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<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
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</li>
<li><a href="https://github.com/executablebooks/jupyter-book/issues/new?title=Issue%20on%20page%20%2Fchapter16.html&body=Your%20issue%20content%20here." target="_blank"
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<h1>Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</h1>
<!-- Table of contents -->
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<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#principio-de-optimalidad-definicion">16.1. Principio de optimalidad - Definición</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#definicion-16-1-1">16.1.1. <strong>Definición 16.1.1:</strong></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ecuaciones-de-bellman-caso-deterministico">16.2. Ecuaciones de Bellman – caso determinístico</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="principio-de-optimalidad-y-ecuaciones-de-bellman">
<h1><span class="section-number">16. </span>Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman<a class="headerlink" href="#principio-de-optimalidad-y-ecuaciones-de-bellman" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este capítulo se presenta la definición del principio de optimalidad,
condición necesaria para resolver un problema de decisión en el tiempo
usando programación dinámica. Se muestra un ejemplo de un problema que
no cumple con el principio de optimalidad y, finalmente, se muestra la
construcción de las ecuaciones recursivas que permiten construir la
política óptima para un problema de decisión en el tiempo.</p>
<section id="principio-de-optimalidad-definicion">
<h2><span class="section-number">16.1. </span>Principio de optimalidad - Definición<a class="headerlink" href="#principio-de-optimalidad-definicion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Solucionar un problema de decisión en el tiempo consiste en encontrar
una política óptima. Esto es, encontrar una decisión para cada estado y
cada época tal que se minimice (o se maximice) una función objetivo.
Como se vio en el capítulo anterior, una de las formas de encontrar la
política óptima <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi^{*}\)</span> es usando inducción hacía atrás.
Fundamentalmente, realizar inducción hacía atrás consiste en escribir la
solución al problema en la etapa <span class="math notranslate nohighlight">\(t \in E\)</span> en términos de la solución
del mismo problema para algún estado de la etapa <span class="math notranslate nohighlight">\(t + 1\)</span>. Esto es
posible siempre y cuando el problema que se quiera resolver cumpla con
el principio de optimalidad, que se define a continuación:</p>
<section id="definicion-16-1-1">
<h3><span class="section-number">16.1.1. </span><strong>Definición 16.1.1:</strong><a class="headerlink" href="#definicion-16-1-1" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>En la política óptima de un problema, independientemente de los estados
y de las decisiones sobre una época inicial, los estados y las
decisiones de las épocas restantes deben ser óptimas con respecto al
subproblema resultante al remover la época inicial.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 1</p>
<p>DACL es una empresa de paquetería que cuenta con 36
centros de distribución en Colombia. Un paquete que llega al puerto de
Buenaventura y tiene destino final en Bogotá se puede mover por la red
de distribución de DACL como se muestra en la Figura 1, donde el peso de
cada arco es el costo de enviar un paquete de una ciudad a otra:</p>
<p><img alt="Figura 1" src="_images/optimalidad1.png" /></p>
<p>En este caso el problema que se quiere solucionar es encontrar la ruta
más económica para enviar un paquete de Buenaventura a Bogotá, y para
encontrarla es necesario resolver subproblemas que consisten en
encontrar la ruta más económica entre ciudades intermedias y Bogotá.
Así, DACL sabe que la ruta más corta entre Buenaventura y Bogotá es la
ruta Buenaventura-Armenia-Pereira-Bogotá con un costo de $377. Si este
problema cumple con el principio de optimalidad, entonces DACL también
podría decir que la ruta más corta entre Armenia y Bogotá es
Armenia-Pereira-Bogotá.</p>
<p>Suponga que esto no es cierto, es decir, la ruta más corta de Armenia a
Bogotá es por ejemplo Armenia-Manizales-Bogotá. Esto implicaría que la
ruta Buenaventura-Armenia-Manizales-Bogotá es más corta que
Buenaventura-Armenia-Pereira-Bogotá, lo que contradice el hecho que la
ruta más corta entre Buenaventura y Bogotá es
Buenaventura-Armenia-Pereira-Bogotá.</p>
</div>
<p>Ahora, el principio de optimalidad no se cumple para todos los
problemas. Cuando un problema de decisión en el tiempo no cumple con el
principio de optimalidad, se debe solucionar con técnicas diferentes a
inducción hacía atrás o programación dinámica. A continuación, se
muestra un ejemplo de un proceso de decisión que no cumple con el
principio de optimalidad.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 2</p>
<p>Considere la red de la Figura 2, donde se quiere hallar
la ruta más larga sin ciclos del nodo Q al nodo T. Note que es de
interés hallar rutas sin ciclos pues cuando se permiten ciclos la
solución se vuelve trivial y vale <span class="math notranslate nohighlight">\(\infty\)</span>:</p>
<p><img alt="Figura 2" src="_images/optimalidad2.png" /></p>
<p>En este caso, el problema es encontrar la ruta más larga de Q a T y los
subproblemas son encontrar la ruta más larga entre los nodos intermedios
y T. No es difícil ver que la ruta más larga entre Q y T es Q-R-T con
una distancia de 3. Si este problema cumpliera con el principio de
optimalidad, entonces R-T sería la ruta más larga entre R y T; sin
embargo, la ruta más larga en este caso es R-Q-S-T.</p>
</div>
</section>
</section>
<section id="ecuaciones-de-bellman-caso-deterministico">
<h2><span class="section-number">16.2. </span>Ecuaciones de Bellman – caso determinístico<a class="headerlink" href="#ecuaciones-de-bellman-caso-deterministico" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Recordemos el ejemplo 1. Definimos:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[f_{1}\left( \text{Buenaventura} \right):\ El\ valor\ de\ la\ ruta\ más\ corta\ de\ Buenaventura\ a\ Bogotá.\]</div>
<p>Entonces el problema se reduce a encontrar <span class="math notranslate nohighlight">\(f_{1}(\text{Buenaventura})\)</span>
y la política <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi^{*}\)</span> que le permite a DACL alcanzar ese valor. Así,
en general se puede definir <span class="math notranslate nohighlight">\(f_{t}(i)\)</span> para cualquier estado y cualquier
etapa así:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[f_{t}(i):\ El\ valor\ esperado\ de\ la\ solción\ óptima\ al\ problema\ del\ estado\ i \in S_{t}\ de\ la\ etapa\ t.\]</div>
<p>Si además se sabe que el problema cumple con el principio de
optimalidad, es posible construir la solución óptima a partir de
soluciones óptimas a problemas más pequeños. Sabemos que para el estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S_{t}\)</span> de la etapa <span class="math notranslate nohighlight">\(t \in T\)</span> encontrar la solución es escoger
algún <span class="math notranslate nohighlight">\(a \in A_{t}(i)\)</span> que minimice (o maximice) <span class="math notranslate nohighlight">\(f_{t}(i)\)</span>. Entonces,
es posible escribir una relación recursiva de la forma:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[f_{t}(i) = \min_{a \in A_{t}(i)}\left\{ c_{t}(i,a) + f_{t + 1}(s_{t + 1}(i,a)) \right\}\]</div>
<p>Donde <span class="math notranslate nohighlight">\(s_{t + 1}(i,a)\)</span> es el estado al que se llega en la época <span class="math notranslate nohighlight">\(t + 1\)</span>
cuando en la época <span class="math notranslate nohighlight">\(t \in E\)</span> y el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S_{t}\)</span> se toma la
decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(a \in A_{t}(i)\)</span>. Note que para conocer <span class="math notranslate nohighlight">\(f_{t}(i)\)</span> es necesario
conocer <span class="math notranslate nohighlight">\(f_{t + 1}(j)\)</span> para cada estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> al que se puede ir al tomar
la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(a \in A_{t}(i)\)</span>. Si escribimos la misma ecuación para
<span class="math notranslate nohighlight">\(f_{t + 1}(j)\)</span> obtenemos:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[f_{t + 1}(j) = \min_{a \in A_{t + 1}(j)}\left\{ c_{t + 1}(j,a) + f_{t + 2}(s_{t + 2}(j,a)) \right\}\]</div>
<p>Y nuevamente, para conocer <span class="math notranslate nohighlight">\(f_{t + 1}(j)\)</span> es necesario conocer
<span class="math notranslate nohighlight">\(f_{t + 2}(i)\)</span> para algún estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S_{t + 2}\)</span>. Es necesario
entonces formular esta misma ecuación recursiva hasta la última etapa
del proceso de decisión, donde se obtiene:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[f_{|E|}(i) = \min_{a \in A_{|E|}(i)}\left\{ c_{|E|}(i,a) \right\}\]</div>
<p>Note que esta última ecuación es la solución al subproblema más pequeño,
y a partir de esta se pueden solucionar los subproblemas moviéndose de
la última hasta la primera etapa de decisión hasta encontrar la solución
al problema original.</p>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">15. </span>Procesos de decisión en el tiempo</p>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">17. </span>Programación Dinámica</p>
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