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Kolmogorov-Smirnov}{8}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {5}Independencia de atributos}{8}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {6}Anexo}{8}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.1}Deducción y demostración de la distribución del estadístico Ji-Cuadrado de Pearson}{8}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.2}Código de los gráficos en \textsf {R}}{8}\protected@file@percent } diff --git a/Bondad.fdb_latexmk b/Bondad.fdb_latexmk new file mode 100644 index 0000000..3fa2582 --- /dev/null +++ b/Bondad.fdb_latexmk @@ -0,0 +1,173 @@ +# Fdb version 3 +["pdflatex"] 1580059490 "c:/Users/fionafch/Documents/GitHub/Stats2/Bondad.tex" "c:\Users\fionafch\Documents\GitHub\Stats2/Bondad.pdf" "Bondad" 1580059492 + "Bondad.aux" 1580059492 1420 a5f10a4985b1d63d91f7bd648d6cf365 "pdflatex" + "Bondad.tex" 1580059489 136114 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("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics-cfg\graphics.cfg" +File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 105. + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics-def\pdftex.def" +File: pdftex.def 2018/01/08 v1.0l Graphics/color driver for pdftex +)) +\Gin@req@height=\dimen122 +\Gin@req@width=\dimen123 +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/pgf/systemlayer\pgfsys.sty" ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/systemlayer\pgfsys.code.tex" +Package: pgfsys 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/utilities\pgfkeys.code.tex" +\pgfkeys@pathtoks=\toks28 +\pgfkeys@temptoks=\toks29 + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/utilities\pgfkeysfiltered.code.tex" +\pgfkeys@tmptoks=\toks30 +)) +\pgf@x=\dimen124 +\pgf@y=\dimen125 +\pgf@xa=\dimen126 +\pgf@ya=\dimen127 +\pgf@xb=\dimen128 +\pgf@yb=\dimen129 +\pgf@xc=\dimen130 +\pgf@yc=\dimen131 +\pgf@xd=\dimen132 +\pgf@yd=\dimen133 +\w@pgf@writea=\write3 +\r@pgf@reada=\read1 +\c@pgf@counta=\count103 +\c@pgf@countb=\count104 +\c@pgf@countc=\count105 +\c@pgf@countd=\count106 +\t@pgf@toka=\toks31 +\t@pgf@tokb=\toks32 +\t@pgf@tokc=\toks33 +\pgf@sys@id@count=\count107 + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/systemlayer\pgf.cfg" +File: pgf.cfg 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +) +Driver file for pgf: pgfsys-pdftex.def + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/systemlayer\pgfsys-pdftex.def" +File: pgfsys-pdftex.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/systemlayer\pgfsys-common-pdf.def" +File: pgfsys-common-pdf.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +))) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/systemlayer\pgfsyssoftpath.code.tex" +File: pgfsyssoftpath.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count108 +\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count109 +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/systemlayer\pgfsysprotocol.code.tex" +File: pgfsysprotocol.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +)) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/xcolor\xcolor.sty" +Package: xcolor 2016/05/11 v2.12 LaTeX color extensions (UK) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics-cfg\color.cfg" +File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration +) +Package xcolor Info: Driver file: pdftex.def on input line 225. +Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1348. +Package xcolor Info: Model `hsb' substituted by `rgb' on input line 1352. +Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1364. +Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1366. +Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1367. +Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1368. +Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1369. +Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1370. +Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1371. +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/basiclayer\pgfcore.code.tex" +Package: pgfcore 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/math\pgfmath.code.tex" ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/math\pgfmathcalc.code.tex" ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/math\pgfmathutil.code.tex") ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/math\pgfmathparser.code.tex" +\pgfmath@dimen=\dimen134 +\pgfmath@count=\count110 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("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/math\pgfmathfunctions.integerarithmetics.code.tex"))) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/math\pgfmathfloat.code.tex" +\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count111 +)) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/math\pgfint.code.tex") ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/basiclayer\pgfcorepoints.code.tex" +File: pgfcorepoints.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +\pgf@picminx=\dimen135 +\pgf@picmaxx=\dimen136 +\pgf@picminy=\dimen137 +\pgf@picmaxy=\dimen138 +\pgf@pathminx=\dimen139 +\pgf@pathmaxx=\dimen140 +\pgf@pathminy=\dimen141 +\pgf@pathmaxy=\dimen142 +\pgf@xx=\dimen143 +\pgf@xy=\dimen144 +\pgf@yx=\dimen145 +\pgf@yy=\dimen146 +\pgf@zx=\dimen147 +\pgf@zy=\dimen148 +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/basiclayer\pgfcorepathconstruct.code.tex" +File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +\pgf@path@lastx=\dimen149 +\pgf@path@lasty=\dimen150 +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/basiclayer\pgfcorepathusage.code.tex" +File: pgfcorepathusage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +\pgf@shorten@end@additional=\dimen151 +\pgf@shorten@start@additional=\dimen152 +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/basiclayer\pgfcorescopes.code.tex" +File: pgfcorescopes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +\pgfpic=\box31 +\pgf@hbox=\box32 +\pgf@layerbox@main=\box33 +\pgf@picture@serial@count=\count112 +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/basiclayer\pgfcoregraphicstate.code.tex" +File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +\pgflinewidth=\dimen153 +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/basiclayer\pgfcoretransformations.code.tex" +File: pgfcoretransformations.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +\pgf@pt@x=\dimen154 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pgfcorerdf.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +))) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/modules\pgfmoduleshapes.code.tex" +File: pgfmoduleshapes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +\pgfnodeparttextbox=\box35 +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/modules\pgfmoduleplot.code.tex" +File: pgfmoduleplot.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/pgf/compatibility\pgfcomp-version-0-65.sty" +Package: pgfcomp-version-0-65 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +\pgf@nodesepstart=\dimen159 +\pgf@nodesepend=\dimen160 +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/pgf/compatibility\pgfcomp-version-1-18.sty" +Package: pgfcomp-version-1-18 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +)) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/pgf/utilities\pgffor.sty" ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/pgf/utilities\pgfkeys.sty" ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/utilities\pgfkeys.code.tex")) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/pgf/math\pgfmath.sty" ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/math\pgfmath.code.tex")) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/utilities\pgffor.code.tex" +Package: pgffor 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/math\pgfmath.code.tex") +\pgffor@iter=\dimen161 +\pgffor@skip=\dimen162 +\pgffor@stack=\toks37 +\pgffor@toks=\toks38 +)) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz\tikz.code.tex" +Package: tikz 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/pgf/libraries\pgflibraryplothandlers.code.tex" +File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b) +\pgf@plot@mark@count=\count115 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24. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 24. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 24. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 24. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 24. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 24. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 24. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 24. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 24. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 24. + +*geometry* driver: auto-detecting +*geometry* detected driver: pdftex +*geometry* verbose mode - [ preamble ] result: +* driver: pdftex +* paper: a4paper +* layout: +* layoutoffset:(h,v)=(0.0pt,0.0pt) +* modes: +* h-part:(L,W,R)=(85.35826pt, 426.79135pt, 85.35826pt) +* v-part:(T,H,B)=(99.58464pt, 645.87756pt, 99.58464pt) +* \paperwidth=597.50787pt +* \paperheight=845.04684pt +* \textwidth=426.79135pt +* \textheight=645.87756pt +* \oddsidemargin=13.08827pt +* 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epstopdf-base 2016/05/15 v2.6 Base part for package epstopdf + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\infwarerr.sty" +Package: infwarerr 2016/05/16 v1.4 Providing info/warning/error messages (HO) +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/oberdiek\grfext.sty" +Package: grfext 2016/05/16 v1.2 Manage graphics extensions (HO) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\kvdefinekeys.sty" +Package: kvdefinekeys 2016/05/16 v1.4 Define keys (HO) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\ltxcmds.sty" +Package: ltxcmds 2016/05/16 v1.23 LaTeX kernel commands for general use (HO) +))) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/oberdiek\kvoptions.sty" +Package: kvoptions 2016/05/16 v3.12 Key value format for package options (HO) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\kvsetkeys.sty" +Package: kvsetkeys 2016/05/16 v1.17 Key value parser (HO) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\etexcmds.sty" +Package: etexcmds 2016/05/16 v1.6 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO) + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\ifluatex.sty" +Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO) +Package ifluatex Info: LuaTeX not detected. +)))) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\pdftexcmds.sty" +Package: pdftexcmds 2019/07/25 v0.30 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO) +Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected. +Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode found. +) +Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 438. +Package grfext Info: Graphics extension search list: +(grfext) [.pdf,.png,.jpg,.mps,.jpeg,.jbig2,.jb2,.PDF,.PNG,.JPG,.JPEG,.JBIG2,.JB2,.eps] +(grfext) \AppendGraphicsExtensions on input line 456. +) +\c@lstlisting=\count142 + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/listings\lstlang1.sty" +File: lstlang1.sty 2019/09/10 1.8c listings language file +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/listings\lstlang2.sty" +File: lstlang2.sty 2019/09/10 1.8c listings language file +) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/listings\lstlang3.sty" +File: lstlang3.sty 2019/09/10 1.8c listings language file +) +\c@exmp=\count143 +LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 43. + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsfonts\umsa.fd" +File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A +) +LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 43. + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsfonts\umsb.fd" +File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B +) +LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMS+cmr on input line 43. + ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\omscmr.fd" +File: omscmr.fd 2014/09/29 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 43. +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <7> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 43. + [1 + +{C:/Users/fionafch/AppData/Local/MiKTeX/2.9/pdftex/config/pdftex.map}] [1] +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 65. + +Underfull \hbox (badness 8189) in paragraph at lines 73--73 +[][]\OT1/cmr/m/n/10 Recuerdese que esto es la prob-a-bil-i-dad de no come-ter er-ror de tipo II, o + [] + + +Underfull \hbox (badness 6510) in paragraph at lines 73--73 +\OT1/cmr/m/n/10 de tomar una de-cision cor-recta, rec-hazar la hipotesis nula cuando esta es falsa. + [] + +[2] [3] [4] [5] +Overfull \hbox (9.97942pt too wide) in paragraph at lines 707--707 +[]\OT1/cmr/m/n/12 Si se de-cide uti-lizando un nivel de sig-nifi-cacion $\OML/cmm/m/it/12 \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 P\OT1/cmr/m/n/12 [R\OML/cmm/m/it/12 H[]=H[]\OT1/cmr/m/n/12 V]$ dado, tpicamente + [] + +[6] +Overfull \hbox (20.2359pt too wide) in paragraph at lines 5602--5620 +[]$[]$ $[]$ + [] + +[7] + +LaTeX Font Warning: Font shape `OT1/cmss/m/it' in size <14.4> not available +(Font) Font shape `OT1/cmss/m/sl' tried instead on input line 5645. + +[8] [9] [10] (c:\Users\fionafch\Documents\GitHub\Stats2\Bondad.aux) ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 16188 strings out of 492452 + 300694 string characters out of 3118662 + 748176 words of memory out of 3000000 + 20246 multiletter control sequences out of 15000+200000 + 15732 words of font info for 60 fonts, out of 3000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 60i,11n,54p,2525b,2273s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s + +Output written on c:\Users\fionafch\Documents\GitHub\Stats2\Bondad.pdf (11 pages, 295874 bytes). +PDF statistics: + 131 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 0 named destinations out of 1000 (max. 500000) + 13 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/Bondad.pdf b/Bondad.pdf new file mode 100644 index 0000000..efa2acf Binary files /dev/null and b/Bondad.pdf differ diff --git a/Bondad.synctex.gz b/Bondad.synctex.gz new file mode 100644 index 0000000..c2732b8 Binary files /dev/null and b/Bondad.synctex.gz differ diff --git a/Bondad.tex b/Bondad.tex index 34deec1..f3884c2 100644 --- a/Bondad.tex +++ b/Bondad.tex @@ -1,15 +1,19 @@ \documentclass[12pt,a4paper]{article} - \usepackage[top=4cm, bottom=4cm, left=3cm, right=3cm]{geometry} + \usepackage[top=3.5cm, bottom=3.5cm, left=3cm, right=3cm]{geometry} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \usepackage{tikz} \usepackage{listings} + \usepackage{booktabs} \usepackage{color} % \usepackage{mathpazo} \usepackage[it,medium]{titlesec} \setlength{\parskip}{1em} + \font\domino=domino + \def\die#1{{\domino#1}} + % Falta demostracion del estadistico del test ji Cuadrado % Falta como usar en R @@ -17,8 +21,6 @@ \author{Estadística II\footnote{Curso a cargo de la profesora Silvia Vietri en FCE-UBA. Se agradece la colaboración de Fiona Franco Churruarín en la elaboración de esta nota de clase.}} \date{\today} - - \begin{document} \definecolor{GreenR}{rgb}{0.38, 0.63, 0.38} \definecolor{Grey}{rgb}{0.5,0.5,0.5} @@ -43,14 +45,20 @@ \begin{abstract} Se estudiará una introducción a las técnicas de inferencia no paramétrica. La Sección 1 es una introducción. En la Sección 2 se cubre Bondad de Ajuste, referente a la unidad XX y en la Sección 3, Independencia de Atributos, unidad XX del programa de la materia. En ambas secciones se cubrirán ejemplos en el software estadístico \textsf{R}. La Sección 4 es un anexo. + \end{abstract} + \newpage + \pagenumbering{arabic} \section{Introducción} -Hasta ahora, se han estudiado métodos de inferencia paramétrica. A grandes rasgos, el procedimiento consistía en hacer pruebas acerca de los \textit{parámetros} de una distribución poblacional --que se suponía conocida-- a partir de información provista por una muestra aleatoria. Por ejemplo, se intentaba estimar la media o la varianza poblacional, una proporción poblacional, o el cociente de varianzas. Se exigía robustez en las técnicas inferenciales para que vulneraciones de los supuestos de la distribución no alterasen significativamente los resultados de las estimaciones o inferencias. -Para evitar el riesgo de tomar una decisión equivocada a partir de una inferencia errónea --por el hecho de partir de una especificación errónea del modelo estadístico que siguen los datos-- se puede recurrir a la utilización de contrastes no paramétricos; estos no hacen ningún supuesto acerca de la distribución de probabilidad de la población (llamada \textit{distribución subyacente}) de la que surge la muestra aleatoria. +Hasta ahora, se han estudiado métodos de inferencia paramétrica. A grandes rasgos, el procedimiento consistía en hacer pruebas acerca de los \textit{parámetros} de una distribución poblacional --que se suponía conocida-- a partir de información provista por una muestra aleatoria. Por ejemplo, se intentaba estimar la media o la varianza poblacional, una proporción poblacional, o el cociente de varianzas. En este contexto, era deseable que las técnicas inferenciales fueran robustas para que vulneraciones de los supuestos de la distribución no alterasen significativamente los resultados de las estimaciones o inferencias. Es decir, en el paradigma de la inferencia paramétrica es deseable que los resultados que se obtengan no varíen mucho cuando la distribución subyacente a los datos no sea la que se está suponiendo. + +Por el hecho de partir de una especificación errónea del modelo estadístico que siguen los datos, se corre el riesgo de tomar una decisión equivocada a partir de una inferencia errónea. Ahora bien ?`qué significa esto? Un ejemplo concreto --correspondiente a Bondad de Ajuste-- se da en los mercados financieros. Es muy común utilizar la distribución normal para modelar los retornos de un activo financiero (una acción, un bono, el tipo de cambio entre distintas monedas, entre otros). Es conocido que la distribución normal está centrada en su media y que entre tres desvíos estándar a derecha y a izquierda de su media acumula 99.73\% de probabilidad. Sin embargo, es un hecho estilizado dentro de la literatura de finanzas muchos activos financieros registran retornos de más de 3 desvíos estándar más frecuentemente que lo que una distribución normal implica. Así, de estar utilizando un modelo de retornos financieros que se base en la distribución normal podría estar subestimándose la probabilidad de ocurrencia de eventos `extremos' en los retornos financieros. Para poner un ejemplo numérico: una bono puede tener un rendimiento esperado de 5\% del capital invertido al plazo de un año, con un desvío estándar del 1\%, de modo tal que con probabilidad del 99\% los retornos están entre 2\% y 8\%. Sin embargo, se han registrado varios eventos en los que se esperaban retornos como éstos y que, ex post, se registre un retorno sobre el capital invertido negativo.\footnote{Este ejemplo puede servir para ejemplificar la inadecuación de la distribución normal para modelar retornos de activos financieros, aunque el lector debería considerar que esta cuestión representa una rama de la literatura de macro-finanzas muy amplia. Algunos de los tópicos (no exhaustivos de esta literatura) que pueden ser de utilidad para el lector interesado en estos temas son los siguientes: en lo que respecta a las fallas que la distribución normal, una de las referencias más conocidas es Nassim Taleb (2007); sobre predicción de retornos de activos, véase la Hipótesis de Mercados Eficientes; para los vínculos entre retornos de activos y macroeconomía véase la literatura de \textit{consumption-based asset pricing}.} %agregar referencias Nassim TAleb Balck Swan, Canavos, el otro libro tel apunte teorico. Ejercicio de aplicación en R de calcular dist de retornos y ver el ajuste con normal!!!!!!! estaría muy bueno + +Para intentar evitar situaciones como ésta, se puede recurrir a la utilización de contrastes no paramétricos. Éstos no hacen ningún supuesto acerca de la distribución de probabilidad de la población (llamada \textit{distribución subyacente}) de la que surge la muestra aleatoria. Las técnicas no paramétricas pueden categorizarse --no excluyentemente-- en las siguientes categorías: \begin{itemize} @@ -58,16 +66,21 @@ \section{Introducción} \item \textbf{Métodos de distribución libre:} el estadístico utilizado presenta una distribución de probabilidad que no depende de la distribución de probabilidad de la población de la que se ha extraído la muestra que suministra información al estadístico. \end{itemize} -Las técnicas no paramétricas también difieren de los métodos estudiados anteriormente en que no suelen utilizar directamente la información muestral de los valores de la variable que es objeto de estudio, sino que se utiliza la frecuencia con la que aparecen dichos valores en la muestra, o su posición, orden o rango en una muestra ordenada. Para ejemplificar esto, recuérdese que en el cálculo de los estadísticos $t$, $F$ y otros, se utilizaban directamente los valores de las observaciones, y estos estadísticos también dependían de parámetros poblacionales (o de las estimaciones de los mismos a partir de los datos muestrales). +Las técnicas no paramétricas también difieren de los métodos estudiados anteriormente en que no suelen utilizar directamente la información muestral de los valores de la variable que es objeto de estudio, sino que se utiliza la frecuencia con la que aparecen dichos valores en la muestra, o su posición, orden o rango en una muestra ordenada. Para ejemplificar esto, recuérdese que en el cálculo de los estadísticos $t$ se utilizan directamente los valores de las observaciones, y estos estadísticos también dependían de parámetros poblacionales (o de las estimaciones de los mismos a partir de los datos muestrales).\footnote{Piense en el caso en el que sea desea testear si una hipótesis de una media poblacional es igual a cero ?`qué información muestral utiliza para calcularlo?} + +A fines prácticos, se estará utilizando el procedimiento desarrollado en la unidad de Test de Hipótesis, aunque los estadísticos de contraste a utilizar no utilizarán estimadores de parámetros poblcionales. + +Otra diferencia entre ambas técnicas --y para subrayar el hecho de que una no es superior a la otra, sino que la utilización de una u otra técnica depende de las características de los datos que se tienen y de la pregunta de investigación-- es que los contrastes no paramétricos son algo menos eficientes que los contrastes paramétricos cuando la población tiene una distribución normal, en el sentido de que poseen menor potencia\footnote{Recuérdese que esto es la probabilidad de no cometer error de tipo II, o de tomar una decisión correcta, rechazar la hipótesis nula cuando ésta es falsa.\linebreak $ 1-\beta = P[\mathrm{Rechazar }H_0 / H_0 \mathrm{ Falsa}]$} a un mismo nivel de significación $\alpha$, aunque son más eficientes cuando la distribución de la población no es normal. -Otra diferencia entre ambas técnicas --y para subrayar el hecho de que una no es superior a la otra, sino que la utilización de una u otra técnica depende de las características de los datos que se tienen y de la pregunta de investigación-- es que los contrastes no paramétricos son algo menos eficientes que los contrastes paramétricos cuando la población tiene una distribución normal, en el sentido de que poseen menor potencia\footnote{Recuérdese que esto es la probabilidad de no cometer error de tipo II, o de tomar una decisión correcta, rechazar la hipótesis nula cuando ésta es falsa.\linebreak $ 1-\beta = P[\mathrm{Rechazar }H_0 / H_0 \mathrm{ Falsa}]$ } a un mismo nivel de significación $\alpha$, aunque son más eficientes cuando la distribución de la población no es normal.\par +En esta nota de clase sólo se explicarán contrastes basados en una sola muestra, aunque los hay de más de una muestra. Dentro de los tests de una muestra, sólo se estudiarán los contrastes de bondad de ajuste (Sección XX) y de independencia de atributos (Sección XX). Sin embargo, la inferencia no paramétrica no se agota en sólo estas pruebas, sino que también existen otros procedimientos --- sólo a fines ennumerativos, algunos de estos son: pruebas de aleatoreidad, contrastes de localización y contrastes de asociación. -En esta nota de clase sólo se explicarán contrastes basados en una sola muestra, aunque los hay de más de una muestra. Dentro de los tests de una muestra, sólo se estudiarán los contrastes de bondad de ajuste (Sección 2) y de independencia de atributos (Sección 3). Sin embargo, la inferencia no paramétrica no se agota en sólo estas pruebas, sino que también existen otros procedimientos, como pruebas de aleatoreidad, contrastes de localización y de asociación. Tampoco se hará un tratamiento exhaustivo de los temas que si se incluyen. \par +El objetivo puntual de esta nota de clase será explicar los contrastes utilizados en (i) bondad de ajuste y (ii) independencia de atributos. -\section{Notación y algunas definiciones} +\section{Bondad de Ajuste} +\subsection{Notación y algunas definiciones} \begin{itemize} \item $h$: número de clases de observaciones, indizados por $i = 1, \ldots, h$. - \item $k$: número de parámetros a estimar en un test Ji-Cuadrado + \item $k$: número de parámetros a estimar en un test \item Frecuencia absoluta: número de veces que aparece un determinado valor de una variable $x_0$ en la muestra, se denota por $n_i$, y debe cumplirse que \begin{equation*} \sum_{i=1}^{h} n_i = n @@ -82,36 +95,70 @@ \section{Notación y algunas definiciones} N_h &= n_1 + n_2 + \ldots + n_h \end{align*} \item $f_0(x)$: Función de densidad teórica - \item $f(x)$: Función de densidad de la muestra + \item $f(x)$: Función de densidad empírica o de la muestra \end{itemize} \section{Bondad de Ajuste} -Cuando se habla de bondad de ajuste, se hace referencia a contrastes estadísticos que permiten probar qué tan bien un modelo estadístico se ajusta a los datos muestrales. El objetivo de estos contrastes es el de verificar si una muestra que contiene un conjunto de observaciones se puede suponer provienente de una población con cierta distribución de probabilidad que tiene una función de densidad teórica $f_0(x)$. Se llama $f(x)$ función de densidad empírica o de la muestra.\par +Cuando se habla de \textit{bondad de ajuste}, se hace referencia a contrastes estadísticos que permiten probar qué tan bien un modelo estadístico se ajusta a los datos muestrales. El objetivo de estos contrastes es el de verificar si una muestra que contiene un conjunto de observaciones se puede suponer provienente de una población con cierta distribución de probabilidad que tiene una función de densidad teórica $f_0(x)$. Se llama $f(x)$ función de densidad de la muestra o función de densidad empírica. La hipótesis nula $H_0$ de estos contrastes es que el ajuste de la información de la muestra o función de densidad empírica $f(x)$ a un modelo estadístico o función de densidad $f_0(x)$ es \textit{bueno}, entendiéndose como que la muestra no provee evidencia para rechazar esta hipótesis nula. La hipótesis alternativa $H_1$ es el opuesto de este enunciado, justamente, que el ajuste de los datos muestrales al modelo teórico $f_0(x)$ \textit{no es bueno}, es decir, que éstos proveen información para decir que los datos \textit{no} se ajustan a esa función de densidad planteada. - \begin{align*} - H_0: f(x) &= f_0(x)\\ - H_1: f(x) &\neq f_0(x) - \end{align*} -\par + +\[ + \mathrm{Test\; general:} \left. + \begin{cases} + H_0: f(x) = f_0(x)\\ + H_1: f(x) \neq f_0(x) + \end{cases} + \right. +\] \subsection{Test Ji-Cuadrado} La hipótesis nula de este contraste es la recién explicitada. Puede aplicarse tanto a distribuciones poblaciones discretas como continuas, y con observaciones ordinales o nominales. - \begin{itemize} - \item Si $v.a.$ a ajustar es \textbf{discreta}, los datos se agrupan en una serie simple - %% insertar tablita (creo que es medio bardo, de última, imagen) - \item Si la $v.a.$ a ajustar es \textbf{continua}, los datos se agrupan en una serie de intervalos. - %% insertar tablita (creo que es medio bardo, de última, imagen) - \end{itemize} - -La lógica del test es, clasificando los datos que se obtienen en cierto número de categorías, comparar las frecuencias observadas $n_i$ con las que se esperaría que ocurrieran si los datos surgieran de una población que sigue la función de densidad teórica $n_i^e = np_i $, siendo $p_i = \widehat{p(x_i)}$ la probabilidad de obtener la observación $x_i$ bajo el modelo de probabilidad teórico $f_0(x)$. +\begin{itemize} + \item Si la variable aleatoria a ajustar es \textbf{discreta}, los datos se agrupan en una serie simple. + \begin{exmp} + Considérese el caso de un dado de seis caras. Cada vez que se lanza el dado, hay seis posibles resultados. Suponga que se repite el experimento 304 veces. Los datos se ordernarían de la siguiente manera. + \end{exmp} + + \begin{table}[h] + \centering + \begin{tabular}{@{}cc@{}} + \toprule + Cara del dado ($x_i$) & Frecuencia ($n_i$) \\ \midrule + \die1 & 53 \\ + \die2 & 51 \\ + \die3 & 48 \\ + \die4 & 43 \\ + \die5 & 57 \\ + \die6 & 52 \\ \midrule + Total ($n$) & 304 \\ \bottomrule + \end{tabular} + \end{table} + + \item Si la variable aleatoria a ajustar es \textbf{continua}, los datos se agrupan en una serie de intervalos. + %% insertar tablita +\end{itemize} El estadístico de prubeba a utilizar será el \textit{estadístico Ji-Cuadrado de Pearson}, que sigue una distribución Ji-Cuadrado con $h-k-1$ grados de libertad.\footnote{Demostración en el Anexo.} \begin{equation} \sum_{i=1}^{h} \frac{(n_i - n_i^e)^2}{n_i^e} \sim \chi^2_{h-k-1} \end{equation} -Una cuestión no menor es que para poder aplicar el test debe cumplirse la siguiente condición\footnote{Esto se debe a que la distribución del estadístico es asintótica y no exacta.}: +?`Cómo puede este estadístico de contraste proveer información para probar qué tanto se ajustan los datos a una distribución? Nótese que, en escencia, habiendo clasificado los datos muestrales en un número de categorías, se están compararado las frecuencias observadas con las que se esperaría que ocurrieran si 3los datos surgieran de una población que sigue la función de densidad teórica. + +Una forma matemática de introducir cierta medida de ``acumulación'' es la suma de términos cuadráticos, que es siempre mayor o igual a cero. De esta forma, estamos tomando la diferencia entre la frecuencia observada $n_i$ y la esperada $n_i^e$. La frecuencia esperada se calcula como $n_i^e = np_i$, siendo $p_i = \widehat{p(x_i)}$ la probabilidad de obtener la observación $x_i$ bajo el modelo de probabilidad teórico $f_0(x)$. + +Esta diferencia puede ser positiva o negativa, luego, tomando el cuadrado de esa diferencia, se obtiene una cantidad iguall a positiva o cero, de modo tal que no se cancelen diferencias positivas con diferencias negativas. +El estadístico sería cero sólo en el caso en que todas las frecuencias observadas sean iguales a las esperadas. + +%Poner grafico de distiribucion que se cancelen las diferencias y calcular el estadístico con y sin el cuadrado + +Luego, el cuadrado de la diferencia se divide por la frecuencia esperada para obtener una medida de si las diferencias son grandes o pequeñas respecto de lo que debieramos observar. + +%Poner ejemplo numerico de diferencias grandes y chicas + +Una cuestión no menor es que para poder aplicar el test debe cumplirse la siguiente condición\footnote{Esto se debe a que la distribución del estadístico Ji-Cuadrado es asintótica y no exacta.}: + \begin{equation*} n_i^e \geq 5 \quad\text{ó}\quad @@ -123,6 +170,7 @@ \subsection{Test Ji-Cuadrado} Recuérdese la forma de la distribución Ji-Cuadradado. Esta posee un sesgo hacia la derecha, más notorio a menos grados de libertad.\par %% Distribución Ji Cuadrado a distintos g.l. + \begin{tikzpicture}[x=1pt,y=1pt] \definecolor{fillColor}{RGB}{255,255,255} @@ -650,8 +698,10 @@ \subsection{Test Ji-Cuadrado} \end{scope} \end{tikzpicture} -La pregunta relevante ahora es \textquestiondown De qué modo provee este estadístico evidencia para rechazar o no la hipótesis nula $H_0$? Obsérvese que el numerador del estadístico de prueba es una medida de la discrepancia entre lo observado y lo esperado, elevada al cuadrado para evitar que diferencias positivas y negativas se compensen entre sí, y penalizando más a discrepancias más grandes.\footnote{La diferencia al cuadrado es, ciertamente, más manejable que el valor absoluto de la diferencia} Entonces, a mayores diferencias, mayores valores del estadístico, lo que implica que se estará en un punto "más a la derecha" del dominio de la distribución Ji-Cuadrado. \textquestiondown Qué implica esto para la decisión estadística?\par +%Matchear con lo que puse antes. +La pregunta relevante ahora es ?`de qué modo provee este estadístico evidencia para rechazar o no la hipótesis nula $H_0$? Obsérvese que el numerador del estadístico de prueba es una medida de la discrepancia entre lo observado y lo esperado, elevada al cuadrado para evitar que diferencias positivas y negativas se compensen entre sí, y penalizando más a discrepancias más grandes.\footnote{La diferencia al cuadrado es, ciertamente, más manejable que el valor absoluto de la diferencia} Entonces, a mayores diferencias, mayores valores del estadístico, lo que implica que se estará en un punto "más a la derecha" del dominio de la distribución Ji-Cuadrado. \textquestiondown Qué implica esto para la decisión estadística?\par +%Regla de decision Si se decide utilizando un nivel de significación $\alpha = P[\mathrm{R }H_0 / H_0\mathrm{ V}]$ dado, típicamente $\alpha = 0.10$, entonces, \textit{ceteris paribus} los grados de libertad, habrá más chances de que se esté dentro de la región crítica, es decir, de que haya evidencia estadística de que las distribución empírica $f(x)$ es significativamente diferente de la distribución teórica $f_0(x)$, permitiendo rechazar la hipótesis nula $H_0$.\par Por otro lado, recuérdese que el \textit{p-valor} es el mínimo valor de $\alpha$ para el cual se puede rechazar $H_0$ para la muestra elegida. La regla de decisión en este caso era @@ -5574,6 +5624,9 @@ \subsection{Test Ji-Cuadrado para independencia de atributos} \subsection{Test de Kolmogorov-Smirnov} +Otro test + + \begin{equation} \varepsilon = \Big| F_i - F_0 \Big| \end{equation} @@ -5583,6 +5636,8 @@ \subsection{Test de Kolmogorov-Smirnov} \end{exmp} +\section{Independencia de atributos} + \section{Anexo} \subsection{Deducción y demostración de la distribución del estadístico Ji-Cuadrado de Pearson} \subsection{Código de los gráficos en \textsf{R}} @@ -5590,7 +5645,7 @@ \subsection{Código de los gráficos en \textsf{R}} -\noindent \textbf{Distribución Ji-Cuadrado}\par +\noindent \textbf{Distribución Ji-Cuadrado} \begin{lstlisting} @@ -5614,7 +5669,7 @@ \subsection{Código de los gráficos en \textsf{R}} \end{lstlisting} -\noindent \textbf{Región crítica del test Ji-Cuadrado}\par +\noindent \textbf{Región crítica del test Ji-Cuadrado} %% No puede tener tildes o no corre!!!!! \begin{lstlisting} @@ -5650,4 +5705,19 @@ \subsection{Código de los gráficos en \textsf{R}} \end{lstlisting} +\begin{table}[h] + \centering + \begin{tabular}{@{}ccccccc@{}} + \toprule + Cara & \$n\_i\# & $p(x_i)$ & $n_i^e$ & $n_i-n_i^e$ & $(n_i-n_i^e)^ 2$ & $(n_i-n_i^e)^ 2 / n_i^e$ \\ \midrule + As & 70 & 0.167 & 100.0 & -30.00 & 900.00 & 9.00 \\ + K & 115 & 0.167 & 100.0 & 15.00 & 225.00 & 2.25 \\ + Q & 122 & 0.167 & 100.0 & 22.00 & 484.00 & 4.84 \\ + J & 98 & 0.167 & 100.0 & -2.00 & 4.00 & 0.04 \\ + Rojo & 85 & 0.167 & 100.0 & -15.00 & 225.00 & 2.25 \\ + Negro & 110 & 0.167 & 100.0 & 10.00 & 100.00 & 1.00 \\ \midrule + $h$=6 & $n$=600 & \textbf{1} & & & & $\varepsilon_M =$ 19.380 \\ \bottomrule + \end{tabular} + \end{table} + \end{document} diff --git a/NotaDeClaseLong.log b/NotaDeClaseLong.log deleted file mode 100644 index f3b6721..0000000 --- a/NotaDeClaseLong.log +++ /dev/null @@ -1,995 +0,0 @@ -This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.20 (MiKTeX 2.9.7200 64-bit) (preloaded format=pdflatex 2019.10.15) 30 DEC 2019 18:29 -entering extended mode -**./NotaDeClaseLong.tex -(NotaDeClaseLong.tex -LaTeX2e <2019-10-01> - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\article.cl -s" -Document Class: article 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX document class -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\size10.clo -" -File: size10.clo 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX file (size option) -) -\c@part=\count80 -\c@section=\count81 -\c@subsection=\count82 -\c@subsubsection=\count83 -\c@paragraph=\count84 -\c@subparagraph=\count85 -\c@figure=\count86 -\c@table=\count87 -\abovecaptionskip=\skip41 -\belowcaptionskip=\skip42 -\bibindent=\dimen102 -) ("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/lm\lmodern.st -y" -Package: lmodern 2009/10/30 v1.6 Latin Modern Fonts -LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `normal' -(Font) OT1/cmr/m/n --> OT1/lmr/m/n on input line 22. -LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `normal' -(Font) OML/cmm/m/it --> OML/lmm/m/it on input line 23. -LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `normal' -(Font) OMS/cmsy/m/n --> OMS/lmsy/m/n on input line 24. -LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal' -(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 25. -LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold' -(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 26. -LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold' -(Font) OML/cmm/b/it --> OML/lmm/b/it on input line 27. -LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold' -(Font) OMS/cmsy/b/n --> OMS/lmsy/b/n on input line 28. -LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold' -(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 29. -LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal' -(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 31. -LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal' -(Font) OT1/cmss/m/n --> OT1/lmss/m/n on input line 32. -LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal' -(Font) OT1/cmr/m/it --> OT1/lmr/m/it on input line 33. -LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal' -(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 34. -LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold' -(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 35. -LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold' -(Font) OT1/cmss/bx/n --> OT1/lmss/bx/n on input line 36. -LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold' -(Font) OT1/cmr/bx/it --> OT1/lmr/bx/it on input line 37. -LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold' -(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 38. -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsfonts\amssym -b.sty" -Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsfonts\amsfon -ts.sty" -Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support -\@emptytoks=\toks14 -\symAMSa=\mathgroup4 -\symAMSb=\mathgroup5 -LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98. -LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' -(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106. -)) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsmath\amsmath -.sty" -Package: amsmath 2019/04/01 v2.17c AMS math features -\@mathmargin=\skip43 -For additional information on amsmath, use the `?' option. - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsmath\amstext -.sty" -Package: amstext 2000/06/29 v2.01 AMS text - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsmath\amsgen. -sty" -File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions -\@emptytoks=\toks15 -\ex@=\dimen103 -)) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsmath\amsbsy. -sty" -Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols -\pmbraise@=\dimen104 -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsmath\amsopn. -sty" -Package: amsopn 2016/03/08 v2.02 operator names -) -\inf@bad=\count88 -LaTeX Info: Redefining \frac on input line 227. -\uproot@=\count89 -\leftroot@=\count90 -LaTeX Info: Redefining \overline on input line 389. -\classnum@=\count91 -\DOTSCASE@=\count92 -LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 486. -LaTeX Info: Redefining \dots on input line 489. -LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 610. -\Mathstrutbox@=\box27 -\strutbox@=\box28 -\big@size=\dimen105 -LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 733. -LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 734. -\macc@depth=\count93 -\c@MaxMatrixCols=\count94 -\dotsspace@=\muskip10 -\c@parentequation=\count95 -\dspbrk@lvl=\count96 -\tag@help=\toks16 -\row@=\count97 -\column@=\count98 -\maxfields@=\count99 -\andhelp@=\toks17 -\eqnshift@=\dimen106 -\alignsep@=\dimen107 -\tagshift@=\dimen108 -\tagwidth@=\dimen109 -\totwidth@=\dimen110 -\lineht@=\dimen111 -\@envbody=\toks18 -\multlinegap=\skip44 -\multlinetaggap=\skip45 -\mathdisplay@stack=\toks19 -LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2855. -LaTeX Info: Redefining \] on input line 2856. -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/ifxetex\ifxet -ex.sty" -Package: ifxetex 2010/09/12 v0.6 Provides ifxetex conditional -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\iflu -atex.sty" -Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO) -Package ifluatex Info: LuaTeX not detected. -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\fixltx2e.s -ty" -Package: fixltx2e 2016/12/29 v2.1a fixes to LaTeX (obsolete) -Applying: [2015/01/01] Old fixltx2e package on input line 46. - -Package fixltx2e Warning: fixltx2e is not required with releases after 2015 -(fixltx2e) All fixes are now in the LaTeX kernel. -(fixltx2e) See the latexrelease package for details. - -Already applied: [0000/00/00] Old fixltx2e package on input line 53. -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\fontenc.st -y" -Package: fontenc 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX package -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\t1enc.def" -File: t1enc.def 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX file -LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 48. -)) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\inputenc.s -ty" -Package: inputenc 2018/08/11 v1.3c Input encoding file -\inpenc@prehook=\toks20 -\inpenc@posthook=\toks21 -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/upquote\upquote -.sty" -Package: upquote 2012/04/19 v1.3 upright-quote and grave-accent glyphs in verba -tim - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\textcomp.s -ty" -Package: textcomp 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX package -Package textcomp Info: Sub-encoding information: -(textcomp) 5 = only ISO-Adobe without \textcurrency -(textcomp) 4 = 5 + \texteuro -(textcomp) 3 = 4 + \textohm -(textcomp) 2 = 3 + \textestimated + \textcurrency -(textcomp) 1 = TS1 - \textcircled - \t -(textcomp) 0 = TS1 (full) -(textcomp) Font families with sub-encoding setting implement -(textcomp) only a restricted character set as indicated. -(textcomp) Family '?' is the default used for unknown fonts. -(textcomp) See the documentation for details. -Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 79. -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\ts1enc.def -" -File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file -Now handling font encoding TS1 ... -... processing UTF-8 mapping file for font encoding TS1 -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\ts1enc.dfu -" -File: ts1enc.dfu 2019/07/11 v1.2j UTF-8 support for inputenc - defining Unicode char U+00A2 (decimal 162) - defining Unicode char U+00A3 (decimal 163) - defining Unicode char U+00A4 (decimal 164) - defining Unicode char U+00A5 (decimal 165) - defining Unicode char U+00A6 (decimal 166) - defining Unicode char U+00A7 (decimal 167) - 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-Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 373. -Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 374. -Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 375. -Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 376. -Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 377. -Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 378. -Package textcomp Info: Setting lmr sub-encoding to TS1/0 on input line 379. -Package textcomp Info: Setting lmdh sub-encoding to TS1/0 on input line 380. -Package textcomp Info: Setting lmss sub-encoding to TS1/0 on input line 381. -Package textcomp Info: Setting lmssq sub-encoding to TS1/0 on input line 382. -Package textcomp Info: Setting lmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 383. -Package textcomp Info: Setting lmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 384. -Package textcomp Info: Setting qhv sub-encoding to TS1/0 on input line 385. -Package textcomp Info: Setting qag sub-encoding to TS1/0 on input line 386. -Package textcomp Info: Setting qbk sub-encoding to TS1/0 on input line 387. -Package textcomp Info: Setting qcr sub-encoding to TS1/0 on input line 388. -Package textcomp Info: Setting qcs sub-encoding to TS1/0 on input line 389. -Package textcomp Info: Setting qpl sub-encoding to TS1/0 on input line 390. -Package textcomp Info: Setting qtm sub-encoding to TS1/0 on input line 391. -Package textcomp Info: Setting qzc sub-encoding to TS1/0 on input line 392. -Package textcomp Info: Setting qhvc sub-encoding to TS1/0 on input line 393. -Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 394. -Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 395. -Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 396. -Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 397. -Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 398. -Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 399. -Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 400. -Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 401. -Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 402. -Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 403. -Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 404. -Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 405. -Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 406. -Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 407. -Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 408. -Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 409. -)) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/microtype\micro -type.sty" -Package: microtype 2019/02/28 v2.7b Micro-typographical refinements (RS) - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics\keyval -.sty" -Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC) -\KV@toks@=\toks22 -) -\MT@toks=\toks23 -\MT@count=\count100 -LaTeX Info: Redefining \textls on input line 790. -\MT@outer@kern=\dimen112 -LaTeX Info: Redefining \textmicrotypecontext on input line 1336. -\MT@listname@count=\count101 - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/microtype\micro -type-pdftex.def" -File: microtype-pdftex.def 2019/02/28 v2.7b Definitions specific to pdftex (RS) - -LaTeX Info: Redefining \lsstyle on input line 914. -LaTeX Info: Redefining \lslig on input line 914. -\MT@outer@space=\skip46 -) -Package microtype Info: Loading configuration file microtype.cfg. - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/microtype\micro -type.cfg" -File: microtype.cfg 2019/02/28 v2.7b microtype main configuration file (RS) -)) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/geometry\geomet -ry.sty" -Package: geometry 2018/04/16 v5.8 Page Geometry - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\ifpd -f.sty" -Package: ifpdf 2018/09/07 v3.3 Provides the ifpdf switch -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\ifvt -ex.sty" -Package: ifvtex 2016/05/16 v1.6 Detect VTeX and its facilities (HO) -Package ifvtex Info: VTeX not detected. -) -\Gm@cnth=\count102 -\Gm@cntv=\count103 -\c@Gm@tempcnt=\count104 -\Gm@bindingoffset=\dimen113 -\Gm@wd@mp=\dimen114 -\Gm@odd@mp=\dimen115 -\Gm@even@mp=\dimen116 -\Gm@layoutwidth=\dimen117 -\Gm@layoutheight=\dimen118 -\Gm@layouthoffset=\dimen119 -\Gm@layoutvoffset=\dimen120 -\Gm@dimlist=\toks24 - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/geometry\geomet -ry.cfg")) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/hyperref\hyperr -ef.sty" -Package: hyperref 2019/09/28 v7.00a Hypertext links for LaTeX - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\hobs -ub-hyperref.sty" -Package: hobsub-hyperref 2016/05/16 v1.14 Bundle oberdiek, subset hyperref (HO) - - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\hobs -ub-generic.sty" -Package: hobsub-generic 2016/05/16 v1.14 Bundle oberdiek, subset generic (HO) -Package: hobsub 2016/05/16 v1.14 Construct package bundles (HO) -Package: infwarerr 2016/05/16 v1.4 Providing info/warning/error messages (HO) -Package: ltxcmds 2016/05/16 v1.23 LaTeX kernel commands for general use (HO) -Package hobsub Info: Skipping package `ifluatex' (already loaded). -Package hobsub Info: Skipping package `ifvtex' (already loaded). -Package: intcalc 2016/05/16 v1.2 Expandable calculations with integers (HO) -Package hobsub Info: Skipping package `ifpdf' (already loaded). -Package: etexcmds 2016/05/16 v1.6 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO) -Package: kvsetkeys 2016/05/16 v1.17 Key value parser (HO) -Package: kvdefinekeys 2016/05/16 v1.4 Define keys (HO) -Package: pdftexcmds 2019/07/25 v0.30 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO -) -Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected. -Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available. -Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available. -Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode found. -Package: pdfescape 2016/05/16 v1.14 Implements pdfTeX's escape features (HO) -Package: bigintcalc 2016/05/16 v1.4 Expandable calculations on big integers (HO -) -Package: bitset 2016/05/16 v1.2 Handle bit-vector datatype (HO) -Package: uniquecounter 2016/05/16 v1.3 Provide unlimited unique counter (HO) -) -Package hobsub Info: Skipping package `hobsub' (already loaded). -Package: letltxmacro 2016/05/16 v1.5 Let assignment for LaTeX macros (HO) -Package: hopatch 2016/05/16 v1.3 Wrapper for package hooks (HO) -Package: xcolor-patch 2016/05/16 xcolor patch -Package: atveryend 2016/05/16 v1.9 Hooks at the very end of document (HO) -Package atveryend Info: \enddocument detected (standard20110627). -Package: atbegshi 2016/06/09 v1.18 At begin shipout hook (HO) -Package: refcount 2016/05/16 v3.5 Data extraction from label references (HO) -Package: hycolor 2016/05/16 v1.8 Color options for hyperref/bookmark (HO) -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/oberdiek\auxhoo -k.sty" -Package: auxhook 2016/05/16 v1.4 Hooks for auxiliary files (HO) -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/oberdiek\kvopti -ons.sty" -Package: kvoptions 2016/05/16 v3.12 Key value format for package options (HO) -) -\@linkdim=\dimen121 -\Hy@linkcounter=\count105 -\Hy@pagecounter=\count106 - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/hyperref\pd1enc -.def" -File: pd1enc.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) -Now handling font encoding PD1 ... -... no UTF-8 mapping file for font encoding PD1 -) -\Hy@SavedSpaceFactor=\count107 - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/00miktex\hyperr -ef.cfg" -File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive -) -Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4540. -Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4545. -Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4548. -Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4555. -Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4560. -Package hyperref Info: Implicit mode ON; LaTeX internals redefined. -Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4793. -\c@Hy@tempcnt=\count108 -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/url\url.sty" -\Urlmuskip=\muskip11 -Package: url 2013/09/16 ver 3.4 Verb mode for urls, etc. -) -LaTeX Info: Redefining \url on input line 5152. -\XeTeXLinkMargin=\dimen122 -\Fld@menulength=\count109 -\Field@Width=\dimen123 -\Fld@charsize=\dimen124 -Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6423. -Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6428. -Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6431. -Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6438. -Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 6443. -Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6448. -Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6453. -LaTeX Info: Redefining \ref on input line 6493. -LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 6497. -\Hy@abspage=\count110 -\c@Item=\count111 -\c@Hfootnote=\count112 -) -Package hyperref Info: Driver (autodetected): hpdftex. - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/hyperref\hpdfte -x.def" -File: hpdftex.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref driver for pdfTeX -\Fld@listcount=\count113 -\c@bookmark@seq@number=\count114 - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/oberdiek\rerunf -ilecheck.sty" -Package: rerunfilecheck 2016/05/16 v1.8 Rerun checks for auxiliary files (HO) -Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 2 -82. -) -\Hy@SectionHShift=\skip47 -) -Package hyperref Info: Option `unicode' set `true' on input line 30. - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/hyperref\puenc. -def" -File: puenc.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref: PDF Unicode definition (HO) -Now handling font encoding PU ... -... no UTF-8 mapping file for font encoding PU -) -Package hyperref Info: Option `breaklinks' set `true' on input line 30. - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics\color. -sty" -Package: color 2016/07/10 v1.1e Standard LaTeX Color (DPC) - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics-cfg\co -lor.cfg" -File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration -) -Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 147. - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics-def\pd -ftex.def" -File: pdftex.def 2018/01/08 v1.0l Graphics/color driver for pdftex -)) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/fancyvrb\fancyv -rb.sty" -Package: fancyvrb 2019/01/15 -Style option: `fancyvrb' v3.2a <2019/01/15> (tvz) -\FV@CodeLineNo=\count115 -\FV@InFile=\read1 -\FV@TabBox=\box29 -\c@FancyVerbLine=\count116 -\FV@StepNumber=\count117 -\FV@OutFile=\write3 -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/framed\framed.s -ty" -Package: framed 2011/10/22 v 0.96: framed or shaded text with page breaks -\OuterFrameSep=\skip48 -\fb@frw=\dimen125 -\fb@frh=\dimen126 -\FrameRule=\dimen127 -\FrameSep=\dimen128 -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics\graphi -cx.sty" -Package: graphicx 2017/06/01 v1.1a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics\graphi -cs.sty" -Package: graphics 2019/07/20 v1.3b Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics\trig.s -ty" -Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC) -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/graphics-cfg\gr -aphics.cfg" -File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration -) -Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 105. -) -\Gin@req@height=\dimen129 -\Gin@req@width=\dimen130 -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/oberdiek\grffil -e.sty" -Package: grffile 2017/06/30 v1.18 Extended file name support for graphics (HO) -Package grffile Info: Option `multidot' is set to `true'. -Package grffile Info: Option `extendedchars' is set to `false'. -Package grffile Info: Option `space' is set to `true'. -Package grffile Info: \Gin@ii of package `graphicx' fixed on input line 494. -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/parskip\parskip -.sty" -Package: parskip 2019-01-16 v2.0c non-zero parskip adjustments - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/etoolbox\etoolb -ox.sty" -Package: etoolbox 2019/09/21 v2.5h e-TeX tools for LaTeX (JAW) -\etb@tempcnta=\count118 -)) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/titling\titling -.sty" -Package: titling 2009/09/04 v2.1d maketitle typesetting -\thanksmarkwidth=\skip49 -\thanksmargin=\skip50 -\droptitle=\skip51 -) (NotaDeClaseLong.aux) -\openout1 = `NotaDeClaseLong.aux'. - -LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 128. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 128. -LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 128. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 128. -LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 128. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 128. -LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 128. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 128. -LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 128. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 128. -LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 128. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 128. -LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 128. -LaTeX Font Info: Trying to load font information for TS1+cmr on input line 1 -28. -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/base\ts1cmr.fd" -File: ts1cmr.fd 2014/09/29 v2.5h Standard LaTeX font definitions -) -LaTeX Font Info: ... okay on input line 128. -LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 128. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 128. -LaTeX Font Info: Checking defaults for PU/pdf/m/n on input line 128. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 128. -LaTeX Font Info: Trying to load font information for T1+lmr on input line 12 -8. -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/lm\t1lmr.fd" -File: t1lmr.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern -) -LaTeX Info: Redefining \microtypecontext on input line 128. -Package microtype Info: Generating PDF output. -Package microtype Info: Character protrusion enabled (level 2). -Package microtype Info: Using protrusion set `basicmath'. -Package microtype Info: Automatic font expansion enabled (level 2), -(microtype) stretch: 20, shrink: 20, step: 1, non-selected. -Package microtype Info: Using default expansion set `basictext'. - -LaTeX Warning: Command \showhyphens has changed. - Check if current package is valid. - -Package microtype Info: No adjustment of tracking. -Package microtype Info: No adjustment of interword spacing. -Package microtype Info: No adjustment of character kerning. - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/microtype\mt-cm -r.cfg" -File: mt-cmr.cfg 2013/05/19 v2.2 microtype config. file: Computer Modern Roman -(RS) -) -*geometry* driver: auto-detecting -*geometry* detected driver: pdftex -*geometry* verbose mode - [ preamble ] result: -* driver: pdftex -* paper: -* layout: -* layoutoffset:(h,v)=(0.0pt,0.0pt) -* modes: -* h-part:(L,W,R)=(72.26999pt, 469.75502pt, 72.26999pt) -* v-part:(T,H,B)=(72.26999pt, 650.43001pt, 72.26999pt) -* \paperwidth=614.295pt -* \paperheight=794.96999pt -* \textwidth=469.75502pt -* \textheight=650.43001pt -* \oddsidemargin=0.0pt -* \evensidemargin=0.0pt -* \topmargin=-37.0pt -* \headheight=12.0pt -* \headsep=25.0pt -* \topskip=10.0pt -* \footskip=30.0pt -* \marginparwidth=65.0pt -* \marginparsep=11.0pt -* \columnsep=10.0pt -* \skip\footins=9.0pt plus 4.0pt minus 2.0pt -* \hoffset=0.0pt -* \voffset=0.0pt -* \mag=1000 -* \@twocolumnfalse -* \@twosidefalse -* \@mparswitchfalse -* \@reversemarginfalse -* (1in=72.27pt=25.4mm, 1cm=28.453pt) - -\AtBeginShipoutBox=\box30 -Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 128. - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/hyperref\namere -f.sty" -Package: nameref 2019/09/16 v2.46 Cross-referencing by name of section - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/generic/oberdiek\gett -itlestring.sty" -Package: gettitlestring 2016/05/16 v1.5 Cleanup title references (HO) -) -\c@section@level=\count119 -) -LaTeX Info: Redefining \ref on input line 128. -LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 128. -LaTeX Info: Redefining \nameref on input line 128. -(NotaDeClaseLong.out) (NotaDeClaseLong.out) -\@outlinefile=\write4 -\openout4 = `NotaDeClaseLong.out'. - - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/context/base/mkii\sup -p-pdf.mkii" -[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] -\scratchcounter=\count120 -\scratchdimen=\dimen131 -\scratchbox=\box31 -\nofMPsegments=\count121 -\nofMParguments=\count122 -\everyMPshowfont=\toks25 -\MPscratchCnt=\count123 -\MPscratchDim=\dimen132 -\MPnumerator=\count124 -\makeMPintoPDFobject=\count125 -\everyMPtoPDFconversion=\toks26 -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/oberdiek\epstop -df-base.sty" -Package: epstopdf-base 2016/05/15 v2.6 Base part for package epstopdf - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/oberdiek\grfext -.sty" -Package: grfext 2016/05/16 v1.2 Manage graphics extensions (HO) -) -Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 4 -38. -Package grfext Info: Graphics extension search list: -(grfext) [.pdf,.png,.jpg,.mps,.jpeg,.jbig2,.jb2,.PDF,.PNG,.JPG,.JPE -G,.JBIG2,.JB2,.eps] -(grfext) \AppendGraphicsExtensions on input line 456. -) (NotaDeClaseLong.toc -LaTeX Font Info: Trying to load font information for OT1+lmr on input line 3 -. -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/lm\ot1lmr.fd" -File: ot1lmr.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern -) -LaTeX Font Info: Trying to load font information for OML+lmm on input line 3 -. -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/lm\omllmm.fd" -File: omllmm.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern -) -LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMS+lmsy on input line -3. -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/lm\omslmsy.fd" -File: omslmsy.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern -) -LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMX+lmex on input line -3. -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/lm\omxlmex.fd" -File: omxlmex.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern -) -LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size -(Font) <10> on input line 3. -LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size -(Font) <7> on input line 3. -LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size -(Font) <5> on input line 3. -LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 3. - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsfonts\umsa.f -d" -File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/microtype\mt-ms -a.cfg" -File: mt-msa.cfg 2006/02/04 v1.1 microtype config. file: AMS symbols (a) (RS) -) -LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 3. - -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/amsfonts\umsb.f -d" -File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B -) -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/microtype\mt-ms -b.cfg" -File: mt-msb.cfg 2005/06/01 v1.0 microtype config. file: AMS symbols (b) (RS) -)) -\tf@toc=\write5 -\openout5 = `NotaDeClaseLong.toc'. - -[1 - -{C:/Users/fionafch/AppData/Local/MiKTeX/2.9/pdftex/config/pdftex.map}] - -LaTeX Warning: Command \' invalid in math mode on input line 209. - -[2] -LaTeX Font Info: Trying to load font information for T1+lmtt on input line 2 -23. -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/lm\t1lmtt.fd" -File: t1lmtt.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern -) -LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmtt/bx/n' in size <10> not available -(Font) Font shape `T1/lmtt/b/n' tried instead on input line 230. -[3] [4] -LaTeX Font Info: Trying to load font information for TS1+lmr on input line 5 -08. -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/lm\ts1lmr.fd" -File: ts1lmr.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern -) [5] -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-8-1".pdf, id=192, 469.755p -t x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-8-1".pdf Graphic file - (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-8- -1".pdf used on input line 585. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. -[6 <./NotaDeClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-8-1.pdf>] -LaTeX Font Info: Trying to load font information for TS1+lmtt on input line -684. -("C:\Users\fionafch\AppData\Local\Programs\MiKTeX 2.9\tex/latex/lm\ts1lmtt.fd" -File: ts1lmtt.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern -) -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-11-1".pdf, id=203, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-11-1".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-11 --1".pdf used on input line 688. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. -[7] -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-12-1".pdf, id=210, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-12-1".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-12 --1".pdf used on input line 711. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-12-2".pdf, id=211, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-12-2".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-12 --2".pdf used on input line 712. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. - -Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 711--713 -[][] - [] - -[8 <./NotaDeClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-11-1.pdf>] [9 <./NotaDeC -laseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-12-1.pdf>] -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-13-1".pdf, id=232, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-13-1".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-13 --1".pdf used on input line 735. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. -[10 <./NotaDeClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-12-2.pdf>] [11 <./NotaD -eClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-13-1.pdf>] -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15-1".pdf, id=254, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15-1".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15 --1".pdf used on input line 843. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. -[12] -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15-2".pdf, id=259, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15-2".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15 --2".pdf used on input line 864. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. -[13 <./NotaDeClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-15-1.pdf>] -Underfull \vbox (badness 10000) detected at line 912 - [] - -[14 <./NotaDeClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-15-2.pdf>] -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15-3".pdf, id=280, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15-3".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15 --3".pdf used on input line 914. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15-4".pdf, id=281, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15-4".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15 --4".pdf used on input line 922. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15-5".pdf, id=282, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15-5".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-15 --5".pdf used on input line 923. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. - -Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 922--924 -[][] - [] - -[15 <./NotaDeClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-15-3.pdf>] [16 <./NotaD -eClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-15-4.pdf>] [17 <./NotaDeClaseLong_f -iles/figure-latex/unnamed-chunk-15-5.pdf>] [18] [19] -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-18-1".pdf, id=351, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-18-1".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-18 --1".pdf used on input line 1159. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. - -Overfull \vbox (1.3274pt too high) detected at line 1172 - [] - -[20 <./NotaDeClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-18-1.pdf>] -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-18-2".pdf, id=364, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-18-2".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-18 --2".pdf used on input line 1174. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. - -Underfull \vbox (badness 5064) detected at line 1213 - [] - -[21 <./NotaDeClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-18-2.pdf>] -<"NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-18-3".pdf, id=375, 469.755 -pt x 325.215pt> -File: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-18-3".pdf Graphic fil -e (type pdf) - -Package pdftex.def Info: "NotaDeClaseLong_files/figure-latex/""unnamed-chunk-18 --3".pdf used on input line 1215. -(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. -Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 1223. -[22 <./NotaDeClaseLong_files/figure-latex/unnamed-chunk-18-3.pdf>] -Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 1223. -(NotaDeClaseLong.aux) -Package atveryend Info: Executing hook `AtVeryEndDocument' on input line 1223. -Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 1223. - -Package rerunfilecheck Info: File `NotaDeClaseLong.out' has not changed. -(rerunfilecheck) Checksum: 1CD2FD2A31977B044BD16E2875123D16;4282. -Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryVeryEnd' on input line 1223. - ) -Here is how much of TeX's memory you used: - 13496 strings out of 492452 - 203378 string characters out of 3118662 - 307124 words of memory out of 3000000 - 17488 multiletter control sequences out of 15000+200000 - 57096 words of font info for 84 fonts, out of 3000000 for 9000 - 1141 hyphenation exceptions out of 8191 - 34i,9n,42p,980b,381s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s -{C:/Users/fionafch/AppData/Local/Programs/MiKTeX 2.9/fonts/enc/dvips/lm/lm-ts -1.enc}{C:/Users/fionafch/AppData/Local/Programs/MiKTeX 2.9/fonts/enc/dvips/lm/l -m-mathsy.enc}{C:/Users/fionafch/AppData/Local/Programs/MiKTeX 2.9/fonts/enc/dvi -ps/lm/lm-rm.enc}{C:/Users/fionafch/AppData/Local/Programs/MiKTeX 2.9/fonts/enc/ -dvips/lm/lm-ec.enc}{C:/Users/fionafch/AppData/Local/Programs/MiKTeX 2.9/fonts/e -nc/dvips/lm/lm-mathit.enc}{C:/Users/fionafch/AppData/Local/Programs/MiKTeX 2.9/ -fonts/enc/dvips/lm/lm-mathex.enc} - -Output written on NotaDeClaseLong.pdf (22 pages, 486370 bytes). -PDF statistics: - 479 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) - 111 named destinations out of 1000 (max. 500000) - 10498 words of extra memory for PDF output out of 12000 (max. 10000000) -