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                <a class="reference internal" href="intro.html">
                    Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
                </a>
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        </ul>
        <p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="current nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1 current active"><a class="current reference internal" href="#">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>

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    <h1>Ley de Little</h1>
    <!-- Table of contents -->
    <div id="print-main-content">
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                <h2> Contents </h2>
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                <ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#introduccion">10.1. Introducción</a></li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#ejemplos-de-aplicacion">10.2. Ejemplos de aplicación</a></li>
</ul>
            </nav>
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                <article class="bd-article" role="main">

  <section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="ley-de-little">
<h1><span class="section-number">10. </span>Ley de Little<a class="headerlink" href="#ley-de-little" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>Este breve capítulo introduce la Ley de Little, describe su generalidad
y presenta algunas aplicaciones relevantes para los análisis de sistemas
que alcanzan un estado estacionario.</p>
<section id="introduccion">
<h2><span class="section-number">10.1. </span>Introducción<a class="headerlink" href="#introduccion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>El resultado que se conoce como Ley de Little (Little’s law, en inglés),
fue propuesto en 1954 por John Dutton Conant Little, quien es Profesor
del Massachusetts Institute of Technology (hoy tiene 94 años). El
resultado de Little es una formula muy sencilla que relaciona el número
promedio de entidades en un sistema, con la tasa de llegada y el tiempo
promedio de permanencia de los usuarios.</p>
<p>Si denotamos con <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span> el número promedio de entidades en el sistema, con
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> la tasa efectiva de entrada de las entidades al sistema, y
finalmente con <span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span> el tiempo promedio que cada entidad pasa en el
sistema, la Ley de Little afirma que:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = \ \lambda \bullet W.\]</div>
<p>Es importante observar que todas las cantidades mencionadas se entienden
evaluadas en el <strong>estado estacionario (estable)</strong> de un sistema. La Ley
de Little será particularmente útil para analizar sistemas para los
cuales se conocen, o se pueden calcular fácilmente, dos de las tres
cantidades<span class="math notranslate nohighlight">\(L,\ \lambda\ o\ W\)</span> <u><strong>Es incorrecto aplicar la Ley de Little
a un sistema que no se encuentre en estado estacionario</strong>.</u></p>
<p>El resultado de Little es muy general, aplica para sistemas de cualquier
naturaleza y es independiente de las distribuciones, del tipo de proceso
de llegada, y/o del proceso específico que se realiza dentro del
sistema. Por su generalidad, tiene estatus de Ley, lo cual en las
matemáticas y en la física es reservado a resultados que expresan
principios generales de los sistemas; por ejemplo, la Ley de Gravitación
Universal de Newton, o las Leyes de la termodinámica.</p>
<p>Es también remarcable que la Ley de Little puede ser aplicada en el
mismo sistema a diferentes niveles de abstracción, proporcionando
diferentes tipos de resultados.</p>
<p>Para aplicar la Ley de Little, es necesario conocer dos de las
cantidades que la formula relaciona, y de manera sencilla se obtiene la
tercera.</p>
</section>
<section id="ejemplos-de-aplicacion">
<h2><span class="section-number">10.2. </span>Ejemplos de aplicación<a class="headerlink" href="#ejemplos-de-aplicacion" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Consideremos un sistema de producción que procesa chasis de carros. Al
proceso entran 25 chasis por hora y el tiempo promedio de procesamiento
de cada chasis es de 21 minutos, tal como se observa en la
Ilustración 1. ¿Es posible a través de la Ley de Little obtener el
número promedio de chasis en la línea de producción?</p>
<p><img alt="" src="media/image1.png" />{width=”3.625in” height=”0.7443985126859143in”}</p>
<p><img alt="Ilustración 1" src="_images/little1.png" /></p>
<p>La respuesta es sí. Conocemos la tasa de llegada de los chasis, la cuál
es <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda = 25\ \text{horas}^{- 1}\)</span>, y también conocemos el tiempo
promedio que cada chasis permanece en el sistema de producción, lo cual
denotamos con <span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span>, siendo <span class="math notranslate nohighlight">\(W = 21\ \text{min} = 0.35\ \text{horas}\)</span>. Entonces podemos calcular el
número promedio de chasis que habrá en estado estable en la línea de
producción, es decir <span class="math notranslate nohighlight">\(L\)</span>, utilizando directamente la fórmula de Little:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = \ \lambda \bullet W = 25\frac{\ \text{chasis}}{\text{hora}} \bullet 0.35\ \text{horas} = 8.75\ \text{chasis.}\]</div>
<p>Observamos que no se necesita conocer la estructura interna de la línea
de producción para contestar la pregunta.</p>
<p>Como se mencionó en la sección anterior, también es posible estudiar el
sistema en un nivel de abstracción más detallado. Por esta razón,
suponga que la línea de producción de los chasis tiene una parte
robotizada y una parte manual. En la parte manual se reprocesan en
promedio una décima parte de los chasis, después de que han pasado por
la línea robotizada, para corregir imperfecciones de soldadura, tal como
se observa en la Ilustración 2. Adicionalmente, en estado estable, hay
<span class="math notranslate nohighlight">\(1.25\ \text{chasis}\)</span> en promedio que están siendo procesados por los
operarios en la parte manual de la línea. ¿Cuál es el tiempo promedio de
procesamiento en la parte robotizada?</p>
<p><img alt="Ilustración 2" src="_images/little2.png" /></p>
<p>Es posible calcular, primero, el número promedio de chasis en la parte
robotizada, considerando la cantidad total en la línea de producción
encontrada anteriormente. De este modo, se tiene que la cantidad en la
parte robotizada es de <span class="math notranslate nohighlight">\(L - 1.25 = 7.5\ \text{chasis}\)</span>, y se aplica
nuevamente la Ley de Little, pero esta vez al subsistema de la parte
robotizada. Si en el subsistema que ahora se considera hay en promedio
en estado estable <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{1} = 7.5\ \text{chasis}\)</span>, y la tasa de llegada es
<span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda = 25\frac{\text{chasis}}{\text{hora}} = 0.416\ \frac{\text{chasis}}{\text{minuto}}\)</span>,
entonces el tiempo promedio en el subsistema será:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[W_{1} = \frac{L_{1}}{\lambda} = \frac{7.5}{0.416} = 18\ \text{minutos.}\]</div>
<p>Ahora, calcule el tiempo promedio que permanece un chasis en la estación
manual del sistema. Siempre, con la Ley de Little, podemos determinar
este tiempo ya que conocemos la tasa de llegada al subsistema de
reprocesamiento manual, así como el número promedio de chasis en el
subsistema. Entonces, con la Ley de Little hallamos el tiempo de
permanencia en el subsistema:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[W_{2} = \frac{1.25}{0.1 \cdot \lambda_{\ }} = \frac{1.25}{0.1 \cdot 0.416\ } = \frac{1.25}{0.0416\ } = 30\ \text{minutos.}\]</div>
<p>Obteniendo que el tiempo promedio que un chasis permanece en la estación
de reprocesamiento manual es de <span class="math notranslate nohighlight">\(30\ \text{minutos}\)</span>.</p>
<p>Adicionalmente, la Ley de Little nos facilita el cálculo de medidas de
desempeño, como el número promedio de entidades en fila y el número
promedio de entidades en servicio, los cuales se denotan como <span class="math notranslate nohighlight">\(L_{q}\)</span> y
<span class="math notranslate nohighlight">\(L_{s}\)</span>, respectivamente. De la misma manera, también es posible
calcular el tiempo promedio que una entidad permanece en fila y el
tiempo promedio que una entidad permanece en servicio, siendo estos
comúnmente representados como <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{q}\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(W_{s}\)</span>, respectivamente. A
continuación, se presenta la Ley de Little para estos casos
particulares:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{q} = \ \lambda \bullet W_{q}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L_{s} = \ \lambda \bullet W_{s}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[L = \ L_{q} + L_{s}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[W = \ W_{q} + W_{s}\]</div>
<p>De las anteriores expresiones, se puede intuir que el número total de
entidades promedio en estado estacionario será la suma del número de
entidades promedio en cola y en servicio. La misma intuición se da para
el tiempo total que una entidad permanece en el sistema, donde este
tiempo será igual a la suma de los tiempos que una entidad permanece en
cola y en servicio.</p>
</section>
</section>

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