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<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
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<h1>Redes de Jackson</h1>
<!-- Table of contents -->
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<div>
<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">13.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#estabilidad-en-redes-de-jackson-abiertas">13.2. Estabilidad en redes de Jackson abiertas</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#el-teorema-de-jackson-1963-y-sus-aplicaciones">13.3. El teorema de Jackson (1963) y sus aplicaciones</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#relevancia-del-teorema-de-jackson">13.4. Relevancia del teorema de Jackson</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="redes-de-jackson">
<h1><span class="section-number">13. </span>Redes de Jackson<a class="headerlink" href="#redes-de-jackson" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este capítulo se introduce una clase de redes de colas conocida como
redes de Jackson, por el nombre del matemático estadunidense James
Jackson, quien las introdujo en un famoso artículo científico en 1963.
Primero se proporciona la definición de las redes de Jackson, y después
se presenta el teorema de Jackson, que permite analizar de forma muy
sencilla la distribución de probabilidad de estado estacionario de las
redes de Jackson estables. Finalmente, se realiza una discusión sobre la
relevancia del resultado de Jackson.</p>
<section id="introduccion">
<h2><span class="section-number">13.1. </span>Introducción<a class="headerlink" href="#introduccion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Una red de colas general está formada por un conjunto de colas (o
estaciones), que pueden ser entre ellas diferentes por número de
servidores, distribución de servicio, disciplina, etc. Los usuarios de
la red pueden requerir de múltiples y repetidos servicios a las
estaciones, y se mueven en la red de acuerdo con un ruteo que puede ser
dependiente del estado de las estaciones, del tiempo (en este caso la
red será no homogénea), de características particulares del usuario (es
este caso la red se dirá multi-clase, siendo una clase un conjunto de
usuarios homogéneo), etc. También, una red puede ser abierta (cuando los
usuarios llegan a las colas desde un ambiente externo) o cerrada (cuando
los usuarios circulan indefinidamente en ella sin dejarla). Cuando
existan clases múltiples de usuarios, es posible encontrar redes
híbridas, con clases de usuarios que entran a la red y clases de
usuarios que nunca la dejan.</p>
<p>Las redes de Jackson conforman una particular familia de redes de colas.
Para que una red de colas sea una red de Jackson abierta (De aquí en
adelante solo se considerará esta familia), las siguientes condiciones
deben ser satisfechas:</p>
<ul class="simple">
<li><p>Hay <span class="math notranslate nohighlight">\(m > 0\)</span> estaciones y todas las estaciones tienen tiempos de
servicio que se distribuyen exponencial con tasa constante<a class="footnote-reference brackets" href="#id2" id="id1" role="doc-noteref"><span class="fn-bracket">[</span>1<span class="fn-bracket">]</span></a> y su
capacidad es infinita.</p></li>
<li><p>Las llegadas externas a la estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> siguen un proceso de Poisson
de parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{i}\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(i = 1,2,\ldots,m\)</span>. Nótese que puede ser
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{i} = 0\)</span> para alguna estación, pero debe también ser
<span class="math notranslate nohighlight">\(\sum_{j = 1}^{m}{\lambda_{j} > 0}\)</span>, de lo contrario no sería una
red abierta.</p></li>
<li><p>Un usuario que complete el servicio a la estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> se mueve a la
estación <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span> con probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(r_{ij}\)</span>, y deja la red con
probabilidad <span class="math notranslate nohighlight">\(r_{i0} = 1 - \sum_{j = 1}^{m}{r_{ij} \geq 0}\)</span>. Nótese
que <span class="math notranslate nohighlight">\(r_{i0}\)</span> tiene que ser positivo para alguna estación, de lo
contrario no habría salida de la red. Es posible que <span class="math notranslate nohighlight">\(r_{ii} > 0\)</span>,
es decir que en algunas estaciones los usuarios puedan recibir
servicios repetidos.</p></li>
</ul>
<p>Por ejemplo, el diagrama en la Figura 1 representa una red de Jackson
abierta con 3 estaciones, donde las tasas de llegada y de servicio se
suponen expresadas en términos de las mismas unidades de tiempo.</p>
<p><img alt="Figura 1" src="_images/redes1.png" /></p>
<p>En la red de Jackson de la Figura 1, cada estación es representada
gráficamente con un rectángulo. En el interior de cada rectángulo se
describen las características de la estación que se modela. Por ejemplo,
la estación numerada 1 tiene un número de servidores <span class="math notranslate nohighlight">\(s = 1\)</span>, y la tasa
del servicio es <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu = 1.0\)</span>, la estación 2 tiene 3 servidores con tasa
de servicio <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu = 0.8\)</span> y finalmente la estación 3 tiene infinitos
servidores, cada uno con tasa de servicio <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu = 0.75.\)</span> En la red hay
llegadas externas a las estaciones 1 y 2, los usuarios que terminan
servicio a la estación 1 llegan a las estaciones 2 y 3 con igual
probabilidad, los que salen de la estación 2 pueden volver a esa misma
estación con una probabilidad de 0.1 o dirigirse a la estación 3.
Finalmente, todos los usuarios salen de la red después de recibir
servicio a la estación 3.</p>
</section>
<section id="estabilidad-en-redes-de-jackson-abiertas">
<h2><span class="section-number">13.2. </span>Estabilidad en redes de Jackson abiertas<a class="headerlink" href="#estabilidad-en-redes-de-jackson-abiertas" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>En esta sección consideramos el problema de determinar si una red de
Jackson abierta puede tener un estado estacionario. Para ello,
necesitamos determinar la tasa de llegada total a cada estación de la
red. Usamos la expresión tasa total porque en general, por cada estación
<span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(i = 1,2,\ldots,m\)</span>, pueden existir 2 tipos distintos de llegadas:</p>
<ul class="simple">
<li><p>Las llegadas externas, que ocurren de acuerdo con un proceso de
Poisson de parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{i}\)</span>.</p></li>
<li><p>Las llegadas de otra estación <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(j = 1,2,\ldots,m\)</span>, de acuerdo
con la probabilidad de ruteo <span class="math notranslate nohighlight">\(r_{ji}\)</span>.</p></li>
</ul>
<p>Para que una red de Jackson abierta sea estable, es necesario que la
tasa total de llegada a cada estación sea estrictamente menor que la
tasa de servicio de la estación. Eso asegura que ninguna estación se
congestione y que el número promedio de usuarios en cada estación sea
finito en el estado estacionario.</p>
<p>Denotamos entonces con <span class="math notranslate nohighlight">\(\Lambda_{i}\)</span> la tasa total de llegada a la
estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(i = 1,2,\ldots,m\)</span>. La tasa total, como está descrito
anteriormente, será el resultado de la siguiente suma:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\Lambda_{i} = \lambda_{i} + \sum_{j = 1}^{m}\Lambda_{j} \cdot r_{ji},\ \ \ \ \ \ i = 1,2,\ldots,m\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>En la ecuación (1), la tasa total de llegada a una estación
<span class="math notranslate nohighlight">\((\Lambda_{i}\)</span>) está descrita en función de las tasas de llegada a las
estaciones (los <span class="math notranslate nohighlight">\(\Lambda_{j}\)</span>). Esta definición se basa en el supuesto
de que, en el equilibrio, la tasa de salida de cada estación es
necesariamente igual a la tasa total de llegada a la misma, por lo cual
el flujo de usuarios que de la estación j se dirigen a la estación i
será igual a <span class="math notranslate nohighlight">\(\Lambda_{j} \cdot r_{ji}\)</span>. Las <span class="math notranslate nohighlight">\(m\)</span> ecuaciones lineales
(una por cada estación) conforman un sistema lineal, cuya solución
simultánea proporciona las tasas totales de llegada <span class="math notranslate nohighlight">\(\Lambda_{i}\)</span>,
<span class="math notranslate nohighlight">\(i = 1,2,\ldots,m\)</span>.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 1</p>
<p>Calculamos las tasas totales de llegada para la red de
Jackson abierta de la Figura 1. La ecuación para la estación 1 será
sencillamente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\Lambda_{1} = \lambda_{1}\]</div>
<p>Dado que no hay llegadas de las demás estaciones. Para la estación 2
tendremos que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\Lambda_{2} = \lambda_{2} + \Lambda_{1}r_{12} + \Lambda_{2}r_{22}\]</div>
<p>Suma de las llegadas externas a la estación (<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{2}\)</span>), de las
llegadas de los usuarios que terminan servicio a la estación 1 e
ingresan a la estación 2 (<span class="math notranslate nohighlight">\(\Lambda_{1}r_{12}\)</span>), y de las llegadas de los
usuarios que termina servicio a la estación 2 y vuelven a ingresar a esa
misma estación (<span class="math notranslate nohighlight">\(\Lambda_{2}r_{22}\)</span>). Finalmente, para la estación 3, la
ecuación (1) nos proporciona la siguiente expresión para <span class="math notranslate nohighlight">\(\Lambda_{3}\)</span>:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\Lambda_{3} = \Lambda_{1}r_{13} + \Lambda_{2}r_{23}\]</div>
<p>Entonces será <span class="math notranslate nohighlight">\(\Lambda_{1} = \lambda_{1} = 0.5\)</span>, y</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\Lambda_{2} = 1 + 0.5{\Lambda_{1} + 0.1\Lambda}_{2} = 1 + 0.5 \bullet 0.5 + 0.1\Lambda_{2} = 1.25 + 0.1\Lambda_{2} \Rightarrow \Lambda_{2} = \frac{1.25}{0.9} = 1.388\]</div>
<p>Finalmente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\Lambda_{3} = 0.5\Lambda_{1} + 0.9\Lambda_{2} = 1.25 + 0.9 \bullet 1.562 = 1.5\ \]</div>
</div>
<p>Para que una red de Jackson abierta sea estable, deberá ser que, por
cada estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(i = 1,2,\ldots,m\)</span>, la siguiente condición sea
satisfecha:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\frac{\Lambda_{i}}{s_{i} \bullet \mu_{i}} < 1\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Donde <span class="math notranslate nohighlight">\(s_{i}\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu_{i}\)</span> denotan el número de servidores de la estación
<span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y la tasa de servicio de cada servidor de esta, respectivamente.
Cuando el número de servidores de la estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> sea <span class="math notranslate nohighlight">\(s_{i} = \infty\)</span>,
la condición de estabilidad (2) se considera siempre satisfecha, sin
importar la tasa de servicio, ya que este tipo de estación no podrá
nunca ser congestionada.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 2</p>
<p>Verificamos la estabilidad de la red de Jackson en la Figura 1 en la siguiente tabla:</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p><strong>Estación 1</strong></p></th>
<th class="head"><p><strong>Estación 2</strong></p></th>
<th class="head"><p><strong>Estación 3</strong></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{\mathbf{\Lambda}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{s}_{\mathbf{1}}\mathbf{\bullet}\mathbf{\mu}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0.5}}{\mathbf{1 \bullet 1.0}}\mathbf{= 0.5 < 1}\)</span></p></td>
<td><p><span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{\Lambda_{2}}{s_{2} \bullet \mu_{2}} = \frac{1.388}{3 \bullet 0.8} = 0.578 < 1\)</span></p></td>
<td><p>$<span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{\Lambda_{3}}{s_{3} \bullet \mu_{3}} < 1\)</span>$</p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p>Estable</p></td>
<td><p>Estable</p></td>
<td><p>Estable porque <span class="math notranslate nohighlight">\(s_{3} = \infty\)</span></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Dado que todas las estaciones son estables, podemos concluir que la
red de Jackson abierta en la Figura 1 tiene un estado estacionario.</p>
</div>
<p>Las ecuaciones en la expresión (1) se llaman por obvias razones
ecuaciones del tráfico de la red de Jackson. Es posible escribir las
ecuaciones en forma matricial, lo cual simplifica la automatización del
cálculo a la hora de utilizar una herramienta computacional como R©.
Denotamos con
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\Lambda} = (\Lambda_{1},\Lambda_{2},\ldots,\Lambda_{m})\)</span>
el vector de las tasas totales de llegada (las variables cuyos valores
son por determinar), con
<span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\lambda} = (\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{m})\)</span>
el vector de las tasas de llegadas externas y con <span class="math notranslate nohighlight">\(R\)</span> la matriz de
probabilidades de ruteo, tal que <span class="math notranslate nohighlight">\(\left\| R \right\|_{ij} = r_{ij}\)</span>, es
posible re-escribir las <span class="math notranslate nohighlight">\(m\)</span> ecuaciones en la expresión (1) de la
siguiente forma:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\overrightarrow{\Lambda} = \overrightarrow{\lambda} + \overrightarrow{\Lambda}R\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Y de la (3) obtener una fórmula para el <span class="math notranslate nohighlight">\(\overrightarrow{\Lambda}\)</span>, como
sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\overrightarrow{\Lambda} = \overrightarrow{\lambda} + \overrightarrow{\Lambda}R \Rightarrow \overrightarrow{\Lambda} - \overrightarrow{\Lambda}R = \overrightarrow{\lambda} \Rightarrow \overrightarrow{\Lambda}(I - R) = \overrightarrow{\lambda} \Rightarrow \overrightarrow{\Lambda} = \overrightarrow{\lambda}{(I - R)}^{- 1}\]</div>
</section>
<section id="el-teorema-de-jackson-1963-y-sus-aplicaciones">
<h2><span class="section-number">13.3. </span>El teorema de Jackson (1963) y sus aplicaciones<a class="headerlink" href="#el-teorema-de-jackson-1963-y-sus-aplicaciones" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>El resultado conocido como Teorema de Jackson proporciona una manera
extremadamente sencilla de calcular las probabilidades en estado
estacionario para las redes de Jackson abiertas estables. Una versión
muy concisa del teorema de Jackson es la siguiente:</p>
<blockquote>
<div><p><em>Teorema de Jackson (1963).</em> En una red de Jackson abierta estable, con
<span class="math notranslate nohighlight">\(m > 0\)</span> estaciones, donde la estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> tiene <span class="math notranslate nohighlight">\(s_{i}\)</span> servidores, en
el estado estacionario la distribución conjunta de la probabilidad de
estado tiene forma de producto y la distribución de estado estacionaria
marginal de la estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> es aquella de una <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/s_{i}\)</span>.</p>
</div></blockquote>
<p>Para entender el sentido del teorema de Jackson, empezamos con denotar
con <span class="math notranslate nohighlight">\(N_{i}\)</span> la variable aleatoria número de usuarios en el estado
estacionario en la estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(i = 1,2,\ldots,m\)</span>. La distribución
conjunta estacionaria de la probabilidad de estado es la probabilidad de
que, en el estado estacionario de la red, <span class="math notranslate nohighlight">\(N_{1} = n_{1}\)</span> o sea de que
<span class="math notranslate nohighlight">\(n_{1}\)</span> usuarios se encuentren en la estación 1, <span class="math notranslate nohighlight">\(N_{2} = n_{2}\)</span>, y así
hasta la estación <span class="math notranslate nohighlight">\(m\)</span>. Podemos denotar dicha probabilidad estacionaria
con la siguiente notación:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}} = P\lbrack N_{1} = n_{1},N_{2} = n_{2},\ldots,N_{m\ } = n_{m}\rbrack\]</div>
<p>El teorema de Jackson afirma que</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}} = \pi_{n_{1}} \bullet \pi_{n_{2}}\cdots\pi_{n_{m}} = P\left\lbrack N_{1} = n_{1} \right\rbrack P\left\lbrack N_{2} = n_{2} \right\rbrack\cdots P\left\lbrack N_{m\ } = n_{m} \right\rbrack = \prod_{j = 1}^{m}{P\left\lbrack N_{i\ } = n_{i} \right\rbrack}\]</div>
<p>Este resultado tiene forma de producto porque la probabilidad conjunta
se descompone en el producto de las probabilidades de estado marginales
de las estaciones.</p>
<p>Es interesante observar que el resultado de Jackson nos permite tratar
las diferentes estaciones como si fueran entre sí independientes,
mientras que no lo son por la obvia razón de que están relacionadas de
acuerdo con la topología de la red. Además, las distribuciones
marginales de las estaciones, es decir los factores
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\lbrack N_{i} = n_{i}\rbrack\)</span>, son iguales a las probabilidades de una
cola <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/s_{i}\)</span>, y por ellas tenemos ya las fórmulas onesin necesidad
alguna de solucionar ecuaciones de balance.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 3</p>
<p>Aplicamos el teorema de Jackson a la red de Jackson
abierta de la Figura 1. Por ejemplo, consideramos la probabilidad de que
en el estado estacionario todas las estaciones se encuentren vacías, o
sea de que el número total de usuarios en la red sea cero. Lo que
queremos evaluar es entonces:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\lbrack N_{1} = 0,N_{2} = 0,N_{3\ } = 0\rbrack\]</div>
<p>Por el teorema de Jackson, en el estado estacionario esta probabilidad
conjunta es igual a</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack N_{1} = 0 \right\rbrack P\left\lbrack N_{2} = 0 \right\rbrack P\lbrack N_{3\ } = 0\rbrack\]</div>
<p>El primer factor en la expresión arriba es la probabilidad de que una
cola <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1\)</span> estable se encuentre vacía. Por las fórmulas de la <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1\)</span>,
será que
<span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack N_{1} = 0 \right\rbrack = \pi_{0} = 1 - \rho = 1 - \frac{\Lambda_{1}}{\mu_{1}} = 0.5\)</span>.</p>
<p>Aquí, nótese que es necesario utilizar las tasas totales de llegada al
aplicar las fórmulas para calcular los índices de cada estación. Así,
para la estación 2 que es una cola <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/3\)</span>, será necesario utilizar la
siguiente fórmula para <span class="math notranslate nohighlight">\(P\left\lbrack N_{2} = 0 \right\rbrack\)</span>=<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span></p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \left( \sum_{j = 0}^{s - 1}\frac{\left( s\rho_{s} \right)^{j}}{j!} + \frac{\left( s\rho_{s} \right)^{s}}{s!(1 - \rho_{s})} \right)^{- 1} = \frac{1}{\sum_{j = 0}^{2}\frac{\left( 3\rho_{2} \right)^{j}}{j!} + \frac{\left( 3\rho_{2} \right)^{3}}{6(1 - \rho_{2})}} = \frac{1}{1 + 3\rho_{2} + \frac{\left( 3\rho_{2} \right)^{2}}{2} + \frac{\left( 3\rho_{2} \right)^{3}}{6(1 - \rho_{2})}}\]</div>
<p>Siendo <span class="math notranslate nohighlight">\(\rho_{2} = \frac{\Lambda_{2}}{s_{2} \bullet \mu_{2}} = 0.5783\)</span>.
Sustituyendo los valores numéricos se obtiene para la segunda estación</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = 0.158\]</div>
<p>Para la tercera estación, de las fórmulas de la cola <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/\infty\)</span> se
obtiene:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack N_{3\ } = 0 \right\rbrack = \pi_{0} = e^{- \rho} = e^{- \frac{\Lambda_{3}}{\mu_{3}}} = e^{- \frac{1.5}{0.75}} = e^{- 2} = 0.135\ \]</div>
<p>Entonces, la probabilidad de que no haya ningún usuario en la red será
dada por</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P\left\lbrack N_{1} = 0 \right\rbrack P\left\lbrack N_{2} = 0 \right\rbrack P\left\lbrack N_{3\ } = 0 \right\rbrack = 0.5 \bullet 0.158 \bullet 0.135 = 0.793\]</div>
</div>
<p>El resultado de Jackson implica una forma de independencia que facilita
el cálculo no solo de las probabilidades de estado estacionarias, sino
de todas las medidas de desempeño. Por ejemplo, supongamos que nos
interese calcular <span class="math notranslate nohighlight">\(L^{i}\)</span>, el número promedio de usuarios en estado
estacionario en la estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> de la red de Jackson. La fórmula por
utilizar es la fórmula del promedio, como sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L^{i} = \sum_{n_{1} = 0}^{\infty}{\sum_{n_{2} = 0}^{\infty}{\cdots\sum_{n_{i} = 0}^{\infty}\cdots\sum_{n_{m} = 0}^{\infty}{n_{i \bullet}\pi_{n_{1},n_{2},\ldots,n_{i},\ldots,n_{m}}}}}\]</div>
<p>Ahora, utilizando el teorema de Jackson y repartiendo los factores del
producto se obtiene lo siguiente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L^{i} = \sum_{n_{1} = 0}^{\infty}{\sum_{n_{2} = 0}^{\infty}{\cdots\sum_{n_{i} = 0}^{\infty}\cdots\sum_{n_{m} = 0}^{\infty}{n_{i \bullet}\pi_{n_{1}} \bullet \pi_{n_{2}}\cdots\ \pi_{n_{i}}\cdots\pi_{n_{m}}}}} = \sum_{n_{1} = 0}^{\infty}{\pi_{n_{1}}\sum_{n_{2} = 0}^{\infty}{\pi_{n_{2}}\cdots\sum_{n_{i} = 0}^{\infty}{n_{i \bullet}\pi_{n_{i}}\cdots\sum_{n_{m} = 0}^{\infty}\pi_{n_{m}}}}}\]</div>
<p>Ahora bien, la última suma es la suma de toda la distribución de estado
estacionaria para la última estación, lo cual es 1, igual que la suma de
todas las demás sumatorias después de aquella para la estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, así
que se obtiene:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L^{i} = \sum_{n_{1} = 0}^{\infty}{\pi_{n_{1}}\sum_{n_{2} = 0}^{\infty}{\pi_{n_{2}}\cdots\sum_{n_{i} = 0}^{\infty}{n_{i \bullet}\pi_{n_{i}} \bullet 1 \bullet 1 \bullet \cdots \bullet 1 = \sum_{n_{1} = 0}^{\infty}{\pi_{n_{1}}\sum_{n_{2} = 0}^{\infty}{\pi_{n_{2}}\cdots\sum_{n_{i} = 0}^{\infty}{n_{i \bullet}\pi_{n_{i}}}}}}}}\]</div>
<p>Y de la misma manera, las sumas para las estaciones antes de aquella
para la estación <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> son unitarias, así que se obtiene:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L^{i} = 1 \bullet 1 \bullet \cdots \bullet 1\sum_{n_{i} = 0}^{\infty}{n_{i \bullet}\pi_{n_{1}}} = \sum_{n_{i} = 0}^{\infty}{n_{i \bullet}\pi_{n_{i}}}\]</div>
<p>Lo anterior significa que para calcular los promedios del número de
usuarios (tanto <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span> como <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span>y <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{s}\)</span>) solo tenemos que utilizar la
distribución de estado marginal. Y como consecuencia, podemos calcular
los tiempos promedio <span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span> como <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{q}\)</span>y <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{s\ }\)</span>de cada estación,
utilizando la ley de Little. Todos estos cálculos se hacen como si las
estaciones fuesen colas independientes. A tener siempre en cuenta, las
tasas de llegada que se utilizan para calcular los índices de
rendimiento son aquellas totales <span class="math notranslate nohighlight">\((\Lambda_{i})\)</span>, que se obtienen de la
solución de las ecuaciones de tráfico de la red.</p>
<p>Finalmente, es importante observar que el número total promedio de
usuarios en la red se obtiene de la suma de los promedios a cada
estación, así que será:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = \sum_{j = 1}^{m}L^{j}\]</div>
<p>Donde <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span> es el promedio de usuarios en la red en estado estacionario.
De la misma manera, se obtienen los promedios de usuarios en cola y en
servicio en la red.</p>
<p>Para el cálculo del tiempo promedio que cada usuario pasa en la red (o
en general en un subconjunto de las estaciones), es necesario utilizar
la ley de Little. Nótese que los tiempos promedios <span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{q}\)</span>y
<span class="math notranslate nohighlight">\(W_{s\ }\)</span>de cada estación son los tiempos promedios por cada visita de
un usuario, por lo cual la suma de estos tiempos no es en general igual
al tiempo promedio total, ya que los usuarios pueden visitar las
estaciones con diferente probabilidad, e incluso puede visitar múltiples
veces las mismas, dependiendo de las probabilidades del ruteo.</p>
<div class="warning admonition">
<p class="admonition-title">Nota</p>
<p>La suma de los tiempos promedios que un usuario pasa en las
diferentes estaciones no es igual al tiempo promedio del usuario en la
red. La forma correcta de calcular el tiempo promedio total es con la
ley de Little. El único caso en donde se cumple que la suma de los
tiempos promedios que un usuario pasa en las diferentes estaciones es
igual al tiempo promedio del usuario en la red es cuando la red es 100%
secuencial. Lo anterior significa que no existen reprocesos o, lo que es
lo mismo, luego de que una entidad termina su proceso en una estación,
pasará a una única siguiente estación diferente de sí misma el 100% de
las veces hasta que dicha entidad salga de la red.</p>
</div>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 4</p>
<p>El número promedio total de usuarios en la red de Jackson de la Figura 1
está dado por la suma de los promedios en las tres estaciones, que se calculan,
así como sigue:</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p><strong>Estación</strong></p></th>
<th class="head"><p><strong>Cola correspondiente</strong></p></th>
<th class="head"><p><strong>Número promedio de usuarios (L)</strong></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p>1</p></td>
<td><p><span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1\)</span></p></td>
<td><p><span class="math notranslate nohighlight">\(L^{1} = \frac{\rho}{1 - \rho} = \frac{0.5}{1 - 0.5} = 1\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p>2</p></td>
<td><p><span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/3\)</span></p></td>
<td><p><span class="math notranslate nohighlight">\(L^{2} = L_{s} + L_{q} = \frac{\Lambda_{2}}{\mu_{2}} + \frac{P\lbrack i > 3\rbrack\rho_{3}}{1 - \rho_{3}} = 1.735 + 0.342 = 2.0778\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p>3</p></td>
<td><p><span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/\infty\)</span></p></td>
<td><p><span class="math notranslate nohighlight">\(L^{3} = L_{s} = \frac{\Lambda_{3}}{\mu_{3}} = \frac{1.5}{0.75} = 2\ \)</span></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Entonces el promedio total de los usuarios en la red de Jackson, en estado estacionario, es:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = L^{1} + L^{2} + L^{3} = 1 + 2.0778 + 2\ = 5.077\]</div>
<p>El tiempo promedio total de un usuario en la red se calcula con la ley de Little:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = \lambda \bullet W \Rightarrow W = \frac{L}{\lambda}\]</div>
<p>El <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span> a utilizar es el total promedio de todas las estaciones, y el
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> a utilizar es la tasa total de llegada al sistema
conformado por las estaciones consideradas. Si consideramos todas las
estaciones, entonces la tasa total de llegada tiene que incluir la
tasa externa de llegada a la estación 1 y la tasa externa de llegada
a la estación 2. Como se explica en la Figura 2, el sistema al cual
se aplica en este caso la ley de Little es aquel que se encuentra
dentro del rectángulo con bordes en línea discontinua, y hay dos
flujos de llegada que cruzan esos bordes.</p>
<p><img alt="Figura 2" src="_images/redes2.png" /></p>
<p>Entonces se determina el <span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span> para la red como sigue:
$<span class="math notranslate nohighlight">\(W = \frac{L}
{\lambda} = \frac{L^{1} + L^{2} + L^{3}}{\lambda_{1} + \lambda_{2}}\)</span>$</p>
<p>Finalmente, si por ejemplo se necesitase calcular el tiempo promedio
que cada usuario pasa en la sub-red conformada por las estaciones 2 y
3, entonces el sistema al cual aplicar la ley de Little sería aquel
encerrado en el rectángulo que se ilustra en la Figura 3. El número
promedio de usuarios a utilizar sería <span class="math notranslate nohighlight">\(\ L = L^{2} + L^{3}\)</span> y la tasa
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda = \Lambda_{2}\)</span>, ya que el flujo total de usuarios que
ingresa al sistema es el flujo total de ingreso a la estación 2.</p>
<p><img alt="Figura 3" src="_images/redes3.png" /></p>
</div>
</section>
<section id="relevancia-del-teorema-de-jackson">
<h2><span class="section-number">13.4. </span>Relevancia del teorema de Jackson<a class="headerlink" href="#relevancia-del-teorema-de-jackson" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>En esta sección se pretende explicar con un pequeño ejemplo el alcance
del resultado de Jackson y su utilidad, haciendo énfasis sobre las
simplificaciones que permite en el análisis de redes de colas.</p>
<p>Consideramos una de las redes de Jackson más sencillas, la red tándem
conformada por dos estaciones idénticas, cada una son un solo servidor,
conectadas en serie, así como se ilustra en la Figura <strong>4</strong>.</p>
<p><img alt="Figura 4" src="_images/redes4.png" /></p>
<p>Gracias al teorema de Jackson, sabemos qué si la red es estable, lo cual
ocurre en este caso particular si <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda < \mu\)</span>, es posible analizar
el modelo como si fuese conformado por 2 colas <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1\)</span> idénticas e
independientes. Supongamos ahora que no se conozca el teorema de
Jackson, y exploramos el análisis de la red sin ello.</p>
<p>Dado que todos los tiempos se distribuyen exponencial en la red, es
posible modelar su evolución en el tiempo con una Cadena de Markov en
tiempo continuo. Entonces, sea <span class="math notranslate nohighlight">\(\left\{ X(t),t \geq 0 \right\}\)</span> el
proceso de Markov en tiempo continuo tal que
<span class="math notranslate nohighlight">\(X(t) = (N_{1}(t),N_{2}(t))\)</span> es el vector cuyos elementos son el número
de usuarios en cada estación en el tiempo <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>. El espacio de estados
<span class="math notranslate nohighlight">\(S_{X}\)</span> del proceso estocástico es el siguiente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[S_{X} = \{(i,j)|i \geq 0,j \geq 0\}\]</div>
<p>y entonces es infinito. Es posible visualizar el diagrama de estado y
transiciones de manera ordenada, colocando los estados en los puntos
enteros del cuadrante cartesiano positivo, como se muestra en la Figura
5.</p>
<p><img alt="Figura 5" src="_images/redes5.png" /></p>
<p>Para realizar el análisis en estado estacionario, sería necesario
primero escribir las ecuaciones del balance en el estado estacionario.
Eso sería posible solo en teoría, ya que se trataría de escribir un
número infinito de ecuaciones. Las ecuaciones no son de hecho
complicadas. Las primeras serían las siguientes:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0,0}\lambda = \pi_{0,1}\mu\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{1,0}(\lambda + \mu) = \pi_{0,0}\lambda + \pi_{0,1}\mu\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0,1}(\lambda + \mu) = \pi_{0,2}\mu\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{1,1}(\lambda + \mu) = \pi_{0,1}\lambda + \pi_{1,2}\mu + \pi_{2,0}\mu\]</div>
<p>Para cualquier estado <span class="math notranslate nohighlight">\((i,j)\)</span> tal que <span class="math notranslate nohighlight">\(i > 0\ \)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(j > 0\)</span>, es decir que
no esté en la frontera del diagrama en la Figura 5, la ecuación del
balance para el estado estacionario es la siguiente:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{i,j}(\lambda + \mu) = \pi_{i - i,j}\lambda + \pi_{i,j + 1}\mu + \pi_{1 + i,j - 1}\mu\]</div>
<p>Si bien es posible escribir las ecuaciones, no es posible escribirlas
todas ni mucho menos solucionarlas. Entonces, para hacer que el cálculo
sea factible, sería necesario cortar el espacio de estados a una
cardinalidad finita. Esto podría realizarse, por ejemplo, manteniendo
solo los estados tales que el total de usuarios en la red fuese menor a
un número máximo. Si por ejemplo supiéramos que es muy poco probable que
haya más de 99 usuarios en cada nodo de la red, podríamos eliminar todos
los estados tales que <span class="math notranslate nohighlight">\(i \geq 100,j \geq 100\)</span>.</p>
<p>Entonces no quedaría un espacio de estados con <span class="math notranslate nohighlight">\(100 \times 100 = 10,000\)</span>
estados, por lo cual sería posible solucionar un sistema lineal de
10,000 ecuaciones y obtener 10,000 probabilidades en estado estable.
Ahora, para el cálculo de los índices de rendimiento, por ejemplo, el
valor esperado del número de usuarios en el sistema sería necesario
realizar el cálculo de la sumatoria que define el valor esperado, ya que
sin el resultado de Jackson no se conoce ninguna propiedad que permita
simplificarlo.</p>
<p>En resumen, el teorema de Jackson nos permite:</p>
<ul class="simple">
<li><p>Ahorrar la necesidad de truncar espacios de estados infinitos.</p></li>
<li><p>Evitar tener que renunciar a la solución exacta por una aproximada.</p></li>
<li><p>No tener que escribir ecuaciones de balance en el estado
estacionario.</p></li>
<li><p>Eliminar la necesidad de solucionar el sistema lineal de las
ecuaciones del balance.</p></li>
<li><p>Hacer que el cálculo de los índices de rendimiento sea inmediato.</p></li>
</ul>
<hr class="footnotes docutils" />
<aside class="footnote brackets" id="id2" role="note">
<span class="label"><span class="fn-bracket">[</span><a role="doc-backlink" href="#id1">1</a><span class="fn-bracket">]</span></span>
<p>Las redes de Jackson han sido extendidas en el tiempo. Hoy se
conocen resultados para redes abiertas donde las tasas de servicios
de las estaciones pueden ser dependientes del número de usuarios en
la estación.</p>
</aside>
</section>
</section>
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<i class="fa-solid fa-list"></i> Contents
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<nav class="bd-toc-nav page-toc">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">13.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#estabilidad-en-redes-de-jackson-abiertas">13.2. Estabilidad en redes de Jackson abiertas</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#el-teorema-de-jackson-1963-y-sus-aplicaciones">13.3. El teorema de Jackson (1963) y sus aplicaciones</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#relevancia-del-teorema-de-jackson">13.4. Relevancia del teorema de Jackson</a></li>
</ul>
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