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Procesos estocásticos

En este capítulo abordaremos el concepto básico de proceso estocástico, concepto usado como instrumento para diseñar modelos probabilísticos de sistemas, cuyo estado está sujeto a evolucionar en el transcurso del tiempo. El capítulo inicia con una breve introducción y ejemplos de procesos estocásticos. Seguido, presentaremos una clasificación de los diferentes tipos de procesos estocásticos y algunos elementos útiles para su caracterización. Finalmente, ilustramos una aproximación al concepto de memoria asociado a un proceso estocástico, así como la definición de homogeneidad en el tiempo.

Introducción

Consideremos un fenómeno aleatorio, o un sistema con aspectos de aleatoriedad, y se contempla un elemento observable del fenómeno que pueda caracterizarse de manera probabilística. Supongamos que los valores posibles de la observación conforman un conjunto $S$ de tipo discreto (finito o contable).

Si se observa ese mismo fenómeno aleatorio de forma reiterada, por ejemplo, cada minuto durante un cierto intervalo de tiempo, se obtiene una secuencia ordenada de observaciones en el tiempo, que podemos denotar como ${ X_{n},n \geq 0}$. Esta secuencia ordenada es un ejemplo de proceso estocástico. El resultado de cada observación pertenece al conjunto $S$ (definido anteriormente), y en realidad es predecible sólo en términos probabilísticos, es decir $X_{n}$ es una variable aleatoria por cada valor de $n$.

Ejemplo 1:

:class: suggestion

-   **Fenómeno aleatorio:** Juego de póker en un casino
    durante un número de rondas.

-   **Variable de interés:** Nos enfocamos en la cantidad
    $D_{n}$ de dinero de un jugador particular.

-   **Conjunto de observación:** Observamos dicha cantidad
    después de cada ronda $n\ $del juego.

No se puede predecir con exactitud la cantidad de dinero del jugador, pero sí es posible determinar la probabilidad de que sea igual a un determinado monto. Es decir, es posible realizar una predicción de dicha cantidad en términos probabilísticos. Si denotamos con $D_{n}$ la cantidad de dinero que el jugador posee al terminar la ronda $n$, siendo $D_{0}$ la cantidad inicial antes de empezar a jugar, entonces ${ D_{n},n \geq 0}$ es un proceso estocástico.

:class: warning
El uso de $\mathbf{X,\ D}$ o $\mathbf{n}$ en la notación
$\mathbf{\{}\mathbf{X}_{\mathbf{n}}\mathbf{,n \geq 0\}}$ no es
obligatorio.

No puede faltar en la definición de un proceso estocástico la especificación de la variable de estado. En el ejemplo del caso anterior:

:class: suggestion
- $D_{n}$ $≝$ Cantidad de dinero que el jugador posee al terminar la ronda
    $n$ del juego

Es importante observar que a partir del mismo fenómeno aleatorio se pueden definir múltiples procesos estocásticos, por ejemplo, al variar el elemento observable o la temporalidad de observación. En el caso del Ejemplo 1, si se observa la cantidad total de dinero apostado por todos los jugadores en cada ronda, denotada como $T_{n}$, habríamos definido otro proceso estocástico ${ T_{n},n \geq 0}$ .

Ejemplo 2:

:class: suggestion

-   **Fenómeno aleatorio:** Llegadas de un carro a un parqueadero

-   **Variable de interés:** Se busca medir el número de carros en 
    el sistema (parqueadero).

-   **Conjunto de observación:** La observación se realiza cada vez 
    que un carro llega al parqueadero.

En este caso la variable de estado se puede definir como:

:class: suggestion

-   $C_{n}$ $≝$ Número de carros en el parqueadero en el momento
    inmediatamente después de la llegada del carro $n$-ésimo

Para el ejemplo anterior, otra variable de interés podría ser el tiempo que pasa entre llegadas consecutivas al parqueadero. Por ejemplo, consideremos la siguiente variable:

:class: suggestion

-   $I_{n}$ $≝$ Tiempo entre la llegada del carro $n$-ésimo y el carro
    $n + 1$-ésimo al parqueadero

Esta secuencia de observaciones definiría un proceso estocástico ${ I_{n},n \geq 0}$, donde los posibles valores que toma la variable son tiempos, es decir, números reales no-negativos.

También, es posible observar un sistema en tiempo continuo, es decir en cada instante de tiempo, sin precisar la secuencia de instantes en la cual se realiza el muestreo (observación) de la variable de interés. En el caso del Ejemplo 2 podríamos por ejemplo definir:

:class: suggestion

-   $C(t)$ $≝$ Número de carros en el parqueadero en el instante de tiempo
$t$

En este caso nos interesa observar esta variable continuamente, en todo tiempo $t \geq 0$, y no solo en momentos discretos del tiempo. El conjunto de observaciones sería ${ C(t),t \geq 0}$, que constituye un proceso estocástico que evoluciona en tiempo continuo.

Las definiciones de la variable de interés y la temporalidad de observación hacen parte del proceso de modelado de un sistema. Si bien, en algunos casos tales definiciones pueden ser obviamente determinadas por la naturaleza del sistema, en general existen múltiples opciones de modelado, por lo cual es esencial tener en cuenta el objetivo del estudio del sistema.

Caracterización de los procesos estocásticos

Con el objetivo de proporcionar elementos útiles para el estudio de sistemas estocásticos que evolucionan en el tiempo, en esta sección plantearemos una formalización y una posible clasificación de los procesos estocásticos.

Una definición muy abstracta de proceso estocástico afirma que: "Un proceso estocástico es una familia indexada de variables aleatorias", la cual se comprende como mayor facilidad si se substituyen las palabras familia indexada por secuencia ordenada. Como tal, los procesos estocásticos son objeto de estudio teórico de las matemáticas y de la probabilidad aplicada. Sin embargo, sus áreas de aplicación son múltiples en las ciencias aplicadas como la física, la ingeniería, medicina e incluso en ciencias sociales, ya que se prestan para el modelado de sistemas muy diferentes con el objetivo de medir su rendimiento y tomar decisiones sin influir directamente en él.

La palabra estocástico fue introducida en tiempos bastante recientes por L. Bortkiewcz, quien la utilizó en 1917 para definir fenómenos que incluyen aspectos probabilísticos. Por otra parte, la terminología proceso estocástico, así como la entendemos hoy fue presentada por el matemático ruso A. Kolmogorov en 1932. La definición de un proceso estocástico deja libertad en cuanto a la selección de la variable de interés y a la frecuencia de observación; como consecuencia, existen muchos tipos de procesos estocásticos. Entre los más conocidos, se pueden encontrar procesos de conteo, movimientos Brownianos, cadenas de Markov, procesos de Martingala, procesos de Levy, procesos Gaussianos, entre otros.

Consideramos una colección ordenada de variables aleatorias, es decir un proceso estocástico, y definimos la siguiente terminología; llamaremos estado del proceso estocástico a un valor particular que puede tomar la variable que se observa, y espacio de estados al conjunto de todos los posibles estados de la variable, lo cual se denota usualmente con $S$.

Como se mencionó, en un proceso estocástico solo conocemos el estado del sistema de forma probabilística. Así, estamos interesados en conocer la distribución de probabilidad de la variable de interés en un momento del tiempo. Por ejemplo, para el proceso estocástico $\left{ X_{n},n \geq 0 \right}$, es pertinente preguntar cuál es la probabilidad $P\left\lbrack X_{5} = x \right\rbrack$, es decir, la probabilidad de que en el momento $n = 5$ de observación la variable de estado $X_{5}$ tome el valor $x$, donde $x$ es un valor posible del estado del proceso, es decir $x\ \epsilon\ S$.También podemos estar interesados en la probabilidad de que esta variable en el momento $n = 5$ tome valores menores o iguales a $x$, es decir $P\lbrack X_{5} \leq x\rbrack$. Por ejemplo, la probabilidad de que el monto total de dinero apostado en la quinta ronda del juego de póker sea 35,000 pesos, $P\lbrack T_{5} = 35,000\rbrack$, o que sea a lo sumo 20,000 pesos, $P\lbrack T_{5} \leq 20,000\rbrack$.

Dada la disponibilidad de múltiples observaciones en un proceso estocástico, surgen otro tipo de preguntas interesantes, cuya respuesta puede proporcionar información útil para el análisis de los sistemas que se quieren estudiar a través del modelado. Por ejemplo, la probabilidad de que el número de carros en el parqueadero a las 9 de la mañana sea 10, dado que a las 8 de la mañana era igual a 5. Esta probabilidad condicional se describiría en notación matemática como $P\left\lbrack C(9AM) = 10\ \right|\ C(8AM) = 5\rbrack$.

También pueden existir preguntas interesantes que involucran las distribuciones conjuntas de un proceso estocástico. Por ejemplo, si estuviéramos interesados en la probabilidad de que los primeros tres tiempos entre llegadas al parqueadero fuesen menores a una cantidad fija $\tau$, tendríamos que calcular la siguiente probabilidad$\ P\lbrack I_{1} < \tau,\ I_{2} < \tau,I_{3} < \tau\rbrack$.

En general, la caracterización de un proceso estocástico requiere información sobre las distribuciones de probabilidad condicionales, marginales y conjuntas de las variables aleatorias que conforman el proceso estocástico. Como veremos en el capítulo siguiente, en algunos casos específicos dicha caracterización puede simplificarse considerablemente.

Clasificación de los procesos estocásticos

Una clasificación muy general de los procesos estocásticos es aquella que considera las posibles tipologías de dos características claves del proceso. La primera es el espacio de estados $S$, el cual puede ser discreto o continuo. La segunda es el conjunto de índices, referido al conjunto que define las observaciones del fenómeno aleatorio al que denotaremos como $I,$ el cual puede ser discreto o continuo.

Al definir una variable de interés $X$ que toma valores en un espacio de estados $S$, y la cual observamos en instantes de tiempo definidos por un conjunto de índices $I$, tendremos una primera clasificación del proceso estocástico. Si el espacio de estados $S$ es un conjunto discreto/continuo, diremos que el proceso estocástico tiene espacio discreto/continuo. Si el conjunto de índices $I$ es un conjunto discreto/continuo, diremos que el proceso estocástico es en tiempo discreto/continuo.

Tal como se resume en la Figura 1, la combinación de las diferentes posibilidades hace que puedan definirse cuatro diferentes tipos de procesos estocásticos.

<style> table, th, td{ border: 1px solid red; text-align: center; padding: 3px 6px } .rotate{ writing-mode: vertical-lr; transform: rotate(180deg); white-space: nowrap; } </style>

		Índices de Observación
		Discreto	Continuo
Espacio de Estados	Discreto	Espacio discreto Tiempo discreto	Espacio discreto Tiempo discreto
	Continuo	Espacio discreto Tiempo discreto	Espacio continuo Tiempo continuo

Figura 1: Tipos de procesos estocásticos

:class: tip
Clasifique cada uno de los procesos estocásticos introducidos
en la Sección 1.1.

Los procesos estocásticos de tiempo discreto y continuo se denotan de forma diferente debido a la naturaleza del conjunto de índices. En particular, los procesos de tiempo discreto se denotan como ${ X_{n},n \geq 0}$, es decir, el tiempo discreto aparece como un sub-índice de la variable, mientras que los procesos de tiempo continuo se denotan como ${ X(t),t \geq 0}$, es decir, el índice tiempo aparece como argumento de la variable de estado $X$.

Es importante resaltar que la definición de la variable de estado de un proceso en tiempo continuo es usualmente más sencilla que la definición de la variable de estado para un proceso de tiempo discreto. Por ejemplo, supongamos que nos interese analizar la efectividad de una política de inventario de un almacén. La variable que queremos observar y predecir es entonces $N$, el número de unidades en inventario. Si quisiéramos modelar el sistema con un proceso estocástico en tiempo continuo, deberíamos sencillamente definir la variable de estado como:

:class: suggestion

-   $N(t)$ $≝$ Número de unidades de producto en el inventario en el
instante de tiempo $t$.

Para todo proceso estocástico en tiempo continuo el conjunto de índices siempre es igual al semieje positivo, y por ende la definición de la variable de estado sólo necesita especificar que se observa el sistema en cada posible valor del tiempo $t$.

Puede que sea posible, conocer el estado del sistema en cada momento del tiempo, pero esto puede no ser relevante/necesario. Quizá sea importante conocerlo al momento de la apertura del almacén, o los viernes a la hora del cierre, o solo en aquellos momentos en los cuales se pueden realizar órdenes para reabastecerlo. En todos estos casos, el conjunto de índices es discreto, y existen infinitas posibilidades de observar el sistema en un subconjunto de momentos en el tiempo. Por esta razón, es fundamental definir de manera concisa, pero completa, la variable de estado. Por ejemplo, para las tres opciones mencionadas arriba:

:class: suggestion

-   $N_{n}^{1}$ $≝$ Número de unidades en inventario a la hora de abrir el
almacén el día $n$

-   $N_{n}^{2}$ $≝$ Número de unidades en inventario a la hora del cierre el
viernes de la semana $n$

-   $N_{n}^{3}$ $≝$ Número de unidades en inventario en el $n$-ésimo momento
de solicitar la provisión

Notamos cómo el índice $n$ en la definición de la variable de estado es utilizado para especificar un elemento preciso de la secuencia temporal dentro del conjunto de observaciones $I$. También, es interesante notar que la periodicidad de las observaciones en la opción 1 es diaria, en la opción 2 es semanal y en la opción 3 queda definida por una secuencia de eventos externos determinada por la disponibilidad de los proveedores para recibir solicitudes.

Los procesos estocásticos en tiempo discreto proveen mucha flexibilidad a la hora de modelar sistemas. La definición de la variable de estado tiene que ser suficientemente detallada para que especifique exactamente la selección de la secuencia de índices.

Dependencias entre observaciones en los procesos estocásticos

Considere el siguiente fenómeno aleatorio: se lanza un dado, y se define como variable de interés la cara del dado $(D)$. Si repetimos el experimento, podemos definir el proceso estocástico $\left{ D_{n},n \geq 0 \right}\ $con espacio de estados discreto $S = \left{ 1,2,\ldots,6 \right}\ $y en tiempo discreto, donde se define:

:class: suggestion

-   $D_{n}$ $≝$ Cara que se obtiene en el $n$-ésimo lanzamiento del dado

Este proceso estocástico tiene propiedades de independencia muy fuertes, las cuales aseguran que el valor observado en el $n -$ésimo lanzamiento no es afectado por los resultados de los lanzamientos anteriores. En otras palabras, conocer el resultado de los lanzamientos que ocurrieron en el pasado no nos proporciona ninguna información sobre el resultado del próximo resultado. Podemos escribir en forma matemática esta propiedad de la siguiente manera:

$P\left\lbrack D_{n} = i \middle| D_{n - 1} = i_{n - 1},D_{n - 2} = i_{n - 2},\ldots,D_{1} = i_{1} \right\rbrack = P\left\lbrack D_{n} = i \right\rbrack = \frac{1}{6}$,

Es decir, la probabilidad de observar un valor $i\ \epsilon\ S$ en el n-ésimo lanzamiento, dada toda la historia de resultados desde el primer lanzamiento hasta el n-1-ésimo, es simplemente igual a $\frac{1}{6}$, sin importar $i_{n - 1},i_{n - 2},\ldots,\ i_{1}$ los resultados que se obtuvieron en los lanzamientos $n - 1,n - 2,\ldots,\ 1$, respectivamente.

Consideramos ahora el proceso estocástico $\left{ Z(t),t \geq 0 \right}$, que modela el valor de mercado de un producto en el tiempo $t$. En este caso, esperamos que este proceso estocástico, con espacio continuo y en tiempo continuo, no posee las propiedades de independencia del proceso anterior. Por ejemplo, si el precio del producto en el tiempo $t$ es $z$, en un intervalo de tiempo $\lbrack t,t + \delta\rbrack$ con $\delta \approx 0$, es de esperar que el precio se mantenga cercano a $z$ con alta probabilidad. Entonces, para este proceso estocástico:

$P\left\lbrack Z(t + \delta) = z_{1}\ \right|\ Z(t) = z\rbrack \neq P\lbrack Z(t + \delta) = z_{1}\rbrack$.

Esta dependencia expresa la existencia de memoria en el proceso estocástico, donde el estado que el proceso asume en el futuro depende del estado pasado. Los procesos estocásticos buscan capturar los aspectos claves de esta dependencia en el tiempo. Por ejemplo, podemos esperar que la dependencia se haga más y más débil conforme aumente la separación temporal con respecto a la observación inicial. En el caso del precio de un producto, si éste tuvo un valor particular hace mucho tiempo atrás debería afectar de manera poco significativa el precio de mercado presente.

Homogeneidad de un proceso estocástico

Consideremos el proceso estocástico con espacio discreto y en tiempo continuo $\left{ U(t),t \geq 7am \right}$ cuya variable de espacio es definida como:

:class: suggestion

-   $U(t)$ $≝$ Número de usuarios que han llegado al restaurante desde la
apertura hasta el instante de tiempo $t$

Donde se supone que el restaurante abre a las $7am$. El estado de este proceso estocástico en el tiempo es no-decreciente en el tiempo, es decir, para cada pareja de instantes $(t_{1},t_{2})$ tal que $7am\ \leq t_{1} \leq t_{2}$, podemos afirmar que

$\begin{matrix} P\lbrack U\left( t_{1} \right) \geq u\rbrack \leq P\lbrack U\left( t_{2} \right) \geq u\rbrack & \forall\ u \in N,\ u > 0 \end{matrix}$.

Es decir, si tomamos como referencia un número de clientes $u$, es más probable observar más de $u$ usuarios en el momento $t_{2}$ que en el momento $t_{1}$ ya que en $t_{2}$ ha transcurrido más tiempo, lo que da una mayor oportunidad de observar más usuarios. Es interesante preguntarse si la velocidad del crecimiento del valor de la variable de estado es constante en el tiempo. Por ejemplo, si en promedio, entre las 10 y las 11 de la mañana, llegan el mismo número de usuarios que entre las 1 y las 2 de la tarde, en términos matemáticos, nos estamos preguntando si:

$$E\left\lbrack U(11am) - U(10am) \right\rbrack = E\left\lbrack U(2pm) - U(1pm) \right\rbrack$$

Note que en este caso nos preguntamos si esperamos observar, en valor esperado, el mismo número de usuarios en un intervalo de una hora. Cuando un proceso estocástico es homogéneo, esta igualdad se cumple para todo intervalo de la misma longitud, luego esperamos observar el mismo número de usuarios en cualquier intervalo de una hora.

Si por el contrario si suponemos que el sistema modelado es un restaurante, es razonable suponer que a la hora del almuerzo lleguen más clientes que en otros momentos del día. Así, es probable que la igualdad arriba no sea verdadera. Este es un ejemplo de un proceso estocástico no homogéneo en el tiempo, ya que la dinámica de cambio de estado no es igual a lo largo de la secuencia de observaciones.

Formalmente, un proceso estocástico en tiempo continuo $\left{ X(t),t \geq 0 \right}$ es homogéneo si se cumple que:

$P\left\lbrack X\left( t_{2} \right) - X\left( t_{1} \right) = u \right\rbrack = P\left\lbrack X\left( t_{2} - t_{1} \right) = u \right\rbrack\ \ \ \ 0 \leq t_{1} \leq t_{2},\ \forall\ u \in \ S$

En otras palabras, el cambio de la variable sólo depende de la distancia temporal entre las observaciones (el ancho del intervalo $t_{2} - t_{1}$) y no de la elección de los valores particulares de $t_{1}$ y $t_{2}$.

Consideremos ahora el proceso estocástico con espacio de estados discreto y en tiempo discreto $\left{ S_{n},n \geq 0 \right}$, cuya variable de estado es definida como:

:class: suggestion

-   $S_{n}$ $≝$ Número de sellos obtenidas luego del n-ésimo lanzamiento de
una moneda.

Se puede afirmar que la probabilidad de obtener un número cualquiera de sellos $v$, no depende del momento en el tiempo en el que se esté observando el sistema, si no de la cantidad de lanzamientos que se realicen. Éste, es un claro ejemplo de un proceso estocástico homogéneo en tiempo discreto. De forma general, para un proceso estocástico en tiempo discreto $\left{ X_{n},n \geq 0 \right}$, la propiedad de homogeneidad se puede describir como:

$P\left\lbrack X_{m} - X_{n} = v \right\rbrack = P\left\lbrack X_{m - n} = v \right\rbrack\ \ \ 0 \leq n \leq m,\ \ \forall\ v \in S$.

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