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<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
</nav></div>
</div>
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<h1>Teoría de Colas</h1>
<!-- Table of contents -->
<div id="print-main-content">
<div id="jb-print-toc">
<div>
<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#notacion-kendall-lee">12.1. Notación Kendall-Lee</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-m-1-gd-infty-infty">12.2. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/1/GD/\infty/\infty}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-m-1-gd-c-infty">12.3. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/1/GD/c/\infty}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-m-s-gd-infty-infty">12.4. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/s/GD/\infty/\infty}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-m-r-gd-k-k">12.5. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/R/GD/K/K}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-g-1-gd-infty-infty">12.6. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/G/1/GD/\infty/\infty}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-g-g-infty-gd-infty-infty">12.7. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{G/G/\infty/GD/\infty/\infty}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-m-infty-gd-infty-infty-o-mathbf-m-m-infty">12.8. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/\infty/GD/\infty/\infty}\)</span> (o <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/\infty}\)</span>)</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="teoria-de-colas">
<h1><span class="section-number">12. </span>Teoría de Colas<a class="headerlink" href="#teoria-de-colas" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este capítulo se presenta el desarrollo de las medidas de desempeño
para algunos procesos de nacimiento y muerte, también conocidos como
filas en Teoría de Colas.</p>
<section id="notacion-kendall-lee">
<h2><span class="section-number">12.1. </span>Notación Kendall-Lee<a class="headerlink" href="#notacion-kendall-lee" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Para poder analizar las medidas de desempeño de algunas de las
diferentes configuraciones de filas que se pueden presentar en un
sistema, resulta de utilidad abordar primero el concepto de notación
Kendall-Lee. En dicha notación se encuentran 6 posiciones:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[A/B/C/D/E/F\]</div>
<p>Donde:</p>
<ul class="simple">
<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span>: Representa el tipo de proceso estocástico o distribución de
probabilidad asociada a la llegada de entidades al sistema.</p></li>
<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(B\)</span>: Representa el tipo de proceso estocástico o distribución de
probabilidad asociada a la atención o servicio de entidades en el
sistema.</p></li>
<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(C\)</span>: Representa el número de servidores con los que cuenta el
sistema para la atención de las entidades.</p></li>
<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(D\)</span>: Representa la disciplina o el comportamiento en la atención de
las entidades en el sistema.</p></li>
<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(E\)</span>: Representa la capacidad máxima de entidades que pueden
encontrarse al mismo tiempo el sistema, tanto en fila como en
servicio.</p></li>
<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(F\)</span>: Representa el tamaño de la población de la cual provienen las
entidades por fuera del sistema.</p></li>
</ul>
<blockquote>
<div><p>En general, para los elementos <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(B\)</span>, se utiliza una letra <span class="math notranslate nohighlight">\(M\)</span>
cuando el proceso correspondiente sigue un Proceso de Poisson con una
tasa respectiva. Para cualquier otra distribución que no siga un
Proceso de Poisson, se utiliza una letra <span class="math notranslate nohighlight">\(G\)</span> que representa una
distribución general (i.e. una distribución uniforme continua para los
procesos de arribo y/o atención de entidades). Para el parámetro D, se
utiliza suelen especificar las letras <span class="math notranslate nohighlight">\(GD\)</span> para hacer referencia a una
disciplina general de atención de entidades, siendo esta disciplina
“primero en entrar, primero en salir” (o FIFO, por sus siglas en
inglés). Por último, para los parámetros <span class="math notranslate nohighlight">\(C,\ E\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(F\)</span>, se puede
especificar un número natural correspondiente para cada parámetro o,
si dichos parámetros no están acotados por un número específico, se
puede representar cada valor con el símbolo <span class="math notranslate nohighlight">\(\infty\)</span> seg´´un
corresponda.</p>
</div></blockquote>
</section>
<section id="la-fila-mathbf-m-m-1-gd-infty-infty">
<h2><span class="section-number">12.2. </span>La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/1/GD/\infty/\infty}\)</span><a class="headerlink" href="#la-fila-mathbf-m-m-1-gd-infty-infty" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>De su notación de Kendall, esta es una fila en la cual el tiempo entre
arribos y el tiempo de servicio siguen una distribución exponencial (con
tasas que denotaremos <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span> respectivamente), sólo hay un
servidor, y tanto la capacidad del sistema como el tamaño de la
población son infinitos. La notación resumida de Kendall para esta cola
es <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1\)</span>, ya que los últimos tres términos normalmente se omiten.</p>
<p>Así, la fila descrita se puede modelar como una Cadena de Markov de
tiempo continuo con variable de estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(X(t) = número\ de\ entidades\ en\ el\ sistema\ en\ el\ instante\ t\)</span>. El
espacio de estados de la cadena es el conjunto infinito de los números
enteros no-negativos <span class="math notranslate nohighlight">\(S = \{ 0,1,2,\ldots\}\)</span>. Así, la Figura 1 muestra
el diagrama de tasas de transición correspondiente.</p>
<p><img alt="Figura 1" src="_images/colas1.png" /></p>
<p>Note que esta cadena es un proceso de nacimiento y muerte, por lo que
las probabilidades de estado estable (si existen) tienen la forma:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{j} = c_{j}\pi_{0}\]</div>
<p>Donde <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{j}\)</span> se calcula a partir de <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span> así:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[c_{j} = \frac{\lambda_{0}\lambda_{1}{\cdots\lambda}_{j - 1}}{\mu_{1}\mu_{2}\cdots{\ \mu}_{j}} = \frac{\lambda^{j}}{\mu^{j}} = \left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^{j}\]</div>
<p>Así mismo, para conocer todas las probabilidades de estado estable sólo
es necesario encontrar <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span> como en cualquier proceso de nacimiento
y muerte:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \left( 1 + \sum_{j = 1}^{\infty}\left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^{j} \right)^{- 1} = \left( \sum_{j = 0}^{\infty}\left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^{j} \right)^{- 1}\]</div>
<p>La existencia de <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span>, y por lo tanto, de todas las probabilidades
de estado estable, dependen de la serie infinita
<span class="math notranslate nohighlight">\(\sum_{j = 0}^{\infty}\left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^{j}\)</span>, que
converge solo si <span class="math notranslate nohighlight">\(\left( \frac{\lambda}{\mu} \right) < 1\)</span>. Esta
condición es consistente con la interpretación física de la fila, porque
si <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu < \lambda\)</span>, las entidades llegan a la fila más rápido de lo que
el servidor las puede atender, por lo que en el largo plazo la fila
tendrá una longitud infinita. En este caso, todos los estados de la
cadena serán transitorios, y por la tanto, si bien la cadena es
irreducible, no es ergódica, y las probabilidades de estado estable no
existirán. Así, denotaremos como <span class="math notranslate nohighlight">\(\rho = \frac{\lambda}{\mu}\)</span> la
relación entre las tasas de llegada y servicio, y calculamos las
probabilidades en estado estable en función de <span class="math notranslate nohighlight">\(\rho:\)</span></p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \left( \sum_{j = 0}^{\infty}\rho^{j} \right)^{- 1} = \left( \frac{1}{1 - \rho} \right)^{- 1} = 1 - \rho\]</div>
<p>La segunda igualdad en la expresión de arriba se obtiene de las
propiedades de las series geométricas, las cuales, cuando la razón de la
serie (en este caso el <span class="math notranslate nohighlight">\(\rho\)</span>) es estrictamente menor a 1, convergen al
valor finito <span class="math notranslate nohighlight">\((1 - \rho)^{- 1}\)</span></p>
<p>Ahora, es de interés conocer la utilización del servidor, es decir, la
fracción de tiempo que el servidor está ocupado en el largo plazo:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[Utilización = \pi_{1} + \pi_{2} + \ldots = \sum_{j = 1}^{\infty}\pi_{j} = \sum_{j = 0}^{\infty}\pi_{j} - \pi_{0} = 1 - \pi_{0} = 1 - (1 - \rho) = \rho\]</div>
<p>Entonces, las probabilidades de estado estable tienen la forma
<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{j} = (1 - \rho)\rho^{j},\ \ j \geq 0\)</span>. Así, es posible conocer el
número esperado de entidades en el sistema <span class="math notranslate nohighlight">\((L)\)</span> como sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = \sum_{j = 0}^{\infty}j\pi_{j} = \sum_{j = 0}^{\infty}j(1 - \rho)\rho^{j} = (1 - \rho)\sum_{j = 0}^{\infty}j\rho^{j} = (1 - \rho)\frac{\rho}{(1 - \rho)^{2}} = \frac{\rho}{1 - \rho}\]</div>
<p>De forma similar se puede encontrar el número esperado de entidades en
servicio <span class="math notranslate nohighlight">\((L_{s})\)</span>:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{s} = 0 \cdot \pi_{0} + \sum_{j = 1}^{\infty}{1 \cdot \pi_{j}} = \sum_{j = 1}^{\infty}\pi_{j} = 1 - \pi_{0} = 1 - (1 - \rho) = \rho\]</div>
<p>Es también posible obtener <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{s}\)</span> a través de la aplicación de la Ley
de Little al subsistema constituido por el servidor de la cola. Como se
ilustra en la Figura 1, dado que la <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1\)</span> es ergódica, el flujo de
entidades que salen del sistema debe ser igual en intensidad al flujo de
entidades que ingresan al sistema, es decir, ambos tienen que ser de
tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>. Dada la naturaleza secuencial del modelo, primero la
espera y después el servidor, también el flujo de entidades que pasan de
esperar a servicio debe ser de tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>.</p>
<p><img alt="Figura 2" src="_images/colas2.png" /></p>
<p>Entonces, aplicando la Ley de Little (<span class="math notranslate nohighlight">\(L_{s} = \lambda{\cdot W}_{s}\)</span>) al
sistema encerrado en el rectángulo con línea discontinua, podemos
obtener que en el estado estacionario el número promedio de entidades en
servicio es igual a la tasa de llegada <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> por el tiempo promedio
que cada una de ellas pasa en servicio, lo cual es
<span class="math notranslate nohighlight">\(W_{s} = \frac{1}{\mu}\)</span>. Se obtiene que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{s} = \lambda{\cdot W}_{s} = \frac{\lambda}{\mu} = \rho\]</div>
<p>El número esperado de entidades en fila <span class="math notranslate nohighlight">\((L_{q})\)</span> es:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{q} = L - L_{s} = \frac{\rho}{1 - \rho} - \rho = \frac{\rho^{2}}{1 - \rho}\]</div>
<p>Finalmente, usando la ley de Little se pueden encontrar los tiempos
promedio de permanencia en el sistema <span class="math notranslate nohighlight">\((W)\)</span>:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[W = \frac{L}{\lambda} = \frac{\frac{\rho}{1 - \rho}}{\lambda} = \frac{1}{\mu(1 - \frac{\lambda}{\mu})\ } = \frac{1}{\mu - \lambda}\]</div>
<p>Dado que el tiempo promedio en servicio es <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{s} = \frac{1}{\mu}\)</span>,
podemos calcular el tiempo promedio en espera de cada entidad como
sigue:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[W_{q} = W - W_{s} = \frac{1}{\mu - \lambda} - \frac{1}{\mu} = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}\]</div>
</section>
<section id="la-fila-mathbf-m-m-1-gd-c-infty">
<h2><span class="section-number">12.3. </span>La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/1/GD/c/\infty}\)</span><a class="headerlink" href="#la-fila-mathbf-m-m-1-gd-c-infty" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>De su notación de Kendall, ésta es una fila en la cual el tiempo entre
arribos y el tiempo de servicio siguen una distribución exponencial (con
tasas que denotaremos <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span> respectivamente), sólo hay un
servidor, el tamaño de la población es infinito, y el sistema tiene
capacidad de <span class="math notranslate nohighlight">\(c\)</span> entidades en total, es decir, en fila y en servicio. La
notación resumida para esta cola es <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1/c\)</span>.</p>
<p>Así, la fila descrita se puede modelar como una Cadena de Markov de
tiempo continuo con variable de estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(X(t) = número\ de\ entidades\ en\ el\ sistema\ en\ el\ instante\ t\)</span>.
Así, la Figura 2 muestra el diagrama de tasas de transición
correspondiente.</p>
<p><img alt="Figura 2" src="_images/colas3.png" /></p>
<p>Note que esta cadena es un proceso de nacimiento y muerte, y qué además
siempre es ergódica ya que tiene espacio de estados finito, por lo que
las probabilidades de estado estable siempre existen y tienen la forma:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{j} = c_{j}\pi_{0}\]</div>
<p>Donde <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{j}\)</span> se calcula a partir de <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span> así:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[c_{j} = \frac{\lambda_{0}\lambda_{1}{\cdots\lambda}_{j - 1}}{\mu_{1}\mu_{2}\cdots{\ \mu}_{j}} = \frac{\lambda^{j}}{\mu^{j}} = \left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^{j} = \rho^{j}\]</div>
<p>Entonces, para conocer todas las probabilidades de estado estable solo
es necesario encontrar <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span> como en cualquier proceso de nacimiento
y muerte:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \left( 1 + \sum_{j = 1}^{c}\rho^{j} \right)^{- 1} = \left( \sum_{j = 0}^{c}\rho^{j} \right)^{- 1} = \frac{1 - \rho}{1 - \rho^{c + 1}}\]</div>
<p>Es importante observar que para este modelo el <span class="math notranslate nohighlight">\(\rho\)</span> no corresponde a
la utilización del sistema, y que puede asumir valores arbitrariamente
grandes. En efecto, para calcular la utilización de este sistema se debe
considerar que cuando el sistema está en el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(c\)</span> (es decir, hay
<span class="math notranslate nohighlight">\(c - 1\ \)</span>entidades en fila) las llegadas se pierden. Por esto, se
calcula una <em>tasa efectiva</em> de entrada al sistema <span class="math notranslate nohighlight">\((\lambda_{e})\)</span> de la
siguiente forma:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\lambda_{e} = \lambda\pi_{0} + \lambda\pi_{1} + \ldots + \lambda\pi_{c - 1} + 0\pi_{c} = \lambda(\pi_{0} + \pi_{1} + \ldots + \pi_{c - 1}) = \lambda(1 - \pi_{c})\]</div>
<p>Y la utilización del sistema es
<span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{\lambda\left( 1 - \pi_{c} \right)}{\mu} = \rho(1 - \pi_{c})\)</span>.</p>
<p>Finalmente, se calculan los números esperados de entidades y tiempos
promedio de forma similar a la fila
<span class="math notranslate nohighlight">\(M\text{/}M\text{/}1\text{/}GD\text{/}\infty\text{/}\infty\)</span>:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = \sum_{j = 0}^{c}{j\rho^{j}\frac{1 - \rho}{1 - \rho^{c + 1}}} = \frac{\rho\lbrack 1 - (c + 1) \cdot \rho^{c} + c \cdot \rho^{c + 1}\rbrack}{(1 - \rho^{c + 1})(1 - \rho)}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{s} = \rho(1 - \pi_{c})\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{q} = L - L_{s}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[W = \frac{L}{\lambda_{e}}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[W_{s} = \frac{1}{\mu}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[W_{q} = W - W_{s}\]</div>
<p>Note que las fórmulas mencionadas fallan cuando <span class="math notranslate nohighlight">\(\rho = 1\)</span>, sin embargo,
en este caso se tiene que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \left( 1 + \sum_{j = 1}^{c}\rho^{j} \right)^{- 1} = \left( 1 + \sum_{j = 1}^{c}1 \right)^{- 1} = \frac{1}{1 + c}\]</div>
<p>Además, ya que para cualquier estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\ \)</span>se tiene que <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{j} = 1\)</span>,
todos los <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{j} = \pi_{0}\)</span>. Esto quiere decir que, en estado estable,
el sistema estará en cualquier estado con la misma probabilidad. A
partir de esta definición de <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{j}\)</span> se pueden calcular las demás
medidas de desempeño como se hizo anteriormente. En particular, se puede
mostrar que cuando <span class="math notranslate nohighlight">\(\rho = 1\)</span> se tiene que <span class="math notranslate nohighlight">\(L = \frac{c}{2}\)</span>.</p>
</section>
<section id="la-fila-mathbf-m-m-s-gd-infty-infty">
<h2><span class="section-number">12.4. </span>La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/s/GD/\infty/\infty}\)</span><a class="headerlink" href="#la-fila-mathbf-m-m-s-gd-infty-infty" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>De su notación de Kendall, esta es una fila en la cual el tiempo entre
arribos y el tiempo de servicio siguen una distribución exponencial (con
tasas que denotaremos <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span> respectivamente), hay múltiples
servidores, y tanto la capacidad del sistema como el tamaño de la
población son infinitos. La notación de Kendall resumida para esta fila
es <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/s\)</span>.</p>
<p>Así, la fila descrita se puede modelar como una Cadena de Markov de
tiempo continuo con variable de estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(X(t) = número\ de\ entidades\ en\ el\ sistema\ en\ el\ instante\ t\)</span>.
Así, la Figura 3 muestra el diagrama de tasas de transición
correspondiente.</p>
<p><img alt="Figura 3" src="_images/colas4.png" /></p>
<p>Para analizar esta fila en estado estable, es necesario que todos los
estados sean recurrentes, lo que se cumple siempre y cuando
<span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{\lambda}{s \cdot \mu} < 1\)</span>. Esta cantidad se denota como
<span class="math notranslate nohighlight">\(\rho_{s}\)</span> y es la utilización del sistema.</p>
<p>Note que esta cadena es un proceso de nacimiento y muerte, por lo que
las probabilidades de estado estable (si existen) tienen la forma:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{j} = c_{j}\pi_{0}\]</div>
<p>Donde <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{j}\)</span> se calcula a partir de <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span> así:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}c_{j} = \left\{ \begin{matrix}
\frac{\left( s\rho_{s} \right)^{j}}{j!} & j < s \\
\frac{\left( s\rho_{s} \right)^{j}}{s!s^{j - s}} & j \geq s
\end{matrix} \right.\ \end{split}\]</div>
<p>Y <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}:\)</span></p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \left( \sum_{j = 0}^{s - 1}\frac{\left( s\rho_{s} \right)^{j}}{j!} + \sum_{j = s}^{\infty}\frac{\left( s\rho_{s} \right)^{j}}{s!s^{j - s}} \right)^{- 1} = \left( \sum_{j = 0}^{s - 1}\frac{\left( s\rho_{s} \right)^{j}}{j!} + \frac{\left( s\rho_{s} \right)^{s}}{s!(1 - \rho_{s})} \right)^{- 1}\]</div>
<p>Entonces, es posible calcular el número esperado de entidades en cola:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{q} = P\lbrack j \geq s\rbrack\frac{\rho_{s}}{1 - \rho_{s}} = \frac{\left( s\rho_{s} \right)^{s}}{s!(1 - \rho_{s})}\pi_{0}\frac{\rho_{s}}{1 - \rho_{s}}\]</div>
<p>Además, se conoce que <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{s} = \frac{1}{\mu}\)</span> y usando la ley de Little
se obtiene <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{s} = s{\cdot \rho}_{s} = \frac{\lambda}{\mu}.\)</span> Es
importante observar que, para este modelo, la cantidad
<span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{\lambda}{\mu}\)</span> no corresponde a la utilización sino al número
promedio de entidades en servicio en estado estacionario.</p>
<p>Entonces, la cantidad esperada de entidades en el sistema es:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = L_{q} + L_{s} = \frac{\left( s\rho_{s} \right)^{s}}{s!(1 - \rho_{s})}\pi_{0}\frac{\rho_{s}}{1 - \rho_{s}} + s\rho_{s}\]</div>
<p>Finalmente, <span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{q}\)</span> se pueden encontrar a partir de <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span>
respectivamente usando la ley de Little.</p>
</section>
<section id="la-fila-mathbf-m-m-r-gd-k-k">
<h2><span class="section-number">12.5. </span>La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/R/GD/K/K}\)</span><a class="headerlink" href="#la-fila-mathbf-m-m-r-gd-k-k" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>De su notación de Kendall, ésta es una fila en la cual el tiempo entre
arribos y el tiempo de servicio siguen una distribución exponencial (con
tasas que denotaremos <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span> respectivamente), hay múltiples
servidores, y tanto la capacidad del sistema como el tamaño de la
población son finitos.</p>
<p>Así, la fila descrita se puede modelar como una Cadena de Markov de
tiempo continuo con variable de estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(X(t) = número\ de\ entidades\ en\ el\ sistema\ en\ el\ instante\ t\)</span>.
Así, la Figura 4 muestra el diagrama de tasas de transición
correspondiente.</p>
<p><img alt="Figura 4" src="_images/colas5.png" /></p>
<p>Note que esta cadena es un proceso de nacimiento y muerte, y qué además
siempre es ergódica, por lo que las probabilidades de estado estable
siempre existen y tienen la forma:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{j} = c_{j}\pi_{0}\]</div>
<p>Donde <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{j}\)</span> se calcula a partir de <span class="math notranslate nohighlight">\(\rho = \frac{\lambda}{\mu}\)</span> así:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}c_{j} = \left\{ \begin{matrix}
\begin{pmatrix}
K \\
j
\end{pmatrix}\rho^{j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq j \leq R \\
\begin{pmatrix}
K \\
j
\end{pmatrix}\frac{\rho^{j}j!}{R!R^{j - R}}\ \ \ \ \ \ \ \ R < j \leq K
\end{matrix} \right.\ \end{split}\]</div>
<p>Para esta fila no existen fórmulas para <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0},\)</span> y por lo tanto
tampoco existen para <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span> o <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span>, que se deben calcular a partir de
las probabilidades de estado estable:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \left( \sum_{j = 0}^{K}c_{j} \right)^{- 1}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = \sum_{j = 0}^{K}j\pi_{j}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{q} = \sum_{j = R + 1}^{K}{(j - R)\pi_{j}}\]</div>
<p>Por otro lado, <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{s}\)</span> se puede calcular a partir de
<span class="math notranslate nohighlight">\(W_{s} = \frac{1}{\mu}\)</span> usando la ley de Little. Sin embargo, para poder
usar la ley de Little (y calcular la utilización del sistema) se debe
encontrar una tasa promedio de entrada de entidades al sistema que se
denotará como <span class="math notranslate nohighlight">\(\overline{\lambda}\)</span> (note en la Figura 4 que la tasa de
entrada depende del estado).</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\overline{\ \lambda} = \sum_{j = 0}^{K}{(K - j)\lambda\pi_{j} = \sum_{j = 0}^{K}{{K\lambda\pi}_{j} - \sum_{j = 0}^{K}{{j\lambda\pi}_{j} =}}}K\lambda - \lambda L = \lambda(K - L)\]</div>
<p>Con el valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(\overline{\lambda}\)</span> y encontrando <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span> como se
mencionó anteriormente, es posible encontrar <span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{q}.\)</span></p>
</section>
<section id="la-fila-mathbf-m-g-1-gd-infty-infty">
<h2><span class="section-number">12.6. </span>La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/G/1/GD/\infty/\infty}\)</span><a class="headerlink" href="#la-fila-mathbf-m-g-1-gd-infty-infty" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>De su notación de Kendall, esta es una fila en la cual el tiempo entre
arribos sigue una distribución exponencial (con tasa que denotaremos
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>), hay un único servidor, tanto la capacidad del sistema como
el tamaño de la población son infinitos, y el tiempo de servicio sigue
alguna distribución de probabilidad. La notación de Kendall resumida
para esta fila es <span class="math notranslate nohighlight">\(M/G/1\)</span>.</p>
<p>Así, la fila descrita se puede modelar como un proceso estocástico con
variable de estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(X(t) = número\ de\ entidades\ en\ el\ sistema\ en\ el\ instante\ t\)</span>.
Sin embargo, dado que el tiempo de servicio no necesariamente cumple la
propiedad Markoviana, <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X(t),\ t \geq 0\}\)</span> no será en general una
Cadena de Markov. Aunque para este modelo no es posible encontrar
probabilidades en estado estable como se ha hecho hasta ahora, si es
posible realizar ciertos análisis sobre las medidas de desempeño del
sistema.</p>
<p>Para esto, es necesario conocer por lo menos la media <span class="math notranslate nohighlight">\((\frac{1}{\mu})\)</span>
y la varianza <span class="math notranslate nohighlight">\((\sigma^{2})\)</span> del tiempo de servicio. Así, es posible
calcular la utilización del servidor usando la ley de Little sobre el
subsistema compuesto únicamente por el servidor así:
<span class="math notranslate nohighlight">\(\rho = L = \lambda W = \frac{\lambda}{\mu}\)</span>.</p>
<p>Además, usando la fórmula de Pollaczek–Khinchine es posible encontrar
el número esperado de clientes en espera en el sistema en el largo
plazo:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{q} = \frac{\lambda^{2}\sigma^{2} + \rho^{2}}{2(1 - \rho)}\]</div>
<p>Entonces, también es posible conocer <span class="math notranslate nohighlight">\(L:\)</span></p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = L_{q} + L_{s} = L_{q} + \frac{\lambda}{\mu}\]</div>
<p>Luego, <span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{q}\)</span> se calculan a partir de la ley de Little. Note que
el valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span> (y por lo tanto de <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span>) incrementan con la varianza
del tiempo de servicio, lo cual es un ejemplo de un resultado general
para los sistemas con filas:</p>
<blockquote>
<div><p><em>Al aumentar la varianza de los tiempos de llegada y de servicio, los
indicadores de rendimiento de un sistema con fila empeoran, es decir
que el número promedio de entidades (en fila y totales) así como los
tiempos (de espera y de permanencia en el sistema) aumentan.</em></p>
</div></blockquote>
<p>Finalmente, note que la fórmula de Pollaczek–Khinchine es una
generalización del cálculo del <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span> pues, si se reemplaza
<span class="math notranslate nohighlight">\(\sigma^{2}\)</span> por la varianza de una distribución exponencial con tasa
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span>, la fórmula del <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span> se reduce al caso de una fila <span class="math notranslate nohighlight">\(M/M/1\)</span>.</p>
</section>
<section id="la-fila-mathbf-g-g-infty-gd-infty-infty">
<h2><span class="section-number">12.7. </span>La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{G/G/\infty/GD/\infty/\infty}\)</span><a class="headerlink" href="#la-fila-mathbf-g-g-infty-gd-infty-infty" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>De su notación de Kendall, esta es una fila en la cual el tiempo entre
arribos y el tiempo de servicio siguen alguna distribución de
probabilidad (con tasas que denotaremos <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span>
respectivamente), hay infinitos servidores, y tanto la capacidad del
sistema como el tamaño de la población son infinitos. La notación de
Kendall resumida para esta cola es <span class="math notranslate nohighlight">\(G/G/\infty\)</span>.</p>
<p>Así, la fila descrita se puede modelar como un proceso estocástico con
variable de estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(X(t) = número\ de\ entidades\ en\ el\ sistema\ en\ el\ instante\ t\)</span>.
Sin embargo, dado que ni el tiempo entre llegadas ni el tiempo de
servicio necesariamente cumplen la propiedad Markoviana,
<span class="math notranslate nohighlight">\(\{ X(t),\ t \geq 0\}\)</span> no será en general una Cadena de Markov. Aunque
para este sistema no es posible encontrar probabilidades en estado
estable como se ha hecho hasta ahora, sí es posible realizar ciertos
análisis sobre las medidas de desempeño del sistema.</p>
<p>Ya que el número de servidores es infinito, la utilización de este
sistema es cero, pues todas las entidades que lleguen encontrarán un
servidor disponible y el número de servidores ocupados será siempre
despreciable con respecto al número total de servidores disponibles (que
es infinito). Además, nunca se formará una fila, por lo que
<span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q} = W_{q} = 0\)</span>.</p>
<p>Finalmente, <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{s} = \frac{1}{\mu}\)</span> y usando la ley de Little
<span class="math notranslate nohighlight">\(L_{s} = \frac{\lambda}{\mu}.\)</span></p>
</section>
<section id="la-fila-mathbf-m-m-infty-gd-infty-infty-o-mathbf-m-m-infty">
<h2><span class="section-number">12.8. </span>La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/\infty/GD/\infty/\infty}\)</span> (o <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/\infty}\)</span>)<a class="headerlink" href="#la-fila-mathbf-m-m-infty-gd-infty-infty-o-mathbf-m-m-infty" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>El análisis para esta fila es similar al de la fila
<span class="math notranslate nohighlight">\(G\text{/}G\text{/}\infty/GD\text{/}\infty\text{/}\infty\)</span>, y las medidas
de desempeño se calculan de la misma forma. Sin embargo, dado que en
este caso los tiempos involucrados en el sistema siguen una distribución
exponencial, el proceso estocástico subyacente sí es una Cadena de
Markov, por lo que se pueden encontrar las probabilidades en estado
estable así:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{j} = c_{j}\pi_{0}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{j} = \frac{\rho^{j}}{j!}\pi_{0}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \left( \sum_{j = 0}^{\infty}\frac{\rho^{j}}{j!} \right)^{- 1} = e^{- \rho}\]</div>
<p>Ya que el número de servidores es infinito, la utilización de este
sistema es cero, pues todas las entidades que lleguen encontrarán un
servidor disponible y el número de servidores ocupados será siempre
despreciable con respecto al número total de servidores disponibles (que
es infinito). Además, nunca se formará una fila, por lo que
<span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q} = W_{q} = 0\)</span>, igual que su contraparte
<span class="math notranslate nohighlight">\(G\text{/}G\text{/}\infty/GD\text{/}\infty\text{/}\infty\)</span>.</p>
</section>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">11. </span>Procesos de nacimiento y muerte</p>
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<p class="prev-next-title"><span class="section-number">13. </span>Redes de Jackson</p>
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<i class="fa-solid fa-list"></i> Contents
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<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#notacion-kendall-lee">12.1. Notación Kendall-Lee</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-m-1-gd-infty-infty">12.2. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/1/GD/\infty/\infty}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-m-1-gd-c-infty">12.3. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/1/GD/c/\infty}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-m-s-gd-infty-infty">12.4. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/s/GD/\infty/\infty}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-m-r-gd-k-k">12.5. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/R/GD/K/K}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-g-1-gd-infty-infty">12.6. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/G/1/GD/\infty/\infty}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-g-g-infty-gd-infty-infty">12.7. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{G/G/\infty/GD/\infty/\infty}\)</span></a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#la-fila-mathbf-m-m-infty-gd-infty-infty-o-mathbf-m-m-infty">12.8. La fila <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/\infty/GD/\infty/\infty}\)</span> (o <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbf{M/M/\infty}\)</span>)</a></li>
</ul>
</nav></div>
</div></div>
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<div class="footer-item">
<p class="component-author">
By The Jupyter Book Community
</p>
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<p class="copyright">
© Copyright 2022.
<br/>
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