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<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
</nav></div>
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<h1>Procesos de Decisión Markovianos</h1>
<!-- Table of contents -->
<div id="print-main-content">
<div id="jb-print-toc">
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<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">18.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#mdp-homogeneo-de-epocas-infinitas">18.2. MDP homogéneo de épocas infinitas</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#solucion-mdp-de-epocas-infinitas">18.3. Solución MDP de épocas infinitas</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#iteracion-de-valor">18.3.1. <strong>Iteración de Valor</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#iteracion-de-politica">18.3.2. <strong>Iteración de política</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#metodo-de-solucion-de-mdps-basado-en-programacion-lineal">18.3.3. <strong>Método de solución de MDPs basado en Programación Lineal</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#valor-esperado-de-la-politica">18.3.4. <strong>Valor esperado de la política</strong></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="procesos-de-decision-markovianos">
<h1><span class="section-number">18. </span>Procesos de Decisión Markovianos<a class="headerlink" href="#procesos-de-decision-markovianos" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<section id="introduccion">
<h2><span class="section-number">18.1. </span>Introducción<a class="headerlink" href="#introduccion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Consideremos un problema de decisión aleatorio en el tiempo con épocas
<span class="math notranslate nohighlight">\(E = \{ 1,2,3,\ldots n\}\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{t}\)</span> el espacio de estados, <span class="math notranslate nohighlight">\(A_{t}(i)\)</span> el
espacio de decisiones para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{t}(i,a)\)</span> el costo
inmediato en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> tomando la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{t}(j|i,a)\)</span> la
probabilidad de estar en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> en el siguiente periodo dado que
en el periodo actual se está en <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y se toma la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span>. Este
problema se conoce como un proceso de decisión markoviano finito. Este
tipo de problemas se resuelven utilizando programación dinámica
estocástica (SDP). Sin embargo, en ciertos casos los componentes del
problema de decisión no dependen de la época, <strong>i.e.</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(S,\)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(A(i)\)</span>,
<span class="math notranslate nohighlight">\(c(i,a)\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(p(j|i,a)\)</span>. En este caso, se cumple la propiedad de
homogeneidad en el tiempo. Por tanto, se denomina Proceso de Decisión
markoviano homogéneo.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 1</p>
<p>Se tiene un SDP donde se desea encontrar la política que
minimice costos.</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\text{Épocas} = \{ 1,2,3 \}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\left\{ X_{n},n \geq 0 \right\},\ S = \{ a,b\}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[A(i) = \left\{ d_{1},d_{2} \right\}\ \ \ \ \ \forall\ i \in S\]</div>
<p>Retornos inmediatos</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}C = \begin{matrix}
& \begin{matrix}
d_{1} & d_{2}
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
a \\
b
\end{matrix} & \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 3
\end{bmatrix}
\end{matrix}\end{split}\]</div>
<p>Probabilidades de transición</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbb{P}_{d_{1}} = \begin{matrix}
& \begin{matrix}
a & b
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
a \\
b
\end{matrix} & \begin{bmatrix}
1/2 & 1/2 \\
1/3 & 2/3
\end{bmatrix}
\end{matrix}\mathbb{\ \ \ \ \ \ \ P}_{d_{2}} = \begin{matrix}
& \begin{matrix}
a & b
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
a \\
b
\end{matrix} & \begin{bmatrix}
1/4 & 3/4 \\
2/3 & 1/3
\end{bmatrix}
\end{matrix}\end{split}\]</div>
<p>Observamos que la solución se realiza de la siguiente forma:</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(f_{3}(a) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:3\ \ \ \\
d_{2}:1*
\end{matrix} \right.\ \)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(f_{3}(b) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:2* \\
d_{2}:3\ \ \
\end{matrix} \right.\ \)</span></p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(f_{2}(a) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:3 + {\frac{1}{2}f}_{3}(a) + \frac{1}{2}f_{3}(b) = 4.5\ \ \ \\
d_{2}:1 + \frac{1}{4}{\ f}_{3}(a) + \frac{3}{4}f_{3}(b) = 2.75*
\end{matrix} \right.\ \)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(f_{2}(b) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:2 + {\frac{1}{3}f}_{3}(a) + \frac{2}{3}f_{3}(b) = 3.66* \\
d_{2}:3 + {\frac{2}{3}f}_{3}(a) + \frac{1}{3}f_{3}(b) = 4.33
\end{matrix} \right.\ \)</span></p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(f_{1}(a) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:3 + {\frac{1}{2}f}_{2}(a) + \frac{1}{2}f_{2}(b) = 6.205\ \ \ \\
d_{2}:1 + \frac{1}{4}{\ f}_{2}(a) + \frac{3}{4}f_{2}(b) = 4.43*
\end{matrix} \right.\ \)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(f_{1}(b) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:2 + {\frac{1}{3}f}_{3}(a) + \frac{2}{3}f_{3}(b) = 5.36* \\
d_{2}:3 + {\frac{2}{3}f}_{3}(a) + \frac{1}{3}f_{3}(b) = 6.05
\end{matrix} \right.\ \)</span></p>
<p>Entonces, sin importar la época, para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span>, se toma la decisión
<span class="math notranslate nohighlight">\(d_{2}\)</span> y para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(b\)</span> la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{1}.\)</span></p>
</div>
<p>En los procesos de decisión markovianos, es interesante observar que
podemos tomar decisiones cuando el número de épocas es infinito, gracias
a la propiedad de homogeneidad.</p>
</section>
<section id="mdp-homogeneo-de-epocas-infinitas">
<h2><span class="section-number">18.2. </span>MDP homogéneo de épocas infinitas<a class="headerlink" href="#mdp-homogeneo-de-epocas-infinitas" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Un proceso de decisión markoviano homogéneo de <strong>épocas infinitas</strong>
cumple la propiedad markoviana (donde todo SDP la cumple), y la
propiedad de homogeneidad en el tiempo. Dado esto, la ecuación de
Bellman se denota como <span class="math notranslate nohighlight">\(V(i)\)</span> (valor de estar en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>) en vez
de <span class="math notranslate nohighlight">\(f_{t}(i)\)</span>, dado que ahora la decisión óptima no se verá afectada por
el período de decisión. La ecuación de Bellman se representa como:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[V_{i} = \underset{a \in A(i)}{\text{min/max}}{\ \left\{ c(i,a) + \right.\ \mathbb{E}\left( V_{j} \right)}\}\ \forall\ i \in S\]</div>
<p>Dada la anterior expresión, ocurre un problema esencial, y es que para
el cálculo de un <span class="math notranslate nohighlight">\(V(i)\)</span>, éste puede verse afectado por sí mismo. De la
ecuación se puede observar que, si se acumulan épocas infinitas,
entonces <span class="math notranslate nohighlight">\(V(i)\)</span> toma un valor infinito. Por tal motivo, se agrega a la
ecuación de Bellman un término conocido como <span class="math notranslate nohighlight">\(\beta\)</span> o tasa de
descuento, que determina el valor en el tiempo de las decisiones. Por lo
que <span class="math notranslate nohighlight">\(\beta\)</span> debe tomar un valor mayor a <span class="math notranslate nohighlight">\(0\)</span> y menor a<span class="math notranslate nohighlight">\(\ 1\)</span>. Dado esto,
se tiene que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[V(i) = \underset{a \in A(i)}{\text{min/max}}{\ \left\{ c(i,a) + \right.\ \mathbf{\beta}\mathbb{E}\lbrack V(j)\rbrack}\}\]</div>
<p>Entre más cercano el valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(\beta\)</span> sea a<span class="math notranslate nohighlight">\(\ 1\)</span>, se le da más
importancia al futuro y entre más cercano sea a<span class="math notranslate nohighlight">\(\ 0\)</span>, se le da más
importancia al presente. Finalmente, al ser <span class="math notranslate nohighlight">\(\beta\)</span> un valor menor a 1,
bajo una tendencia límite al infinito, el valor futuro tiende a<span class="math notranslate nohighlight">\(\ 0\)</span>,
dado que la expresión queda como
<span class="math notranslate nohighlight">\(\beta^{\# épocas} = \beta^{\infty} = 0\)</span>.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 2</p>
<p>Se tiene un MDP donde se desea encontrar la política que
minimice costos.</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\text{Épocas} = \{ 1,2,3,\ldots,\infty\}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\left\{ X_{n},n \geq 0 \right\},\ S = \{ a,b\}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[A(i) = \left\{ d_{1},d_{2} \right\}\ \ \ \ \ \forall\ i \in S\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\beta = 0.5\]</div>
<p>Costos inmediatos</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}C = \begin{matrix}
& \begin{matrix}
d_{1} & d_{2}
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
a \\
b
\end{matrix} & \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 3
\end{bmatrix}
\end{matrix}\end{split}\]</div>
<p>Probabilidades de transición</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbb{P}_{d_{1}} = \begin{matrix}
& \begin{matrix}
a & b
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
a \\
b
\end{matrix} & \begin{bmatrix}
1/2 & 1/2 \\
1/3 & 2/3
\end{bmatrix}
\end{matrix}\mathbb{\ \ \ \ \ \ \ P}_{d_{2}} = \begin{matrix}
& \begin{matrix}
a & b
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
a \\
b
\end{matrix} & \begin{bmatrix}
1/4 & 3/4 \\
2/3 & 1/3
\end{bmatrix}
\end{matrix}\end{split}\]</div>
<p>Ecuaciones de Bellman</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\ V(a) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:3 + 0.5\left( \frac{1}{2}V(a) + \frac{1}{2}V(b) \right)\ \ \ \\
d_{2}:1 + 0.5\left( \frac{1}{4}V(a) + \frac{3}{4}V(b) \right)
\end{matrix} \right.\ \ \ \ V(b) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:2 + 0.5\left( \frac{1}{3}V(a) + \frac{2}{3}V(b) \right) \\
d_{2}:3 + 0.5\left( \frac{2}{3}V(a) + \frac{1}{3}V(b) \right)
\end{matrix} \right.\ \end{split}\]</div>
</div>
</section>
<section id="solucion-mdp-de-epocas-infinitas">
<h2><span class="section-number">18.3. </span>Solución MDP de épocas infinitas<a class="headerlink" href="#solucion-mdp-de-epocas-infinitas" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Con base en la definición de MDPs infinitos, podemos observar que las
matrices de probabilidades de transición están cumpliendo dos
propiedades: homogeneidad en el tiempo y markoviana. Una matriz
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}_{a}\)</span> donde <span class="math notranslate nohighlight">\(a \in A(i)\ \forall\ i \in S\)</span> representa una
CMTD que puede ser o no ergódica.</p>
<p>Si deseamos resolver un MDP homogéneo infinito, es posible observar el
sistema en estado estable. Conociendo que en cada época de decisión se
plantea una cadena de Markov, podemos utilizar las técnicas para
resolver estado estable de una CMTD para resolver también el MDP
homogéneo infinito.</p>
<section id="iteracion-de-valor">
<h3><span class="section-number">18.3.1. </span><strong>Iteración de Valor</strong><a class="headerlink" href="#iteracion-de-valor" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>En una cadena de Markov, se puede resolver estado estable conociendo que
cuando la matriz de transiciones <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}\)</span>, se eleva a un número muy
grande puede llegar a estabilidad de acuerdo con sus características.
Este mismo proceso se aplica en el MDP, en donde <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{1}\)</span>
representa evaluar el proceso como un MDP homogéneo <strong>finito</strong>, es decir
un SDP con 1 época; <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{2}\)</span> representa evaluar el proceso como
un SDP de 2 épocas y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{n}\)</span> como un SDP de <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> épocas.</p>
<p>Se encuentra estabilidad cuando la decisión óptima es igual para un
estado, sin importar la época de decisión. Puede ocurrir que las
decisiones varíen en las primeras épocas para un mismo estado; sin
embargo, desde una época, el proceso llega a estabilidad y la regla de
decisión para un mismo estado no varía de acuerdo con la época de
decisión. Este proceso puede llegar a ser largo, dado que no se sabe con
exactitud cuándo se puede estabilizar el MDP.</p>
</section>
<section id="iteracion-de-politica">
<h3><span class="section-number">18.3.2. </span><strong>Iteración de política</strong><a class="headerlink" href="#iteracion-de-politica" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Tal y como existe un método para resolver MDP homogéneo e infinito
siguiendo la lógica de <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{P}^{n}\)</span>, también existe uno con
ecuaciones de balance. Se supone que cada posible política que puede
ocurrir tiene una CMTD detrás de la política. El método de Iteración por
política evalúa el resultado de todas las <strong>posibles</strong> políticas y
encuentra la política que optimiza el proceso de decisión. El ejemplo 3
ilustra el método.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 3</p>
<p><strong>Continuamos con el ejemplo 2.</strong></p>
<p>Ecuaciones de Bellman</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\ V(a) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:3 + 0.5\left( \frac{1}{2}V(a) + \frac{1}{2}V(b) \right)\ \ \ \\
d_{2}:1 + 0.5\left( \frac{1}{4}V(a) + \frac{3}{4}V(b) \right)
\end{matrix} \right.\ \ \ \ V(b) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:2 + 0.5\left( \frac{1}{3}V(a) + \frac{2}{3}V(b) \right) \\
d_{2}:3 + 0.5\left( \frac{2}{3}V(a) + \frac{1}{3}V(b) \right)
\end{matrix} \right.\ \end{split}\]</div>
<p>Listamos todas las <strong>posibles</strong> políticas de decisión:</p>
<p><u>Política 1:</u> Para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span> tomar la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{1}\)</span> y
para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(b\)</span> la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{1}\)</span></p>
<p><u>Política 2:</u> Para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span> tomar la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{1}\)</span> y
para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(b\)</span> la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{2}\)</span></p>
<p><u>Política 3:</u> Para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span> tomar la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{2}\)</span> y
para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(b\)</span> la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{1}\)</span></p>
<p><u>Política 4:</u> Para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span> tomar la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{2}\)</span> y
para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(b\)</span> la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{2}\)</span></p>
<p>Cada política tiene asociada un set de ecuaciones que se puede resolver.
Por ejemplo, la política 1 tiene asociadas las ecuaciones:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[V(a) = 3 + 0.5\left( \frac{1}{2}V(a) + \frac{1}{2}V(b) \right)\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[V(b) = 2 + 0.5\left( \frac{1}{3}V(a) + \frac{2}{3}V(b) \right)\]</div>
<p>Y al tener 2 incógnitas, se puede resolver y da como resultado:
<span class="math notranslate nohighlight">\(V(a) = 5.45\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(V(b) = 4.36\)</span></p>
<p>Si resolvemos para cada política, obtenemos que:</p>
<p><u>Política 1:</u> <span class="math notranslate nohighlight">\(V(a) = 5.45\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(V(b) = 4.36\)</span></p>
<p><u>Política 2:</u> <span class="math notranslate nohighlight">\(V(a) = 6\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(V(b) = 6\)</span></p>
<p><u>Política 3:</u> <span class="math notranslate nohighlight">\(V(a) = 2.72\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(V(b) = 3.68\)</span></p>
<p><u>Política 4:</u> <span class="math notranslate nohighlight">\(V(a) = 3.24\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(V(b) = 4.9\)</span></p>
<p>La política que minimiza el resultado será la cual que
<span class="math notranslate nohighlight">\(\sum_{i \in S}^{}{V(i)}\)</span> sea la menor. En este caso es la política 3.</p>
</div>
</section>
<section id="metodo-de-solucion-de-mdps-basado-en-programacion-lineal">
<h3><span class="section-number">18.3.3. </span><strong>Método de solución de MDPs basado en Programación Lineal</strong><a class="headerlink" href="#metodo-de-solucion-de-mdps-basado-en-programacion-lineal" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Supongamos un problema de decisión en el tiempo (MDP) donde se busca
optimizar una función objetivo, en este caso con sentido de
maximización. Las ecuaciones de Bellman son entonces:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[V(i) = \max_{a \in A(i)}\left\{ c(i,a) + \beta \cdot \sum_{j \in S}^{}{p\left( j \middle| i,a \right) \cdot V(j)} \right\}\ \forall\ i \in S\]</div>
<p>Para cada estado, su valor óptimo <span class="math notranslate nohighlight">\(V^{*}(i)\)</span> cumple con la siguiente
condición:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[V^{*}(i) \geq \max_{a \in A(i)}\left\{ c(i,a) + \beta \cdot \sum_{j \in S}^{}{p\left( j \middle| i,a \right) \cdot V(j)} \right\}\ \forall\ i \in S\]</div>
<p>Si la anterior expresión se separa por acción se obtiene:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[V^{*}(i) \geq c(i,a) + \beta \cdot \sum_{j \in S}^{}{p\left( j \middle| i,a \right) \cdot V(j)}\ \forall\ a \in A(i),\ i \in S\]</div>
<p>Entonces, para resolver el problema de decisión del MDP se utiliza
programación lineal</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P = \min{\sum_{i \in S}^{}{V(i)}}\]</div>
<p>s.a,</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[V(i) \geq c(i,a) + \beta \cdot \sum_{j \in S}^{}{p\left( j \middle| i,a \right) \cdot V(j)}\ \forall\ a \in A(i),\ i \in S\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[V(i) \geq 0\ \forall\ i \in S\ \]</div>
<p>Observemos que, si el problema de decisión busca maximizar, el programa
lineal tendrá sentido de minimización. Así mismo, si el problema de
decisión busca minimizar, el programa lineal tendrá sentido de
maximización. No obstante, con el programa lineal solo se encuentra la
solución óptima <span class="math notranslate nohighlight">\(V^{*}(i)\)</span> de cada estado. Ahora, ¿cómo se obtiene cuál
fue la acción que optimiza <span class="math notranslate nohighlight">\(V(i)\)</span> en cada estado (política óptima
<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi^{*}\)</span>)?</p>
<p>Para responder a esta pregunta, se analiza el valor de las variables
resultantes del programa dual asociado donde
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mu(i,a)\ \forall\ a \in A(i),\ \ i \in S\)</span> son las variables duales de
cada restricción del problema primal.</p>
<p>A continuación, se presenta el programa dual del MDP en mención:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[D = \max{\sum_{i \in S}^{}{\sum_{a \in A(i)}^{}{\mu(i,a) \cdot c(i,a)}}}\]</div>
<p>s.a,</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{a \in A(j)}^{}{\mu(j,a)}\ = \beta \cdot \sum_{i \in S}^{}{\sum_{a \in A(i)}^{}{p\left( j \middle| i,a \right) \cdot \mu(i,a)}}\ \forall\ \ j \in S\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\mu(i,a) \geq 0\ \forall\ a\ \in A(i),\ i\ \in \ S\]</div>
<p>Por dualidad fuerte se tiene que <span class="math notranslate nohighlight">\(P^{*} = D^{*}\)</span>. De esta manera, para
saber las acciones correspondientes de política óptima para cada estado,
se buscan las restricciones activas del problema primal <span class="math notranslate nohighlight">\(P\)</span> (donde las
variables duales toman valor).</p>
</section>
<section id="valor-esperado-de-la-politica">
<h3><span class="section-number">18.3.4. </span><strong>Valor esperado de la política</strong><a class="headerlink" href="#valor-esperado-de-la-politica" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Ahora bien, <span class="math notranslate nohighlight">\(V(i)\)</span> representa los retornos esperados en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>.
Si deseamos calcular los retornos de la política, tenemos que calcular
la probabilidad de estar en cada estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> del sistema, y ponderarlo
por el valor de la política en ese estado <span class="math notranslate nohighlight">\(V(i)\)</span>. Para calcular el valor
esperado de una política, se debe estimar la probabilidad de estar en el
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\ \)</span>en estado estable (únicamente válido para cadenas
ergódicas). Por lo que el valor esperado de la política se puede
expresar como:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{i \in S}^{}{\pi_{i} \cdot V(i)}\]</div>
<p>Entonces debemos calcular las <strong>probabilidades en estado estable</strong> <strong>de
la política</strong>. Sabemos entonces que cualquier política de un MDP
homogéneo e infinito se representa como una CMTD. Esta cadena representa
las transiciones que genera la política encontrada. Dado esto, se pueden
encontrar estas probabilidades y encontrar el valor esperado de la
política.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 4</p>
<p><strong>Continuando con el ejemplo 2.</strong></p>
<p>Ecuaciones de Bellman</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\ V(a) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:3 + 0.5\left( \frac{1}{2}V(a) + \frac{1}{2}V(b) \right)\ \ \ \\
d_{2}:1 + 0.5\left( \frac{1}{4}V(a) + \frac{3}{4}V(b) \right)
\end{matrix} \right.\ \ \ \ V(b) = min\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:2 + 0.5\left( \frac{1}{3}V(a) + \frac{2}{3}V(b) \right) \\
d_{2}:3 + 0.5\left( \frac{2}{3}V(a) + \frac{1}{3}V(b) \right)
\end{matrix} \right.\ \end{split}\]</div>
<p>Y la política óptima es para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span> tomar la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{2}\)</span> y
para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(b\)</span> la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(d_{1}\)</span> con valores <span class="math notranslate nohighlight">\(V(a) = 2.72\)</span> y
<span class="math notranslate nohighlight">\(V(b) = 3.68\)</span>.</p>
<p>Entonces se puede crear una CMTD con una matriz de transición con las
probabilidades dadas de la política:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbb{P}^{*} = \begin{matrix}
& \begin{matrix}
a & b
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
a \\
b
\end{matrix} & \begin{bmatrix}
1/4 & 3/4 \\
1/3 & 2/3
\end{bmatrix}
\end{matrix}\end{split}\]</div>
<p>A esta CMTD se puede calcular estado estable y da como resultado:
<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{a} = 0.69\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{b} = 0.31\)</span>. Entonces el valor esperado de la
política es:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[Valor = \pi_{a}V(a) + \pi_{b}V(b) = 3.02\]</div>
</div>
</section>
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<i class="fa-solid fa-list"></i> Contents
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<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">18.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#mdp-homogeneo-de-epocas-infinitas">18.2. MDP homogéneo de épocas infinitas</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#solucion-mdp-de-epocas-infinitas">18.3. Solución MDP de épocas infinitas</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#iteracion-de-valor">18.3.1. <strong>Iteración de Valor</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#iteracion-de-politica">18.3.2. <strong>Iteración de política</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#metodo-de-solucion-de-mdps-basado-en-programacion-lineal">18.3.3. <strong>Método de solución de MDPs basado en Programación Lineal</strong></a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#valor-esperado-de-la-politica">18.3.4. <strong>Valor esperado de la política</strong></a></li>
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By The Jupyter Book Community
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© Copyright 2022.
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