Herleitung/Illustration des Lemmas von Arden

[hstrass]

Das Lemma fällt quasi „vom Himmel“ – ich schlage folgende Herleitung bzw. Illustration einer möglichen gedanklichen Herkunft vor:

`\begin{frame}\frametitle{Gleichungssysteme Lösen (2)}

\emph{Problem:} Rekursive Gleichungen lassen sich durch Einsetzen nicht vereinfachen \ldots\pause

Eine Gleichung der Form \mbox{$\alpha\equiv\beta\alpha\mid\gamma$} wird durch Einsetzen eher komplizierter\/:
\begin{align*}
	\onslide<3->{\alpha & \equiv\beta\alpha\mid\gamma                                                      & \text{(Ausgangsgleichung)}                \\}
	\onslide<4->{       & \equiv\beta(\beta\alpha\mid\gamma)\mid\gamma                                     & \text{(Einsetzen)}                                                  \\}
	\onslide<5->{       & \equiv\beta^2\alpha\mid\beta\gamma\mid\gamma                                     & \text{(Ausmultiplizieren)}                                          \\}
	\onslide<6->{       & \equiv\beta^2(\beta\alpha\mid\gamma)\mid\beta\gamma\mid\gamma                    & \text{(Einsetzen)}                                                  \\}
	\onslide<7->{       & \equiv\beta^3\alpha\mid\beta^2\gamma\mid\beta\gamma\mid\gamma                    & \text{(Ausmultiplizieren)}                                          \\}
	\onslide<8->{       & \equiv\beta^4\alpha\mid\beta^3\gamma\mid\beta^2\gamma\mid\beta\gamma\mid\gamma   & \text{(Einsetzen \& Ausmultiplizieren)}                                                  \\}
	\onslide<9->{       & \equiv\ldots\mid\beta^3\gamma\mid\beta^2\gamma\mid\beta^1\gamma\mid\beta^0\gamma & \text{(\gquote{unendliche Wiederholung})}                           \\}
	\onslide<10->{      & \equiv(\ldots\mid\beta^3\mid\beta^2\mid\beta^1\mid\beta^0)\gamma                 & \text{(Ausklammern)}}
\end{align*}


\vskip2pt
\onslide<11->{\theobox{\emph{Lemma (Arden):} Aus $\alpha\equiv \beta\alpha\mid\gamma$ mit $\epsilon\notin\Slang{L}(\beta)$ folgt $\alpha\equiv\beta^*\gamma$.}}

\end{frame}`