이상한 Copilot 2(최규현) #261
Description
사용자가 비정상 주사위의 각각의 면이 나올 확률이
해당 Python 코드도 np.array([1/21]*6)을 Y_vals/21.0 등으로 수정하는 것이 올바릅니다.
위 경우에는 AI가 사용자의 질문 의도를 제대로 이해하지 못한 것은 맞지만, 사용자가 비정상 주사위의 확률질량함수를 잘못 정의한 잘못이 더 큽니다.
다만 일부 추론 LLM은 해당 질문의 의도를 파악하여 적절한 답변을 하는 경우도 있습니다.
OpenAI의 추론 모델인 o1-pro 및 o4-mini나 하이브리드 추론을 사용하는 Gemini 2.5 Pro는 해당 질문의 의도를 적절히 파악하는 모습을 보여줬습니다.
o1-pro (2025-03-19)
정상적인 주사위의 확률 질량 함수는 6분의 1 비정상적인 주사위의 확률 질량 함수는 21분의 1 두 확률변수는 서로 독립인가? (계산하라)
두 개의 주사위를 각각 독립적으로 한 번씩 굴린다고 가정하면, 다음과 같이 확률을 정의할 수 있습니다:
• 정상 주사위(X)의 확률 질량 함수(pmf):
P(X = x) = 1/6, x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• 비정상 주사위(Y)의 확률 질량 함수(pmf):
P(Y = y) = y/21, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(각 면이 1,2,3,4,5,6만큼 가중되어 있으므로 1+2+3+4+5+6 = 21이 분모가 됨)이때 X와 Y가 독립(independent)이라는 것은 모든 (x, y) 쌍에 대해
P(X = x, Y = y) = P(X = x) · P(Y = y)
를 만족해야 함을 뜻합니다.┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃ 1. 두 주사위를 각각 한 번씩 굴렸을 때의 공동분포 ┃
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서로 다른 주사위를 동시에(혹은 순서에 상관없이 독립적으로) 굴린다면, 각 주사위의 결과가 서로에게 영향을 주지 않으므로 보통
P(X = x, Y = y) = P(X = x) · P(Y = y)
로 정의됩니다. 문제에서 주어진 pmf를 대입하면
P(X = x, Y = y) = (1/6) · (y/21) = y/126.
이 값이 (x, y)가 어떤 쌍이든 유지된다면, 이는 곧 두 확률변수가 독립임을 의미합니다.┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃ 2. 모든 확률이 올바르게 합쳐지는지(정규화) 확인 ┃
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위와 같이 정의된 P(X = x, Y = y)가 전체 확률 1이 되는지도 확인해 봅시다.
x = 1,2,3,4,5,6 그리고 y = 1,2,3,4,5,6에 대해
ΣᵪΣᵧ P(X = x, Y = y)
= Σᵪ Σᵧ (1/6)·(y/21)
= (1/6) · (1/21) · Σᵪ Σᵧ y.그런데 내부 합 Σᵪ는 x에 대한 합이므로, x와는 무관한 값(y/21)이 그대로 반복됩니다. 우선 y에 대한 합부터 계산해 보면
Σᵧ y (y = 1부터 6까지) = 1+2+3+4+5+6 = 21.
따라서
ΣᵪΣᵧ (1/6)·(y/21)
= (1/6)·(1/21) · (Σᵪ 1) · (Σᵧ y)
= (1/6)·(1/21) · 6 · 21
= 1.
즉, 정의된 공동분포는 전체 확률이 1이 되므로 올바른 분포임을 알 수 있습니다.┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃ 3. 결론: 독립성 여부 ┃
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• 계산 결과, 모든 (x, y)에 대해 P(X = x, Y = y)는 P(X = x)·P(Y = y) 형태로 주어지고,
• 그 합도 1로 정규화됨을 확인하였으므로,두 주사위(정상 주사위 X와 비정상 주사위 Y)는 서로 독립이라고 결론지을 수 있습니다.
o4-mini (2025-04-16)
Gemini 2.5 Pro (06-05)
