-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
Expand file tree
/
Copy pathchapter15.html
More file actions
926 lines (768 loc) · 46.8 KB
/
chapter15.html
File metadata and controls
926 lines (768 loc) · 46.8 KB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
<!DOCTYPE html>
<html lang="en" >
<head>
<meta charset="utf-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" /><meta name="generator" content="Docutils 0.18.1: http://docutils.sourceforge.net/" />
<title>15. Procesos de decisión en el tiempo — My sample book</title>
<script data-cfasync="false">
document.documentElement.dataset.mode = localStorage.getItem("mode") || "";
document.documentElement.dataset.theme = localStorage.getItem("theme") || "light";
</script>
<!-- Loaded before other Sphinx assets -->
<link href="_static/styles/theme.css?digest=e353d410970836974a52" rel="stylesheet" />
<link href="_static/styles/bootstrap.css?digest=e353d410970836974a52" rel="stylesheet" />
<link href="_static/styles/pydata-sphinx-theme.css?digest=e353d410970836974a52" rel="stylesheet" />
<link href="_static/vendor/fontawesome/6.1.2/css/all.min.css?digest=e353d410970836974a52" rel="stylesheet" />
<link rel="preload" as="font" type="font/woff2" crossorigin href="_static/vendor/fontawesome/6.1.2/webfonts/fa-solid-900.woff2" />
<link rel="preload" as="font" type="font/woff2" crossorigin href="_static/vendor/fontawesome/6.1.2/webfonts/fa-brands-400.woff2" />
<link rel="preload" as="font" type="font/woff2" crossorigin href="_static/vendor/fontawesome/6.1.2/webfonts/fa-regular-400.woff2" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/pygments.css" />
<link rel="stylesheet" href="_static/styles/sphinx-book-theme.css?digest=14f4ca6b54d191a8c7657f6c759bf11a5fb86285" type="text/css" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/togglebutton.css" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/copybutton.css" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/mystnb.4510f1fc1dee50b3e5859aac5469c37c29e427902b24a333a5f9fcb2f0b3ac41.css" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/sphinx-thebe.css" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="_static/design-style.4045f2051d55cab465a707391d5b2007.min.css" />
<!-- Pre-loaded scripts that we'll load fully later -->
<link rel="preload" as="script" href="_static/scripts/bootstrap.js?digest=e353d410970836974a52" />
<link rel="preload" as="script" href="_static/scripts/pydata-sphinx-theme.js?digest=e353d410970836974a52" />
<script data-url_root="./" id="documentation_options" src="_static/documentation_options.js"></script>
<script src="_static/jquery.js"></script>
<script src="_static/underscore.js"></script>
<script src="_static/_sphinx_javascript_frameworks_compat.js"></script>
<script src="_static/doctools.js"></script>
<script src="_static/clipboard.min.js"></script>
<script src="_static/copybutton.js"></script>
<script src="_static/scripts/sphinx-book-theme.js?digest=5a5c038af52cf7bc1a1ec88eea08e6366ee68824"></script>
<script>let toggleHintShow = 'Click to show';</script>
<script>let toggleHintHide = 'Click to hide';</script>
<script>let toggleOpenOnPrint = 'true';</script>
<script src="_static/togglebutton.js"></script>
<script>var togglebuttonSelector = '.toggle, .admonition.dropdown';</script>
<script src="_static/design-tabs.js"></script>
<script>const THEBE_JS_URL = "https://unpkg.com/thebe@0.8.2/lib/index.js"
const thebe_selector = ".thebe,.cell"
const thebe_selector_input = "pre"
const thebe_selector_output = ".output, .cell_output"
</script>
<script async="async" src="_static/sphinx-thebe.js"></script>
<script>window.MathJax = {"options": {"processHtmlClass": "tex2jax_process|mathjax_process|math|output_area"}}</script>
<script defer="defer" src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
<script>DOCUMENTATION_OPTIONS.pagename = 'chapter15';</script>
<link rel="index" title="Index" href="genindex.html" />
<link rel="search" title="Search" href="search.html" />
<link rel="next" title="16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman" href="chapter16.html" />
<link rel="prev" title="14. Costos en cadenas de Markov" href="chapter14.html" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"/>
<meta name="docsearch:language" content="en"/>
</head>
<body data-bs-spy="scroll" data-bs-target=".bd-toc-nav" data-offset="180" data-bs-root-margin="0px 0px -60%" data-default-mode="">
<a class="skip-link" href="#main-content">Skip to main content</a>
<input type="checkbox"
class="sidebar-toggle"
name="__primary"
id="__primary"/>
<label class="overlay overlay-primary" for="__primary"></label>
<input type="checkbox"
class="sidebar-toggle"
name="__secondary"
id="__secondary"/>
<label class="overlay overlay-secondary" for="__secondary"></label>
<div class="search-button__wrapper">
<div class="search-button__overlay"></div>
<div class="search-button__search-container">
<form class="bd-search d-flex align-items-center"
action="search.html"
method="get">
<i class="fa-solid fa-magnifying-glass"></i>
<input type="search"
class="form-control"
name="q"
id="search-input"
placeholder="Search this book..."
aria-label="Search this book..."
autocomplete="off"
autocorrect="off"
autocapitalize="off"
spellcheck="false"/>
<span class="search-button__kbd-shortcut"><kbd class="kbd-shortcut__modifier">Ctrl</kbd>+<kbd>K</kbd></span>
</form></div>
</div>
<nav class="bd-header navbar navbar-expand-lg bd-navbar">
</nav>
<div class="bd-container">
<div class="bd-container__inner bd-page-width">
<div class="bd-sidebar-primary bd-sidebar">
<div class="sidebar-header-items sidebar-primary__section">
</div>
<div class="sidebar-primary-items__start sidebar-primary__section">
<div class="sidebar-primary-item">
<a class="navbar-brand logo" href="intro.html">
<img src="_static/logo.png" class="logo__image only-light" alt="Logo image"/>
<script>document.write(`<img src="_static/logo.png" class="logo__image only-dark" alt="Logo image"/>`);</script>
</a></div>
<div class="sidebar-primary-item"><nav class="bd-links" id="bd-docs-nav" aria-label="Main">
<div class="bd-toc-item navbar-nav active">
<ul class="nav bd-sidenav bd-sidenav__home-link">
<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
</nav></div>
</div>
<div class="sidebar-primary-items__end sidebar-primary__section">
</div>
<div id="rtd-footer-container"></div>
</div>
<main id="main-content" class="bd-main">
<div class="sbt-scroll-pixel-helper"></div>
<div class="bd-content">
<div class="bd-article-container">
<div class="bd-header-article">
<div class="header-article-items header-article__inner">
<div class="header-article-items__start">
<div class="header-article-item"><label class="sidebar-toggle primary-toggle btn btn-sm" for="__primary" title="Toggle primary sidebar" data-bs-placement="bottom" data-bs-toggle="tooltip">
<span class="fa-solid fa-bars"></span>
</label></div>
</div>
<div class="header-article-items__end">
<div class="header-article-item">
<div class="article-header-buttons">
<div class="dropdown dropdown-source-buttons">
<button class="btn dropdown-toggle" type="button" data-bs-toggle="dropdown" aria-expanded="false" aria-label="Source repositories">
<i class="fab fa-github"></i>
</button>
<ul class="dropdown-menu">
<li><a href="https://github.com/executablebooks/jupyter-book" target="_blank"
class="btn btn-sm btn-source-repository-button dropdown-item"
title="Source repository"
data-bs-placement="left" data-bs-toggle="tooltip"
>
<span class="btn__icon-container">
<i class="fab fa-github"></i>
</span>
<span class="btn__text-container">Repository</span>
</a>
</li>
<li><a href="https://github.com/executablebooks/jupyter-book/issues/new?title=Issue%20on%20page%20%2Fchapter15.html&body=Your%20issue%20content%20here." target="_blank"
class="btn btn-sm btn-source-issues-button dropdown-item"
title="Open an issue"
data-bs-placement="left" data-bs-toggle="tooltip"
>
<span class="btn__icon-container">
<i class="fas fa-lightbulb"></i>
</span>
<span class="btn__text-container">Open issue</span>
</a>
</li>
</ul>
</div>
<div class="dropdown dropdown-download-buttons">
<button class="btn dropdown-toggle" type="button" data-bs-toggle="dropdown" aria-expanded="false" aria-label="Download this page">
<i class="fas fa-download"></i>
</button>
<ul class="dropdown-menu">
<li><a href="_sources/chapter15.md" target="_blank"
class="btn btn-sm btn-download-source-button dropdown-item"
title="Download source file"
data-bs-placement="left" data-bs-toggle="tooltip"
>
<span class="btn__icon-container">
<i class="fas fa-file"></i>
</span>
<span class="btn__text-container">.md</span>
</a>
</li>
<li>
<button onclick="window.print()"
class="btn btn-sm btn-download-pdf-button dropdown-item"
title="Print to PDF"
data-bs-placement="left" data-bs-toggle="tooltip"
>
<span class="btn__icon-container">
<i class="fas fa-file-pdf"></i>
</span>
<span class="btn__text-container">.pdf</span>
</button>
</li>
</ul>
</div>
<button onclick="toggleFullScreen()"
class="btn btn-sm btn-fullscreen-button"
title="Fullscreen mode"
data-bs-placement="bottom" data-bs-toggle="tooltip"
>
<span class="btn__icon-container">
<i class="fas fa-expand"></i>
</span>
</button>
<script>
document.write(`
<button class="theme-switch-button btn btn-sm btn-outline-primary navbar-btn rounded-circle" title="light/dark" aria-label="light/dark" data-bs-placement="bottom" data-bs-toggle="tooltip">
<span class="theme-switch" data-mode="light"><i class="fa-solid fa-sun"></i></span>
<span class="theme-switch" data-mode="dark"><i class="fa-solid fa-moon"></i></span>
<span class="theme-switch" data-mode="auto"><i class="fa-solid fa-circle-half-stroke"></i></span>
</button>
`);
</script>
<script>
document.write(`
<button class="btn btn-sm navbar-btn search-button search-button__button" title="Search" aria-label="Search" data-bs-placement="bottom" data-bs-toggle="tooltip">
<i class="fa-solid fa-magnifying-glass"></i>
</button>
`);
</script>
<label class="sidebar-toggle secondary-toggle btn btn-sm" for="__secondary"title="Toggle secondary sidebar" data-bs-placement="bottom" data-bs-toggle="tooltip">
<span class="fa-solid fa-list"></span>
</label>
</div></div>
</div>
</div>
</div>
<div id="jb-print-docs-body" class="onlyprint">
<h1>Procesos de decisión en el tiempo</h1>
<!-- Table of contents -->
<div id="print-main-content">
<div id="jb-print-toc">
<div>
<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">15.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#componentes">15.2. Componentes</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#clasificacion-de-los-problemas-de-decision-en-el-tiempo">15.3. Clasificación de los problemas de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#relacion-con-las-cadenas-de-markov">15.4. Relación con las cadenas de Markov</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-politica-optima">15.5. La política óptima</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#estructura-de-un-problema-de-decision-en-el-tiempo">15.5.1. Estructura de un problema de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#metodos-de-solucion">15.5.2. Métodos de solución</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="procesos-de-decision-en-el-tiempo">
<h1><span class="section-number">15. </span>Procesos de decisión en el tiempo<a class="headerlink" href="#procesos-de-decision-en-el-tiempo" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este capítulo trataremos el problema de toma de decisiones óptimas,
cuando no todas las decisiones tienen que ser tomadas en el mismo
instante del tiempo. Discutiremos sobre cuáles problemas de optimización
tienen una estructura que permite definirlos como procesos de decisión
en el tiempo y sobre cuáles son los aspectos que caracterizan un
problema de decisión en el tiempo. Luego hablaremos de cómo solucionar
estos problemas y encontrar la solución óptima.</p>
<section id="introduccion">
<h2><span class="section-number">15.1. </span>Introducción<a class="headerlink" href="#introduccion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Un proceso de decisión en el tiempo es un tipo de problema donde una
secuencia de decisiones debe ser tomada para optimizar un resultado que
se obtiene a partir del estado de un sistema que varía con el tiempo. Un
ejemplo muy clásico es la gestión de inventarios, donde en una secuencia
de periodos se debe decidir cuándo y cuánto ordenar para mantener un
nivel adecuado de inventario cuyo valor cambia en el tiempo. El valor de
las decisiones que se toman dependerá no solo de las decisiones mismas
(cantidad ordenada), sino del valor del inventario, ya que, por ejemplo,
se incurrirá en costos de almacenamiento o incluso en costos por
faltantes.</p>
<p>La variación del estado del sistema ocurre como consecuencia de las
decisiones, así como puede también tener un componente asociado a
factores externos. Por ejemplo, en el caso de la gestión de un
inventario, las decisiones obviamente cambian el estado del sistema,
dado que al recibir las órdenes el número de productos en el inventario
sube. Pero, el nivel de inventario puede ser afectado por factores
externos, como la demanda.</p>
<p>La dinámica de la variación del estado del sistema puede ser de
naturaleza determinística o estocástica. En algunos escenarios, el
resultado de las decisiones contempla certidumbre. Por ejemplo,
consideramos el proceso de decisión de un inversionista en bolsa, que
decide cuando vender sus acciones. Dado el estado del sistema, o sea el
valor de la acción, si se decide vender cierta cantidad de acciones se
obtendrá una ganancia que es totalmente predecible y que no afecta al
estado del sistema (para pequeños accionistas). Por el contrario,
existen casos donde una decisión genera variaciones del estado del
sistema que solo son predecibles en términos probabilísticos. Por
ejemplo, la venta de cantidades importantes de acciones podría generar
un impacto sobre la bolsa. Así mismo, la dinámica del sistema podría ser
inherentemente estocástica: por ejemplo, las variaciones en el
inventario de un producto que resultan de una demanda no determinística.</p>
<p>Finalmente, consideraremos exclusivamente procesos de decisión
discretos, o sea cuando el problema del tomador de decisión es
seleccionar, entre un conjunto discreto de posibles alternativas de
decisión, la mejor a tomar en un conjunto de instantes de tiempo
discreto.</p>
<p>En la siguiente sección vamos a formalizar las componentes de un
problema de decisión en el tiempo, que caracterizan los momentos en los
cuales es necesario tomar decisiones, el conjunto de decisiones que son
posibles, así como la información necesaria para entender y predecir la
variación del estado del sistema y el valor que las decisiones otorgan
al decisor.</p>
<p>La idea detrás de un proceso de decisión es tomar aquella decisión,
según la época y el estado del sistema que optimice los retornos. Cada
vez que se toma una decisión, se genera un retorno <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{t}(i,a)\)</span>, que
puede ser negativo, positivo o cero.</p>
</section>
<section id="componentes">
<h2><span class="section-number">15.2. </span>Componentes<a class="headerlink" href="#componentes" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Los procesos de decisión discretos en el tiempo son caracterizados a
través de las siguientes componentes:</p>
<ol class="arabic simple">
<li><p>Conjunto de épocas <span class="math notranslate nohighlight">\(E = \{ 1,\ldots,\ T\}\)</span> discreto donde se
observará el sistema y se tomarán decisiones. En cada época se toma
una (y una sola) decisión para optimizar en ese periodo el valor
para el tomador de decisión. Usualmente no se toman decisiones en la
última época.</p></li>
<li><p>Variable de estado <span class="math notranslate nohighlight">\(X_{t}\)</span> que representa el sistema en cada periodo
<span class="math notranslate nohighlight">\(t \in E\)</span>. Nótese que la definición de la variable de estado es
particularmente importante, dado que tiene que ser suficientemente
informativa para que sea posible determinar el valor que se obtiene
al tomar cada una de las posibles decisiones, así como predecir el
nuevo estado del sistema. La variable de estado puede ser
multi-dimensional.</p></li>
<li><p>Conjunto <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{t}\)</span> de posibles valores (estados) que puede tomar la
variable en la época de observación <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>.</p></li>
<li><p>Conjunto <span class="math notranslate nohighlight">\(A_{t}(i)\)</span> de decisiones posibles, entre las cuales se
elige la acción a tomar, cuando el sistema está en la época
<span class="math notranslate nohighlight">\(t \in E\)</span> y la variable toma un valor <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S_{t}\)</span>.</p></li>
<li><p>Retorno inmediato <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{t}(i,a)\)</span> dado que se toma la decisión
<span class="math notranslate nohighlight">\(a \in A_{t}(i)\)</span>, en la época <span class="math notranslate nohighlight">\(t \in E\)</span> y el sistema se encuentra en
el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S_{t}\)</span>.</p></li>
<li><p>Probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{t}(j|i,a)\)</span> que al tomar la decisión
<span class="math notranslate nohighlight">\(a \in A_{t}(i)\)</span>, en la época <span class="math notranslate nohighlight">\(t \in E\)</span>, cuando el sistema está en
el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S_{t}\)</span>, en la época <span class="math notranslate nohighlight">\(t + 1\)</span> el sistema pase a estar
en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j \in S_{t + 1}\)</span>.</p></li>
</ol>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 1</p>
<p>Considere que tomará la decisión sobre el tipo de ropa
que usará cada día. Sabe que cada día su decisión es afectada por el
estado del clima. Dependiendo de su decisión, pueden ocurrir diferentes
sucesos. Si usted decidió no llevar chaqueta o paraguas y llueve o hace
frio, sentirá incomodidad sobre cómo va vestido. Por otro lado, si lleva
chaqueta y hace calor, también puede estar incómodo. Por tal motivo,
dado el estado del clima y su vestimenta, quiere maximizar la comodidad
que sentirá a lo largo del horizonte de observación.</p>
<p>Para todo modelo de decisión, se debe caracterizar correctamente el
modelo definiendo cada uno de sus componentes. En este caso tenemos que:</p>
<p>1. Se tomará la decisión cada día por lo que las épocas son
<span class="math notranslate nohighlight">\(E = \{\text{día}\ 1,\ \text{día}\ 2,\ \ldots\}\)</span>, o sea un conjunto
discreto e infinito de épocas.</p>
<p>2. Queremos observar el clima para tomar nuestra decisión, por lo que
<span class="math notranslate nohighlight">\(X_{t} = \text{El clima en el }t - ésimo\ día\)</span>.</p>
<p>3. El espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{t}\)</span> sería los posibles valores que toma la
variable. Dado que si estamos resolviendo este problema en una ciudad
donde tengan estaciones (invierno, primavera, verano, otoño), puede
ocurrir que, para algunos días, no exista el estado lluvia o el estado
nieve y en otros sí.</p>
<p>4. La decisión sería la vestimenta por utilizar. Del mismo modo, las
posibles decisiones a tomar pueden variar según época y estado. Por
ejemplo, seguro en un día de invierno está descartado sólo usar camiseta
mientras que en un día de verano está descartado usar una chaqueta para
nieve.</p>
<p>5. Como retorno inmediato, se tendría la comodidad que percibiría al
usar un tipo de vestimenta dado el clima de ese día. Entre mejor vestido
esté para el clima, sentirá una mayor comodidad. Dado que en efecto el
clima solo se conoce de manera probabilística, puede que el retorno no
sea determinístico.</p>
<p>6. El estado del clima es estocástico, por lo que época a época las
probabilidades de que haga sol, viento, nieve, y demás varían.</p>
</div>
</section>
<section id="clasificacion-de-los-problemas-de-decision-en-el-tiempo">
<h2><span class="section-number">15.3. </span>Clasificación de los problemas de decisión en el tiempo<a class="headerlink" href="#clasificacion-de-los-problemas-de-decision-en-el-tiempo" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Los procesos de decisión en el tiempo pueden clasificarse de la
siguiente forma:</p>
<p><img alt="Figura 1" src="_images/dectiempo1.png" /></p>
<p>Los diferentes tipos de procesos de decisión los iremos abordando más
adelante en el curso.</p>
</section>
<section id="relacion-con-las-cadenas-de-markov">
<h2><span class="section-number">15.4. </span>Relación con las cadenas de Markov<a class="headerlink" href="#relacion-con-las-cadenas-de-markov" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Los procesos de decisión discretos como aquellos que estudiaremos tienen
varios aspectos en común con las Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Primero, su estudio se basa en el concepto de estado. El estado de un
proceso de decisión debe contener la información necesaria para que sea
posible predecir el resultado de las decisiones y conocer el retorno y
los posibles estados futuros del sistema. De manera muy parecida, el
estado de una CMTD contiene toda la información necesaria para poder
determinar las probabilidades de transición a estados futuros del
sistema.</p>
<p>Sin embargo, en un proceso de decisión existe un elemento adicional
determinado por la decisión a tomar. El conjunto de posibles decisiones
determina múltiples posibles evoluciones, que comparten el mismo
conjunto de estados. Si fijamos para cada época la decisión, estas
múltiples evoluciones se reducen a una sola, la cual es de hecho una
Cadena de Markov en tiempo discreto. Consideremos por ejemplo el
diagrama en la siguiente figura, que representa un proceso de decisión
donde <span class="math notranslate nohighlight">\(E = \{ 1,\ 2,\ 3\}\)</span>, los estados son <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{1} = \{ s1\}\)</span>,
<span class="math notranslate nohighlight">\(S_{2} = \{ s2,s3\}\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{3} = \{ s4,s5\}\)</span>, y en cada época y estado es
posible tomar una decisión entre dos posibles decisiones, así que
<span class="math notranslate nohighlight">\(A_{t}(i) = \{ a1,a2\}\)</span>, para todo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> e <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>. El diagrama describe un
escenario donde al tomar cualquiera de las dos decisiones en el estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(s1\)</span>, se conoce con certeza el nuevo estado del sistema en la época 2.
Por ejemplo, al tomar la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(a1\)</span> en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(s1\)</span>, dado que es
<span class="math notranslate nohighlight">\(p_{1}\left( s2 \middle| s1,a1 \right) = 1\)</span>, el nuevo estado en la época
2 será <span class="math notranslate nohighlight">\(s2\)</span>. Por lo contrario, en la época 2, si se toma la decisión
<span class="math notranslate nohighlight">\(a1\)</span> en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(s2\)</span>, el nuevo estado del sistema en la época 3 será
<span class="math notranslate nohighlight">\(s4\)</span> o <span class="math notranslate nohighlight">\(s5\)</span>, de acuerdo con las probabilidades
<span class="math notranslate nohighlight">\(p_{2}\left( s4 \middle| s2,a1 \right)\)</span> y
<span class="math notranslate nohighlight">\(p_{2}\left( s5 \middle| s2,a1 \right)\)</span>, respectivamente. Note que en la
última época (época 3) no se toman decisiones.</p>
<p><img alt="Figura 2" src="_images/dectiempo2.png" /></p>
<p>Ahora bien, si consideramos una política cualquiera, o sea fijamos la
decisión de la época 1 y de la época 2, algunas de las transiciones en
el diagrama anterior no existirán más. Por ejemplo, si la decisión fuese
<span class="math notranslate nohighlight">\(a1\)</span> en ambas épocas, el diagrama sería como se ilustra en la siguiente
figura, que es el diagrama de estado transición para una cadena de
Markov en tiempo discreto (solo hace falta agregar el reciclo con
probabilidad 1 a los estados de la última época).</p>
<p><img alt="Figura 3" src="_images/dectiempo3.png" /></p>
<p>En un proceso de decisión en el tiempo, los mismos estados del sistema
pueden repetirse en diferentes épocas. Por ejemplo, consideremos el
problema de gestión de un inventario. En cada época, podría ser posible
por ejemplo encontrar el estado igual a la capacidad máxima del
inventario, así como todos los demás estados entre 0 y el valor máximo.
En estos casos, puede ser conveniente agrupar las probabilidades de
transición <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{t}(j|i,a)\)</span> en matrices, una por cada decisión. Por
ejemplo, consideremos el diagrama que se muestra a la izquierda en la
siguiente figura, la cual muestra la información sobre las transiciones
que se dan entre los estados de la época <span class="math notranslate nohighlight">\(i - 1\)</span> y aquellos de la época
<span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> al tomar la decisión <span class="math notranslate nohighlight">\(a1\)</span>:</p>
<p><img alt="Figura 4" src="_images/dectiempo4.png" /></p>
<p>Es posible agrupar las probabilidades en la forma matricial que se
ilustra a la derecha. En particular, si las probabilidades de transición
asociadas a las decisiones no dependen de la época, esta representación
matricial es muy conveniente. En este caso, con respecto a cada
decisión, la Cadena de Markov en tiempo continuo es homogénea en el
tiempo, dado que las probabilidades de transición no cambian con la
época.</p>
</section>
<section id="la-politica-optima">
<h2><span class="section-number">15.5. </span>La política óptima<a class="headerlink" href="#la-politica-optima" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Se conoce como una política <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi\)</span> a una combinación de las posibles
decisiones que es posible tomar por estado y por época (no confundir con
los vectores de distribución de probabilidad en estado estacionario
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}\)</span>). Existen muchas políticas diferentes, todas
aquellas que son posibles obtener con una secuencia de decisiones, y
cada una genera un retorno diferente. La política óptima se conoce como
<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi^{*}\)</span>, y es aquella que optimice los retornos totales del tomador de
decisiones, que corresponden a la suma de los retornos inmediatos
acumulados en todas las épocas.</p>
<p>Ahora bien, existen varias metodologías para encontrar la política
óptima de un problema. Pero para esto debemos considerar la estructura
que genera un problema de decisión en el tiempo.</p>
<section id="estructura-de-un-problema-de-decision-en-el-tiempo">
<h3><span class="section-number">15.5.1. </span>Estructura de un problema de decisión en el tiempo<a class="headerlink" href="#estructura-de-un-problema-de-decision-en-el-tiempo" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Dadas las características con las que cuenta un problema de decisión en
el tiempo, una de las posibles formas de representarlo es una red o un
grafo orientado, donde:</p>
<ul class="simple">
<li><p>Existe un conjunto de nodos por cada época;</p></li>
<li><p>Cada nodo es un posible estado del sistema, en una época de
decisión;</p></li>
<li><p>Un arco siempre conecta nodos que están en épocas consecutivas, y
representa la posibilidad de que el sistema transite del estado en
la época <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> a un estado en la época <span class="math notranslate nohighlight">\(t + 1\)</span>, como consecuencia de
una decisión;</p></li>
<li><p>Los arcos tienen etiquetas que representan el retorno inmediato
asociado a la decisión.</p></li>
</ul>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 2</p>
<p>Usted es dueño de una tienda donde vende un tipo de
producto. Cada semana quiere decidir cuántos productos producir para
tener en inventario, teniendo en cuenta que para la semana 1 le
demandarán máximo 2 unidades y para la semana 2 le demandará 1 unidad.
Además, su inventario tiene una capacidad de 3 unidades y en todo
momento debe tener suficiente inventario para suplir la demanda de la
semana. Finalmente usted produce al principio de la semana, antes de que
la tienda abra, por lo que debe tener suficiente inventario para la
demanda de esa semana y en ningún momento puede tener más de la
capacidad en inventario. Sabe que por cada unidad en inventario que
quede al final de la semana le genera un costo de <span class="math notranslate nohighlight">\(\$ c\)</span>, que producir
cada unidad tiene un costo de <span class="math notranslate nohighlight">\(\$ k\)</span>, que producir genera un costo fijo
de <span class="math notranslate nohighlight">\(\$ m\)</span> y cada unidad vendida le genera una ganancia <span class="math notranslate nohighlight">\(\$ v\)</span>. Además,
hoy tiene 1 unidad en inventario y quiere encontrar la política óptima
de producción durante estas 2 semanas.</p>
<p>Este problema se puede representar como una red de la siguiente forma:</p>
<p><img alt="Figura 5" src="_images/dectiempo5.png" /></p>
<p>Aunque el último momento para tomar una decisión es la semana 2, es
preferible mostrar que pasa al tomar la última decisión y a qué estados
llegaría la red en la siguiente época. Una posible política de decisión
en este caso sería producir 1 unidad en la semana 1 con una ganancia
<span class="math notranslate nohighlight">\(2v - k - m\)</span> y producir 1 unidad en la semana 2, con una ganancia de
<span class="math notranslate nohighlight">\(v - k - m\)</span>. No obstante, otra posible política sería producir 2
unidades en la semana 1 con una ganancia de <span class="math notranslate nohighlight">\(2v - 2k - m - c\)</span> y no
producir nada en la semana 2 con una ganancia de <span class="math notranslate nohighlight">\(v\)</span>. La política óptima
es aquella que maximice las ganancias de la tienda en todo el horizonte
del problema de decisión (todas las épocas).</p>
<p>En el modelo anterior no existe incertidumbre, es un problema de
decisión determinístico. Sin embargo, es sencillo y muy natural
extenderlo para considerar casos donde por ejemplo la demanda sea
conocida solo a través de una distribución de probabilidad. Por ejemplo,
suponga que tenemos una unidad en inventario y que la demanda puede ser
1 o 2 en la semana 1 con la misma probabilidad. De esta forma, la
combinación de las decisiones con los posibles valores de la demanda
resulta en múltiples arcos que conectan los estados. En la figura
siguiente, se utilizan colores diferentes para distinguir las
transiciones de estado cuando se tome la decisión de producir 1 unidad
de producto (arcos en azul) y 2 unidades de producto (arcos en negro).</p>
<p><img alt="Figura 6" src="_images/dectiempo6.png" /></p>
<p>Pueden existir faltantes y no es seguro a qué estado pasaría. estopor
consiguiente, la red crece y el método de solución cambia.</p>
</div>
</section>
<section id="metodos-de-solucion">
<h3><span class="section-number">15.5.2. </span>Métodos de solución<a class="headerlink" href="#metodos-de-solucion" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Un problema de decisión en el tiempo se beneficia por su estructura de
red. Y para solucionarlo, existen diferentes metodologías.</p>
<p>La primera metodología se conoce como <em>enumeración exhaustiva</em>, en la
cual se identifican todas las posibles políticas existentes, se estima
su valor en términos de la función objetivo del problema y se comparan
unas tras otras hasta encontrar la mejor. Es una metodología sencilla,
pero a su vez puede requerir de una gran cantidad de tiempo para
encontrar el óptimo dado que en general el número de posibles políticas
crece rápidamente con el número de épocas, estados y decisiones. Esto
hace a la <em>enumeración exhaustiva</em> una metodología ineficiente para
problemas a gran escala. Asumiendo que en total son <span class="math notranslate nohighlight">\(T\)</span> épocas, <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>
estados en cada época y que el número de decisiones en cada estado es a
su vez <span class="math notranslate nohighlight">\(S\)</span>, podrían existir hasta <span class="math notranslate nohighlight">\(s^{T}\)</span> políticas diferentes. En el
ejemplo 2, se contemplan hasta 6 políticas diferentes y, para aplicar
esta metodología, se debe comparar una a una hasta encontrar la mejor.</p>
<p>La segunda metodología utiliza un modelo de <em>optimización lineal</em>
asociado al problema de decisión en el tiempo. En efecto, la estructura
en red se puede modelar como un modelo lineal, y existen varios paquetes
de software especializados que permiten solucionar modelos de gran
tamaño de forma eficiente. Sin embargo, no es sencillo incluir en los
modelos de optimización lineal los aspectos de incertidumbre. Si bien es
posible, ello se realiza a costa de complicar la estructura del modelo.</p>
<p>La última metodología se conoce como <em>inducción hacia atrás</em>, y esto es
el enfoque que manejaremos a lo largo de los siguientes capítulos. Esta
metodología ahorra tiempo de solución, teniendo en cuenta que se puede
resolver problemas más pequeños del problema general y así construir la
política óptima a partir de las soluciones de los subproblemas.
Adicionalmente, tiene la ventaja de poder tratar la incertidumbre de
forma muy natural. Por ende, esta técnica de solución para problemas
determinísticos es esencialmente igual a la técnica de solución para el
caso estocástico.</p>
<p>En el siguiente ejemplo se explica el principio que fundamenta la
técnica de <em>inducción hacia atrás</em>. La idea fundamental es que el
problema de decisión en el tiempo puede ser solucionado de forma
sencilla explorando primero las consecuencias de las decisiones que es
posible tomar en la última época del horizonte. Una vez determinadas las
posibles ganancias en la última época, se procede a explorar las
posibles ganancias en la penúltima época, y así de forma iterativa hasta
llegar a la primera. En este proceso iterativo, se determinan soluciones
parciales para subproblemas que se reutilizan en la solución de
problemas más complejos.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 3</p>
<p>Continuando con el ejemplo anterior, asignamos valores
concretos a los costos y ganancias. Supongamos que sea
<span class="math notranslate nohighlight">\(c = 3,\ k = 2,\ m = 4\ y\ v = 5\)</span>. Entonces la red es la siguiente:</p>
<p><img alt="Figura 7" src="_images/dectiempo7.png" /></p>
<p>Para aplicar la metodología de inducción hacia atrás, comenzamos con
analizar las posibles decisiones en la última época (semana 2). Si
estamos en el estado 0 en la semana 2 de decisión, es menos costoso
producir sólo 1 unidad y tener un costo de -1, dado que cualquier otra
decisión genera más costos. Así que podemos marcar en la red el
resultado de esa decisión, anotando en el estado 0 el valor de la
decisión optima (-1) y marcando en gris las decisiones que ya no
interesan.</p>
<p><img alt="Figura 8" src="_images/dectiempo8.png" /></p>
<p>Así mismo, en el estado 1 de la semana 2, la mejor decisión es no
producir, dado que este caso la ganancia es 5 y para las demás
decisiones es negativa. Anotamos otra vez en la red el resultado de esta
decisión, como sigue. Ahora el problema de decisión se reduce de una
época, como sigue.</p>
<p><img alt="Figura 9" src="_images/dectiempo9.png" /></p>
<p>Ahora el problema de decisión se ha reducido, dado que para la última
época ya encontramos las decisiones óptimas, dependiendo del estado de
la red. De esta manera, ya quitamos muchas de las varias rutas posibles,
reduciendo significativamente la complejidad. Ahora nos queda por
examinar las posibles decisiones en la semana 1. Son solo dos, dado que
el estado de la red es solo 1:</p>
<p>1) Producir 1 unidad en la semana 1, lo cual genera un valor de 4, y
lleva la red al estado 0, donde ya sabemos que con la mejor decisión se
genera un costo de -1, por un total de 3.</p>
<p>2) Producir 2 unidades en la semana 1 (valor -1), y por consecuencia
llegar al estado 1 en la semana 2, donde el valor óptimo es 5 (decisión
no producir), por un total de ganancia de 4.</p>
<p>La mejor decisión corresponde a la segunda, es decir, aquella que
maximiza el valor de la ganancia. Para la semana 1 es mejor producir dos
unidades, y para la semana 2 no producir. Esta es la política óptima
para el problema, que encontramos con la técnica de inducción hacia
atrás. Podemos representar la política óptima en la red, como se ilustra
en la siguiente figura, donde se muestran las mejores decisiones, los
estados que estas generan en la dinámica del sistema, y las ganancias
(inmediatas y acumuladas).</p>
<p><img alt="Figura 10" src="_images/dectiempo10.png" /></p>
<p>Es importante observar como la complejidad del problema de decisión ha
sido tratada a través del análisis secuencial de las posibles épocas, de
la última a la primera. Recorrer las posibles decisiones hacia atrás en
el tiempo simplifica el problema, mientras que intentar de solucionarlo
empezando de la primera época hacia adelante nos deja con el problema de
evaluar simultáneamente todos los posibles futuros (posibles decisiones)
para el valor de la función objetivo. Gracias a inducción hacia atrás,
se comparan menos políticas encontrando mucho más rápido la política
óptima.</p>
</div>
</section>
</section>
</section>
<script type="text/x-thebe-config">
{
requestKernel: true,
binderOptions: {
repo: "binder-examples/jupyter-stacks-datascience",
ref: "master",
},
codeMirrorConfig: {
theme: "abcdef",
mode: "python"
},
kernelOptions: {
name: "python3",
path: "./."
},
predefinedOutput: true
}
</script>
<script>kernelName = 'python3'</script>
</article>
<footer class="bd-footer-article">
<div class="footer-article-items footer-article__inner">
<div class="footer-article-item"><!-- Previous / next buttons -->
<div class="prev-next-area">
<a class="left-prev"
href="chapter14.html"
title="previous page">
<i class="fa-solid fa-angle-left"></i>
<div class="prev-next-info">
<p class="prev-next-subtitle">previous</p>
<p class="prev-next-title"><span class="section-number">14. </span>Costos en cadenas de Markov</p>
</div>
</a>
<a class="right-next"
href="chapter16.html"
title="next page">
<div class="prev-next-info">
<p class="prev-next-subtitle">next</p>
<p class="prev-next-title"><span class="section-number">16. </span>Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</p>
</div>
<i class="fa-solid fa-angle-right"></i>
</a>
</div></div>
</div>
</footer>
</div>
<div class="bd-sidebar-secondary bd-toc"><div class="sidebar-secondary-items sidebar-secondary__inner">
<div class="sidebar-secondary-item">
<div class="page-toc tocsection onthispage">
<i class="fa-solid fa-list"></i> Contents
</div>
<nav class="bd-toc-nav page-toc">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">15.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#componentes">15.2. Componentes</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#clasificacion-de-los-problemas-de-decision-en-el-tiempo">15.3. Clasificación de los problemas de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#relacion-con-las-cadenas-de-markov">15.4. Relación con las cadenas de Markov</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-politica-optima">15.5. La política óptima</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#estructura-de-un-problema-de-decision-en-el-tiempo">15.5.1. Estructura de un problema de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#metodos-de-solucion">15.5.2. Métodos de solución</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</nav></div>
</div></div>
</div>
<footer class="bd-footer-content">
<div class="bd-footer-content__inner container">
<div class="footer-item">
<p class="component-author">
By The Jupyter Book Community
</p>
</div>
<div class="footer-item">
<p class="copyright">
© Copyright 2022.
<br/>
</p>
</div>
<div class="footer-item">
</div>
<div class="footer-item">
</div>
</div>
</footer>
</main>
</div>
</div>
<!-- Scripts loaded after <body> so the DOM is not blocked -->
<script src="_static/scripts/bootstrap.js?digest=e353d410970836974a52"></script>
<script src="_static/scripts/pydata-sphinx-theme.js?digest=e353d410970836974a52"></script>
<footer class="bd-footer">
</footer>
</body>
</html>