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<title>Distribuciones de probabilidad — My sample book</title>
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<li class="toctree-l1">
<a class="reference internal" href="intro.html">
Bienvenido al curso de Modelos Probabilísticos.
</a>
</li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 1</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter1.html">1. Procesos estocásticos</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 2</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter2.html">2. Procesos de Poisson</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter3.html">3. Cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 3</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter4.html">4. Análisis transitorio de cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 5</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter5.html">5. Clasificación de estados</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 6</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter6.html">6. Probabilidades en estado estable</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter7.html">7. Cadenas embebidas</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 7</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter8.html">8. Análisis de tiempos promedios</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 8</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter9.html">9. Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 10</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter10.html">10. Ley de Little</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter11.html">11. Procesos de nacimiento y muerte</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 12</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter12.html">12. Teoría de Colas</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter13.html">13. Redes de Jackson</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 13</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter14.html">14. Costos en cadenas de Markov</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 14</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter15.html">15. Procesos de decisión en el tiempo</a></li>
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter16.html">16. Principio de Optimalidad y Ecuaciones de Bellman</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 15</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter17.html">17. Programación Dinámica</a></li>
</ul>
<p aria-level="2" class="caption" role="heading"><span class="caption-text">Semana 16</span></p>
<ul class="nav bd-sidenav">
<li class="toctree-l1"><a class="reference internal" href="chapter18.html">18. Procesos de Decisión Markovianos</a></li>
</ul>
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<h1>Distribuciones de probabilidad</h1>
<!-- Table of contents -->
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<h2> Contents </h2>
</div>
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<ul class="visible nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#variables-aleatorias-continuas">Variables aleatorias continuas</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-exponencial">Distribución Exponencial</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-uniforme-continua">Distribución Uniforme Continua</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-lognormal">Distribución Lognormal</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-triangular">Distribución Triangular</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-erlang">Distribución Erlang</a></li>
</ul>
</li>
<li class="toc-h2 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#variables-aleatorias-discretas">Variables aleatorias discretas</a><ul class="nav section-nav flex-column">
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-poisson">Distribución Poisson</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-bernoulli">Distribución Bernoulli</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-geometrica">Distribución Geométrica</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-binomial">Distribución Binomial</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-binomial-negativa">Distribución Binomial Negativa</a></li>
<li class="toc-h3 nav-item toc-entry"><a class="reference internal nav-link" href="#distribucion-uniforme-discreta">Distribución Uniforme Discreta</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
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</div>
</div>
</div>
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<article class="bd-article" role="main">
<section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="distribuciones-de-probabilidad">
<h1>Distribuciones de probabilidad<a class="headerlink" href="#distribuciones-de-probabilidad" title="Permalink to this heading">#</a></h1>
<p>En el proceso de modelamiento de sistemas que presentan un comportamiento aleatorio utilizamos dos familias de variables aleatorias para modelar la probabilidad de ocurrencia de los eventos. Estas son las variables aleatorias continuas y las variables aleatorias discretas.</p>
<section id="variables-aleatorias-continuas">
<h2>Variables aleatorias continuas<a class="headerlink" href="#variables-aleatorias-continuas" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Nos interesa utilizar variables aleatorias continuas para modelar los tiempos de ocurrencia de eventos de interés en el sistema. Por esto, el rango de las distribuciones continuas a utilizar tiene como valor mínimo un número no-negativo. Entre las más utilizadas están la distribución Exponencial, Uniforme, Lognormal, Triangular y Erlang. A continuación, presentamos las características y propiedades más relevantes de las distribuciones listadas anteriormente.</p>
<section id="distribucion-exponencial">
<h3>Distribución Exponencial<a class="headerlink" href="#distribucion-exponencial" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p><strong>Parámetro:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>, que indica la tasa de ocurrencia de eventos por unidad de tiempo. Las unidades de
medida de este parámetro son de <span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{1}{tiempo}\)</span>; por ejemplo: <span class="math notranslate nohighlight">\(segundos^{−1}\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(horas^{−1}\)</span>,<span class="math notranslate nohighlight">\(meses^{−1}\)</span>.</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> [0,∞)</p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda e^{-\lambda\cdot t}, t\ge 0\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]=\frac{1}{\lambda}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X<t]=1- e^{-\lambda\cdot t} \)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]=\frac{1}{\lambda ^{2}} \)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><strong>Propiedades</strong>: La distribución de probabilidad exponencial cumple con la propiedad de no memoria, definida a continuación.</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P[X<t|X>s] = P[X<t-s] \forall t>s\ge 0 \]</div>
</section>
<section id="distribucion-uniforme-continua">
<h3>Distribución Uniforme Continua<a class="headerlink" href="#distribucion-uniforme-continua" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p><strong>Parámetros:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span> (mínimo) y <span class="math notranslate nohighlight">\(b\)</span> (máximo), que indican los límites entre los que estarán definidos los valores de la variable aleatoria.</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\([a,b], 0\leq a < b\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{1}{(b-a)}, a\leq t \leq b\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]=\frac{a+b}{2}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X<t]= \frac{t-a}{b-a} \forall a\leq t \leq b\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]=\frac{(b-a)^{2}}{12}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</section>
<section id="distribucion-lognormal">
<h3>Distribución Lognormal<a class="headerlink" href="#distribucion-lognormal" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Se dice que <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span> es una variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad lognormal si el logaritmo de <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span> es una variable siguen una distribución normal con parámetros <span class="math notranslate nohighlight">\(\mu\)</span> y <span class="math notranslate nohighlight">\(\\sigma\)</span>. Estos dos valores también son los <strong>parámetros</strong> de la distribución lognormal.</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\((0,∞)\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\( \frac{1}{t\cdot \sigma \sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(ln(t)-\mu)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong> No tiene forma explícita</p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]=(e^{\sigma^{2}}-1)\cdot (e^{2\cdot \mu +\sigma^{2}})\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</section>
<section id="distribucion-triangular">
<h3>Distribución Triangular<a class="headerlink" href="#distribucion-triangular" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p><strong>Parámetros:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span> (mínimo), <span class="math notranslate nohighlight">\(b\)</span> (máximo) y <span class="math notranslate nohighlight">\(c\)</span> (valor más probable).</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\([a,b], 0\leq a < b\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <img alt="Figura 1" src="_images/Distribuciones2.png" /></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]= \frac{a+b+c}{3}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong> <img alt="Figura 2" src="_images/Distribuciones3.png" /></p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>A continuación, se presenta el histograma de frecuencias para una variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad triangular con parámetros = 0, = 60 y = 20.</p>
<p><img alt="Figura 3" src="_images/Distribuciones1.png" /></p>
</section>
<section id="distribucion-erlang">
<h3>Distribución Erlang<a class="headerlink" href="#distribucion-erlang" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Se define <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span> como una variable aleatoria que sigue una distribución Erlang si constituye una suma de <em>K</em> variables aleatorias distribuidas exponencialmente con el mismo parámetro , y estas son independientes entre sí. Los parámetros de la distribución Erlang son (cantidad de variables aleatorias exponenciales que se suman) y (parámetro de cada una de esas variables aleatorias).</p>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(Y_{i}\)</span> un conjunto de variables aleatoria distribuidas exponencialmente con parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>. <span class="math notranslate nohighlight">\(Y_{i}\)</span> son <strong>iid</strong> (independientes e idénticamente distribuidas).</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[X = \sum_{i=1}^{N} Y_{i}\]</div>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[X~Erlang(k=N, \lambda)\]</div>
<p>En caso en que <span class="math notranslate nohighlight">\(Y_{i}\)</span> no sean variables aleatorias <strong>iid</strong>, la distribución de probabilidad de <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span> <strong>no</strong> será Erlang.</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\([0,∞)\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda e^{-\lambda\cdot t} \cdot \frac{(\lambda\cdot t)^{k-1}}{(k-1)!}\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]= \frac{k}{\lambda }\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X<t]=1- \sum_{j=0}^{k-1} e^{-\lambda\cdot t}\frac{(\lambda t)^{j}}{j!}\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]=\frac{k}{\lambda^{2} }\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</section>
</section>
<section id="variables-aleatorias-discretas">
<h2>Variables aleatorias discretas<a class="headerlink" href="#variables-aleatorias-discretas" title="Permalink to this heading">#</a></h2>
<p>Nos interesa utilizar variables aleatorias discretas para modelar la probabilidad de ocurrencia de eventos de interés en el sistema. Entre las distribuciones de probabilidad discretas más utilizadas están la Poisson, Bernoulli, Geométrica, Binomial y Uniforme. A continuación, presentamos las características más relevantes de las distribuciones anteriormente mencionadas.</p>
<section id="distribucion-poisson">
<h3>Distribución Poisson<a class="headerlink" href="#distribucion-poisson" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Una variable aleatoria que siga una distribución de Poisson nos permite conocer la probabilidad que ocurra una cantidad determinada de eventos durante un período de tiempo definido <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>. De este modo, el parámetro de esta distribución es <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>, que indica la tasa de ocurrencia de eventos por unidad de tiempo. Las unidades de medida de <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> son de \frac{1}{tiempo}; por ejemplo: <span class="math notranslate nohighlight">\(segundos^{−1}\)</span>, <span class="math notranslate nohighlight">\(horas^{−1}\)</span>,<span class="math notranslate nohighlight">\(meses^{−1}\)</span>.</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\([0,1,2,3,4,\ldots,\infty)\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X=k]=\frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^{k}}{k!}\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]= \lambda\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong> No tiene forma explícita</p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]=\lambda\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><u><strong>Relación con la distribución Exponencial</strong> </u></p>
<p>Una variable aleatoria Poisson nos permite caracterizar el número de eventos que ocurren en un tiempo definido <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>. Se sabe que el tiempo de ocurrencia entre cualquier par de eventos consecutivos sigue una distribución Exponencial con parámetro <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span>, igual al de la distribución Poisson.</p>
</section>
<section id="distribucion-bernoulli">
<h3>Distribución Bernoulli<a class="headerlink" href="#distribucion-bernoulli" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span> variable aleatoria que mide el resultado de un único experimento con dos posibles resultados: éxito (1) o fracaso (0). Esta variable aleatoria sigue una distribución de probabilidad Bernoulli. Por ende, el único parámetro es <span class="math notranslate nohighlight">\(p\)</span>, que indica la probabilidad de éxito del experimento.</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\text{{0,1}}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X=k]= p^{k}\cdot (1-p)^{1-k}, k \in \text{{0,1}}\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]= p\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong><img alt="Figura 4" src="_images/Distribuciones4.png" /></p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]= p(1-p)\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</section>
<section id="distribucion-geometrica">
<h3>Distribución Geométrica<a class="headerlink" href="#distribucion-geometrica" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span> una variable aleatoria que cuenta el número de intentos necesarios hasta obtener el primer éxito, de un fenómeno aleatorio con dos posibles resultados: éxito o fracaso. Dicha variable aleatoria sigue una distribución de probabilidad Geométrica.</p>
<p><strong>Parámetro:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(p\)</span> , que indica la probabilidad que en cada uno de los intentos el resultado sea exitoso.</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\{1,2,3,\ldots,\infty\}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X=k]= p\cdot (1-p)^{k-1}, k \in \{1,2,3,\ldots,\infty\}\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]= \frac{1}{p}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X\leq k]=1-(1-p)^{k}, k \in \{1,2,3,\ldots,\infty\}\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]= \frac{(1-p)}{p^{2}}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><strong>Propiedades:</strong> La función Geométrica cumple con la propiedad de no memoria, definida a continuación:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[P[X>m+n|X>m] = P[X>n]\]</div>
</section>
<section id="distribucion-binomial">
<h3>Distribución Binomial<a class="headerlink" href="#distribucion-binomial" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span> una variable aleatoria que cuenta el número de éxitos en una secuencia de <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> intentos independientes y aleatorios con dos posibles resultados: éxito o fracaso. Dicha variable aleatoria sigue una distribución de probabilidad Binomial.</p>
<p><strong>Parámetros:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(n\)</span> (número de intentos), <span class="math notranslate nohighlight">\(p\)</span> (probabilidad de éxito en cada uno de los intentos).</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\{0,1,2,\ldots,n\}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X=k]=\binom{n}{k}p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}, k \in \{0,1,2,\ldots,n\} \)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]= n\cdot p\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong> No tiene forma explícita</p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]= n\cdot p \cdot (1-p)\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</section>
<section id="distribucion-binomial-negativa">
<h3>Distribución Binomial Negativa<a class="headerlink" href="#distribucion-binomial-negativa" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span> una variable aleatoria que cuenta el número de intentos necesarios para el obtener k-ésimo éxito (por primera vez). Cada uno de los intentos es un ensayo de Bernoulli independiente del resto, en donde hay dos posibles resultados: éxito o fracaso. Dicha variable aleatoria sigue una distribución de probabilidad Binomial Negativa.</p>
<p><strong>Parámetros:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(k\)</span> (número de éxito de interés), <span class="math notranslate nohighlight">\(p\)</span> (probabilidad de éxito de cada uno de los intentos).</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\{k,k+1,k+2,\ldots,\infty\}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X=m]=\binom{m-1}{m-k}(p)^{k}\cdot (1-p)^{m-k}, m\ge k \)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]= \frac{k}{p}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong> No tiene forma explícita</p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]= \frac{k\cdot (1-p)}{p^{2}}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</section>
<section id="distribucion-uniforme-discreta">
<h3>Distribución Uniforme Discreta<a class="headerlink" href="#distribucion-uniforme-discreta" title="Permalink to this heading">#</a></h3>
<p>Sea <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span> una variable aleatoria discreta que sigue la distribución uniforme. Se conoce que la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los valores de su dominio finito es igual. Se define <span class="math notranslate nohighlight">\(x_{i} \forall i\in \{1,2,\ldots, n\}\)</span> como diferentes realizaciones de la variable aleatoria <span class="math notranslate nohighlight">\(X\)</span>.</p>
<p><strong>Parámetros:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(a\)</span> (mínimo) y <span class="math notranslate nohighlight">\(b\)</span> (máximo), que indican los límites entre los cuales estará definida la variable aleatoria.</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="row-odd"><th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
<th class="head"><p></p></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Dominio:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\{a+1,a+2,\ldots,b-1,b\}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X=k]=\frac{1}{n}\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><p><strong>Valor Esperado:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(E[X]= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p><strong>Función de densidad de probabilidad acumulada:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(P[X\leq k]=\frac{1}{n}\sum_{a\leq j\leq k} 1\)</span></p></td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><p><strong>Varianza:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(Var[X]= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i})^{2}-(E[X])^{2}\)</span></p></td>
<td><p></p></td>
<td><p></p></td>
</tr>
</tbody>
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<p class="component-author">
By The Jupyter Book Community
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<p class="copyright">
© Copyright 2022.
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