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<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
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<h1>Costos en cadenas de Markov</h1>
<!-- Table of contents -->
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<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">14.1. Introducción</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="costos-en-cadenas-de-markov">
<h1><span class="section-number">14. </span>Costos en cadenas de Markov<a class="headerlink" href="#costos-en-cadenas-de-markov" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este documento se introduce el concepto de estructura de costo
(<em>reward structure</em>, en inglés), que proporciona un enfoque muy general
para la definición de indicadores de utilidad que pueden ser
cuantificados a partir de los índices de rendimiento calculados con
cadenas de Markov. A través de ejemplo se caracterizan primero los tipos
fundamentales de costos que pueden ser asociados a los elementos de una
Cadena de Markov, y luego se muestran las alternativas de análisis y su
aplicación.</p>
<section id="introduccion">
<h2><span class="section-number">14.1. </span>Introducción<a class="headerlink" href="#introduccion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>En este contexto, el término estructura de costos hace referencia a un
enriquecimiento de los elementos de una Cadena de Markov, tales como
estados y transiciones, que permite agregar una nueva capa de
información cuantitativa útil para la realización de análisis económicos
acerca del desempeño del sistema.</p>
<p>Como ejemplo, consideramos un sistema que pueda ser modelado a través de
una cola <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1/c\)</span>, con tasa de llagada <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> y de servicio <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span>,
por ejemplo, una tienda con un solo empleado y capacidad finita. Como ya
sabemos, varios índices o indicadores que pueden ser calculados a partir
del análisis del modelo permiten caracterizar el desempeño del sistema
frente a aspectos de varia naturaleza. Por ejemplo:</p>
<ol class="arabic simple">
<li><p>La probabilidad de que el sistema esté vacío es un indicador del
nivel de utilización del empleado.</p></li>
<li><p>La diferencia entre la tasa del proceso de llegada y la tasa
efectiva es un indicador de la cantidad de demanda insatisfecha.</p></li>
<li><p>El tiempo promedio de espera de los usuarios que se encuentran en el
sistema es un indicador de la ineficiencia del servicio y por ende
de la insatisfacción del usuario.</p></li>
</ol>
<p>Cada uno de estos índices se evalúa a partir del análisis de la
distribución de probabilidad de estado de la cola que modela el sistema,
sea esa en el transitorio, en el cual se denota con
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}(t)\)</span>, o en el estado estacionario (para este modelo
siempre existe), en el cual esta denotada como <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}\)</span>.
En particular, si el espacio de estados es el conjunto
<span class="math notranslate nohighlight">\(S = \{ 0,1,\ldots,c\}\)</span> los tres índices que se definen arriba se
obtienen de la siguiente manera:</p>
<ol class="arabic simple">
<li><p>La probabilidad de que el sistema se encuentre vacío en el tiempo
<span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> (transitorio) se calcula a partir del vector
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha} \bullet e^{\mathbb{Q}t}\ \)</span>donde
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha}\)</span> es el vector de la distribución inicial de
probabilidad, y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{Q}\)</span> la matriz de las tasas de transición
del proceso de nacimiento y muerte que representa la evolución del
número de usuarios en la cola. Siendo el estado 0, que corresponde
al sistema vacio y el primero en el espacio de estados ordenado, la
primera componente del vector
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha} \bullet e^{\mathbb{Q}t}\)</span> corresponde a
<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}(t)\)</span>, siendo ella la probabilidad de que el sistema esté
vacío al tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>. Si el análisis se hace en el estado
estacionario, el indicador será el valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span>, primer
elemento del vector de la distribución de probabilidad estacionaria.</p></li>
<li><p>La demanda insatisfecha se obtiene a partir de la probabilidad de
que un usuario no pueda ingresar al sistema por falta de capacidad.
Por lo cual, análogamente al caso anterior, el último elemento del
vector <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha} \bullet e^{\mathbb{Q}t}\)</span>, que
corresponde a la probabilidad de bloqueo de la cola <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{c}(t)\)</span> en
el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> y el último elemento del vector de la distribución de
probabilidad estacionara <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{c}\)</span> son las cantidades a estimar para
el análisis en el estado transitorio y estacionario,
respectivamente. La demanda insatisfecha en el estado estacionario
es <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda \cdot \pi_{c}\)</span>.</p></li>
<li><p>La eficiencia del servicio en el estado transitorio puede ser
calculada como <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{q}(t)\)</span> en un análisis transitorio al tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> y
como <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{q}\)</span> en el estado estacionario. Estos tiempos pueden ser
calculados con la ley de Little, sea en el transitorio como para el
estado estacionario (una vez se conozca el valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}(t)\)</span> y de
<span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span>, promedios de usuarios en espera), como sigue:</p></li>
</ol>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{W_{q}(t) = \frac{L_{q}(t)}{\lambda_{eff}},\ \ W}_{q} = \frac{L_{q}}{\lambda_{eff}}\]</div>
<p>Los promedios <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}(t)\)</span> y de <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span> se obtienen utilizando la
distribución de probabilidad de estado apropiada para el caso en
cuestión, como sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{q}(t) = \sum_{j = 2}^{c}{(j - 1) \bullet \pi_{j}(t)},\ \ \ \ \ \ \ L_{q} = \sum_{j = 2}^{c}{(j - 1) \bullet \pi_{j}}\]</div>
<p>Es interesante observar que cada uno de los indicadores tiene diferente
naturaleza y es dimensionalmente diferente a los demás. El primero es
una probabilidad, entonces es un número puro; el segundo es una tasa,
con dimensiones de usuarios por unidad de tiempo, y el tercero es un
tiempo. Independientemente de su naturaleza, el cálculo de los
indicadores tiene aspectos comunes que son importantes resaltar. En
efecto, para obtener cada uno de ellos se necesita calcular un promedio
que involucra la distribución de la probabilidad de estado. Por cada
indicador se asocia un valor a cada estado, y ese valor es utilizado en
un promedio ponderado por la distribución de probabilidad.</p>
<p>Por ejemplo, si denotamos con <span class="math notranslate nohighlight">\(r_{j}\)</span> el valor que se asocia al estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(j \in 0,1,\ldots,c\)</span> para los indicadores anteriormente definidos, vemos
que se utilizaron (de manera implícita) las siguientes asignaciones de
valores a los estados.</p>
<p><img alt="Figura 1" src="_images/retornos1.png" /></p>
<p>En cada uno de los casos anteriores, el cálculo de la cantidad deseada
es igual al cálculo de los siguientes promedios</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{j = 0}^{c}{{r_{j} \bullet \pi}_{j}(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\sum_{j = 0}^{c}{r_{j} \bullet \pi}_{j}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Según se quiera realizar el análisis en el transitorio o en el estado
estacionario, respectivamente.</p>
<p>El vector <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{r} = (r_{0},r_{1},\ldots.)\)</span> define lo que se
conoce como <em>estructura de costo</em> sobre los estados del modelo de la
Cadena de Markov. Estrictamente hablando, es necesario definir un valor
para cado estado, aun cuando quizá sean todos cero excepto por un solo
estado, como en el caso del indicador 1 arriba. La ventaja de introducir
el concepto de estructura de costo es que proporciona una generalización
útil para muchos tipos de análisis, aparentemente de diferente
naturaleza. Supondremos que en una estructura de costo pueda haber
costos con valores positivos y negativos, según sea necesario para el
indicador que se pretende calcular. La expresión en inglés <em>reward
structure</em> es más precisa que la versión en español, ya que el término
<em>reward</em> (premio) en inglés no tiene necesariamente una connotación
positiva, y pueden darse <em>rewards</em> positivos (que pueden representar
ganancias) y negativos (que modelan pérdidas o costos).</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 1</p>
<p>Para el sistema que se modela con la cola <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1/c\)</span>, si
cada cliente que ingresa al sistema realiza en promedio una compra de
<span class="math notranslate nohighlight">\(\$ 4,000\)</span>, ¿cuál es el valor diario del ingreso por ventas? Asuma que
la tasa de llegada es <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda = 12horas^{- 1}\ \)</span>, que cada cliente
necesita un tiempo promedio de atención de <span class="math notranslate nohighlight">\(6\)</span> minutos promedio, y que
solo 5 clientes pueden entrar a la tienda por su reducida capacidad.</p>
<p>En este caso, se define una estructura de costos que por cada estado
indique una ganancia. Si el sistema está vacío, no se genera ganancia,
entonces <span class="math notranslate nohighlight">\(r_{0} = 0\)</span>. Si un cliente está en el sistema, este completará
el servicio con una tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu = \frac{1}{6\ minutos} = 10horas^{- 1}\)</span>, y
con esa misma tasa el vendedor ganará <span class="math notranslate nohighlight">\(\$ 4,000\)</span>. Entonces, para el
estado 1 podemos definir en la estructura de costo que
<span class="math notranslate nohighlight">\(r_{1}\)</span>=<span class="math notranslate nohighlight">\(\ \mu \bullet \$ 4,000 = \frac{\$ 40,000}{hora}\)</span>. Si en la
tienda hay más de un usuario, igualmente esos terminan sus compras a una
tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span> ya que los servicios son secuenciales, entonces se definirá
<span class="math notranslate nohighlight">\(r_{i}\)</span>=<span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{\$ 40,000}{hora}\)</span> por todo estado que no sea aquel que
corresponda al sistema vacío. Suponiendo que el sistema está en estado
estacionario (lo cual no será siempre verdadero, ya que cada mañana
empieza en un estado particular que no coincide al equilibrio, es decir
el estado vacio), es posible calcular el promedio como sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{j = 0}^{c}{r_{j} \bullet \pi}_{j} = \sum_{j = 1}^{c}{\frac{\$ 40,000}{hora} \bullet \pi}_{j} = \frac{\$ 40,000}{hora}(1 - \pi_{0})\]</div>
<p>Para la cola <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1/c\)</span> el valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span> es dado por:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \frac{1 - \rho}{1 - \rho^{c + 1}}\]</div>
<p>Siendo <span class="math notranslate nohighlight">\(\rho = \lambda/\mu = 12/10 = 1.2\)</span>. Entonces será:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \frac{1 - \rho}{1 - \rho^{c + 1}} = \frac{1 - 1.2}{1 - {1.2}^{6}} = \frac{- 0.2}{- 1.985} \approx 0.1\]</div>
<p>Y el valor promedio de la ganancia horaria es
<span class="math notranslate nohighlight">\(\$ 40,000/hora(1 - \pi_{0}) = \$ 40,000/hora*(1 - 0.1) = \$ 36,000/hora\)</span>.
Por ende, en un día de ventas se ganarán en promedio
<span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{\$ 36,000}{hora} \cdot 8\frac{horas}{día}\ = \frac{\$ 288,000}{día}\)</span>.</p>
<p>Para calcular las ganancias promedio diarias podemos determinar las
ganancias promedio horarias y multiplicar por el número de horas de
trabajo de la tienda (supongamos sean 8).</p>
</div>
<div class="warning admonition">
<p class="admonition-title">Nota</p>
<p>Si la cola que modela el sistema hubiese sido
una <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1\)</span> (capacidad infinita, el cálculo habría sido mucho más
sencillo, ya que, en una cola estacionaria sin bloqueo, la tasa de
salida del usuario debe necesariamente corresponder a la tasa de
llegada. Por esta razón, la tasa horaria de ganancia por ventas habría
sido igual a la tasa de llegada <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> (en horas) por el valor de la
venta unitaria.</p>
</div>
<p>A la hora de definir estructuras de costos, es posible utilizar a la vez
valores que representan el resultado de diferentes desempeños del
sistema, por ejemplo, pérdidas y ganancias. Supongamos que se asigna un
valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(\$ 1,000\)</span> por cada unidad de tiempo que un cliente pasa en
espera en la tienda que se analiza en el Ejemplo 1. En este caso, dicho
valor sería un costo para el sistema. Entonces, al valor diario esperado
se deberá restar el costo de la espera, lo cual podemos calcular a
partir de las probabilidades en estado estable a través del siguiente
promedio:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{j = 2}^{c}{{\frac{\$ 1,000}{hora} \bullet \pi}_{j} \bullet (j - 1) =}\frac{\$ 1,000}{hora}\ \bullet \sum_{j = 2}^{c}{\pi_{j} \bullet (j - 1) = \frac{\$ 1,000}{hora}\ \bullet L_{q}}\]</div>
<p>En la expresión anterior, el promedio es calculado sobre los estados en
los cuales hay clientes que esperan en cola, es decir los estados
<span class="math notranslate nohighlight">\(2,\ 3,\ldots,\ \ c\)</span>. En el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(2 \leq j \leq c\)</span>, exactamente
<span class="math notranslate nohighlight">\(j - 1\)</span> clientes estarán esperando (y uno en servicio). Nótese que
finalmente el promedio se reduce a la multiplicación entre el valor
horario de la espera <span class="math notranslate nohighlight">\(\left( \frac{\$ 1,000}{hora} \right)\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span>,
el numero promedio de clientes en espera es el estado estacionario.</p>
<p>Es posible obtener este mismo valor con un razonamiento diferente, a
partir de <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{q}\)</span>, el tiempo promedio de espera de cada usuario en el
estado estacionario. Si cada usuario que entra al sistema espera en
promedio un tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{q}\)</span>, entonces el costo de la espera, por cada
cliente que ingrese al sistema, será
<span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{\$ 1000}{hora} \bullet W_{q}\)</span>. Ahora bien, en el estado
estacionario, el número de clientes que entra al sistema cada hora (y
que sale de ello, por el equilibrio del estado estable) es simplemente
dado por la tasa efectiva de llegada
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{eff} = \lambda(1 - \pi_{c})\)</span>. Entonces, el promedio horario
será dado por el total de los tiempos de espera de los clientes, así
como sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\frac{\$ 1,000}{hora} \bullet W_{q} \bullet \lambda_{eff} = \frac{\$ 1,000}{hora} \bullet L_{q}\]</div>
<p>Donde la última equivalencia se obtiene por la ley de Little.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 2</p>
<p>En una fábrica de papel hay <span class="math notranslate nohighlight">\(n = 5\)</span> máquinas que en
paralelo muelen la madera que entra al proceso de transformación. Cada
máquina es capaz de procesar en promedio <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu = 5\)</span> toneladas de materia
prima por hora. El proceso de producción es continuo las 24 horas. Sin
embargo, cada máquina puede de manera independiente sufrir una parada
debido a fallas técnicas, que ocurren de acuerdo con un proceso de
Poisson de tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\phi = \frac{0.01}{hora}\)</span>. Cuando una máquina para,
estará sujeta a un proceso de reparación, que se demora en promedio
<span class="math notranslate nohighlight">\(\delta^{- 1} = 210\ minutos.\ \)</span>El valor de la reparación de una máquina
es en promedio <span class="math notranslate nohighlight">\(15,000\ \text{USD}\)</span>. Por cada tonelada de madera molida,
el proceso productivo genera una cantidad de producto final cuyo valor
corresponde a <span class="math notranslate nohighlight">\(500\ \text{USD}\)</span>.</p>
<p>Si todas las maquinas llegaran a parar debido a las fallas, la
producción de toda la planta sería suspendida y, además de la falta de
ingreso, se incurriría en una perdida (debida a los costos fijos) de
<span class="math notranslate nohighlight">\(10,000\ \text{USD}\)</span> por hora de suspensión. Para retomar la producción
después de una parada total, es necesario realizar además de las
reparaciones una recalibración de todas las máquinas. Estos dos procesos
requieren en promedio un tiempo de <span class="math notranslate nohighlight">\(\eta^{- 1} =\)</span> 8 horas, después del
cual toda la planta vuelve a ser operativa. La recalibración acarrea un
costo adicional de <span class="math notranslate nohighlight">\(100,000\ \text{USD}\)</span> en insumos necesarios para la
reactivación de las máquinas. ¿Cuál es en el estado estacionario el
promedio del valor horario generado por la planta?</p>
<p>Si todos los tiempos son modelables como variables aleatorias con
distribución exponencial, este sistema puede ser modelado como una
Cadena de Markov en tiempo continuo. En cuanto a la variable de estado,
es necesario contar el número de máquinas en los diferentes estados,
porqué existe un estado (cuando todas las máquinas están dañadas), que
introduce una sincronización entre las máquinas (se separan y
reconfiguran todas a la vez). Si el sistema no tuviese dicha
sincronización, sería posible modelar el estado de una sola máquina, ya
que el estado total del sistema sería el estado de 5 máquinas totalmente
independientes entre sí.</p>
<p>Observamos que es suficiente definir la cadena de Markov en tiempo
continuo <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X(t),t \geq 0\}\)</span> con la sola variable
<span class="math notranslate nohighlight">\(X(t) = Número\ de\ máquinas\ en\ operación\ al\ tiempo\ t\)</span>, ya que el
numero de máquinas dañadas al tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> es igual a <span class="math notranslate nohighlight">\(5 - X(t)\)</span>, siempre
que se conoce <span class="math notranslate nohighlight">\(X(t)\)</span>. En la Figura 1 se ilustra el diagrama de tasas de
transición para el modelo.</p>
<p><img alt="Figura 2" src="_images/retornos2.png" /></p>
<p>La cadena es finita e irreducible, por lo cual el modelo alcanza en el
largo plazo un estado estacionario. El siguiente código R© calcula el
vector <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}\)</span> de la distribución de la probabilidad de
estado en el largo plazo, solucionando el sistema de ecuaciones lineales
conformado por
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\pi}\mathbb{\bullet Q =}\overrightarrow{0}\)</span> y la
condición de normalización <span class="math notranslate nohighlight">\(\sum_{j = 0}^{5}{\pi_{j} = 1}\)</span>.</p>
<p><img alt="Figura 3" src="_images/retornos3.png" /></p>
<p>Las probabilidades en el estado estacionario son reportadas en la
siguiente gráfica (producida por el mismo script de R© anterior).</p>
<p><img alt="Figura 4" src="_images/retornos4.png" /></p>
<p>Con estas probabilidades, podemos calcular el valor generado por la
fábrica, definiendo la siguiente estructura de costos. Si la fábrica
está en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\ \)</span>por un intervalo de tiempo de duración <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> (en
horas)<span class="math notranslate nohighlight">\(,\ i > 0\)</span>, produce un valor igual a
<span class="math notranslate nohighlight">\(i \bullet t \bullet 500\ \text{USD}\)</span>. Si máquina está en el estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(j,\ \ 0 < j < 5\)</span>, se ocasiona el costo de la reparación
<span class="math notranslate nohighlight">\((15,000\ \text{USD})\)</span> cada vez que una de las máquinas dañadas completa
su reparación, lo cual ocurre con una tasa de <span class="math notranslate nohighlight">\(j \bullet \delta\)</span>. Si la
máquina permanece en el estadio 0 (producción parada) por un intervalo
de tiempo de duración <span class="math notranslate nohighlight">\(t\ \)</span>(en horas) la fábrica acumula una pérdida de
<span class="math notranslate nohighlight">\(t \bullet 10,000\ \text{USD}\)</span>. Además, cuando abandona ese estado (lo
cual ocurre con una tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\eta\)</span>, incurre en el costo de 100,000USD. Por
ende, la estructura de costos para el problema es la siguiente:</p>
<p><img alt="Figura 5" src="_images/retornos5.png" /></p>
<p>Nótese que, en la tabla anterior, todos los valores de <span class="math notranslate nohighlight">\(r_{i}\ \)</span> son
tasas, es decir que son dimensionalmente coherentes, en cuanto a que
todos <span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{USD}{hora}\)</span>. El primero es el valor horario generado por
las máquinas en funcionamiento, el segundo, tercero, cuarto y quinto son
la diferencia entre el valor horario generado por las máquinas en
funcionamiento menos lo que se paga (por hora) al reparar las que estén
dañadas, y el ultimo es la suma del valor de la perdida horaria más lo
que se paga (por hora) por reparación y recalibración cuando el sistema
pare completamente. Entonces, el valor calculado con la expresión (1) es
el promedio del valor generado en estado estable, cuando se utilicen las
probabilidades reportadas en la gráfica 2, o en el transitorio si se
utilizaran las probabilidades <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{j}(t)\)</span></p>
</div>
<div class="warning admonition">
<p class="admonition-title">Nota</p>
<p>Es muy importante tener en cuenta que los valores que se suman
deben tener las mismas dimensiones, de lo contrario el valor calculado
con la expresión (1) no tendrá sentido.</p>
</div>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 3</p>
<p>Considere un sistema de control a bordo de un avión, que
incluye 2 procesadores que trabajan en paralelo para asegurar un control
fiable del sistema. La redundancia está utilizada para garantizar un
nivel protección en contra de las fallas de los equipos. Existen dos
tipos distintos de fallas:</p>
<p>- Fallas del hardware, de naturaleza persistente, que determinan la
parada de la máquina y la falta de resultado de la computación.</p>
<p>- Fallas del software, de naturaleza transitoria, ya que sus efectos se
observan como errores en los resultados de un cálculo y en la
computación siguiente desaparecen.</p>
<p>Cada computación (por ejemplo, cálculo de una altitud, de una velocidad
del viento, o de la distancia con otro avión) es simultáneamente
ejecutada en los procesadores disponibles y dura un tiempo fijo
<span class="math notranslate nohighlight">\(\tau = 1\ minuto\)</span>. Después de este tiempo se determina el resultado que
se transmite, según las reglas definidas en la siguiente tabla, donde C,
E y A denotan resultado correcto, erróneo y ausente, respectivamente,
para la computación de cada procesador.</p>
<p><img alt="Figura 6" src="_images/retornos6.png" /></p>
<p>En la tabla a la izquierda arriba, el elemento de la matriz es el valor
que se reporta como resultado final, y el código color indica el
potencial peligro que dicho resultado implica para el vuelo, siendo el
hecho que se reporte un valor equivocado más grave que el hecho de no
reportar un valor. Cada una de las situaciones anteriores tiene asociado
un valor para el sistema, según la tabla arriba a la derecha. Se quiere
determinar el valor total acumulado por el sistema en un vuelo de 8
horas.</p>
<p>Es posible modelar el resultado de la computación <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>-ésima a través de
una CMTD. Definimos como estado de la cadena
<span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X_{n} = ({NC}_{n},{NE}_{n},{NA}_{n}),n \geq 1\}\)</span>
donde<span class="math notranslate nohighlight">\(\ {NC}_{n},{NE}_{n}\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\({NA}_{n}\)</span> son el número de resultado
correctos, erróneos y ausentes producidos en la <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span>-ésima computación
por los 2 procesadores. El espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S_{X}\)</span> está conformado
por todos los vectores de tres componentes enteras no-negativas tales
que la suma de esas es 2:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[S_{X} = \left\{ (i,j,k) \middle| i + j + k = 2,\ \ i,j,k\mathbb{\ \in N} \right\} = \{(2,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1),\ (0,1,1),(0,2,0),(0,0,2)\}\]</div>
<p>Nótese que es posible definir una variable de estado más sencilla, que
por ejemplo solo tenga las primeras dos componentes, ya que la tercera
es totalmente dependiente de las primeras dos. Es decir, si sabemos que
en una computación hay exactamente un resultado correcto y no hay
resultados erróneos, necesariamente habrá un computador que no está
produciendo resultado alguno. Usar dicha variable no cambiaría el
modelado en términos de número de estados y tampoco afectaría las
transiciones entre estados, así que en este caso es preferible
especificar las tres componentes y ser más claros teniendo toda la
información explicita.</p>
<p>También sería posible elegir una variable de estado de dos componentes
donde cada componente es el tipo de resultado que un computador retorna,
p.e. <span class="math notranslate nohighlight">\((C,C)\)</span>. Esto nos daría 9 posibles estados, que se obtienen
componiendo los tres resultados posibles de cada una de las dos
computaciones. Dado que los estados simétricos (como por ejemplo <span class="math notranslate nohighlight">\((E,C)\)</span>
y <span class="math notranslate nohighlight">\((C,E)\)</span> tienen el mismo valor frente a la métrica que se quiere
evaluar es preferible usar una variable que cuente el número de
resultados de cada tipo.</p>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{E}\)</span> la probabilidad de que en el lapso que toma una computación
(el <span class="math notranslate nohighlight">\(\tau\)</span>) un procesador (que no tuvo una falla hardware) sufra una
falla software y <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{H}\)</span> la probabilidad de que sufra una falla
hardware. Por los datos que se tienen sobre el sistema, <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{E}\)</span> y
<span class="math notranslate nohighlight">\(p_{H}\)</span> corresponden a la probabilidad de que un procesador, en una
computación, retorne un resultado equivocado (debido a la ocurrencia de
una falla del software) o no retorne resultado (debido a una falla
hardware), respectivamente. La probabilidad de que el resultado de la
computación sea correcto se denota con <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{C} = 1 - p_{E} - p_{H}\)</span>. Esta
última probabilidad aplica solo para los computadores que no sufrieron
fallas hardware, ya que, si un computador la sufrió, seguramente seguirá
fallado y no reportará resultado alguno. Las probabilidades de
transición entre estados son las que se muestran en la expresión
siguiente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbb{P =}\begin{matrix}
(2,0,0) \\
(1,1,0) \\
(0,2,0) \\
(1,0,1) \\
(0,1,1) \\
(0,0,2)
\end{matrix}\begin{bmatrix}
p_{C}^{2} & 2p_{C}p_{E} & p_{E}^{2} & 2p_{C}p_{H} & 2p_{E}p_{H} & p_{H}^{2} \\
p_{C}^{2} & 2p_{C}p_{E} & p_{E}^{2} & 2p_{C}p_{H} & 2p_{E}p_{H} & p_{H}^{2} \\
p_{C}^{2} & 2p_{C}p_{E} & p_{E}^{2} & 2p_{C}p_{H} & 2p_{E}p_{H} & p_{H}^{2} \\
0 & 0 & 0 & p_{C} & p_{E} & p_{H} \\
0 & 0 & 0 & p_{C} & p_{E} & p_{H} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p>Por cada uno de los estados, los costos son aquellos que se reportan en
la matriz ilustrada anteriormente, por lo cual, la estructura de costos
está representada por el siguiente vector.</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\overrightarrow{r} = (1, - 100, - 100,1, - 1000, - 100)\]</div>
<p>Para calcular el valor acumulado en un vuelo de 8 horas (lo cual
corresponde a 480 minutos), podemos calcular cuantas veces se emite, en
8 horas, una pareja cualquiera de resultados de la computación. Esta
información se obtiene calculando la matriz de tiempos de ocupación
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{M}^{(480)}\)</span>. Multiplicando dicha matriz por el vector
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{r}\)</span>, se calcula un vector de valores, uno por cada
posible estado inicial del sistema. Nótese que no es correcto asumir
ningún estado inicial en particular, ya que, si bien los dos
computadores pueden iniciar el vuelo sin fallas, desdé la primera
computación es posible obtener cualquiera de las configuraciones
representadas en los 6 estados del modelo. Por esta razón, utilizamos el
siguiente vector de distribución de probabilidades iniciales de la
cadena:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\overrightarrow{\alpha} = \left( p_{C}^{2},2p_{C}p_{E},p_{E}^{2},2p_{C}p_{H},2p_{E}p_{H},p_{H}^{2} \right)\]</div>
<p>Por lo tanto, el valor acumulado en un vuelo de 8 horas será dado por la
siguiente expresión:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\overrightarrow{\alpha} \bullet \mathbb{M}^{(479)} \bullet \overrightarrow{r}\]</div>
<p>Nótese que a través del vector <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\alpha}\)</span> se está en
efecto modelando el resultado de la primera computación, así que ahora
se calcula <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{M}^{(479)}\)</span> y no más <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{M}^{(480)}\)</span>.</p>
<p>El siguiente código R© realiza el cálculo del valor acumulado por unos
posibles valores de las probabilidades <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{E}\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(p_{H}\)</span>, y produce una
gráfica de la frecuencia con la cual cada uno de los posibles resultados
(C, A, E) es finalmente reportado como resultado de la ocurrencia de las
fallas y de la lógica de control del sistema.</p>
<p><img alt="Figura 7" src="_images/retornos7.png" /></p>
</div>
</section>
</section>
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<p class="component-author">
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© Copyright 2022.
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