Autocorrelation.rst

自己相関(Autocorrelation)

自己相関関数 と スペクトル

自己相関関数(Autocorrelation function)

G(\tau) := \lim_{T\to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T dt x(t) x(t+\tau)

スペクトル(spectrum)

y(\omega) &= \int_0^T dt e^{- i\omega t} x(t) \\
S(\omega) &:= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2\pi T} |y(\omega)|^2

フーリエ変換/逆変換 の関係

& S(\omega) \\
&= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2\pi T}
\left| \int_0^T dt e^{- i\omega t} x(t) \right|^2\\
%
&= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2\pi T}
\left( \int_0^T dt_1 e^{- i\omega t_1} x(t_1) \right)
\left( \int_0^T dt_2 e^{+ i\omega t_2} x(t_2) \right) \\
%
&= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2\pi T} \int_0^T dt_1 \int_0^T  dt_2
e^{i\omega (t_2 - t_1)} x(t_1) x(t_2)

変数変換 \tau=t_2-t_1, t_1=\tau_2-\tau=t_1 をする．積分区間は，

• t_1 \in [0,T], t_2 \in [0,T] が
• \tau \in [-T,T], t_1 \in [-\tau,T-\tau] に変わる．

dt_1 dt_2 = d\tau dt_1 より [1] ，

&= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2\pi T}
\int_{-T}^T d\tau
\int_{-\tau}^{T-\tau} dt_1 e^{i \omega \tau} x(t_1) x(t_1+\tau) \\
%
&= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2\pi}
\int_{-T}^T d\tau e^{i \omega \tau}
\frac{1}{T}
\int_{-\tau}^{T-\tau} dt_1 x(t_1) x(t_1+\tau) \\
%
&= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2\pi}
\int_{-T}^T d\tau e^{i \omega \tau}
\left(
  \frac{1}{T}
  \int_{-\tau}^{0} dt_1 x(t_1) x(t_1+\tau)
  +
  \underline{
    \frac{1}{T}
    \int_{0}^{T} dt_1 x(t_1) x(t_1+\tau)
  }
  +
  \frac{1}{T}
  \int_{T}^{T-\tau} dt_1 x(t_1) x(t_1+\tau)
\right) \\
%
&= \frac{1}{2\pi}
\int_{-\infty}^\infty d\tau e^{i \omega \tau}
\underline{ G(\tau) }

Note

最後の極限操作が無理やりな感じだけど，成り立たない場合もある？ あるならどんな場合？

Footnotes

[1]	\tau=\tau(t_1,t_2)=t_2-t_1, t_1=t_1(t_1,t_2)=t_1 のヤコビアンを計算すると， \begin{vmatrix} \frac{\partial t_1}{\partial t_1} & \frac{\partial t_1}{\partial t_2} \\ \frac{\partial\tau}{\partial t_1} & \frac{\partial\tau}{\partial t_2} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1 となる．

別の定義でも

G(\tau) &:= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T dt x(t) x(t+\tau) \\
y(\omega) &= \int_{-T}^T dt e^{- i\omega t} x(t) \\
S(\omega) &:= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2 T} |y(\omega)|^2 \\
%
&= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T}
\int_{-2T}^{2T} d\tau e^{i \omega \tau}
\frac{1}{2T}
\int_{-T-\tau}^{T-\tau} dt_1 x(t_1) x(t_1+\tau) \\
%
&= \int_{-\infty}^\infty d\tau e^{i \omega \tau} G(\tau)