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<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
</div>
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<h1>Procesos de nacimiento y muerte</h1>
<!-- Table of contents -->
<div id="print-main-content">
<div id="jb-print-toc">
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<h2> Contents </h2>
</div>
<nav aria-label="Page">
<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">11.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#forma-general-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte">11.2. Forma general de procesos de nacimiento y muerte</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos">11.3. Análisis de procesos de nacimiento y muerte ergódicos</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos-finitos">11.4. Análisis de procesos de nacimiento y muerte ergódicos finitos</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos-con-espacio-de-estados-infinito">11.5. Análisis de procesos de nacimiento y muerte ergódicos con espacio de estados infinito</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div id="searchbox"></div>
<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="procesos-de-nacimiento-y-muerte">
<h1><span class="section-number">11. </span>Procesos de nacimiento y muerte<a class="headerlink" href="#procesos-de-nacimiento-y-muerte" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En este capítulo se introduce una clase de procesos estocásticos de
tiempo continúo conocida como Procesos de nacimiento y muerte, muy
comúnmente utilizados en el modelado de sistemas de cierta naturaleza.
Por su estructura especial, es posible realizar el análisis de la
distribución de probabilidades de estado estacionario de los procesos de
nacimiento y muerte de forma muy sencilla. A continuación, se introducen
primero los aspectos de diferentes tipos de sistemas que son
susceptibles a ser modelados con procesos de nacimiento y muerte,
después se proporciona una caracterización de esta clase de procesos, y
finalmente se realiza el análisis en estado estacionario de la
distribución de probabilidad correspondiente.</p>
<section id="introduccion">
<h2><span class="section-number">11.1. </span>Introducción<a class="headerlink" href="#introduccion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>A menudo, el estudio de un sistema pasa a través del análisis de la
dinámica de una población de entidades. Por ejemplo, cuando es de
interés estudiar el número de clientes en un banco, la cantidad de
individuos de una especie de animal en su hábitat, o el número de
equipos en reparación en un sistema de producción, tenemos que
caracterizar los eventos que resultan en el aumento de la población (p.
ej., llegadas, reproducciones o fallas), así como aquellos que
determinan una disminución de la población (p. ej. salidas,
fallecimientos o reparaciones). A los eventos de la primera categoría se
les refiere como <em>nacimientos</em>, y a aquellos de la segunda como
<em>muertes</em>. Es así como un proceso estocástico que considere eventos de
nacimiento y muerte se presta para modelar de manera adecuada la
dinámica de una población de entidades.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 1</p>
<p>Consideremos la población de ballenas jorobadas del
pacifico colombiano. Los individuos de esta especie son nómadas, y
recorren largas distancias desdé los fríos océanos de la Antártida hacia
las aguas al oeste de Colombia, donde se quedan por cierto periodo antes
de empezar la vuelta al sur del planeta. Si quisiéramos definir un
modelo que representara la dinámica de la población de ballenas en las
aguas colombianas, sería pertinente considerar como nacimientos, es
decir como eventos que incrementan el número de ballenas, las llegadas
de individuos al pacifico colombiano, y como muertes las salidas de los
individuos hacia la Antártida. Un posible modelo en tiempo continuo
sería por ejemplo la Cadena de Markov en tiempo continuo
<span class="math notranslate nohighlight">\(\left\{ X(t),t \geq 0 \right\}\)</span>, donde la variable de estado es:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[X(t) = \ número\ de\ ballenas\ en\ el\ pacifico\ colombiano\ en\ el\ tiempo\ t.\]</div>
<p>Podemos suponer que no existe un límite superior para el número de
ballenas, por lo cual el espacio de estados del proceso estocástico será
<span class="math notranslate nohighlight">\(S_{X} = \{ 0,1,2,\ldots,\ \infty\}\)</span>. Supongamos ahora que las ballenas
llegan de acuerdo con un proceso de Poisson de parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>, y se
quedan en promedio un tiempo que sigue una variable aleatoria
exponencial de tasa <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span>. Así, la tasa de transición <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{ij}\)</span> entre el
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span> y el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j\)</span>, tal que <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j \in S_{X}\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(i \neq j\)</span> se
define como:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}q_{ij} = \left\{ \begin{matrix}
\lambda & j = i + 1 \\
i \cdot \mu & j = i - 1,\ i > 0 \\
0 & \text{d.l.c.}
\end{matrix} \right.\ \end{split}\]</div>
<p>Para este modelo, el diagrama de tasas transición está representado en
la Figura 1:</p>
<p><img alt="Figura 1" src="_images/nym1.png" /></p>
</div>
</section>
<section id="forma-general-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte">
<h2><span class="section-number">11.2. </span>Forma general de procesos de nacimiento y muerte<a class="headerlink" href="#forma-general-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>El ejemplo que se presenta en la sección anterior es un caso particular
de un proceso de nacimiento y muerte con espacio de estados infinito, y
muestra algunas propiedades interesantes de esta clase de procesos. En
particular, en la Figura 1 es posible observar la estructura
particularmente simple de las transiciones, que pueden darse solo entre
estados adyacentes, de tal forma que el diagrama de tasas de transición
se puede ordenar como una cadena lineal de estados.</p>
<p>En general, un proceso de nacimiento y muerte es una Cadena de Markov en
tiempo continuo, con espacio de estados <span class="math notranslate nohighlight">\(S\mathbb{\subseteq N}\)</span>, tal que
la tasa de transición entre estados es no nula solo para las parejas de
estados <span class="math notranslate nohighlight">\(i,j \in S\)</span> tales que <span class="math notranslate nohighlight">\(|i - j| = 1\)</span>. Usualmente, se nombran los
estados de forma incremental a partir de cero, y se denota con
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{i}\)</span> la tasa de nacimiento del estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i - 1\)</span> y con <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu_{i}\)</span>
la tasa de muerte del estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>. Según esta convención, el diagrama de
tasas transición adquiere una forma muy sencilla que se muestra en la
Figura 2.</p>
<p><img alt="Figura 2" src="_images/nym2.png" /></p>
<p>Nótese que no necesariamente tiene que ser <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{i} > 0\)</span>, ni
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mu_{i} > 0\)</span> para todo <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span>. La estructura que se observa en el
diagrama de tasas de transición se refleja en una estructura igualmente
simple en la matriz de tasas de transición <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{Q}\)</span> del proceso,
como se muestra en la Figura 3, donde se omite el valor de los elementos
diagonales para una visualización más clara. La matriz en la Figura 3
posee una estructura tridiagonal, es decir, presenta elementos no nulos
solamente en la diagonal principal (elementos <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{ii}\)</span>), en la primera
diagonal superior (elementos <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{i,i + 1}\)</span>) y en la primera diagonal
inferior (elementos <span class="math notranslate nohighlight">\(q_{i,i - 1}\)</span>).</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}\mathbb{Q =}\begin{bmatrix}
& \lambda_{1} & 0 & 0 & \cdots \\
\mu_{1} & & \lambda_{2} & 0 & \cdots \\
0 & \mu_{2} & & \lambda_{3} & \cdots \\
0 & 0 & \mu_{3} & & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}\end{split}\]</div>
<p><em>Figura 3: Estructura tridiagonal de la matriz Q de tasas de transición
para procesos de nacimiento y muerte.</em></p>
<div class="warning admonition">
<p class="admonition-title">Nota</p>
<p>La estructura tridiagonal de la matriz, que
permite reconocer que un proceso estocástico pertenece a la clase de los
procesos de nacimiento y muerte, se observa con un ordenamiento adecuado
de los estados. Una permutación de los estados (por ejemplo, el
ordenamiento <span class="math notranslate nohighlight">\(\{ 1,0,3,2,\ldots\}\)</span> no permitiría apreciar la estructura
regular del proceso).</p>
</div>
</section>
<section id="analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos">
<h2><span class="section-number">11.3. </span>Análisis de procesos de nacimiento y muerte ergódicos<a class="headerlink" href="#analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Para el análisis de un proceso de nacimiento y muerte se pueden utilizar
todas las técnicas para Cadenas de Markov en tiempo de continuo. Si el
proceso es ergódico, el análisis en el estado estacionario se vuelve
particularmente sencillo, debido a la estructura regular del proceso.</p>
<p>Dado que un proceso de nacimiento y muerte es una Cadena de Markov en
tiempo continuo, para que éste sea ergódico es necesario que satisfaga
las siguientes condiciones (véase la nota de clase <em>6. Clasificación de
estados</em>):</p>
<ol class="arabic simple">
<li><p>Si el espacio de estado es finito, es necesario que sea irreducible.</p></li>
<li><p>Si el espacio de estados es infinito, es necesario que sea
irreducible y que todos los estados sean recurrentes positivos.</p></li>
</ol>
<p>En cuanto al punto 1, es fácil entender que, dada la particular
estructura del proceso, si <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{i} > 0\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu_{i} > 0\)</span> para todo
<span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span>, la cadena es irreducible y entonces el proceso de nacimiento
y muerte será ergódico.</p>
<p>En el caso al punto 2, además de requerirse <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{i} > 0\)</span> y
<span class="math notranslate nohighlight">\(\mu_{i} > 0\)</span> para todo <span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span> para asegurar la irreducibilidad, es
necesario que las tasas sean tales que el estado de la cadena no crezca
infinitamente. No es posible determinar una condición necesaria sobre
las tasas, pero es fácil dar una suficiente que tiene un interés
práctico. En particular, si existe un estado <span class="math notranslate nohighlight">\(k\)</span> tal que para cualquier
otro estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j > k\)</span> siempre se cumple que <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{j} < \mu_{j}\)</span> (es
decir, existe un cierto estado <span class="math notranslate nohighlight">\(k\)</span> después del cual siempre es más
probable que el número de entidades disminuya en lugar de que aumente),
entonces la cadena será ergódica.</p>
<p>Si la cadena es ergódica, es posible realizar el análisis para el
cálculo de la distribución estacionaria de probabilidad, y debido a la
particular estructura del proceso, este cálculo se lleva a cabo
analíticamente obteniendo expresiones explicitas para las probabilidades
estacionarias en función de las tasas de transición del proceso.</p>
</section>
<section id="analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos-finitos">
<h2><span class="section-number">11.4. </span>Análisis de procesos de nacimiento y muerte ergódicos finitos<a class="headerlink" href="#analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos-finitos" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(\left\{ X(t),t \geq 0 \right\}\)</span> un proceso de nacimiento y muerte
con espacio de estados finito <span class="math notranslate nohighlight">\(S = \{ 0,1,2,\ldots,n\}\)</span>. El diagrama de
tasas de transición del proceso será entonces el siguiente:</p>
<p><img alt="Figura 3" src="_images/nym3.png" /></p>
<p>Para el análisis del estado estacionario, escribimos las ecuaciones de
balance. La ecuación para el estado 0 nos proporciona la siguiente
relación entre las probabilidades de estado estacionarias <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span> y
<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{1}\)</span>:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\lambda_{1}\pi}_{0} = {\mu_{1}\pi}_{1.}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>La ecuación de balance para el estado 1 es:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{{(\lambda}_{2} + \mu_{1})\pi}_{1} = {\mu_{2}\pi}_{2} + {\lambda_{1}\pi}_{0.}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Para el estado 2:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{{(\lambda}_{3} + \mu_{2})\pi}_{2} = {\mu_{3}\pi}_{3} + {\lambda_{2}\pi}_{1.}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Comparando las dos ecuaciones anteriores, es fácil darse cuenta que
todas las ecuaciones desde el estado 1 hasta el estado n-1 tienen la
misma forma, razón por la cual es posible escribir una ecuación general
de balance para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(0 < i < n\)</span>, como sigue:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{{(\lambda}_{i + 1} + \mu_{i})\pi}_{i} = {\mu_{i + 1}\pi}_{i + 1} + {\lambda_{i}\pi}_{i - 1}.\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Finalmente, la ecuación de balance para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> es la siguiente:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{\mu_{n}\pi}_{n} = {\lambda_{n}\pi}_{n - 1}.\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Dada la forma de las ecuaciones, es posible encontrar su solución con un
procedimiento iterativo. De la ecuación (1) para el estado 0, hallamos
<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{1} = \pi_{0}\frac{\lambda_{1}}{\mu_{1}}\)</span>. Si reemplazamos esta
expresión en la ecuación (2) del estado 1, obtenemos:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{(\lambda}_{2} + \mu_{1})\frac{\pi_{0}\lambda_{1}}{\mu_{1}} = {\mu_{2}\pi}_{2} + {\lambda_{1}\pi}_{0} \Rightarrow \frac{\pi_{0}\lambda_{1}\lambda_{2}}{\mu_{1}} + \pi_{0}\lambda_{1} = {\mu_{2}\pi}_{2} + {\lambda_{1}\pi}_{0} \Rightarrow \frac{\pi_{0}\lambda_{1}\lambda_{2}}{\mu_{1}} = {\mu_{2}\pi}_{2}\]</div>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\Rightarrow \pi_{2} = \pi_{0}\frac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\mu_{1}\mu_{2}}.\]</div>
<hr class="docutils" />
<p>Repitiendo este proceso para la ecuación (3) se obtiene
<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{3} = \pi_{0}\frac{\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}}{\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}}\)</span>,
y así iterativamente para todas las demás ecuaciones, de modo tal que
todas las probabilidades estacionarias son directamente proporcionales a
<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0},\ \)</span>según un factor que es una función de las tasas. Para
simplificar la notación, definamos las constantes <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{j}\)</span>,
<span class="math notranslate nohighlight">\(0 < j \leq n\)</span>, como sigue:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[c_{j} = \frac{\prod_{i = 1}^{j}\lambda_{i}}{\prod_{i = 1}^{j}\mu_{i}} = \prod_{i = 1}^{j}\frac{\lambda_{i}}{\mu_{i}}.\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Por ejemplo, para el estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j = 2\)</span>:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[c_{2} = \frac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\mu_{1}\mu_{2}}.\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>De modo que podemos escribir las probabilidades estacionarias de un
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j \in S\)</span> como <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{j} = \pi_{0}c_{j}\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(0 < j \leq n\)</span>. Ahora
bien, para completar el cálculo, es necesario determinar el valor del
<span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span>, lo cual se realiza a través de la ecuación de normalización,
como sigue:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{j = 0}^{n}{\pi_{j} = 1} \Rightarrow \pi_{0} + \sum_{j = 1}^{n}{\pi_{0}c_{j} = 1} \Rightarrow \pi_{0} + \pi_{0}\sum_{j = 1}^{n}{c_{j} = 1} \Rightarrow \pi_{0}\left( 1 + \sum_{j = 1}^{n}c_{j} \right) = 1\]</div>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\Rightarrow \pi_{0} = \left( 1 + \sum_{j = 1}^{n}c_{j} \right)^{- 1}.\]</div>
<hr class="docutils" />
<p>La expresión (8) completa el cálculo de las probabilidades de estado
estacionario, las cuales quedan determinadas para todo proceso de
nacimiento muerte con espacio de estados finito. Al reemplazar los
valores puntuales de las tasas para las probabilidades en las
expresiones, se encuentran los valores de dichas probabilidades.</p>
</section>
<section id="analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos-con-espacio-de-estados-infinito">
<h2><span class="section-number">11.5. </span>Análisis de procesos de nacimiento y muerte ergódicos con espacio de estados infinito<a class="headerlink" href="#analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos-con-espacio-de-estados-infinito" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Si el espacio de estados de un proceso de nacimiento y muerte ergódico
es infinito, es válida la forma general de las ecuaciones del balance,
proporcionada por la expresión (4). Es decir, para todo estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(i \in S\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(i > 0\)</span>, las probabilidades de estado estacionario satisfacen
la igualdad:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[{{(\lambda}_{i + 1} + \mu_{i})\pi}_{i} = {\mu_{i + 1}\pi}_{i + 1} + {\lambda_{i}\pi}_{i - 1.}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Para el estado 0, la ecuación del balance sigue siendo igual a la
expresión (1), y no habrá ecuaciones de otra forma, dado que no existe
un estado límite superior, como en el caso finito. El análisis procede
entonces de la misma manera, ya que es posible expresar cada
probabilidad estacionaria <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{j}\)</span> como <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{j} = \pi_{0}c_{j}\)</span>,
siendo <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{j}\)</span> definido como en la expresión (7).</p>
<p>En la normalización para el cálculo del <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span> aparece ahora una suma
infinita. En efecto, será:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{j = 0}^{\infty}{\pi_{j} = 1} \Rightarrow \pi_{0} + \sum_{j = 1}^{\infty}{\pi_{0}c_{j} = 1} \Rightarrow \pi_{0} + \pi_{0}\sum_{j = 1}^{\infty}{c_{j} = 1} \Rightarrow \pi_{0}\left( 1 + \sum_{j = 1}^{\infty}c_{j} \right) = 1\]</div>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\Rightarrow \pi_{0} = \left( 1 + \sum_{j = 1}^{\infty}c_{j} \right)^{- 1}.\]</div>
<hr class="docutils" />
<p>Aquí es importante observar que la ergodicidad de la cadena garantiza la
convergencia de la suma infinita en el denominador de la expresión (10)
que define el valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span>. Dado que supusimos que existe un
estado <span class="math notranslate nohighlight">\(k\)</span> tal que <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{j} < \mu_{j}\)</span> por todo estado <span class="math notranslate nohighlight">\(j > k\)</span>,
escribimos la suma infinita como sigue:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{j = 1}^{\infty}c_{j} = \sum_{j = 1}^{k}c_{j} + \sum_{j = k + 1}^{\infty}c_{j}\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>En el lado derecho de la expresión (11), la primera suma es finita, por
lo cual la suma total en el lado izquierdo será finita si y solo si la
segunda suma en el lado derecho es finita. Ahora bien, podemos encontrar
una cota superior al valor de <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{j}\)</span> por todo <span class="math notranslate nohighlight">\(j > k\)</span>, definiendo, de
la siguiente forma:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[c_{j} = c_{k}\frac{\lambda_{k + 1}\lambda_{k + 2}\cdots\lambda_{j}}{\mu_{k + 1}\mu_{k + 2}\cdots\mu_{j}} = c_{k}\frac{\prod_{i = k + 1}^{j}\lambda_{i}}{\prod_{i = k + 1}^{j}\mu_{i}} < c_{k}\beta^{j - k}\ \forall\ j > k\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>donde <span class="math notranslate nohighlight">\(\beta = \max_{j > k}{\{\frac{\lambda_{j}}{\mu_{j}}\}}\)</span>. De esta
manera, será:</p>
<hr class="docutils" />
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\sum_{j = k + 1}^{\infty}{c_{j} <}\sum_{j = k + 1}^{\infty}{c_{k}\beta^{j - k}} = c_{k}\sum_{j = k + 1}^{\infty}\beta^{j - k} = c_{k}\sum_{j = 1}^{\infty}\beta^{j} = c_{k}\frac{\beta}{1 - \beta}.\]</div>
<hr class="docutils" />
<hr class="docutils" />
<p>Por lo anterior, el segundo término en el lado derecho de la expresión
(11) es finito. Nótese que para obtener la última expresión en la
expresión (13) hemos utilizado la fórmula para la suma de una serie
geométrica.</p>
<div class="suggestion admonition">
<p class="admonition-title">Ejemplo 2</p>
<p>Retomemos el ejemplo del proceso de nacimiento y muerte
que modela la población de ballenas, y determinemos la solución
estacionaria para las probabilidades de estado.</p>
<p>Observamos que el proceso es ergódico porque, para todo estado <span class="math notranslate nohighlight">\(i\)</span>,
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda_{i} = \lambda > 0\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu_{i} = i \cdot \mu > 0\)</span>, por lo cual
la irreducibilidad de la cadena está asegurada. Además, la tasa con la
cual las ballenas abandonan la población es proporcional al número de
ballenas, mientras que la tasa de llegada es constante. Por ende, con
seguridad existe un estado del proceso después del cual la tasa de
muerte se vuelve mayor que la tasa de nacimiento (será el primer estado
<span class="math notranslate nohighlight">\(k\)</span> para el cual <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda < k \cdot \mu\)</span>).</p>
<p>Con los resultados de la sección anterior, se pueden calcular
analíticamente las probabilidades en estado estacionario, <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{j}\)</span> para
todo <span class="math notranslate nohighlight">\(j \in S\)</span>, como <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{j} = \pi_{0}c_{j}\)</span>, siendo el factor <span class="math notranslate nohighlight">\(c_{j}\)</span>:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[c_{j} = \frac{\lambda^{j}}{\mu \bullet 2\mu \bullet 3\mu\cdots j\mu} = \frac{\lambda^{j}}{j!\mu^{j}} = \frac{1}{j!}\left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^{j}\]</div>
<p>El valor del <span class="math notranslate nohighlight">\(\pi_{0}\)</span> será:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\pi_{0} = \left( 1 + \sum_{j = 1}^{\infty}c_{j} \right)^{- 1} = \left( 1 + \sum_{j = 1}^{\infty}{\frac{1}{j!}\left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^{j}} \right)^{- 1} = \left( \sum_{j = 0}^{\infty}{\frac{1}{j!}\left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^{j}} \right)^{- 1} = \left( e^{\lambda/\mu} \right)^{- 1} = e^{- \lambda/\mu}.\]</div>
<p>Uniendo los resultados en las expresiones (14) y (15), se obtiene que la
distribución estacionaria de la probabilidad de estado para el modelo de
la población de ballenas es una <span class="math notranslate nohighlight">\(Poisson(\lambda/\mu).\)</span></p>
</div>
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<i class="fa-solid fa-list"></i> Contents
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<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">11.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#forma-general-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte">11.2. Forma general de procesos de nacimiento y muerte</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos">11.3. Análisis de procesos de nacimiento y muerte ergódicos</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos-finitos">11.4. Análisis de procesos de nacimiento y muerte ergódicos finitos</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#analisis-de-procesos-de-nacimiento-y-muerte-ergodicos-con-espacio-de-estados-infinito">11.5. Análisis de procesos de nacimiento y muerte ergódicos con espacio de estados infinito</a></li>
</ul>
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<p class="component-author">
By The Jupyter Book Community
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© Copyright 2022.
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