></li>
<li><p>En las CMTC el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span> es absorbente si todos los elementos
de la fila correspondiente a <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> en la matriz de tasas de transición
<span class="math notranslate nohighlight">\(Q\)</span> son iguales a cero.</p></li>
</ul>
<p>Por ejemplo, el estado 6 de la figura 1 es un estado absorbente.</p>
</section>
<section id="definicion-5-3-2">
<h3><span class="section-number">5.3.2. </span><strong>Definición 5.3.2:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-3-2" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Una <strong>cadena de Markov</strong> es <strong>absorbente</strong> si contiene un conjunto de
estados absorbentes <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span>, y para cualquier estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S \smallsetminus A\)</span>, se tiene que <span class="math notranslate nohighlight">\(i \rightarrow j\)</span> para algún
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j \in A\)</span>.</p>
<p>Note que no todas las cadenas que tienen estados absorbentes son cadenas
absorbentes. Por ejemplo, en la cadena que se muestra en la Figura 1, el
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(6\)</span> es absorbente pero no existen caminos entre <span class="math notranslate nohighlight">\(0,\ 1\)</span> o <span class="math notranslate nohighlight">\(2\)</span> y
el estado absorbente, por lo que la cadena no es absorbente.</p>
</section>
<section id="definicion-5-3-3">
<h3><span class="section-number">5.3.3. </span><strong>Definición 5.3.3:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-3-3" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Un estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span> es <strong>recurrente</strong> si la cadena <u>regresa</u>
a <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> con probabilidad<span class="math notranslate nohighlight">\(\ 1\)</span>.</p>
<p>Esto quiere decir que si la cadena empieza en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, siempre va
a regresar al estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> en algún momento (incluso si el número de
transiciones o el tiempo que transcurre antes de que esto pase son muy
grandes). Alternativamente, que un estado sea recurrente también implica
que el número esperado de visitas a ese estado es infinito.</p>
</section>
<section id="definicion-5-3-4">
<h3><span class="section-number">5.3.4. </span><strong>Definición 5.3.4:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-3-4" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Un estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span> es <strong>recurrente positivo</strong> si además de ser
recurrente, el valor esperado del tiempo entre visitas a <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> es finito.</p>
<p>Esta condición es más fuerte que la anterior ya que a un estado
recurrente se podría volver con probabilidad 1, pero el valor esperado
de regreso podría ser infinito. Esto sucede especialmente en cadenas con
espacios de estado infinitos. Por ejemplo, si la cadena representa el
número de personas en una cola, siempre es posible regresar al estado 0
(cola vacía), pero si las personas llegan mucho más rápido de lo que es
posible atenderlas, el tiempo hasta volver a la cola vacía puede ser
infinito, en valor esperado.</p>
</section>
<section id="id1">
<h3><span class="section-number">5.3.5. </span><strong>Definición 5.3.4:</strong><a class="headerlink" href="#id1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Un estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span> es <strong>transitorio</strong> si no es recurrente.</p>
<p>La recurrencia es una propiedad que se comparte en la clase comunicante,
lo que hace más fácil identificar qué estados de una cadena son
recurrentes o transitorios. Además, si una cadena es finita e
irreducible se puede garantizar que todos sus estados son recurrentes.</p>
<p>Adicionalmente, en una cadena absorbente todos los estados que no son
absorbentes son transitorios, y cada estado absorbente es recurrente.</p>
</section>
</section>
<section id="periodo-de-un-estado-en-cmtds">
<h2><span class="section-number">5.4. </span>Periodo de un estado en CMTDs<a class="headerlink" href="#periodo-de-un-estado-en-cmtds" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<section id="definicion-5-4-1">
<h3><span class="section-number">5.4.1. </span><strong>Definición 5.4.1:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-4-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>En una CMTD, el <strong>periodo</strong> de un estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span> es el máximo común
divisor de la longitud (es decir, el número de arcos que contiene) de
todos los posibles caminos de <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> a <span class="math notranslate nohighlight">\(i.\)</span></p>
<p>Ahora, si un estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> tiene periodo <span class="math notranslate nohighlight">\(d\)</span> no significa que la cadena
visita el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> cada <span class="math notranslate nohighlight">\(d\)</span> transiciones, sino que el número de
transiciones entre cada visita a <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> es un múltiplo de <span class="math notranslate nohighlight">\(d\)</span>.</p>
<p>Por ejemplo, en la CMTD representada por la Figura 2 cuando
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda = 1\)</span>, todos los estados tienen periodo 3, pues estando en 1, la
cadena puede volver a 1 en 3, 6, 9, … pasos (y lo mismo para los
estados 2 y 3). Por otro lado, cuando <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda < 1\)</span>, el periodo del
estado 1 es 1, pues para volver a él la cadena puede pasar por 2 y 3, o
ir a 2 y volver directamente, así obtenemos <span class="math notranslate nohighlight">\(MCD(2,3) = 1\)</span>.</p>
<p><img alt="Figura 2" src="_images/clasEstados2.png" /></p>
</section>
<section id="definicion-5-4-2">
<h3><span class="section-number">5.4.2. </span><strong>Definición 5.4.2:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-4-2" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Un estado es <strong>aperiódico</strong> si tiene periodo 1.</p>
<p>Ya que la definición del periodo tiene que ver con el número de
transiciones antes de volver a un estado, el periodo sólo se estudia en
cadenas de Markov de tiempo discreto. Por definición, todos los estados
de una cadena de Markov en tiempo continuo son aperiódicos. Además, al
igual que la comunicación, la periodicidad sólo tiene que ver con la
existencia de una transición (es decir, es de interés revisar las
componentes no nulas de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span>, sin importar la
magnitud).</p>
<p>De forma similar a la recurrencia, el periodo es una propiedad que se
comparte entre clases comunicantes cerradas, lo que simplifica el
cálculo del periodo para todos los estados de una cadena y da pie a la
siguiente definición.</p>
</section>
<section id="definicion-5-4-3">
<h3><span class="section-number">5.4.3. </span><strong>Definición 5.4.3:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-4-3" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Una CMTD es periódica/aperiódica si todos los estados son
periódicos/aperiódicos.</p>
</section>
</section>
<section id="cadenas-ergodicas">
<h2><span class="section-number">5.5. </span>Cadenas ergódicas<a class="headerlink" href="#cadenas-ergodicas" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<section id="definicion-5-5-1">
<h3><span class="section-number">5.5.1. </span><strong>Definición 5.5.1:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-5-5-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<ol class="arabic simple">
<li><p>Una cadena de Markov de tiempo discreto finita es ergódica si es irreducible y aperiódica.</p></li>
<li><p>Una cadena de Markov de tiempo discreto infinita es ergódica si es irreducible, aperiódica y todos sus estados son recurrentes positivos.</p></li>
<li><p>Una cadena de Markov de tiempo continuo finita es ergódica si es irreducible.</p></li>
<li><p>Una cadena de Markov de tiempo continuo infinita es ergódica si es irreducible y todos sus estados son recurrentes positivos.</p></li>
</ol>
<p>Que una cadena sea o no ergódica afecta el tipo de análisis que se puede
hacer sobre el comportamiento del sistema en el largo plazo, como se
mostrará en el siguiente capítulo, y permite determinar propiedades
cualitativas de las distribuciones de la probabilidad de estado en el
tiempo. Por ejemplo, en una cadena ergódica con más de un estado, la
probabilidad de estar en un estado en el largo plazo nunca será 0 ni 1.
En una cadena no ergódica, por ejemplo, absorbente, la probabilidad de
estar en cada estado absorbente en el largo plazo es no-decreciente en
el tiempo.</p>
</section>
</section>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">4. </span>Análisis transitorio de cadenas de Markov</p>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">6. </span>Probabilidades en estado estable</p>
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<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definiciones-preliminares">5.1. Definiciones preliminares</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-1-1">5.1.1. <strong>Definición 5.1.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-1-2">5.1.2. <strong>Definición 5.1.2:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-1-3">5.1.3. <strong>Definición 5.1.3:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-1-4">5.1.4. <strong>Definición 5.1.4:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-1-5">5.1.5. <strong>Definición 5.1.5:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#cadenas-de-markov-irreducibles">5.2. Cadenas de Markov irreducibles</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-2-1">5.2.1. <strong>Definición 5.2.1:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#estados-absorbentes-recurrentes-y-transitorios">5.3. Estados absorbentes, recurrentes y transitorios</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-3-1">5.3.1. <strong>Definición 5.3.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-3-2">5.3.2. <strong>Definición 5.3.2:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-3-3">5.3.3. <strong>Definición 5.3.3:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-3-4">5.3.4. <strong>Definición 5.3.4:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id1">5.3.5. <strong>Definición 5.3.4:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#periodo-de-un-estado-en-cmtds">5.4. Periodo de un estado en CMTDs</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-4-1">5.4.1. <strong>Definición 5.4.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-4-2">5.4.2. <strong>Definición 5.4.2:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-4-3">5.4.3. <strong>Definición 5.4.3:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#cadenas-ergodicas">5.5. Cadenas ergódicas</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-5-5-1">5.5.1. <strong>Definición 5.5.1:</strong></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
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<p class="component-author">
By The Jupyter Book Community
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<p class="copyright">
© Copyright 2022.
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