You signed in with another tab or window. Reload to refresh your session.You signed out in another tab or window. Reload to refresh your session.You switched accounts on another tab or window. Reload to refresh your session.Dismiss alert
Cadenas absorbentes: Tiempos antes de la absorción y probabilidades de absorción
Como vimos anteriormente, al caracterizar estados, existen cadenas de
Markov que incluyen estados absorbentes y estados transitorios. Los
últimos, corresponden a todos aquellos estados desde los cuales es
posible alcanzar un estado absorbente. En este capítulo se estudiarán
los cálculos de tiempos promedio antes de la absorción, es decir, el
tiempo promedio que un proceso estocástico visita los estados
transitorios antes de ser absorbido, dado que dicho proceso inicia en un
estado transitorio. Posteriormente, se presentan métodos para calcular
las probabilidades de que un proceso estocástico termine absorbido en el
largo plazo por algún estado absorbente, dado que dicho proceso inicia
en algún estado transitorio.
Introducción a cadenas absorbentes
Una cadena de Markov (discreta o continua) es absorbente si:
Su espacio de estados $S$ incluye un subconjunto de estados $A \subset S$
tal que todo estado $i \in A$ es absorbente;
Para todo estado $j \in S\backslash A$, existe un estado $i \in A$
tal que $j \rightarrow i$.
La definición anterior requiere la existencia de estados absorbentes
(punto 1), y que de todo estado que no es absorbente sea posible
alcanzar un estado absorbente (punto 2). Como consecuencia, en una
cadena absorbente todos los estados que no son absorbentes son
transitorios. Por ende, la cadena que se muestra en la figura 1 no
es una cadena de Markov absorbente.
Si una cadena posee un estado absorbente no es ergódica, ya que pasaría
a ser reducible. Consecuentemente, en el largo plazo la CMTC
alcanzará un estado límite por el cual la probabilidad de estar en un
estado transitorio se vuelve nula y se tiene 100% de certeza que la CMTC
ocupará el estado absorbente o algún estado de la clase comunicante
cerrada. El análisis en el largo plazo de este tipo de cadenas permite
determinar las probabilidades con las que ocurren estos eventos.
Consideramos una cadena de Markov absorbente en tiempo discreto
${ Z_{n},n \geq 0}$, con un espacio de estados $S$ que contiene un
número finito $N$ de estados. Supongamos que de los $N$ estados de $S$,
$N_{A}$ sean absorbentes y ${N - N}{A} = N{T}$ transitorios. Denotamos
con $A \subset S$ y con $T \subset S$ los subconjuntos de los estados
absorbentes y transitorios de la cadena, respectivamente. Por la
definición misma de cadena absorbente, se tiene que $A \cup T = S$ y
también que $A \cap T = \varnothing$, o sea $A$ y $T$ forman una
partición de $S$. Si se ordena el espacio de estados de manera que
primero listemos los $N_{T}$ estados transitorios y después aquellos
absorbentes, y se escribe la matriz $\mathbb{P}$ de probabilidades de
transición a un paso según dicho ordenamiento, se observa la siguiente
estructura de la matriz:
$$\mathbb{P =}\begin{matrix}
\ & \begin{matrix}
T & A
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
T \\
A
\end{matrix} & \left\lbrack \ \begin{matrix}
\mathbb{Q} & \mathbb{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{matrix}\ \right\rbrack
\end{matrix}$$
Si tomamos un estado $i$ en $A$ y un estado $j$ en $T$, $p_{ij} = 0$,
$p_{ii} = 1$, ya que $i$ es absorbente.
Las dos sub-matrices en la parte superior de la matriz $\mathbb{P}$ son
la matriz cuadrada $\mathbb{Q}$, de dimensiones $N_{T} \times N_{T}$,
contiene todas las probabilidades de transición entre estados
transitorios, mientras que la matriz rectangular $R$, de dimensiones
$N_{T} \times N_{A}$, contiene todas las probabilidades de transición
entre estados transitorios y estados absorbentes. Las dos sub-matrices
en la parte inferior de la matriz $\mathbb{P}$ son la matriz rectangular
$N_{A} \times N_{T}$ de valores nulos, y la matriz identidad de
dimensión $N_{A}$.
De una manera análoga, si ${ X(t),t \geq 0}$ es una cadena de Markov
absorbente en tiempo continuo, reordenando el espacio de los estados
para separar los estados transitorios de aquellos absorbentes, es
posible obtener la siguiente forma de la matriz generadora $\mathbb{Q}$:
$$\mathbb{Q =}\begin{matrix}
\ & \begin{matrix}
T & A
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
T \\
A
\end{matrix} & \left\lbrack \ \begin{matrix}
\mathbb{U} & \mathbb{V} \\
0 & 0
\end{matrix}\ \right\rbrack
\end{matrix}$$
La sub-matriz $\mathbb{U}$ contiene las tasas de transición entre
estados transitorios, y la sub-matriz $\mathbb{V}$ aquellas entre
estados transitorios y absorbentes de la cadena. En este tipo de
cadenas, la matriz de estados absorbentes a absorbentes se identifica
por estar compuesta de 0 únicamente, al no existir ninguna tasa de
salida de un estado absorbente.
Tiempo antes de la absorción en Cadenas de Markov de Tiempo Discreto
Consideremos una Cadena de Markov absorbente, y preguntémonos cuál es el
número promedio de veces que un estado transitorio $j$ es visitado, si
el estado inicial de la cadena es el estado transitorio$\ i$, antes de
que la cadena alcance uno de los estados absorbentes.
Recordando, la matriz de probabilidades de transición a un paso para una
cadena absorbente tiene la siguiente estructura:
donde $\mathbf{Q}$ es la submatriz de las probabilidades de transición
entre estados transitorios, y $\mathbf{R}$ la submatriz de
probabilidades de transición entre estados transitorios y absorbentes.
Asimismo, si se define la matriz $\mathbb{M}^{n}$ como la matriz que
contiene el número de transiciones entre de cada par de estados
$(i,j) \in S$ luego de $n$ transiciones1, el número de visitas a los
estados transitorios puede ser determinado a partir del límite
$\lim_{n \rightarrow \infty}{\mathbf{M}}^{n}$. Lo anterior, gracias a
que si dejamos que $n$ se vuelva muy grande, la parte asociada a los
estadios transitorios convergerá a un valor finito, ya que la cadena
será absorbida. Podemos escribir el límite como sigue:
Por la naturaleza de la cadena, el número promedio de visitas a estados
absorbentes será creciente en $n$, mientras el número promedio de
visitas a estados transitorios tendrá un límite finito. Dado que en este
análisis pretendemos evaluar en el número promedio de visitas a estados
transitorios cuando el estado inicial es transitorio, el bloque de la
matriz $\mathbf{M}^{n}$ que nos interesa es el primer bloque diagonal.
Por esta razón se tiene que:
Entonces, el elemento $i,j$ de la matriz
${\mathbb{(I -}\mathbf{Q})}^{- 1}$ es el tiempo promedio que la cadena
pasa en el (o el número promedio de visitas al) estado transitorio $j$,
dado que empieza en el estado transitorio $i$, antes de alcanzar
cualquier estado absorbente.
Tiempo antes de la absorción en Cadenas de Markov de Tiempo Continuo
Para una Cadena de Markov en tiempo continuo absorbente, recordemos que
la matriz de tasas de transición $\mathbf{Q}$ tiene la siguiente
estructura:
donde $\mathbb{U}$ es la submatriz de las tasas de transición entre
estados transitorios y $\mathbb{V}$ la submatriz de las tasas de
transición entre estados transitorios y estados absorbentes. Debido a
esta particular estructura, el exponencial matricial
$e^{\mathbf{Q} \bullet t}$ tiene la siguiente forma:
Si $i \in S$ es el estado inicial transitorio de la cadena en tiempo
continuo, y $j \in S$ es otro estado transitorio de la cadena, el tiempo
esperado que la cadena pasa en $j$ antes de la absorción, dado que
empezó en $i$, se puede calcular a partir del límite cuando
$t \rightarrow \infty$ de la integral del elemento $i,j$ de la matriz
$e^{\mathbf{Q} \bullet t}$. Observemos que, dado que ambos $i$ y $j$ son
estados transitorios de la cadena, el elemento $i,j$ de la matriz
$e^{\mathbf{Q} \bullet t}$ es un elemento de la submatriz
$e^{\mathbb{U \bullet}t}$. Dado que la submatriz $\mathbb{U}$ es
invertible, la integral de $e^{\mathbb{U \bullet}t}$ tiene la siguiente
forma explícita:
Entonces, el límite cuando $t \rightarrow \infty$ de la integral es:
$$\lim_{\ t \rightarrow \infty}{\int_{0}^{t}{e^{\mathbb{U}x}dx} =}\lim_{\ t \rightarrow \infty}{\mathbb{U}^{- 1}\left( e^{\mathbb{U}t} - I \right) = \lim_{\ t \rightarrow \infty}{\mathbb{U}^{- 1}e^{\mathbf{U}t} - \lim_{\ t \rightarrow \infty}{\mathbb{U}^{- 1} =}}} - \mathbb{U}^{- 1}$$
Donde se utiliza el hecho de que en el límite cuando
$t \rightarrow \infty$ todo elemento de la matriz $e^{\mathbb{U}t}$
converge a cero por ser la probabilidad de que la cadena absorbente se
encuentre en un estado transitorio. Entonces, si $i$ es el estado
inicial de la cadena y $j$ otro estado transitorio, el elemento $i,j$ de
la matriz $- \mathbb{U}^{- 1}$ es el tiempo promedio que la cadena
pasará en el estado $j$, dado que empezó en el estado $i$, antes de la
absorción.
Probabilidades de absorción para cadenas de tiempo discreto
En esta sección consideramos una cadena absorbente en tiempo
discreto, y vamos a proporcionar un método para calcular las
probabilidades de absorción en el largo plazo de la cadena desde los
estados transitorios. Primero, observamos que la cadena cumpla con las
definiciones de cadena absorbente definidas anteriormente**.**
También, observamos que si el número de estados absorbentes $N_{A}$ es
igual a 1, el problema es trivial, ya que la cadena será absorbida en el
único estado absorbente con total certeza.
Supongamos entonces que la cadena tenga un número de estados absorbentes
$N_{A} > 1$, y queremos determinar las probabilidades de absorción en
cada uno de esos estados. Esta situación se encuentra a menudo en el
análisis de sistemas, por ejemplo, cuando existen dos posibles estados
de parada para su evolución, con características o significado
diferentes. Quizá el ejemplo más clásico sea el modelo del apostador
(gambler ruin problem, en inglés), que representa la evolución del
monto de dinero de un apostador, que en cada ronda del juego gana o
pierde de manera probabilística una cantidad de dinero, y puede terminar
el juego ganándole al banco o perdiéndolo todo. Para este ejemplo,
podemos considerar el modelo de cadena de Markov en tiempo discreto
absorbente que se ilustra en la siguiente figura:
En el modelo del apostador que se presenta en la Figura 2, el apostador
puede en cada ronda perder un dólar con probabilidad $p$ o ganar uno con
probabilidad $1 - p$. Si alcanza a ganar 5 dólares (estado $W$), se
retira del juego. Si pierde todo el dinero (estado $L$), también el
juego terminará. Una pregunta interesante para este problema es
determinar la probabilidad de ganar o perder el juego dado el estado
inicial, para lo cual es necesario evaluar las probabilidades de
absorción de la cadena en el largo plazo.
En términos de la distribución de estado del proceso estocástico, lo que
se quiere calcular es el siguiente límite:
Aquí vale la pena observar que el cálculo del límite en la expresión (3)
toma los valores mostrados a continuación, de acuerdo con los valores de
$i$ y $j$:
Para calcular el límite de las probabilidades condicionales en la
expresión (3), observamos que
$P\left\lbrack Z_{n} = i \middle| Z_{0} = j \right\rbrack$ es el
elemento $i,j$ de la matriz $\mathbb{P}^{n}$, la potencia $n$-ésima de
la matriz de probabilidades de transición $\mathbb{P}$. La estructura en
bloques de la matriz $\mathbb{P}$, que se muestra en (1), determina una
estructura particular de las potencias
$\mathbb{P}^{2}$,$\mathbb{P}^{3}$,$\ldots$. En particular, para
$\mathbb{P}^{2}$, es fácil determinar que:
En la expresión final para $\mathbb{P}^{n}$ en (4) cabe recordar que,
para toda matriz, la potencia $0$-ésima es igual a la matriz identidad
($\mathbb{I}$).
Ahora bien, podemos pasar la expresión de la potencia $\mathbb{P}^{n}$
al límite, como sigue:
Observamos que el límite del primer bloque $\mathbb{Q}^{n}$ es una
matriz nula, dado que la probabilidad de que la cadena quede en un
estado transitorio en el largo plazo es nula. En cuanto al límite del
bloque súper-diagonal, se tiene lo siguiente:
La expresión (6) se obtiene reemplazando la suma infinita de potencias
de la matriz $\mathbf{Q}$ con la inversa de la matriz
$(\mathbb{I} - \mathbf{Q})$. Esta equivalencia es una extensión de las
series geométricas de los números reales a las series geométricas de
matrices. Tal como la serie geométrica de razón $x$ converge a
$\frac{1}{1 - x} = (1 - x)^{- 1}$ cuando $x$ es en módulo menor a 1, la
serie geométrica de una matriz $\mathbb{A\ }$ converge a
$\left( \mathbb{I} - \mathbb{A} \right)^{- 1}$ cuando el módulo del
máximo autovalor de $\mathbb{A}$ (lo que se llama el radio espectral
de la matriz $\mathbb{A}$) es menor a 1. Esta condición siempre aplica
para la matriz $\mathbb{Q}$ de una cadena de Markov en tiempo discreto
absorbente (sin demostración). Entonces, la matriz
$\left( \mathbb{I} - \mathbf{Q} \right)^{- 1}\mathbf{R}$ es la matriz
cuyos elementos proporcionan las probabilidades que en el límite la
cadena sea absorbida en los estados $j \in A_{Z}$, dado que el estado
inicial es $i \in T_{Z}$.
:class: suggestion
Supongamos que la probabilidad de que el apostador gane
una ronda del juego es $p = 0.4$, y calculamos las probabilidades de
ganar o perder todo para la cadena de la Figura 2. La matriz de tasas de
transición $\mathbb{P}$, reordenada como se explica anteriormente, es la
siguiente:
$$\mathbb{P =}\begin{matrix}
1 \\
2 \\
3 \\
4 \\
L \\
W
\end{matrix}\begin{bmatrix}
0 & 0.4 & 0 & 0 & 0.6 & 0 \\
0.6 & 0 & 0.4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0.6 & 0 & 0.4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0.6 & 0 & 0 & 0.4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
Se identifican entonces los bloques:
$\mathbf{Q} = \begin{bmatrix}
0 & 0.4 & 0 & 0 \\
0.6 & 0 & 0.4 & 0 \\
0 & 0.6 & 0 & 0.4 \\
0 & 0 & 0.6 & 0
\end{bmatrix}$, $\mathbb{R =}\begin{bmatrix}
0.6 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0.4
\end{bmatrix}$
La matriz $(\mathbb{I} - \mathbf{Q})$ es la siguiente:
$$\mathbb{I} - \mathbf{Q} = \begin{bmatrix}
1 & - 0.4 & 0 & 0 \\
- 0.6 & 1 & - 0.4 & 0 \\
0 & - 0.6 & 1 & - 0.4 \\
0 & 0 & - 0.6 & 1
\end{bmatrix}$$
y su inversa ${(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}$ es la matriz:
$${(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1} = \begin{bmatrix}
1.54 & 0.9 & 0.47 & 0.18 \\
1.35 & 2.25 & 1.18 & 0.47 \\
1.06 & 1.77 & 2.25 & 0.9 \\
0.63 & 1.06 & 1.35 & 1.54
\end{bmatrix}$$
El producto ${(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\mathbb{R}$ es la
siguiente matriz de probabilidades:
$${(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\mathbb{R} = \begin{bmatrix}
1.54 & 0.9 & 0.47 & 0.18 \\
1.35 & 2.25 & 1.18 & 0.47 \\
1.06 & 1.77 & 2.25 & 0.9 \\
0.63 & 1.06 & 1.35 & 1.54
\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}
0.6 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0.4
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0.92 & 0.08 \\
0.81 & 0.19 \\
0.64 & 0.36 \\
0.38 & 0.62
\end{bmatrix}$$
Entonces, si el apostador empieza a jugar con 1 dólar (primer estado),
terminará ganando el juego con probabilidad 0.08. Esta probabilidad se
encuentra en la primera fila de la matriz
${(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\mathbb{R}$, ya que 1 es el primer
estado, y en la segunda columna, ya que el estado final ($W$) es el
último de los absorbentes. Si el apostador empieza el juego con 4
dólares (último estado transitorio), la probabilidad de ganar es 0.62.
Esta probabilidad se encuentra en la cuarta fila de la matriz
${(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\mathbb{R}$, ya que 4 es el último
estado, y en la segunda columna, ya que el estado final ($W$) es el
último de los absorbentes. Observamos que, por cada fila de la matriz
${(\mathbb{I} - \mathbf{Q})}^{- 1}\mathbb{R}$, la suma de los elementos
es 1, ya que con probabilidad 1 la cadena es absorbida (no importa en
cual estado absorbente).
Finalmente, si no se conociera con exactitud el estado inicial, para
determinar por ejemplo la probabilidad de perder el juego (o sea de que
la cadena sea absorbida en el estado $L$), podríamos usar la
distribución inicial sobre los estados transitorios. Si
$\overrightarrow{\alpha} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4})$
es el vector de la probabilidad de estado inicial, o sea
$\alpha_{i} = P\lbrack Z_{0} = i\rbrack$, donde es pertinente recalcar
que la distribución inicial se define únicamente para los estados
transitorios.
Por ejemplo, si
$\overrightarrow{\alpha} = \left( \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4} \right)$,
es decir cualquier cantidad de dólares entre 1 y 4 con la misma
probabilidad, las probabilidades de absorción serían:
$$\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4} \right) \bullet \ \begin{bmatrix}
0.92 & 0.08 \\
0.81 & 0.19 \\
0.64 & 0.36 \\
0.38 & 0.62
\end{bmatrix} = (0.69,0.31)$$
De este modo, la probabilidad de perder todo sería entonces 0.69, más
que el doble de la probabilidad de ganar (0.31).
Probabilidades de absorción para cadenas de tiempo continuo
Para el cálculo de las probabilidades de absorción en cadenas continuas
existen diferentes opciones. La primera consiste en obtener de la cadena
en tiempo continuo la cadena embebida EMC, y realizar el análisis de las
probabilidades de absorción en la EMC, ya que, para la distribución de
la probabilidad de estado en el largo plazo, las dos cadenas son
equivalentes.
Por otra parte, también es posible realizar el cálculo de las
probabilidades de absorción directamente en la cadena continua.
Observamos que, de manera totalmente análoga al caso discreto, las
probabilidades límite de una cadena absorbente continua pueden ser
calculadas a partir de las probabilidades condicionales del transitorio.
Dichas probabilidades se calculan a través del exponencial de la matriz
de las tasas de transición $\mathbf{Q}$. En particular, recordamos que
el exponencial de una matriz cuadrada $A$ es la matriz
En una cadena de Markov de tiempo continuo, el elemento $i,j$ del
exponencial de la matriz $\mathbf{Q} \bullet t$ proporciona la
probabilidad de que la cadena, en el tiempo $t$, esté en el estado $j$,
dado que al tiempo 0 se encontraba en el estado $i$, es decir que:
$$\left\lbrack e^{\mathbf{Q} \bullet t} \right\rbrack_{(i,j)} = P\left\lbrack X(t) = j|X(0) = i \right\rbrack,\ \forall t \geq 0,\ i,j \in S$$
El límite por $t \rightarrow + \infty$ de la matriz
$e^{\mathbf{Q} \bullet t}$ proporciona entonces las probabilidades en el
largo plazo de la cadena. Si una cadena continua es absorbente, la
matriz $\mathbf{Q} \bullet t$ tiene la estructura en bloques que se
ilustra en (2). Esta forma particular en bloques permite calcular las
probabilidades de absorción de manera sencilla. Antes que nada, dado que
el factor $t$ es escalar, notamos lo siguiente:
$$e^{\mathbf{Q} \bullet t} = \ \mathbb{I} + \mathbf{Q} \bullet t + \frac{\left( \mathbf{Q} \bullet t \right)^{2}}{2!} + \frac{\left( \mathbf{Q} \bullet t \right)^{3}}{3!} + \cdots = \mathbb{I} + \mathbf{Q} \bullet t + \mathbf{Q}^{2}\frac{t^{2}}{2!} + \mathbf{Q}^{3}\frac{t^{3}}{3!} + \cdots$$
Ahora, las primeras potencias de la matriz $\mathbf{Q}$ tienen la
siguiente forma:
Podemos reconocer que la suma infinita de matrices en el primer bloque
de $e^{\mathbf{Q} \bullet t}$ es el exponencial de la matriz
$\mathbb{U} \bullet t$. En cuanto al bloque súper-diagonal, con pocas
transformaciones algebraicas se obtiene:
Ahora observamos que la suma infinita de matrices entre paréntesis en
(8) es la matriz exponencial $e^{\mathbb{U} \bullet t}$ menos la matriz
identidad, así que finalmente, para el bloque 1,2 se obtiene la
expresión
$\mathbb{U}^{- 1}\left( e^{\mathbb{U} \bullet t} - \mathbb{I} \right)\mathbb{V}$.
La matriz $e^{\mathbf{Q} \bullet t}$, para una cadena de Markov
absorbente en tiempo continuo es entonces la siguiente:
Dado que en el largo plazo la probabilidad de que la cadena esté en un
estado transitorio tiende a cero, el límite cuando
$t \rightarrow + \infty$ de $e^{\mathbb{U} \bullet t}$ es la matriz
nula. Por ende, se obtiene que:
Las probabilidades condicionales de absorción, dado el estado
transitorio inicial, son finalmente dadas por los elementos de la matriz
$- \mathbb{U}^{- 1}\mathbb{V}$.
:class: suggestion
Como ejemplo consideramos el modelado del proceso de
evacuación de un edificio durante un evento sísmico. Si en el edificio
hay $n$ personas, cada persona evacúa en un tiempo promedio de
$n \bullet T$ unidades de tiempo. Durante el evento sísmico, el evento
catastrófico de derrumbe del edificio ocurre con tasa $\omega$.
Suponiendo que todos los tiempos son exponenciales e independientes, es
posible definir un modelo de cadena de Markov de tiempo continuo para
calcular la probabilidad de que todas las personas inicialmente
presentes en el edificio alcancen a evacuar antes de que ocurra un
derrumbe.
Supongamos que $M$ sea el número personas en el edificio al principio de
la evacuación, y consideramos la cadena de Markov de tiempo continuo
$\left\{ \left( N(t),E(t) \right),t \geq 0 \right\}$, donde $N(t)$ es el
número de personas en el edificio al tiempo$\ t$, y $E(t)$ el estado del
edificio al tiempo $t$. En el tiempo $t = 0$ tendremos el tiempo de
inicio de la evacuación. El espacio de los estados $S_{N}$ será dado por
el siguiente conjunto con $2 \bullet (M + 1)$ elementos:
$$S_{N} = \left\{ (i,e)|i \in \{ 0,1,2,\ldots,M\},e \in \{ I,D \right\}\}$$
$I$ modela el estado intacto del edificio y $D$ el estado derrumbado del
mismo. La cadena tiene $M + 1$ estados absorbentes, que corresponden a
todos los estados donde la segunda componente toma el valor $D$.
Las tasas de transición en la matriz $Q$ (elementos no diagonales) de
esta cadena continua son las siguientes:
$$q_{(i,e),(j,f)} = \left\{ \begin{matrix}
{(i \bullet T)}^{- 1} & si\ j = i - 1\ y\ e = f = I \\
\omega & si\ j = i\ y\ e = I\ y\ f = D \\
0 & en\ todos\ los\ demás\ casos
\end{matrix} \right.\ $$
El diagrama de estado transición de la cadena se ilustra en la Figura 3:
De esta forma, se tiene que la matriz $\mathbb{U}$ es súper-diagonal,
con los siguientes elementos no diagonales:
$$q_{(i,I),(j,I)} = \left\{ \begin{matrix}
({i \bullet T)}^{- 1} & si\ j = i - 1\ \\
0 & en\ todos\ los\ demás\ casos
\end{matrix} \right.\ $$
y la matriz $\mathbb{V}$ es la matriz identidad de tamaño
$(M + 1) \times (M + 1)$ multiplicada por la constante $\omega$. El
siguiente código en R, totalmente análogo al código para el análisis de
la cadena embebida, produce una gráfica de barras de las probabilidades,
idénticas en valor a aquellas que se muestran en la Figura 5.
Anexos
Probabilidades de absorción mediante la EMC
Como se mencionó en la 9.5, es posible calcular las probabilidades de
absorción de una cadena en tiempo continuo, encontrando primero la
cadena embebida (EMC), y usando ésta última para calcular las
probabilidades. A continuación, se muestra un ejemplo que ilustra dicha
aproximación.
:class: suggestion
Considerando el mismo contexto presentado en el ejemplo
2, y recordando la formulación
$q_{(i,e),(j,f)} = \left\{ \begin{matrix}
{(i \bullet T)}^{- 1} & si\ j = i - 1\ y\ e = f = I \\
\omega & si\ j = i\ y\ e = I\ y\ f = D \\
0 & en\ todos\ los\ demás\ casos
\end{matrix} \right.\ $,
es posible obtener la cadena embebida, cuyo diagrama de estado
transición es el siguiente:
Ordenando el espacio de estados de manera que se listan primero los
estados no absorbentes y después aquellos absorbentes, y dentro de cada
subconjunto se ordenan los estados por número de personas decreciente,
se obtiene la siguiente estructura a bloques de la matriz de
probabilidades de transición:
$$\mathbb{P} = \begin{bmatrix}
\mathbf{Q} & \mathbf{R} \\
0 & \mathbb{I}
\end{bmatrix}$$
La matriz $\mathbf{Q}$ es una matriz súper-diagonal tal que:
$$q_{(i,I),(j,I)} = \left\{ \begin{matrix}
\frac{\frac{1}{i \bullet T}}{\frac{1}{i \bullet T} + \omega} & si\ j = i - 1\ \\
0 & en\ todos\ los\ demás\ casos
\end{matrix} \right.\ $$
La matriz $\mathbf{R}$ es una matriz diagonal tal que
$r_{(i,I),(i,D)} = \omega/(\frac{1}{iT} + \omega)$.
Footnotes
Para mayor detalle, revisar la nota 8-Análisis de tiempos
promedio. ↩
