+ Kernidee: Potenzen und Logarithmen sind Umkehroperationen - wie Multiplikation und Division.
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Operation
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Frage
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Anwendung
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Potenz: 2³ = 8
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"Was kommt raus, wenn ich 2 dreimal multipliziere?"
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Wachstum berechnen
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Logarithmus: log₂(8) = 3
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"Wie oft muss ich 2 multiplizieren, um 8 zu bekommen?"
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"Wann verdoppelt sich mein Kapital?"
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Die 3 Regeln, die du brauchst:
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+ 1
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+ Potenzregel:
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aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
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+ 2
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+ Log-Potenzregel: Der Exponent "fällt runter"
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ln(aᵇ) = b · ln(a)
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+ 3
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+ Negative Exponenten: Basis für Abzinsung!
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a⁻ⁿ = 1/aⁿ
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+ Der Logarithmus ist wie ein "Röntgengerät für Exponenten" - er macht den versteckten Exponenten sichtbar.
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Übung: Potenzen
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+ 1. Vereinfache: 1,05³ · 1,05² = ?
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+ 1,05
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+ 2. Wenn 2ˣ = 32, was ist x? (Tipp: 32 = 2⁵)
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+ x =
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Zinseszins & Barwert
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+ Die eine Formel, die alles steuert:
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K(t) = K₀ · (1 + i)ᵗ
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Symbol
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Bedeutung
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Beispiel
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K₀
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Startkapital
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10.000 €
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i
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Zinssatz (als Dezimal!)
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5% = 0,05
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t
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Anzahl Perioden
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10 Jahre
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K(t)
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Endkapital
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?
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+ Stell dir (1+i) als "Wachstumsfaktor pro Jahr" vor. Bei 5% wächst dein Geld jedes Jahr auf das 1,05-fache - wie ein Schneeball, der beim Rollen immer mehr aufnimmt.
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Interaktiver Rechner
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Endkapital K(t)
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16.288,95 €
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10.000 · 1,05¹⁰ = 16.288,95
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Der kritische Unterschied
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Zinseszins
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Einfache Zinsen
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K₀ · (1+i)ᵗ
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K₀ · (1 + i·t)
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Exponentiell
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Linear
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10.000 · 1,05¹⁰ = 16.289 €
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10.000 · (1 + 0,5) = 15.000 €
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+ Barwert - die Zeitmaschine rückwärts:
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K₀ = K(t) · (1 + i)⁻ᵗ
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"Was muss ich heute anlegen, um in t Jahren K(t) zu haben?"
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Übung: Zinsrechnung
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+ 1. 5.000 € bei 4% p.a. für 5 Jahre. Endkapital? (auf ganze Euro)
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+ €
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+ 2. Du brauchst in 3 Jahren 10.000 €. Zinssatz 6%. Was musst du heute anlegen? (auf ganze Euro)
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+ €
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Spickzettel zum Mitnehmen
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+ POTENZ ↔ LOGARITHMUS
+ aᵇ = c ↔ logₐ(c) = b
+ ln(aᵇ) = b · ln(a)
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