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<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
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<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
</nav></div>
</div>
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<h1>Procesos de Poisson</h1>
<!-- Table of contents -->
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<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">2.1. Introducción</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-2-1-1">2.1.1. <strong>Definición 2.1.1:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-exponencial">2.2. Distribución Exponencial</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-2-2-1">2.2.1. <strong>Definición 2.2.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-2-1">2.2.2. <strong>Propiedad 2.2.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#demostracion">2.2.3. <em><strong>Demostración</strong></em></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-1">2.2.4. <strong>Ejercicio 1:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedades-de-la-distribucion-exponencial">2.3. Propiedades de la distribución Exponencial</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-3-1-no-memoria">2.3.1. <strong>Propiedad 2.3.1 (No memoria):</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id1">2.3.2. <em><strong>Demostración</strong></em></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-3-2">2.3.3. <strong>Propiedad 2.3.2:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id2">2.3.4. <em><strong>Demostración</strong></em></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-3-3">2.3.5. <strong>Propiedad 2.3.3:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id3">2.3.6. <em><strong>Demostración</strong></em></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-3-4">2.3.7. <strong>Propiedad 2.3.4:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedades-de-los-procesos-de-poisson">2.4. Propiedades de los procesos de Poisson</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-1">2.4.1. <strong>Propiedad 2.4.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id4">2.4.2. <em><strong>Demostración</strong></em></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-2-incrementos-independientes">2.4.3. <strong>Propiedad 2.4.2 (Incrementos independientes):</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-3-incrementos-estacionarios">2.4.4. <strong>Propiedad 2.4.3 (Incrementos estacionarios):</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-4">2.4.5. <strong>Propiedad 2.4.4:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-5-combinacion-de-procesos-de-poisson">2.4.6. <strong>Propiedad 2.4.5 (Combinación de procesos de Poisson):</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-6-propiedad-2-4-6-unnumbered">2.4.7. <strong>Propiedad 2.4.6:</strong> {#propiedad-2.4.6 .unnumbered}</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-2">2.4.8. <strong>Ejercicio 2:</strong></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="procesos-de-poisson">
<h1><span class="section-number">2. </span>Procesos de Poisson<a class="headerlink" href="#procesos-de-poisson" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este capítulo se introduce el proceso estocástico conocido como
<em>Proceso de Poisson</em>. Se presentan las generalidades sobre este tipo de
proceso estocástico, y después se explican sus propiedades y relaciones
con las distribuciones de probabilidad de Poisson y la exponencial.
Varios ejemplos de aplicaciones son introducidos y analizados. Completan
el capítulo el resumen de los conceptos fundamentales y las preguntas
orientadoras.</p>
<section id="introduccion">
<h2><span class="section-number">2.1. </span>Introducción<a class="headerlink" href="#introduccion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Los procesos de Poisson son una clase particular de procesos
estocásticos. Reciben su nombre del matemático francés Siméon Denis
Poisson (1781–1840), el cual es conocido, entre otros, por la
distribución de probabilidad discreta de Poisson.</p>
<p>Los procesos de Poisson pertenecen a la familia de los procesos de
conteo, un tipo de procesos estocásticos de espacio discreto y en tiempo
continuo cuyo estado <span class="math notranslate nohighlight">\(N(t)\)</span> en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(t \geq 0\)</span>, representa el
número total de ocurrencias de eventos en el intervalo
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lbrack 0,t\rbrack\)</span>. Por ejemplo: <span class="math notranslate nohighlight">\(N(t) =\)</span> El número de clientes que
llegan a un restaurante desde el momento 0 hasta el instante <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>;
<span class="math notranslate nohighlight">\(N(t) =\)</span> El número de gaseosas envasadas en la línea de producción hasta
el instante <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>; <span class="math notranslate nohighlight">\(N(t)\)</span> = el número de acciones de un banco vendidas
hasta el día <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>. Existen varias definiciones del proceso de Poisson.
Aquí consideraremos una que se acomoda a las necesidades de modelar
sistemas, en particular flujos de eventos de llegada.</p>
<section id="definicion-2-1-1">
<h3><span class="section-number">2.1.1. </span><strong>Definición 2.1.1:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-2-1-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(X_{1},X_{2},\ldots\)</span> una secuencia de variables aleatorias
independientes entre sí, cada una con distribución exponencial de
parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>, es decir <span class="math notranslate nohighlight">\(X_{i}\sim Exp(\lambda)\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(i > 0\)</span>.
Definimos <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{0} = 0\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{n} = \sum_{i = 1}^{n}X_{i}\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(n > 0\)</span>. Por
cada <span class="math notranslate nohighlight">\(n,\ \ n > 0\)</span>, el valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{n}\)</span> corresponde al tiempo de
ocurrencia del <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>-esimo tiempo exponencial de la secuencia, y <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{n}\)</span>
es una secuencia de tiempos creciente en <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>. Si se define
<span class="math notranslate nohighlight">\(N(t) = \max\left\{ n\ \right|\ S_{n} \leq t\}\)</span>, entonces
<span class="math notranslate nohighlight">\(\{ N(t),t \geq 0\}\)</span> es un proceso de Poisson, de parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>,
lo cual usualmente denotaremos como
<span class="math notranslate nohighlight">\(\left\{ N(t),t \geq 0 \right\}\sim PP(\lambda)\)</span>.</p>
<p>Según esta definición, el valor del estado del proceso <span class="math notranslate nohighlight">\(N(t)\)</span> al tiempo
<span class="math notranslate nohighlight">\(t,\ \ t \geq 0\)</span>, corresponde al número de eventos que han ocurrido en
la ventana temporal <span class="math notranslate nohighlight">\(\lbrack 0,t\rbrack\)</span>, tal como se requiere para un
proceso de conteo. Como se ilustra en la Figura 1, el valor de la
variable de estado del proceso de Poisson aumenta una unidad cada vez
que se alcanza uno de los instantes de la secuencia <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{n}\)</span>. Asimismo,
siempre se cumple que el valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(N(t) = k\)</span> en el instante <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{k}\)</span>,
donde <span class="math notranslate nohighlight">\(k\mathbb{\in N}\)</span>, tal como se ilustra en la Figura 1 por los
círculos vacíos y rellenos, que marcan la discontinuidad de la función
lineal a trozos que representa la variación de la función del tiempo
<span class="math notranslate nohighlight">\(N(t)\)</span>.</p>
<p><img alt="Proceso de Poisson" src="_images/procesosPoisson1.png" /></p>
<p>El proceso de Poisson es ampliamente utilizado para modelar procesos de
llegada, por ejemplo, de usuarios a almacenes, bancos, parqueaderos, o
flujos de eventos tales como la emisión de partículas generada por el
decaimiento radiactivo. También, es comúnmente aplicado para modelar la
manera en la cual defectos de producción se distribuyen en los
materiales, por ejemplo, imperfecciones en la estructura molecular de
semiconductores, y otras aplicaciones de distribución espacial, por
ejemplo, la densidad de los usuarios de celulares en las ciudades. A
menudo es también utilizado para modelar fenómenos aleatorios en
disciplinas como biología, economía y física.</p>
</section>
</section>
<section id="distribucion-exponencial">
<h2><span class="section-number">2.2. </span>Distribución Exponencial<a class="headerlink" href="#distribucion-exponencial" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Como se mencionó, el Proceso de Poisson es aplicado en el modelamiento
de diferentes sistemas donde la distribución exponencial representa el
tiempo entre eventos que ocurren en el sistema. Por este motivo, la
distribución exponencial es ampliamente estudiada ya que sus propiedades
ayudan a entender cómo se comportan estos sistemas.</p>
<section id="definicion-2-2-1">
<h3><span class="section-number">2.2.1. </span><strong>Definición 2.2.1:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-2-2-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Una variable aleatoria <span class="math notranslate nohighlight">\(T \in \lbrack 0,\ \infty)\)</span> es exponencial con
parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda > 0\)</span> si su función de densidad de probabilidad es
<span class="math notranslate nohighlight">\(f_{T}(t) = \lambda e^{- \lambda t},\ t \geq 0\)</span>.</p>
<p>Para el cálculo de probabilidades, podemos apoyarnos en la función
acumulada de probabilidad de la distribución exponencial.</p>
</section>
<section id="propiedad-2-2-1">
<h3><span class="section-number">2.2.2. </span><strong>Propiedad 2.2.1:</strong><a class="headerlink" href="#propiedad-2-2-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(T\sim\exp(\lambda)\)</span> entonces su función acumulada de probabilidad
es <span class="math notranslate nohighlight">\(F_{T}(t) = 1 - e^{- \lambda t},\ t \geq 0\)</span>.</p>
</section>
<section id="demostracion">
<h3><span class="section-number">2.2.3. </span><em><strong>Demostración</strong></em><a class="headerlink" href="#demostracion" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Dado que la distribución exponencial es una función continua, se tiene
que
<span class="math notranslate nohighlight">\(F_{T}(t) = P(T \leq t) = \int_{0}^{t}{\lambda e^{- \lambda s}ds\ }\)</span>.
Por lo que se tiene que</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\int_{0}^{t}{\lambda e^{- \lambda s}ds\ } = {- e}^{- \lambda s}|_{0}^{t} = {- e}^{- \lambda t} - \left( - e^{0} \right) = 1 - e^{- \lambda t}\]</div>
<p>Dado que estamos tratando con una distribución de probabilidad, podemos
calcular diferentes medidas como el valor esperado y la varianza. Así
que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[E(T) = \int_{0}^{\infty}{t\lambda e^{- \lambda t}dt} = - te^{- \lambda t}|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}{- e^{- \lambda t}dt} = 0 - \frac{e^{- \lambda t}}{\lambda}|_{0}^{\infty} = \frac{1}{\lambda}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[Var(T) = E\left( T^{2} \right) - E^{2}(T) = \frac{1}{\lambda^{2}}\]</div>
</section>
<section id="ejercicio-1">
<h3><span class="section-number">2.2.4. </span><strong>Ejercicio 1:</strong><a class="headerlink" href="#ejercicio-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 1</p>
<p>A un restaurante de comida rápida, llegan clientes a comprar
hamburguesas. Durante la hora pico, se sabe que la llegada de los
clientes se comporta como un Proceso de Poisson con tasa de
<span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{1}{2}\)</span> cliente por minuto. Dada esta información, calcule:</p>
<p><strong>a)</strong> La probabilidad de que el tiempo de llegada entre dos clientes
consecutivos sea menor a 1 minuto.</p>
<p><strong>b)</strong> La probabilidad de que el tiempo de llegada entre dos clientes
consecutivos sea mayor a 3 minutos.</p>
<p><strong>c)</strong> La probabilidad de que el tiempo de llegada entre dos clientes
consecutivos esté entre 1 y 2 minutos.</p>
<p><strong>d)</strong> El valor esperado y la varianza del tiempo entre llegadas de
clientes consecutivos.</p>
</div>
<p><strong>Solución:</strong> denotamos con <span class="math notranslate nohighlight">\(T\)</span> la variable aleatoria tiempo entre
llegadas. Dado que la llegada de clientes sigue un
<span class="math notranslate nohighlight">\(PP\left( \lambda = \frac{1}{2} \right)\)</span> entonces el tiempo entre
llegadas de clientes <span class="math notranslate nohighlight">\(T\ \)</span> se distribuye
<span class="math notranslate nohighlight">\(\exp\left( \lambda = \frac{1}{2} \right)\)</span>. Así que:</p>
<p>a) <span class="math notranslate nohighlight">\(P(T < 1) = F(1) = 1 - e^{- \frac{1}{2} \cdot 1} = 1 - e^{- \frac{1}{2}}\)</span></p>
<p>b) <span class="math notranslate nohighlight">\(P(T > 3) = 1 - F(3) = 1 - \left( 1 - e^{- \frac{1}{2} \cdot 3} \right) = e^{- \frac{3}{2}}\)</span></p>
<p>c) <span class="math notranslate nohighlight">\(P(1 \leq T \leq 2) = F(2) - F(1) = \left( 1 - e^{- \frac{1}{2} \cdot 2} \right) - \left( 1 - e^{- \frac{1}{2} \cdot 1} \right) = e^{- \frac{1}{2}} - e^{- 1}\)</span></p>
<p>d) <span class="math notranslate nohighlight">\(E\lbrack T\rbrack = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\ \text{min},\ \ Var(T) = \frac{1}{\lambda^{2}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} = 4{\ \text{min}}^{2}\ \)</span></p>
</section>
</section>
<section id="propiedades-de-la-distribucion-exponencial">
<h2><span class="section-number">2.3. </span>Propiedades de la distribución Exponencial<a class="headerlink" href="#propiedades-de-la-distribucion-exponencial" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<section id="propiedad-2-3-1-no-memoria">
<h3><span class="section-number">2.3.1. </span><strong>Propiedad 2.3.1 (No memoria):</strong><a class="headerlink" href="#propiedad-2-3-1-no-memoria" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(T\sim\exp(\lambda)\)</span> entonces <span class="math notranslate nohighlight">\(\forall\ t,s \geq 0\)</span> se tiene que
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\left( T > t + s\ \middle| \ T > s \right) = P(T > t)\)</span>.</p>
</section>
<section id="id1">
<h3><span class="section-number">2.3.2. </span><em><strong>Demostración</strong></em><a class="headerlink" href="#id1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Dado que <span class="math notranslate nohighlight">\(T\sim\exp(\lambda)\)</span> entonces
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\left( T > t + s\ \middle| \ T > s \right) = \frac{P(T > t + s,\ \ T > s)}{P(T > s)} = \frac{P(T > t + s)}{P(T > s)} = \frac{e^{- (t + s)\lambda}}{e^{- s\lambda}}\)</span>.
Por propiedades de exponentes entonces se tiene que
<span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{e^{- (t + s)\lambda}}{e^{- s\lambda}} = e^{- (t + s)\lambda - ( - s\lambda)} = e^{- t\lambda} = P(T > t)\)</span>.</p>
<p>Suponga que la variable aleatoria <span class="math notranslate nohighlight">\(T\)</span> representa un tiempo, por ejemplo,
el tiempo que toma realizar un ensamblaje en una estación de trabajo. La
propiedad de no memoria implica que, sin importar cuánto tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(s\)</span> haya
transcurrido, la probabilidad de que el tiempo que falta para terminar
la tarea sea mayor a <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> es igual. Es decir que es posible observar el
proceso en cualquier momento y determinar la probabilidad de que tome al
menos <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> unidades de tiempo adicionales terminarlo, sin tener que
recordar cuándo empezó.</p>
<p>La propiedad de no memoria es fundamental para el cálculo de
probabilidades en procesos estocásticos como procesos de Poisson y
Cadenas de Markov que veremos más adelante. La distribución exponencial
es la única, dentro de las distribuciones de probabilidad continuas, que
cuenta con esta propiedad.</p>
</section>
<section id="propiedad-2-3-2">
<h3><span class="section-number">2.3.3. </span><strong>Propiedad 2.3.2:</strong><a class="headerlink" href="#propiedad-2-3-2" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(X\sim\exp(\lambda)\ y\)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(Y\sim\exp(\mu)\)</span> independientes y
<span class="math notranslate nohighlight">\(Z = min(X,Y)\)</span>, entonces <span class="math notranslate nohighlight">\(Z\sim exp(\lambda + \mu)\)</span>.</p>
</section>
<section id="id2">
<h3><span class="section-number">2.3.4. </span><em><strong>Demostración</strong></em><a class="headerlink" href="#id2" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Dado que <span class="math notranslate nohighlight">\(X\sim\exp(\lambda)\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(Y\sim\exp(\mu)\)</span> entonces
<span class="math notranslate nohighlight">\(P(Z > t) = P\left( \min(X,Y) > T \right) = P(X > t,Y > t)\)</span> y como
<span class="math notranslate nohighlight">\(X\ y\ Y\)</span> son independientes entonces
<span class="math notranslate nohighlight">\(P(X > t,Y > t) = P(X > t)P(Y > t) = e^{- \lambda t}e^{- \mu t} = e^{- (\lambda + \mu)t}\)</span></p>
<p>Si se extiende la propiedad a que
<span class="math notranslate nohighlight">\(X_{1}\sim\exp\left( \lambda_{1} \right),\ldots,\ X_{n}\sim exp(\lambda_{n})\)</span>
y <span class="math notranslate nohighlight">\(Z = min(X_{1},\ldots,X_{n})\)</span> entonces
<span class="math notranslate nohighlight">\(Z\sim exp(\lambda_{1} + \ldots + \lambda_{n})\)</span>.</p>
<p>Esta propiedad nos permite calcular probabilidades cuando varias tareas
se encuentran en ejecución en paralelo, todas con tiempos que siguen una
distribución exponencial, e independientes entre sí. Considere el caso
de un call center en el que dos agentes atienden cada uno una llamada.
El tiempo mínimo entre las duraciones de las dos llamadas, representa el
tiempo en el que uno de los agentes queda libre. Este tiempo nos
interesa porque en ese momento el agente que ha quedado libre puede
tomar una nueva llamada. La Propiedad 2.3.2 nos permite determinar que,
si los tiempos de duración de las llamadas son exponenciales e
independientes, el tiempo hasta que el primer agente queda libre es
también exponencial. Además, el parámetro de la exponencial resultante
es la suma de las tasas del tiempo de cada llamada.</p>
</section>
<section id="propiedad-2-3-3">
<h3><span class="section-number">2.3.5. </span><strong>Propiedad 2.3.3:</strong><a class="headerlink" href="#propiedad-2-3-3" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(X\sim\exp(\lambda)\ y\)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(Y\sim\exp(\mu)\)</span> independientes, entonces
<span class="math notranslate nohighlight">\(P(X < Y) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\)</span>.</p>
</section>
<section id="id3">
<h3><span class="section-number">2.3.6. </span><em><strong>Demostración</strong></em><a class="headerlink" href="#id3" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Para demostrar que <span class="math notranslate nohighlight">\(P(X < Y)\)</span> hay que demostrar que para todo valor de
<span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> la variable aleatoria <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span> debe ser menor que la variable aleatoria
<span class="math notranslate nohighlight">\(Y\)</span>. Para esto se sabe que
<span class="math notranslate nohighlight">\(P(X < Y) = \int_{0}^{\infty}{P\left( X < Y \middle| X = t \right)\lambda e^{- \lambda t}dt} = \int_{0}^{\infty}{P(t < Y)\lambda e^{- \lambda t}dt} = \int_{0}^{\infty}{e^{- \mu t}\lambda e^{- \lambda t}dt} =\)</span>
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\int_{0}^{\infty}{e^{- (\lambda + \mu)t}dt} = \lambda*\ - \frac{e^{- (\lambda + \mu)t}}{\lambda + \mu}|_{0}^{\infty} = 0 + \frac{\lambda}{\lambda + \mu} = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\)</span></p>
<p>Si se extiende la propiedad a que
<span class="math notranslate nohighlight">\(X_{1}\sim\exp\left( \lambda_{1} \right),\ldots,\ X_{n}\sim exp(\lambda_{n})\)</span>
y se desea calcular <span class="math notranslate nohighlight">\(P(X_{i} < X_{1},\ldots,X_{n}\ )\)</span> entonces
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\left( X_{i} < X_{1},\ldots,X_{n}\ \right) = \frac{\lambda_{i}}{\lambda_{1} + \ldots + \lambda_{n}}.\)</span></p>
<p>La Propiedad 2.3.3. también es útil cuando tenemos tareas que se
ejecutan en paralelo. En el ejemplo anterior de los dos agentes en un
call center, esta propiedad nos permite calcular la probabilidad de uno
de los dos agentes sea el primero en quedar disponible. La propiedad nos
muestra además que, si el primer agente es más rápido y tiene por lo
tanto un tiempo exponencial con una tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> mayor que la del
segundo agente, es más probable que termine primero. En el caso en que
los tiempos de atención de los dos agentes tengan la misma tasa, tendrán
la misma probabilidad de terminar primero (0.5).</p>
</section>
<section id="propiedad-2-3-4">
<h3><span class="section-number">2.3.7. </span><strong>Propiedad 2.3.4:</strong><a class="headerlink" href="#propiedad-2-3-4" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(X_{i}\sim\exp(\lambda)\ \forall\ 1 \leq i \leq n\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{n}\)</span> la suma
de <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> variables, <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{n} = \sum_{i = 1\ }^{n}X_{i}\)</span>, entonces <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{n}\)</span> se
distribuye <span class="math notranslate nohighlight">\(Erlang(\lambda,n)\)</span>, con función de densidad de probabilidad
<span class="math notranslate nohighlight">\(f_{S_{n}}(t)\)</span>, valor esperado <span class="math notranslate nohighlight">\(E\left( S_{n} \right)\)</span> y varianza
<span class="math notranslate nohighlight">\(Var\left( S_{n} \right)\)</span>, dadas por:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[f_{S_{n}}(t) = \frac{\lambda^{n}t^{n - 1}e^{- \lambda t}}{(n - 1)!}\ \forall\ t \geq 0\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[E\left( S_{n} \right) = \frac{n}{\lambda}\ \ \ \ \ y\ \ \ \ Var\left( S_{n} \right) = \frac{n}{\lambda^{2}}\]</div>
<p>Finalmente, la Propiedad 2.3.4 nos permite calcular probabilidades
cuando tenemos tareas que se ejecutan en serie. En el caso del call
center, suponga que un agente debe atender de manera sucesiva y sin
pausa, 5 llamadas. Si cada una de las llamadas toma un tiempo
exponencial con tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>, y su duración es independiente, el
tiempo que le toma al agente concluir las 5 llamadas sigue una
distribución <span class="math notranslate nohighlight">\(Erlang(\lambda,n = 5)\)</span>. Así, podemos calcular ahora el
valor esperado, varianza y probabilidades asociadas al tiempo de
atención de las 5 llamadas.</p>
</section>
</section>
<section id="propiedades-de-los-procesos-de-poisson">
<h2><span class="section-number">2.4. </span>Propiedades de los procesos de Poisson<a class="headerlink" href="#propiedades-de-los-procesos-de-poisson" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<section id="propiedad-2-4-1">
<h3><span class="section-number">2.4.1. </span><strong>Propiedad 2.4.1:</strong><a class="headerlink" href="#propiedad-2-4-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Si un flujo de eventos se distribuye como un proceso de Poisson de
parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>, el número de eventos que ocurre en el intervalo
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lbrack 0,t\rbrack\)</span> se distribuye como una variable de Poisson de
parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda t\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(t \geq 0\)</span>, es decir
<span class="math notranslate nohighlight">\(N(t)\sim Poisson(\lambda t)\)</span>.</p>
</section>
<section id="id4">
<h3><span class="section-number">2.4.2. </span><em><strong>Demostración</strong></em><a class="headerlink" href="#id4" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Observamos que la probabilidad de que el número de eventos en el
intervalo <span class="math notranslate nohighlight">\(\lbrack 0,t\rbrack\)</span> sea igual a un valor entero no-negativo
<span class="math notranslate nohighlight">\(n \geq 0\)</span>, es decir <span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack N(t) = n \right\rbrack\)</span> se puede
escribir como sigue:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack N(t) = n \right\rbrack = P\left\lbrack N(t) < n + 1 \right\rbrack - P\left\lbrack N(t) < n \right\rbrack\)</span>.</p>
<p>La igualdad anterior resulta de la definición de la distribución
acumulada para variables discretas: la resta de probabilidades en el
lado derecho de la ecuación solo puede contemplar el caso que la
variable aleatoria <span class="math notranslate nohighlight">\(N(t)\)</span> asuma exactamente el valor <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>. Ahora bien, ya
que
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack N(t) < n \right\rbrack = 1 - P\left\lbrack N(t) \geq n \right\rbrack\ \)</span>podemos
escribir lo anterior como sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack N(t) < n + 1 \right\rbrack - P\left\lbrack N(t) < n \right\rbrack = 1 - P\left\lbrack N(t) \geq n + 1 \right\rbrack - \left( 1 - P\left\lbrack N(t) \geq n \right\rbrack \right) =\]</div>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(= P\left\lbrack N(t) \geq n \right\rbrack - P\left\lbrack N(t) \geq n + 1 \right\rbrack\)</span>.</p>
<p>Observamos ahora que si en el intervalo <span class="math notranslate nohighlight">\(\lbrack 0,t\rbrack\)</span> se observan
al menos <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> eventos, entonces el tiempo de ocurrencia del <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>-esimo
evento debe ser menor o igual a <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>, es decir que
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack N(t) \geq n \right\rbrack = P\lbrack S_{n} \leq t\rbrack\)</span>.
Por lo tanto, podemos escribir lo siguiente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack N(t) \geq n \right\rbrack - P\left\lbrack N(t) \geq n + 1 \right\rbrack = P\left\lbrack S_{n} \leq t \right\rbrack - P\lbrack S_{n + 1} \leq t\rbrack\]</div>
<p>Dado que <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{n}\)</span> es la suma de <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> variables exponenciales
independientes e idénticamente distribuidas de parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span><em>,</em> su
distribución es Erlang <span class="math notranslate nohighlight">\((Erl)\)</span>, con <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> estadios y tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda,\)</span> o sea
<span class="math notranslate nohighlight">\(\ S_{n}\sim Erl(n,\ \lambda)\)</span>. Entonces, de la fórmula de la
distribución acumulada de la Erlang se obtiene:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack S_{n} \leq t \right\rbrack = 1 - e^{- \lambda t}\sum_{j = 1}^{n - 1}\frac{{(\lambda t)}^{j}}{j!}\]</div>
<p>Por lo cual podemos escribir la diferencia anterior como sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack S_{n} \leq t \right\rbrack - P\left\lbrack S_{n + 1} \leq t \right\rbrack = 1 - e^{- \lambda t}\sum_{j = 1}^{n - 1}\frac{(\lambda t)^{j}}{j!} - \left( 1 - e^{- \lambda t}\sum_{j = 1}^{n}\frac{(\lambda t)^{j}}{j!} \right) =\]</div>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(= e^{- \lambda t}\sum_{j = 1}^{n}\frac{(\lambda t)^{j}}{j!} - e^{- \lambda t}\sum_{j = 1}^{n - 1}\frac{(\lambda t)^{j}}{j!} = e^{- \lambda t}\frac{{(\lambda t)}^{n}}{n!}\)</span>.</p>
<p>Entonces se obteniendo que:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack N(t) = n \right\rbrack = e^{- \lambda t}\frac{{(\lambda t)}^{n}}{n!}\)</span>,</p>
<p>o sea <span class="math notranslate nohighlight">\(N(t)\sim Poisson(\lambda t)\)</span></p>
</section>
<section id="propiedad-2-4-2-incrementos-independientes">
<h3><span class="section-number">2.4.3. </span><strong>Propiedad 2.4.2 (Incrementos independientes):</strong><a class="headerlink" href="#propiedad-2-4-2-incrementos-independientes" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Si <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ N(t),t \geq 0\}\)</span> es un proceso de Poisson con parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>
entonces para cualquier
<span class="math notranslate nohighlight">\(0 \leq s \leq t \leq u \leq v\ \text{e}\ i,j \geq 0\)</span> se tiene que
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\left( N(v) - N(u) = j|N(t) - N(s) = i \right) = P(N\left( v) - N(u \right) = j)\)</span>.
Lo anterior implica que los eventos no dependen de lo ocurrido
anteriormente, sino de la ventana temporal en la que se observó el
sistema <span class="math notranslate nohighlight">\((v - u).\)</span></p>
</section>
<section id="propiedad-2-4-3-incrementos-estacionarios">
<h3><span class="section-number">2.4.4. </span><strong>Propiedad 2.4.3 (Incrementos estacionarios):</strong><a class="headerlink" href="#propiedad-2-4-3-incrementos-estacionarios" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Si <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ N(t),t \geq 0\}\)</span> es un proceso de Poisson con parámetro
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>, entonces, para cualquier
<span class="math notranslate nohighlight">\(0 \leq s \leq t\ \ \text{e}\ i \geq 0\)</span> se tiene que
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\left( N(t + s) - N(s) = i \right) = P(N(t) = i)\)</span>. Esto refleja que
cambios en el proceso de igual tamaño (<span class="math notranslate nohighlight">\(\ i\)</span>) y en intervalos de la
misma duración (<span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>) son iguales en términos de probabilidad sin
importar el momento del tiempo en el que ocurran (<span class="math notranslate nohighlight">\(s\)</span>).</p>
</section>
<section id="propiedad-2-4-4">
<h3><span class="section-number">2.4.5. </span><strong>Propiedad 2.4.4:</strong><a class="headerlink" href="#propiedad-2-4-4" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{n}\)</span> el tiempo de ocurrencia hasta el n-ésimo evento en un
proceso de Poisson con parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>, entonces
<span class="math notranslate nohighlight">\(S_{n}\sim Erlang(\lambda,n)\)</span>. (Misma propiedad 2.3.4)</p>
</section>
<section id="propiedad-2-4-5-combinacion-de-procesos-de-poisson">
<h3><span class="section-number">2.4.6. </span><strong>Propiedad 2.4.5 (Combinación de procesos de Poisson):</strong><a class="headerlink" href="#propiedad-2-4-5-combinacion-de-procesos-de-poisson" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sean <span class="math notranslate nohighlight">\(\left\{ N_{i}(t),t \geq 0 \right\}\ \ \forall 1 \leq i \leq n\)</span>
procesos de Poisson con parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{i}\)</span> respectivamente, e
independientes entre sí. Si <span class="math notranslate nohighlight">\(N(t) = \sum_{i = 1}^{n}{N_{i}(t)}\)</span>,
entonces <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ N(t),t \geq 0\}\)</span> es un proceso de Poisson con parámetro
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda = \lambda_{1} + \ldots + \lambda_{n}\)</span>. (Misma propiedad 2.3.2).</p>
</section>
<section id="propiedad-2-4-6-propiedad-2-4-6-unnumbered">
<h3><span class="section-number">2.4.7. </span><strong>Propiedad 2.4.6:</strong> {#propiedad-2.4.6 .unnumbered}<a class="headerlink" href="#propiedad-2-4-6-propiedad-2-4-6-unnumbered" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(\left\{ N(t),t \geq 0 \right\}\)</span> un proceso de Poisson con parámetro
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> y suponga que cada evento se puede clasificar en la categoría
<span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> con probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{i}\)</span>, entonces <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ N_{i}(t),t \geq 0\}\)</span> es un
proceso de Poisson para los eventos de categoría <span class="math notranslate nohighlight">\(i\ \)</span>con parámetro
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{i} = p_{i}\lambda\)</span>. (Misma propiedad 2.3.3).</p>
</section>
<section id="ejercicio-2">
<h3><span class="section-number">2.4.8. </span><strong>Ejercicio 2:</strong><a class="headerlink" href="#ejercicio-2" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejercicio 2</p>
<p>Suponga que a un restaurante llegan dos tipos de clientes: el tipo de
Cliente 1 va a almorzar y el tipo de Cliente 2 va a comer postre. Los
clientes de tipo 1 llegan al restaurante de acuerdo con un proceso de
Poisson con parámetro (tasa) de 10 clientes por hora, mientras, los
clientes tipo 2 llegan de acuerdo con un proceso de Poisson con
parámetro (tasa) de 5 clientes por hora. Responda las siguientes
preguntas con la información suministrada:</p>
<p><strong>a)</strong> Calcule la probabilidad de que lleguen 5 clientes que van a almorzar
entre las 10:00 am y las 12:00 m.</p>
<p><strong>b)</strong> Calcule la probabilidad de que lleguen máximo 3 clientes que van a
comer postre entre las 2:00 pm y las 3:00 pm.</p>
<p><strong>c)</strong> Calcule la probabilidad de que entre las 12:00 m y la 1:00 pm
lleguen a almorzar 5 clientes dado que se sabe que entre las 11:00
am y las 2:00 pm llegaron a almorzar 10 clientes.</p>
<p><strong>d)</strong> Calcule la probabilidad de que entre las 2:00 pm y las 3:00 pm
lleguen 10 clientes ya sea a almorzar o a pedir postre.</p>
</div>
</section>
</section>
</section>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">1. </span>Procesos estocásticos</p>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">3. </span>Cadenas de Markov</p>
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<div class="sidebar-secondary-item">
<div class="page-toc tocsection onthispage">
<i class="fa-solid fa-list"></i> Contents
</div>
<nav class="bd-toc-nav page-toc">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">2.1. Introducción</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-2-1-1">2.1.1. <strong>Definición 2.1.1:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-exponencial">2.2. Distribución Exponencial</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-2-2-1">2.2.1. <strong>Definición 2.2.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-2-1">2.2.2. <strong>Propiedad 2.2.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#demostracion">2.2.3. <em><strong>Demostración</strong></em></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-1">2.2.4. <strong>Ejercicio 1:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedades-de-la-distribucion-exponencial">2.3. Propiedades de la distribución Exponencial</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-3-1-no-memoria">2.3.1. <strong>Propiedad 2.3.1 (No memoria):</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id1">2.3.2. <em><strong>Demostración</strong></em></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-3-2">2.3.3. <strong>Propiedad 2.3.2:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id2">2.3.4. <em><strong>Demostración</strong></em></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-3-3">2.3.5. <strong>Propiedad 2.3.3:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id3">2.3.6. <em><strong>Demostración</strong></em></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-3-4">2.3.7. <strong>Propiedad 2.3.4:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedades-de-los-procesos-de-poisson">2.4. Propiedades de los procesos de Poisson</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-1">2.4.1. <strong>Propiedad 2.4.1:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#id4">2.4.2. <em><strong>Demostración</strong></em></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-2-incrementos-independientes">2.4.3. <strong>Propiedad 2.4.2 (Incrementos independientes):</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-3-incrementos-estacionarios">2.4.4. <strong>Propiedad 2.4.3 (Incrementos estacionarios):</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-4">2.4.5. <strong>Propiedad 2.4.4:</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-5-combinacion-de-procesos-de-poisson">2.4.6. <strong>Propiedad 2.4.5 (Combinación de procesos de Poisson):</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#propiedad-2-4-6-propiedad-2-4-6-unnumbered">2.4.7. <strong>Propiedad 2.4.6:</strong> {#propiedad-2.4.6 .unnumbered}</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejercicio-2">2.4.8. <strong>Ejercicio 2:</strong></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
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© Copyright 2022.
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