-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
Expand file tree
/
Copy pathchapter4.html
More file actions
945 lines (787 loc) · 51.3 KB
/
chapter4.html
File metadata and controls
945 lines (787 loc) · 51.3 KB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
<!DOCTYPE html>
<html lang="en" >
<head>
<meta charset="utf-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" /><meta name="generator" content="Docutils 0.18.1: http://docutils.sourceforge.net/" />
<title>4. Análisis transitorio de cadenas de Markov — My sample book</title>
<script data-cfasync="false">
document.documentElement.dataset.mode = localStorage.getItem("mode") || "";
document.documentElement.dataset.theme = localStorage.getItem("theme") || "light";
</script>
<!-- Loaded before other Sphinx assets -->
<link href="_static/styles/theme.css?digest=e353d410970836974a52" rel="stylesheet" />
<link href="_static/styles/bootstrap.css?digest=e353d410970836974a52" rel="stylesheet" />
<link href="_static/styles/pydata-sphinx-theme.css?digest=e353d410970836974a52" rel="stylesheet" />
<link href="_static/vendor/fontawesome/6.1.2/css/all.min.css?digest=e353d410970836974a52" rel="stylesheet" />
<link rel="preload" as="font" type="font/woff2" crossorigin href="_static/vendor/fontawesome/6.1.2/webfonts/fa-solid-900.woff2" />
<link rel="preload" as="font" type="font/woff2" crossorigin href="_static/vendor/fontawesome/6.1.2/webfonts/fa-brands-400.woff2" />
<link rel="preload" as="font" type="font/woff2" crossorigin href="_static/vendor/fontawesome/6.1.2/webfonts/fa-regular-400.woff2" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/pygments.css" />
<link rel="stylesheet" href="_static/styles/sphinx-book-theme.css?digest=14f4ca6b54d191a8c7657f6c759bf11a5fb86285" type="text/css" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/togglebutton.css" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/copybutton.css" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/mystnb.4510f1fc1dee50b3e5859aac5469c37c29e427902b24a333a5f9fcb2f0b3ac41.css" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/sphinx-thebe.css" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/design-style.4045f2051d55cab465a707391d5b2007.min.css" />
<!-- Pre-loaded scripts that we'll load fully later -->
<link rel="preload" as="script" href="_static/scripts/bootstrap.js?digest=e353d410970836974a52" />
<link rel="preload" as="script" href="_static/scripts/pydata-sphinx-theme.js?digest=e353d410970836974a52" />
<script data-url_root="./" id="documentation_options" src="_static/documentation_options.js"></script>
<script src="_static/jquery.js"></script>
<script src="_static/underscore.js"></script>
<script src="_static/_sphinx_javascript_frameworks_compat.js"></script>
<script src="_static/doctools.js"></script>
<script src="_static/clipboard.min.js"></script>
<script src="_static/copybutton.js"></script>
<script src="_static/scripts/sphinx-book-theme.js?digest=5a5c038af52cf7bc1a1ec88eea08e6366ee68824"></script>
<script>let toggleHintShow = 'Click to show';</script>
<script>let toggleHintHide = 'Click to hide';</script>
<script>let toggleOpenOnPrint = 'true';</script>
<script src="_static/togglebutton.js"></script>
<script>var togglebuttonSelector = '.toggle, .admonition.dropdown';</script>
<script src="_static/design-tabs.js"></script>
<script>const THEBE_JS_URL = "https://unpkg.com/thebe@0.8.2/lib/index.js"
const thebe_selector = ".thebe,.cell"
const thebe_selector_input = "pre"
const thebe_selector_output = ".output, .cell_output"
</script>
<script async="async" src="_static/sphinx-thebe.js"></script>
<script>window.MathJax = {"options": {"processHtmlClass": "tex2jax_process|mathjax_process|math|output_area"}}</script>
<script defer="defer" src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
<script>DOCUMENTATION_OPTIONS.pagename = 'chapter4';</script>
<link rel="index" title="Index" href="genindex.html" />
<link rel="search" title="Search" href="search.html" />
<link rel="next" title="5. Clasificación de estados" href="chapter5.html" />
<link rel="prev" title="3. Cadenas de Markov" href="chapter3.html" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"/>
<meta name="docsearch:language" content="en"/>
</head>
<body data-bs-spy="scroll" data-bs-target=".bd-toc-nav" data-offset="180" data-bs-root-margin="0px 0px -60%" data-default-mode="">
<a class="skip-link" href="#main-content">Skip to main content</a>
<input type="checkbox"
class="sidebar-toggle"
name="__primary"
id="__primary"/>
<label class="overlay overlay-primary" for="__primary"></label>
<input type="checkbox"
class="sidebar-toggle"
name="__secondary"
id="__secondary"/>
<label class="overlay overlay-secondary" for="__secondary"></label>
<div class="search-button__wrapper">
<div class="search-button__overlay"></div>
<div class="search-button__search-container">
<form class="bd-search d-flex align-items-center"
action="search.html"
method="get">
<i class="fa-solid fa-magnifying-glass"></i>
<input type="search"
class="form-control"
name="q"
id="search-input"
placeholder="Search this book..."
aria-label="Search this book..."
autocomplete="off"
autocorrect="off"
autocapitalize="off"
spellcheck="false"/>
<span class="search-button__kbd-shortcut"><kbd class="kbd-shortcut__modifier">Ctrl</kbd>+<kbd>K</kbd></span>
</form></div>
</div>
<nav class="bd-header navbar navbar-expand-lg bd-navbar">
</nav>
<div class="bd-container">
<div class="bd-container__inner bd-page-width">
<div class="bd-sidebar-primary bd-sidebar">
<div class="sidebar-header-items sidebar-primary__section">
</div>
<div class="sidebar-primary-items__start sidebar-primary__section">
<div class="sidebar-primary-item">
<a class="navbar-brand logo" href="intro.html">
<img src="_static/logo.png" class="logo__image only-light" alt="Logo image"/>
<script>document.write(`<img src="_static/logo.png" class="logo__image only-dark" alt="Logo image"/>`);</script>
</a></div>
<div class="sidebar-primary-item"><nav class="bd-links" id="bd-docs-nav" aria-label="Main">
<div class="bd-toc-item navbar-nav active">
<ul class="nav bd-sidenav bd-sidenav__home-link">
<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
</nav></div>
</div>
<div class="sidebar-primary-items__end sidebar-primary__section">
</div>
<div id="rtd-footer-container"></div>
</div>
<main id="main-content" class="bd-main">
<div class="sbt-scroll-pixel-helper"></div>
<div class="bd-content">
<div class="bd-article-container">
<div class="bd-header-article">
<div class="header-article-items header-article__inner">
<div class="header-article-items__start">
<div class="header-article-item"><label class="sidebar-toggle primary-toggle btn btn-sm" for="__primary" title="Toggle primary sidebar" data-bs-placement="bottom" data-bs-toggle="tooltip">
<span class="fa-solid fa-bars"></span>
</label></div>
</div>
<div class="header-article-items__end">
<div class="header-article-item">
<div class="article-header-buttons">
<div class="dropdown dropdown-source-buttons">
<button class="btn dropdown-toggle" type="button" data-bs-toggle="dropdown" aria-expanded="false" aria-label="Source repositories">
<i class="fab fa-github"></i>
</button>
<ul class="dropdown-menu">
<li><a href="https://github.com/executablebooks/jupyter-book" target="_blank"
class="btn btn-sm btn-source-repository-button dropdown-item"
title="Source repository"
data-bs-placement="left" data-bs-toggle="tooltip"
>
<span class="btn__icon-container">
<i class="fab fa-github"></i>
</span>
<span class="btn__text-container">Repository</span>
</a>
</li>
<li><a href="https://github.com/executablebooks/jupyter-book/issues/new?title=Issue%20on%20page%20%2Fchapter4.html&body=Your%20issue%20content%20here." target="_blank"
class="btn btn-sm btn-source-issues-button dropdown-item"
title="Open an issue"
data-bs-placement="left" data-bs-toggle="tooltip"
>
<span class="btn__icon-container">
<i class="fas fa-lightbulb"></i>
</span>
<span class="btn__text-container">Open issue</span>
</a>
</li>
</ul>
</div>
<div class="dropdown dropdown-download-buttons">
<button class="btn dropdown-toggle" type="button" data-bs-toggle="dropdown" aria-expanded="false" aria-label="Download this page">
<i class="fas fa-download"></i>
</button>
<ul class="dropdown-menu">
<li><a href="_sources/chapter4.md" target="_blank"
class="btn btn-sm btn-download-source-button dropdown-item"
title="Download source file"
data-bs-placement="left" data-bs-toggle="tooltip"
>
<span class="btn__icon-container">
<i class="fas fa-file"></i>
</span>
<span class="btn__text-container">.md</span>
</a>
</li>
<li>
<button onclick="window.print()"
class="btn btn-sm btn-download-pdf-button dropdown-item"
title="Print to PDF"
data-bs-placement="left" data-bs-toggle="tooltip"
>
<span class="btn__icon-container">
<i class="fas fa-file-pdf"></i>
</span>
<span class="btn__text-container">.pdf</span>
</button>
</li>
</ul>
</div>
<button onclick="toggleFullScreen()"
class="btn btn-sm btn-fullscreen-button"
title="Fullscreen mode"
data-bs-placement="bottom" data-bs-toggle="tooltip"
>
<span class="btn__icon-container">
<i class="fas fa-expand"></i>
</span>
</button>
<script>
document.write(`
<button class="theme-switch-button btn btn-sm btn-outline-primary navbar-btn rounded-circle" title="light/dark" aria-label="light/dark" data-bs-placement="bottom" data-bs-toggle="tooltip">
<span class="theme-switch" data-mode="light"><i class="fa-solid fa-sun"></i></span>
<span class="theme-switch" data-mode="dark"><i class="fa-solid fa-moon"></i></span>
<span class="theme-switch" data-mode="auto"><i class="fa-solid fa-circle-half-stroke"></i></span>
</button>
`);
</script>
<script>
document.write(`
<button class="btn btn-sm navbar-btn search-button search-button__button" title="Search" aria-label="Search" data-bs-placement="bottom" data-bs-toggle="tooltip">
<i class="fa-solid fa-magnifying-glass"></i>
</button>
`);
</script>
<label class="sidebar-toggle secondary-toggle btn btn-sm" for="__secondary"title="Toggle secondary sidebar" data-bs-placement="bottom" data-bs-toggle="tooltip">
<span class="fa-solid fa-list"></span>
</label>
</div></div>
</div>
</div>
</div>
<div id="jb-print-docs-body" class="onlyprint">
<h1>Análisis transitorio de cadenas de Markov</h1>
<!-- Table of contents -->
<div id="print-main-content">
<div id="jb-print-toc">
<div>
<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">4.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#analisis-transitorio-de-cadenas-de-markov-en-tiempo-discreto">4.2. Análisis transitorio de cadenas de Markov en tiempo discreto</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-1">4.2.1. Ejercicio 1</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-2">4.2.2. Ejercicio 2</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-3">4.2.3. Ejercicio 3</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#analisis-transitorio-de-cadenas-de-markov-en-tiempo-continuo">4.3. Análisis transitorio de cadenas de Markov en tiempo continuo</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-4">4.3.1. Ejercicio 4</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-5">4.3.2. Ejercicio 5</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="analisis-transitorio-de-cadenas-de-markov">
<h1><span class="section-number">4. </span>Análisis transitorio de cadenas de Markov<a class="headerlink" href="#analisis-transitorio-de-cadenas-de-markov" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este documento se explican los fundamentos matemáticos del análisis
transitorio de las cadenas de Markov en tiempo discreto y continuo. A
partir de algunos casos de modelos de sistemas, se presentan los
resultados del análisis transitorio que permiten cuantificar indicadores
sobre el rendimiento del sistema.</p>
<section id="introduccion">
<h2><span class="section-number">4.1. </span>Introducción<a class="headerlink" href="#introduccion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Definir un modelo de un sistema cumple generalmente con múltiples
objetivos. El proceso mismo de modelado es una actividad de la que
normalmente surgen preguntas relevantes sobre varios aspectos del
sistema de interés, y que permite profundizar en su funcionamiento.
Modelar un sistema permite la caracterización de muchos elementos
cualitativos y cuantitativos para responder diferentes preguntas de
interés sobre su desempeño.</p>
<p>Los modelos de cadenas de Markov son modelos dinámicos, en el sentido
que incorporan de forma natural la dimensión temporal de la evolución,
por lo cual es pertinente querer contestar preguntas que hacen
referencia a estados futuros del sistema. Por la propiedad de no memoria
de las cadenas de Markov (sea en tiempo discreto o en tiempo continuo),
el conocimiento de un estado inicial y las probabilidades de transición
a un paso es suficiente para poder determinar las distribuciones de
probabilidad de estado en tiempos futuros.</p>
<p>Hay dos distintos tipos de análisis a realizar para modelos dinámicos de
sistemas, utilizando cadenas de Markov:</p>
<ul class="simple">
<li><p>El análisis <em>transitorio</em> (también se dice <em>en el transitorio</em>, en
inglés <em>transient analysis</em>), que busca determinar el estado del
sistema en un punto (o en una secuencia de puntos) determinado en el
tiempo.</p></li>
<li><p>El análisis en el largo plazo, que pretende determinar el estado que
el sistema alcanza después de un tiempo muy largo, más precisamente
cuando el tiempo tiende al infinito.</p></li>
</ul>
<p>En este documento nos concentramos en el análisis transitorio de cadenas
de Markov.</p>
</section>
<section id="analisis-transitorio-de-cadenas-de-markov-en-tiempo-discreto">
<h2><span class="section-number">4.2. </span>Análisis transitorio de cadenas de Markov en tiempo discreto<a class="headerlink" href="#analisis-transitorio-de-cadenas-de-markov-en-tiempo-discreto" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Consideramos una cadena de Markov en tiempo discreto (CMTD)
<span class="math notranslate nohighlight">\(\{ Z_{n},\ n \geq 0\}\)</span>, con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> y matriz de
probabilidades de transición a un paso <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span>.</p>
<p>Como ya se explicó en lecturas anteriores, la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span> es una
matriz de probabilidades condicionales, que permite conocer la
probabilidad de alcanzar un estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en un paso, dado que el estado
actual de la cadena de Markov es el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>. En una fórmula:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij} = P\left\lbrack Z_{n + 1} = j \middle| Z_{n} = i \right\rbrack\)</span>.</p>
<p>Recuerde que, por la propiedad de homogeneidad, el que aparezca en la
fórmula anterior el índice <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> no quiere decir que la probabilidad sea
definida para un paso específico de la evolución. Los elementos de la
matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span> proporcionan directamente una manera de calcular la
distribución de probabilidad del estado de la cadena en el futuro.</p>
<div class="warning admonition">
<p class="admonition-title">Nota</p>
<p>El elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j\)</span> de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span> de una CMTD es la
probabilidad de que el proceso en la próxima observación se encuentre en
el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> dado que en la observación actual se encuentra en el
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>. Es importante recordar que el índice de la <strong>fila</strong> es el
índice que identifica la observación actual, y la <strong>columna</strong> la
observación futura.</p>
</div>
<p>Puede que el estado inicial (o actual) de la CMTD no sea conocido con
certeza, pero se conozca la distribución de probabilidad. En otras
palabras, se conoce, por cada estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span>, la probabilidad
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\lbrack Z_{0} = i\rbrack\)</span>. Llamamos a esta probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(\alpha_{i}\)</span>,
y denotamos con <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha}\)</span> el vector que proporciona la
probabilidad de que el proceso se encuentre en los estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>, lo que
se llama distribución de probabilidad de estado (en inglés <em>state
probability distribution</em>), en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(n = 0\)</span>.</p>
<p>A partir del vector de distribución de probabilidad de estado en el
tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(0\)</span>, es posible calcular el vector de distribución de
probabilidad de estado en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(1\ \)</span>(que denotamos con
<span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{1})\)</span> a través del siguiente producto:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\overrightarrow{\pi}}^{1} = \overrightarrow{\alpha} \bullet P.\]</div>
<p>El resultado de la multiplicación entre el vector
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha}\ \)</span>y la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(P\)</span> es otro vector de
probabilidades, <span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{1}\)</span>, el cual proporciona la
distribución de probabilidad de estado al paso 1. De la misma manera,
cuando se conozca la distribución de probabilidad de estado en el paso
<span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>, es posible calcular la distribución de probabilidad de estado en el
paso <span class="math notranslate nohighlight">\(n + 1\)</span>, como sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\overrightarrow{\pi}}^{n + 1} = {\overrightarrow{\pi}}^{n} \bullet P.\]</div>
<section id="ejercicio-1">
<h3><span class="section-number">4.2.1. </span>Ejercicio 1<a class="headerlink" href="#ejercicio-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejercicio 1</p>
<p>Consideramos la CMTD <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ Z_{n},\ n \geq 0\}\)</span> con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S = \{ A,B,C\}\)</span>, cuya matriz de transición
de probabilidad a un paso <span class="math notranslate nohighlight">\(P\)</span> y diagrama de transición de estados, son los siguientes:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
1-p & p & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p><img alt="Diagrama Ejercicio 1" src="_images/ATrans1.png" /></p>
<p>Supongamos que la cadena se encuentre en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span> en el paso (u observación) <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>, y determinamos la
probabilidad de que se encuentre en cada uno de los estados de <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> en el paso <span class="math notranslate nohighlight">\(n + 1\)</span>. De un análisis
directo del diagrama de transición se obtiene que:</p>
<ul class="simple">
<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack Z_{n + 1} = A \middle| Z_{n} = A \right\rbrack = 1 - p\)</span> la cadena recicla en A</p></li>
<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack Z_{n + 1} = B \middle| Z_{n} = A \right\rbrack = p\)</span> la cadena transita de A a B</p></li>
<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack Z_{n + 1} = C \middle| Z_{n} = A \right\rbrack = 0\)</span> no es posible alcanzar C en un solo paso</p></li>
</ul>
<p>Estas probabilidades corresponden a los tres elementos de la primera fila de la matriz de transición <span class="math notranslate nohighlight">\(P\)</span>, y se
encuentran en la primera fila porque el estado inicial (el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span>) es el primero en el orden.</p>
<p>El vector inicial de distribución de probabilidad de estado en este ejemplo corresponde a <span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{n} = (1,0,0)\)</span>,
el vector que asigna probabilidad 1 al primer estado (<span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span>) y 0 a los demás, ya que en este caso el estado inicial es conocido.</p>
<p>Si calculamos el producto <span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{n} \bullet P\)</span> obtenemos:</p>
<p>$<span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{n} \bullet P = (1,0,0) \bullet \begin{bmatrix}
1-p & p & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
= (1-p, p, 0) = \overrightarrow{\pi}^{n+1}\)</span></p>
<p>O sea, el producto <span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{n} \bullet P\)</span> selecciona las probabilidades de la primera fila de la
matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(P\)</span>, tal como obtuvimos al calcular la distribución de probabilidad de estado directamente a partir del
diagrama de transición.</p>
</div>
</section>
<section id="ejercicio-2">
<h3><span class="section-number">4.2.2. </span>Ejercicio 2<a class="headerlink" href="#ejercicio-2" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejercicio 2</p>
<p>Para la misma CMTD del ejemplo anterior, consideremos ahora que en el paso <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>, la cadena puede ocupar cualquier estado de
<span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> con igual probabilidad, y calculamos la distribución de probabilidad de estado en el paso <span class="math notranslate nohighlight">\(n + 1\)</span>. Observamos que la
suposición de una distribución de probabilidad de estado uniforme es común cuando no se pueda hacer ninguna predicción
sensata acerca del estado real del proceso estocástico. Para la distribución inicial <span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{n} = \left( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right)\)</span>,
el cálculo a través del producto con la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(P\)</span> nos permite obtener:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{n} \bullet P = \left( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\ \frac{1}{3} \right) \bullet \ \begin{bmatrix}
1 - p & p & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} = \left( \frac{1}{3}(1 - p) + \frac{1}{3} ,\frac{1}{3}p,\frac{1}{3} \right) = {\overrightarrow{\pi}}^{n + 1}\)</span></p>
<p>Observamos que llevar a cabo este cálculo por inspección directa del diagrama de transición es mucho más laborioso que a través
de su forma matricial, ya que se necesita sumar todas las probabilidades de todas las posibles evoluciones del modelo que llevan
a cada estado. Por ejemplo, para el primer elemento <span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}_{A}^{n + 1}\)</span> del vector, se suma la probabilidad
de dos evoluciones:</p>
<ul class="simple">
<li><p>La probabilidad de que la cadena empiece en <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span> (prob. <span class="math notranslate nohighlight">\(1/3\)</span>) y que no transite a <span class="math notranslate nohighlight">\(B\)</span> (prob. <span class="math notranslate nohighlight">\(1 - p\)</span>);</p></li>
<li><p>La probabilidad de que empiece en <span class="math notranslate nohighlight">\(C\)</span> (prob. <span class="math notranslate nohighlight">\(1/3\)</span>) y transite a <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span> (prob. <span class="math notranslate nohighlight">\(1\)</span>)</p></li>
</ul>
<p>Además, el cálculo a partir de la forma algébrica puede ser fácilmente automatizado en una herramienta computacional.</p>
</div>
<p>La predicción que podemos determinar con la fórmula
<span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{n + 1} = {\overrightarrow{\pi}}^{n} \bullet P\)</span>
es extensible en el tiempo. Si consideramos el vector
<span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{n + 1}\)</span> como una nueva distribución inicial de
probabilidad de estado, podemos determinar la distribución de
probabilidad de estado en la observación <span class="math notranslate nohighlight">\(n + 2\)</span> usando la misma
fórmula:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\overrightarrow{\pi}}^{n + 2} = {\overrightarrow{\pi}}^{n + 1} \bullet P.\]</div>
<p>Entonces podemos obtener:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\overrightarrow{\pi}}^{n + 2} = {\overrightarrow{\pi}}^{n + 1} \bullet P = \left( {\overrightarrow{\pi}}^{n} \bullet P \right) \bullet P = {\overrightarrow{\pi}}^{n} \bullet (P \bullet P) = {\overrightarrow{\pi}}^{n} \bullet P^{2}.\]</div>
<p>Y en general:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\overrightarrow{\pi}}^{n + m} = {\overrightarrow{\pi}}^{n} \bullet P^{m}.\]</div>
<p>A través de las potencias de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(P\)</span> y de una distribución inicial
es por ende posible determinar la distribución de probabilidad de estado
para cualquier índice en el futuro. Las potencias de la matriz P son
todavía matrices de probabilidad condicionales (y por lo tanto la suma
de los elementos de cada una de sus filas es 1). <u>El
elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j\)</span> de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(P^{m}\)</span> de una
CMTD es la probabilidad de que el proceso, después de <span class="math notranslate nohighlight">\(m\)</span>
pasos de evolución, se encuentre en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> dado
que su estado inicial era el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> .</u></p>
<p>La última expresión que se proporciona es la base para el análisis
transitorio de las cadenas de Markov de tiempo discreto, ya que permite
obtener la distribución de probabilidad de estado para cualquier índice
en el futuro del proceso.</p>
<p>Desde un punto de vista estrictamente matemático, es igual calcular la
distribución de la probabilidad de estado en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(m\)</span>,
<span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{m}\)</span>, a partir de aquella inicial
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha}\)</span> con la fórmula
<span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{m} = \overrightarrow{\alpha} \bullet P^{m}\)</span>, o
calcular toda la secuencia de distribuciones
<span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{1},\ {\overrightarrow{\pi}}^{2},\ \ldots,\ {\overrightarrow{\pi}}^{m}\)</span>
multiplicando cada vez el vector por la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(P\)</span> en un proceso
iterativo. Por el contrario, dependiendo del valor del <span class="math notranslate nohighlight">\(m\)</span> y de la
cardinalidad del espacio <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>, una forma puede resultar mucho más
eficiente que la otra en términos del tiempo de cálculo necesario.</p>
</section>
<section id="ejercicio-3">
<h3><span class="section-number">4.2.3. </span>Ejercicio 3<a class="headerlink" href="#ejercicio-3" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejercicio 3</p>
<p>En una línea de producción de gaseosas existen dos máquinas embotelladoras idénticas, cada una con capacidad para
embotellar 2,000 botellas/hora de funcionamiento. Cada máquina puede sufrir problemas mecánicos, por lo cual cada
hora con probabilidad de 0.1 se daña. Si la máquina se daña, podrá ser reparada solo en la noche, cuando la línea
termina su actividad. La producción empieza a las 6AM, y termina a las 5PM. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas
máquinas paren en un día? ¿Cuál es el número promedio de botellas procesadas en un día en la línea?</p>
<p>Para la primera pregunta dado que:</p>
<ul class="simple">
<li><p>Las máquinas son idénticas</p></li>
<li><p>Las máquinas son independientes</p></li>
<li><p>Cuando una máquina para no es reparada en el día</p></li>
</ul>
<p>Es posible estudiar el comportamiento de una de ellas, y la probabilidad de que ambas máquinas paren en un día será el cuadrado |
de la probabilidad de que una de las máquinas pare.</p>
<p>Definimos la cadena de Markov en tiempo discreto
<span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X_{n},\ 0 \leq n \leq 11\}\)</span>, donde <span class="math notranslate nohighlight">\(X_{n}\)</span> es el estado de la
máquina en la hora <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>-ésima. El espacio de estados es
<span class="math notranslate nohighlight">\(S = \left\{ \text{OK},\ \text{DOWN} \right\},\ \)</span>considerando que
cada máquina puede estar operativa (OK), o no (DOWN). La matriz de
probabilidades de transición a un paso es la siguiente:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(P = \begin{bmatrix}
1 - p & p \\
0 & 1
\end{bmatrix}\)</span></p>
<p>La distribución inicial de probabilidad es
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha} = (1,0)\)</span>, ya que la máquina empieza el día
funcionando. La probabilidad de que la máquina pare en el día es la
probabilidad de que a la hora 5PM (la hora 11 desde el inicio de la
operación a las 6AM) la máquina se encuentre en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(DOWN\)</span>, lo
cual podemos calcular a través de la distribución:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\overrightarrow{\pi}}^{11} = \overrightarrow{\alpha}P^{11} = \left( {(1 - p)}^{11},\ 1 - (1 - p)^{11} \right),\]</div>
<p>seleccionando la segunda componente del vector (la que corresponde al
estado de interés, <span class="math notranslate nohighlight">\(DOWN\)</span>), se tiene que la probabilidad solicitada
es de <span class="math notranslate nohighlight">\(1 - (1 - p)^{11}\sim 0.68\)</span>. Por ende, la probabilidad de que
ambas máquinas paren es aproximadamente igual a <span class="math notranslate nohighlight">\(0.47\)</span>.</p>
<p>Para calcular el número promedio de botellas procesadas en un día en
la línea de producción, podemos multiplicar por 2 el número de
botellas procesadas en promedio por cada máquina, lo cual será dado
por el producto entre el número promedio de horas de funcionamiento
de la máquina en un día y el número de botellas embotelladas por
hora. El número promedio de horas de funcionamiento, que denotamos
con <span class="math notranslate nohighlight">\(N\)</span>, se puede calcular a partir de la distribución de
probabilidad de estado, de la siguiente manera:</p>
<ul class="simple">
<li><p>En la primera hora, la máquina trabaja 1 hora con probabilidad 1
(la primera componente del vector <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha}\)</span>)</p></li>
<li><p>En la segunda hora, la máquina trabaja 1 hora con una
probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(1 - p\)</span> (la primera componente del vector
<span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{1}\)</span>)</p></li>
<li><p>En la hora <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>-ésima, hasta <span class="math notranslate nohighlight">\(i = 12\)</span>, la máquina trabaja 1 hora
con una probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\({(1 - p)}^{i - 1}\)</span> (la primera componente
del vector <span class="math notranslate nohighlight">\({\overrightarrow{\pi}}^{i - 1}\)</span>)</p></li>
</ul>
<p>Para calcular <span class="math notranslate nohighlight">\(N\)</span> sumamos todas las contribuciones, obteniendo:
<span class="math notranslate nohighlight">\(N = \sum_{j = 0
}^{11}{(1 - p)}^{j} = \frac{1 - {(1 - p)}^{12}}{p}\sim 7.17\ horas,\)</span></p>
<p>donde la última igualdad se obtiene de las propiedades de las series
geométricas. Entonces, el número promedio de botellas producidas es
<span class="math notranslate nohighlight">\(7.17 \times 2,000 = 14,340\)</span>, por cada máquina, y <span class="math notranslate nohighlight">\(28,680\)</span> en la
línea, por día.</p>
</div>
</section>
</section>
<section id="analisis-transitorio-de-cadenas-de-markov-en-tiempo-continuo">
<h2><span class="section-number">4.3. </span>Análisis transitorio de cadenas de Markov en tiempo continuo<a class="headerlink" href="#analisis-transitorio-de-cadenas-de-markov-en-tiempo-continuo" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Consideramos una cadena de Markov en tiempo continuo (o CMTC)
<span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X(t),t \geq 0\}\)</span>, con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> y matriz de tasas de
transición (también llamada matriz generadora) <span class="math notranslate nohighlight">\(Q\)</span>.</p>
<p>A diferencia del caso discreto, la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(Q\)</span> no es una matriz de
probabilidades condicionales, sino de tasas. Es posible calcular la
probabilidad de alcanzar cualquier estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en un intervalo de tiempo
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lbrack 0,t\rbrack\ \)</span>dado que el estado de la cadena de Markov al
tiempo 0 es el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, es decir, calcular la probabilidad
condicional</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack X(t) = j \middle| X(0) = i \right\rbrack.\]</div>
<p>Observamos que la probabilidad condicional arriba es una función
continua del tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>, por ende, el análisis necesita utilizar las
técnicas del análisis del continuo, es decir límites y derivadas.</p>
<p>Las tasas de transición en la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(Q\)</span> corresponden a probabilidades
cuando el intervalo de tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(\lbrack 0,t\rbrack\)</span> es muy pequeño. Es
decir, si consideramos un tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(\delta\)</span> cercano a 0, tendremos que</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack X(\delta) = j \middle| X(0) = i \right\rbrack\sim\delta q_{ij}\]</div>
<p>Esta propiedad, que no demostraremos, se obtiene por las distribuciones
exponenciales de los tiempos de permanencia en los estados en las CMTC.
Recuerde que, por la homogeneidad del proceso, el hecho que en la
fórmula de arriba aparezcan valores específicos de los tiempos (en este
caso 0 y <span class="math notranslate nohighlight">\(\delta\)</span>) no quiere decir que esta relación solo sea válida
para esa ventana especifica de la evolución del proceso.</p>
<p>De esta forma y análogamente al caso discreto, tendremos que, si
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}(0)\)</span> es el vector de la distribución de
probabilidad de estado en el tiempo 0, la distribución de probabilidad
de estado en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(\delta\)</span> será aproximadamente</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\overrightarrow{\pi}(\delta)\sim\overrightarrow{\pi}(0)Q\delta \Rightarrow \frac{\overrightarrow{\pi}(\delta)}{\delta}\sim\overrightarrow{\pi}(0)Q.\]</div>
<p>Cuando se considere el límite cuando <span class="math notranslate nohighlight">\(\delta \rightarrow 0^{+}\)</span>, la
aproximación arriba se vuelve exacta, como sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}{\frac{\overrightarrow{\pi}(\delta)}{\delta} = \overrightarrow{\pi}(0)Q}.\]</div>
<p>Ahora bien, observamos que el límite en la parte izquierda de la
ecuación de arriba es exactamente la derivada de la función del tiempo
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}(\delta)\)</span>, por lo cual obtenemos que</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\frac{d}{d\delta}\overrightarrow{\pi}(\delta) = \overrightarrow{\pi}(0)Q\]</div>
<p>Esta ecuación está representando un conjunto de ecuaciones diferenciales
lineales. Existe una ecuación por cada estado de la cadena de Markov en
tiempo continuo, cuya solución es una función del tiempo que describe la
probabilidad condicional de que el proceso ocupe el estado dado que
empezó como especifica <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}(0)\)</span>. Por la forma de la
ecuación diferencial (nótese que la función incógnita
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}( \bullet )\)</span> aparece en ambos lados), la solución
involucra funciones exponenciales. Más precisamente, es posible
demostrar que</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\overrightarrow{\pi}(t) = \overrightarrow{\pi}(0)e^{Qt},\]</div>
<p>donde <span class="math notranslate nohighlight">\(e^{Qt}\)</span> es el exponencial de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(Qt\)</span>. El exponencial de
una matriz A se define como</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[e^{A} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!}.\]</div>
<p>Entonces, el análisis transitorio de las cadenas de Markov de tiempo
continuo se realiza a través del cálculo del exponencial de la matriz de
tasas <span class="math notranslate nohighlight">\(Q\)</span>. Este cálculo es muy laborioso y solo puede ser llevado a cabo
(excepto en casos muy particulares) por herramientas computacionales.</p>
<section id="ejercicio-4">
<h3><span class="section-number">4.3.1. </span>Ejercicio 4<a class="headerlink" href="#ejercicio-4" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejercicio 4</p>
<p>Consideramos la CMTC <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X(t),\ n \geq 0\}\)</span> con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S = \{ 1,2,3\}\)</span>,
cuya matriz de tasas de transición es la siguiente:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(Q = \begin{bmatrix}
-\alpha -\beta & \alpha & \beta \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)</span></p>
<p>El diagrama de transición de esta cadena se ilustra en la siguiente figura:
<img alt="Diagrama Ejercicio 4" src="_images/ATrans2.png" /></p>
<p>Para esta cadena, es muy sencillo determinar la evolución en el
transitorio. Supongamos que la distribución de probabilidad de estado
inicial sea <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}(0) = (1,0,0)\)</span>, o sea el proceso
empieza en el estado 1. Entonces se obtiene:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\overrightarrow{\pi}(t) = (e^{- (\alpha + \beta)t},\frac{\alpha}{\alpha + \beta}\left( 1 - e^{- (\alpha + \beta)t} \right),\frac{
\beta}{\alpha + \beta}\left( 1 - e^{- (\alpha + \beta)t} \right)\ )\]</div>
<p>La primera componente es la probabilidad de que ninguna de las dos
transiciones con distribución exponencial haya ocurrido hasta el
tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>; la segunda es la probabilidad de que la primera
transición que ocurra sea aquella de tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\alpha\)</span> y que la
transición ocurra antes del tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>; la tercera es la probabilidad
de que la primera transición que ocurra sea aquella de tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\beta\)</span> y
que la transición ocurra antes del tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>. Notamos que aquí se
utilizan las propiedades de las distribuciones exponenciales, en
particular la distribución del mínimo entre exponenciales y la
probabilidad de que una exponencial sea menor que otra. En este caso
sencillo, el exponencial de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(Qt\)</span> es la siguiente matriz:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(e^{Qt} = \begin{bmatrix}
e^{- (\alpha + \beta)t} & \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\left( 1 - e^{- (\alpha + \beta)t} \right) & \frac{\beta}{\alpha + \beta}\left( 1 - e^{- (\alpha + \beta)t} \right) \\ |
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\)</span></p>
<p>Observamos que la primera fila de la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(e^{Qt}\)</span> es igual al
vector <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}(t)\)</span>, y las demás solo contienen un 1 en
la diagonal. Si el vector inicial fuese
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}(0) = (0,1,0)\)</span>, o sea si el proceso empezara en
el estado 2, el producto <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}(0)e^{Qt}\)</span> nos daría el
vector <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}(t) = (0,1,0)\)</span>, es decir la distribución
de probabilidad de estado no cambiaría.</p>
</div>
</section>
<section id="ejercicio-5">
<h3><span class="section-number">4.3.2. </span>Ejercicio 5<a class="headerlink" href="#ejercicio-5" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejercicio 5</p>
<p>Consideramos ahora la CMTC <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X(t),\ t \geq 0\}\)</span> con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S = \{ 1,2,3\}\)</span>,
cuya matriz de tasas transición es la siguiente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}Q = \ \begin{bmatrix}
- \alpha - \beta & \alpha & \beta \\
\gamma & - \gamma & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>El diagrama de transición de esta cadena se ilustra en la siguiente figura:</p>
<p><img alt="Diagrama Ejercicio 5" src="_images/ATrans3.png" /></p>
<p>Por ende, el análisis no es sencillo como en el caso anterior, y
resulta practico utilizar algún software para dicho calculo</p>
</div>
</section>
</section>
</section>
<script type="text/x-thebe-config">
{
requestKernel: true,
binderOptions: {
repo: "binder-examples/jupyter-stacks-datascience",
ref: "master",
},
codeMirrorConfig: {
theme: "abcdef",
mode: "python"
},
kernelOptions: {
name: "python3",
path: "./."
},
predefinedOutput: true
}
</script>
<script>kernelName = 'python3'</script>
</article>
<footer class="bd-footer-article">
<div class="footer-article-items footer-article__inner">
<div class="footer-article-item"><!-- Previous / next buttons -->
<div class="prev-next-area">
<a class="left-prev"
href="chapter3.html"
title="previous page">
<i class="fa-solid fa-angle-left"></i>
<div class="prev-next-info">
<p class="prev-next-subtitle">previous</p>
<p class="prev-next-title"><span class="section-number">3. </span>Cadenas de Markov</p>
</div>
</a>
<a class="right-next"
href="chapter5.html"
title="next page">
<div class="prev-next-info">
<p class="prev-next-subtitle">next</p>
<p class="prev-next-title"><span class="section-number">5. </span>Clasificación de estados</p>
</div>
<i class="fa-solid fa-angle-right"></i>
</a>
</div></div>
</div>
</footer>
</div>
<div class="bd-sidebar-secondary bd-toc"><div class="sidebar-secondary-items sidebar-secondary__inner">
<div class="sidebar-secondary-item">
<div class="page-toc tocsection onthispage">
<i class="fa-solid fa-list"></i> Contents
</div>
<nav class="bd-toc-nav page-toc">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">4.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#analisis-transitorio-de-cadenas-de-markov-en-tiempo-discreto">4.2. Análisis transitorio de cadenas de Markov en tiempo discreto</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-1">4.2.1. Ejercicio 1</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-2">4.2.2. Ejercicio 2</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-3">4.2.3. Ejercicio 3</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#analisis-transitorio-de-cadenas-de-markov-en-tiempo-continuo">4.3. Análisis transitorio de cadenas de Markov en tiempo continuo</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-4">4.3.1. Ejercicio 4</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-5">4.3.2. Ejercicio 5</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</nav></div>
</div></div>
</div>
<footer class="bd-footer-content">
<div class="bd-footer-content__inner container">
<div class="footer-item">
<p class="component-author">
By The Jupyter Book Community
</p>
</div>
<div class="footer-item">
<p class="copyright">
© Copyright 2022.
<br/>
</p>
</div>
<div class="footer-item">
</div>
<div class="footer-item">
</div>
</div>
</footer>
</main>
</div>
</div>
<!-- Scripts loaded after <body> so the DOM is not blocked -->
<script src="_static/scripts/bootstrap.js?digest=e353d410970836974a52"></script>
<script src="_static/scripts/pydata-sphinx-theme.js?digest=e353d410970836974a52"></script>
<footer class="bd-footer">
</footer>
</body>
</html>