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<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
</nav></div>
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<h1>Cadenas de Markov</h1>
<!-- Table of contents -->
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<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">3.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto-cmtd">3.2. Cadenas de Markov de tiempo discreto (CMTD)</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion">3.2.1. Definición</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#matriz-de-probabilidades-de-transicion-mathbf-p">3.2.2. Matriz de probabilidades de transición <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#diagrama-de-transicion-de-una-cmtd">3.2.3. Diagrama de transición de una CMTD</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo-cmtc">3.3. Cadenas de Markov de tiempo continuo (CMTC)</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id1">3.3.1. Definición</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#matriz-generadora-mathbf-q">3.3.2. Matriz generadora <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#diagrama-de-tasas-de-una-cmtc">3.3.3. Diagrama de tasas de una CMTC</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="cadenas-de-markov">
<h1><span class="section-number">3. </span>Cadenas de Markov<a class="headerlink" href="#cadenas-de-markov" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este capítulo se introducen los procesos estocásticos conocidos como
Cadenas de Markov. Se presentan las generalidades sobre este tipo de
procesos estocásticos, y se define su clasificación dependiendo de la
temporalidad del proceso. Se exponen las propiedades de no memoria y de
homogeneidad en el tiempo, y finalmente se presentan las matrices que
permiten caracterizar la evolución del sistema en el tiempo.</p>
<section id="introduccion">
<h2><span class="section-number">3.1. </span>Introducción<a class="headerlink" href="#introduccion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Las cadenas de Markov son un tipo de proceso estocástico introducido en
1906 por el matemático Andréi Markov, de quien reciben su nombre.</p>
<p>Específicamente, una cadena de Markov es un proceso estocástico de
espacio de estados discreto en el que la evolución futura del proceso
sólo depende de su estado presente y es independiente de la evolución
pasada del proceso. Es decir, es un proceso que cumple con la propiedad
de no memoria.</p>
<p>A continuación, presentamos la caracterización de las cadenas de Markov
de acuerdo a la temporalidad del proceso estocástico.</p>
</section>
<section id="cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto-cmtd">
<h2><span class="section-number">3.2. </span>Cadenas de Markov de tiempo discreto (CMTD)<a class="headerlink" href="#cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto-cmtd" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Una cadena de Markov de tiempo discreto es un proceso estocástico en el
que se modelan sistemas que evolucionan de la siguiente manera. El
sistema entra al estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>, y luego de una unidad de
tiempo (definida por el índice del proceso estocástico) pasa al estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(n + 1\)</span> con probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij}\)</span> sin importar la
evolución del sistema del tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(0\)</span> hasta el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(n - 1\)</span>.</p>
<p>A continuación, se presenta una definición formal de este
comportamiento.</p>
<section id="definicion">
<h3><span class="section-number">3.2.1. </span>Definición<a class="headerlink" href="#definicion" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Un proceso estocástico en tiempo discreto <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X_{n},n \geq 0\}\)</span> con
espacio de estados discreto <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span> es una cadena de Markov de tiempo
discreto (CMTD) si cumple que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack X_{n + 1} = j\ \right|\ X_{n} = i,{\ X}_{n - 1} = i_{1},\ {\ X}_{n - 2} = i_{2},\ldots,\ {\ X}_{0} = i_{0}\rbrack = P\lbrack X_{n + 1} = j\ |\ X_{n} = i\rbrack\]</div>
<p>para todos los estados <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j \in S\)</span> y todo índice <span class="math notranslate nohighlight">\(n \geq 0\)</span>. Es decir,
la probabilidad de que el proceso esté en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en el momento
<span class="math notranslate nohighlight">\(n + 1\)</span> solo depende del estado del proceso en el momento inmediatamente
anterior <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>, y no de los estados por los que ha pasado antes. Esto se
conoce como la propiedad Markoviana o propiedad de no memoria.</p>
<div class="warning admonition">
<p class="admonition-title">Nota</p>
<p>La evolución del proceso depende solo del ÚLTIMO estado observado,
lo cual no es necesariamente el ÚLTIMO estado de la cadena. Es decir,
supongamos haber observado el estado del proceso Markoviano
<span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X_{n},n \geq 0\}\)</span> por los valores del índice <span class="math notranslate nohighlight">\(n = 0,\ 1,\ 2,\ 3\)</span> y
querer estimar la probabilidad de que en el momento 6 el valor del
estado sea igual a <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>. Estaríamos entonces interesados en determinar
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\lbrack X_{6} = j\rbrack\)</span> dado que conocemos una parte de la historia
del proceso. Gracias a la propiedad de no memoria, esta probabilidad
condicional se simplifica de la siguiente manera:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack X_{6} = j\ \right|\ X_{3} = i_{3},{\ X}_{2} = i_{2},\ {\ X}_{1} = i_{1},{\ X}_{0} = i_{0}\rbrack = P\left\lbrack X_{6} = j\ \right|\ X_{3} = i_{3}\rbrack\]</div>
</div>
<p>Adicionalmente, cuando la cadena de Markov también cumple con:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\lbrack X_{n + 1} = j\ |\ X_{n} = i\rbrack = P\left\lbrack X_{1} = j\ \right|\ X_{0} = i\rbrack\]</div>
<p>para todos los estados <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j \in S\)</span> y todo índice <span class="math notranslate nohighlight">\(n \geq 0\ \)</span>se dice que
es homogénea en el tiempo, lo cual significa que la probabilidad de que
el proceso pase de un estado a otro no depende del tiempo en el cual se
hace la observación.</p>
<p>Las cadenas de Markov que estudiaremos de ahora en adelante se supondrán
homogéneas en el tiempo y, por definición, cumplen la propiedad de no
memoria, tal como se mencionó al inicio del capítulo.</p>
</section>
<section id="matriz-de-probabilidades-de-transicion-mathbf-p">
<h3><span class="section-number">3.2.2. </span>Matriz de probabilidades de transición <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span><a class="headerlink" href="#matriz-de-probabilidades-de-transicion-mathbf-p" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Ya que una CMTD cumple las propiedades presentadas en la sección
anterior, para estudiarlas es de interés conocer las probabilidades
condicionales dadas por <span class="math notranslate nohighlight">\(P\lbrack X_{n + 1} = j\ |\ X_{n} = i\rbrack\)</span>.
Estas probabilidades, que no dependen del valor particular del índice
<span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> por la propiedad de homogeneidad, se denotan como <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij}\)</span> y
determinan la evolución del sistema en una sola transición. Así,
denotaremos como <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span> a la matriz que contiene <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij}\)</span> para
todo <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j \in S\)</span>:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
p_{11} & p_{12} & \begin{matrix}
\ldots & p_{1m}
\end{matrix} \\
p_{21} & p_{22} & \begin{matrix}
\ldots & p_{2m}
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
\vdots \\
p_{m1}
\end{matrix} & \begin{matrix}
\vdots \\
p_{m2}
\end{matrix} & \begin{matrix}
\ddots & \vdots \\
\ldots & p_{mm}
\end{matrix}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>Note que <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span> es una matriz cuadrada, donde cada fila (y
columna) está asociada a un estado en <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>, y el componente de la fila
<span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y columna <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> representa la probabilidad que el sistema vaya de <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>
a <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en un paso. Además, <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span> es una matriz estocástica (la
suma de cada una de sus filas es 1).</p>
<p>Entonces, ¿una CMTD está completamente caracterizada por la matriz de
transiciones <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span>? Recordemos que <span class="math notranslate nohighlight">\(X_{n}\)</span> es una variable
aleatoria, por lo que nos interesa conocer su distribución. En
particular, nos puede interesar determinar la distribución de <span class="math notranslate nohighlight">\(X_{0}\)</span>,
sin embargo, esto no es posible pues <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span> contiene
probabilidades condicionales. Entonces, también es necesario conocer el
estado inicial del proceso. Para esto, se define
<span class="math notranslate nohighlight">\(a_{i} = P\lbrack X_{0} = i\rbrack\)</span>, la probabilidad de que el estado
inicial del proceso sea <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, y el vector
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{a =}\left( a_{i} \right)_{i \in S}\)</span>. Entonces, la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span> y el vector <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{a}\)</span> son suficientes para caracterizar
una CMTD.</p>
</section>
<section id="diagrama-de-transicion-de-una-cmtd">
<h3><span class="section-number">3.2.3. </span>Diagrama de transición de una CMTD<a class="headerlink" href="#diagrama-de-transicion-de-una-cmtd" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Una forma alternativa de representar la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span> es a través
de un grafo conocido como diagrama de transición. Este diagrama está
compuesto por nodos y arcos, donde cada nodo representa el estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span> y el arco <span class="math notranslate nohighlight">\((i,j)\)</span> solo existe si es posible que el proceso
pase del estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> al estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en una sola transición (es decir, si
<span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij} > 0\)</span>), y tiene asociado un peso <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij}\)</span> así:</p>
<p><img alt="Diagrama de transición CMTD" src="_images/cadenasMarkov1.png" /></p>
<p>Por ejemplo, la Figura 2 muestra el diagrama de transición asociado a la
siguiente matriz:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{P}_{1} = \begin{bmatrix}
0.2 & 0.1 & \begin{matrix}
\ \ \ 0 & \ \ \ \ 0.7
\end{matrix} \\
0.5 & 0.3 & \begin{matrix}
\ \ \ 0.2 & \ \ \ \ 0\ \ \
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
0 \\
0.5
\end{matrix} & \begin{matrix}
0.4 \\
0
\end{matrix} & \begin{matrix}
\begin{matrix}
\ \ \ 0\ \ \ \ \\
0.3
\end{matrix} & \begin{matrix}
0.6 \\
0.2
\end{matrix}
\end{matrix}
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p><img alt="Diagrama de transición CMTD" src="_images/cadenasMarkov2.png" /></p>
<p>Figura 2: Diagrama de transición asociado a la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}_{\mathbf{1}}\)</span></p>
<p>Note que de la misma manera que la suma de las filas de la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span>, la suma de los arcos que salen de todos los nodos también
debe ser exactamente 1.</p>
</section>
</section>
<section id="cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo-cmtc">
<h2><span class="section-number">3.3. </span>Cadenas de Markov de tiempo continuo (CMTC)<a class="headerlink" href="#cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo-cmtc" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Las cadenas de Markov de tiempo continuo modelan sistemas que se
comportan de la siguiente manera. El sistema entra al estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y
permanece en él por una cantidad aleatoria de tiempo antes de pasar al
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> con una probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij}\)</span>, que es independiente del
tiempo en que el sistema estuvo en <span class="math notranslate nohighlight">\(i.\)</span></p>
<p>Note que, a diferencia del caso discreto, donde el sistema podía
permanecer en el mismo estado por más de una unidad de tiempo (es decir
<span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ii} \geq 0\)</span>), en el caso continuo es de interés observar los cambios
de estado del sistema, por lo que siempre será <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ii} = 0,\ \ i \in S\)</span>.</p>
<section id="id1">
<h3><span class="section-number">3.3.1. </span>Definición<a class="headerlink" href="#id1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Un proceso estocástico en tiempo continuo
<span class="math notranslate nohighlight">\(\left\{ X(t),\ t \geq 0 \right\}\)</span> con espacio de estados discreto <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>
es una cadena de Markov de tiempo continuo (CMTC) si cumple que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack X(s + t) = j\ \right|\ X(s) = i,\ X(u) = k\rbrack = P\left\lbrack X(s + t) = j\ \right|\ X(s) = i\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq u < s\]</div>
<p>para todos los estados <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j \in S\)</span> y tiempos <span class="math notranslate nohighlight">\(t,s \geq 0\)</span>. Es decir,
éste es un proceso estocástico que tiene la propiedad de no memoria.
Además, las CMTC pueden ser homogéneas en el tiempo, si cumplen con:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack X(s + t) = j\ \right|\ X(s) = i\rbrack = P\left\lbrack X(t) = j\ \right|\ X(0) = i\rbrack\]</div>
<p>para todos los estados <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j \in S\)</span> y tiempos <span class="math notranslate nohighlight">\(t,s \geq 0\)</span>.</p>
</section>
<section id="matriz-generadora-mathbf-q">
<h3><span class="section-number">3.3.2. </span>Matriz generadora <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span><a class="headerlink" href="#matriz-generadora-mathbf-q" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Similarmente al caso discreto, para las CMTC es de interés conocer la
distribución de probabilidad de <span class="math notranslate nohighlight">\(X(t)\)</span>. Entonces, además de las
probabilidades de que el sistema pase de un estado a otro (dadas por
<span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij}\)</span>) también es necesario conocer la distribución del tiempo que
permanece el sistema en un estado antes de realizar un salto. Por otro
lado, para que el proceso estocástico cumpla con la propiedad Markoviana
el tiempo que el sistema permanece en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> debe ser una
variable aleatoria exponencial con parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(r_{i}\)</span>. Entonces, dado que
<span class="math notranslate nohighlight">\(p_{ij}\ \forall\ i,j \in S\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(r_{i}\ \forall\ i \in S\)</span> contienen toda
la información necesaria para caracterizar la CMTC, se define la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q = \lbrack}q_{ij}\mathbf{\rbrack}\)</span> como sigue:</p>
<p><img alt="Elementos matriz de tasas" src="_images/cadenasMarkov3.png" /></p>
<p>Al igual que la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span> para el caso discreto, la matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span> es una matriz cuadrada con una fila por cada estado en el
espacio de estados, sin embargo, en este caso la suma de cada fila es
cero. Adicionalmente, note que <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{ij}\)</span> es la tasa a la que el sistema
se mueve del estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> al estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, para <span class="math notranslate nohighlight">\(i \neq j\)</span>.</p>
</section>
<section id="diagrama-de-tasas-de-una-cmtc">
<h3><span class="section-number">3.3.3. </span>Diagrama de tasas de una CMTC<a class="headerlink" href="#diagrama-de-tasas-de-una-cmtc" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Al igual que en el caso discreto, la matriz <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span> también se
puede representar de forma gráfica a través de un diagrama de tasas,
donde existe un nodo por cada estado de <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>, y existe un arco entre los
nodos <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, si <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{ij} > 0\)</span>, tal como se observa en la figura 3.</p>
<p><img alt="Componentes de un diagrama de tasas" src="_images/cadenasMarkov4.png" /></p>
<p>Ya que el objetivo del diagrama de tasas es presentar los saltos de un
estado a otro, no existen arcos asociados a <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{ii}\)</span>, pues esto no
representa un cambio en el estado del modelo (es decir, un diagrama de
tasas no tiene arcos con la cabeza y la cola en el mismo nodo), pero
dentro de la matriz si debe existir un valor, tal como se observa en la
ecuación 1. Este elemento <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{ii}\)</span>, asociado al tiempo de permanencia en
el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(\forall i \in S\)</span>, se encuentra como:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[q_{ii} = - r_{i} = - \sum_{j \in S}^{}q_{ij}\]</div>
<p>Lo anterior implica que, en términos prácticos, para una matriz de tasas
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span>, la suma de todas sus filas es igual a 0. Para ejemplificar
lo anterior, en la figura 4 se muestra el diagrama asociado a la
siguiente matriz de tasas de transición.</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbf{Q}_{1} = \begin{bmatrix}
- 3.5 & \ \ \ 2 & \ \ 1.5 \\
\ \ \ 3 & - 8 & \ \ \ 5 \\
\ \ \ 7 & \ \ \ 0 & - 7
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p><img alt="Componentes de un diagrama de tasas" src="_images/cadenasMarkov5.png" /></p>
</section>
</section>
</section>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">2. </span>Procesos de Poisson</p>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">4. </span>Análisis transitorio de cadenas de Markov</p>
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<i class="fa-solid fa-list"></i> Contents
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<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">3.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#cadenas-de-markov-de-tiempo-discreto-cmtd">3.2. Cadenas de Markov de tiempo discreto (CMTD)</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion">3.2.1. Definición</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#matriz-de-probabilidades-de-transicion-mathbf-p">3.2.2. Matriz de probabilidades de transición <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{P}\)</span></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#diagrama-de-transicion-de-una-cmtd">3.2.3. Diagrama de transición de una CMTD</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#cadenas-de-markov-de-tiempo-continuo-cmtc">3.3. Cadenas de Markov de tiempo continuo (CMTC)</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id1">3.3.1. Definición</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#matriz-generadora-mathbf-q">3.3.2. Matriz generadora <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{Q}\)</span></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#diagrama-de-tasas-de-una-cmtc">3.3.3. Diagrama de tasas de una CMTC</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
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<p class="component-author">
By The Jupyter Book Community
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<p class="copyright">
© Copyright 2022.
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</p>
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