From eb15fc049deb50ee9c05f682e4de0f2dc933b91d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Claude <noreply@anthropic.com>
Date: Sun, 25 Jan 2026 09:16:37 +0000
Subject: [PATCH] Add German math cheat sheet for Wirtschaftswissenschaftler

One-page summary covering: Grundlagen, Folgen, Stetigkeit,
Differenzierbarkeit, Mehrere Variablen, Lagrange-Optimierung.
Includes formulas, examples, and common mistakes for each topic.
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+# MATHE I FÜR WIWIS – CHEAT SHEET
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+## 1. GRUNDLAGEN
+**Kernkonzepte:** Potenzen, Logarithmen, Summenformeln, Zinseszins
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+| Formel | Bedeutung |
+|--------|-----------|
+| K(t) = K₀ · (1 + i)ᵗ | Endkapital nach t Perioden |
+| K₀ = K(t) · (1 + i)⁻ᵗ | Barwert (Abzinsung) |
+| ln(aᵇ) = b · ln(a) | Logarithmusregel |
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+**Beispiel:** 10.000€ bei 5% p.a. → Nach 10 Jahren: 10.000 · 1,05¹⁰ = **16.288,95€**
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+⚠️ **Häufiger Fehler:** Verwechslung von (1+i)ᵗ und (1+i·t) – Zinseszins ≠ einfache Zinsen!
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+## 2. FOLGEN
+**Kernkonzepte:** Konvergenz, Grenzwert, geometrische Reihen
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+| Konzept | Formel |
+|---------|--------|
+| Grenzwert | lim(n→∞) aₙ = a |
+| Geom. Reihe | Σ qⁿ = 1/(1-q) für \|q\| < 1 |
+| Rentenbarwert | R · (1-qⁿ)/(1-q) |
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+**Beispiel:** Ewige Rente von 1.000€/Jahr bei 5%: 1.000 / 0,05 = **20.000€** Barwert
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+⚠️ **Häufiger Fehler:** Divergente Folgen haben KEINEN Grenzwert – nicht mit "∞" gleichsetzen!
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+**↓ Verbindung:** Grenzwerte → Grundlage für Stetigkeit
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+## 3. FUNKTIONEN & STETIGKEIT
+**Kernkonzepte:** Definitionsbereich, Stetigkeit, Zwischenwertsatz
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+| Begriff | Bedeutung |
+|---------|-----------|
+| Stetig in x₀ | lim(x→x₀) f(x) = f(x₀) |
+| Sprungstelle | Links- ≠ Rechtsseitiger Grenzwert |
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+**Beispiel:** Nachfragefunktion D(p) = 100 - 2p ist stetig → keine plötzlichen Nachfragesprünge
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+⚠️ **Häufiger Fehler:** f(x₀) existiert ≠ Stetigkeit! Der Grenzwert muss GLEICH dem Funktionswert sein.
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+**↓ Verbindung:** Stetigkeit → Voraussetzung für Differenzierbarkeit
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+## 4. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN
+**Kernkonzepte:** Ableitung, Kettenregel, Produktregel, Extrema
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+| Regel | Formel |
+|-------|--------|
+| Potenz | (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ |
+| Kette | (f∘g)' = f'(g(x))·g'(x) |
+| Produkt | (f·g)' = f'·g + f·g' |
+| Extrema | f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 |
+
+**Beispiel:** Kostenfunktion K(x) = x³ - 6x² + 15x → Grenzkosten K'(x) = 3x² - 12x + 15
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+⚠️ **Häufiger Fehler:** f'(x)=0 bedeutet NUR kritischer Punkt – für Maximum/Minimum f''(x) prüfen!
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+**↓ Verbindung:** Erweitert sich auf mehrere Variablen → partielle Ableitungen
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+## 5. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN
+**Kernkonzepte:** Partielle Ableitung, Gradient, Hesse-Matrix
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+| Konzept | Notation |
+|---------|----------|
+| Part. Ableitung | ∂f/∂x, ∂f/∂y |
+| Gradient | ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)ᵀ |
+| Hesse-Matrix | H = [[∂²f/∂x², ∂²f/∂x∂y], [∂²f/∂y∂x, ∂²f/∂y²]] |
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+**Beispiel:** Cobb-Douglas Q(K,L) = K^0.3 · L^0.7 → ∂Q/∂L = 0,7·K^0.3·L^-0.3 (Grenzproduktivität Arbeit)
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+⚠️ **Häufiger Fehler:** Bei ∂f/∂x wird y als KONSTANTE behandelt, nicht als Variable!
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+**↓ Verbindung:** Gradient = 0 → notwendige Bedingung, aber mit Nebenbedingungen → Lagrange
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+## 6. OPTIMIERUNG UNTER NEBENBEDINGUNGEN
+**Kernkonzepte:** Lagrange-Funktion, Lagrange-Multiplikator λ
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+| Schritt | Aktion |
+|---------|--------|
+| 1 | L(x,y,λ) = f(x,y) - λ·(g(x,y) - c) aufstellen |
+| 2 | ∂L/∂x = 0, ∂L/∂y = 0, ∂L/∂λ = 0 lösen |
+| 3 | λ interpretieren: Schattenpreis der Restriktion |
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+**Beispiel:** Max U(x,y) = x·y unter Budget 2x + 3y = 120
+→ L = xy - λ(2x+3y-120) → Lösung: x=30, y=20, **U*=600**
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+⚠️ **Häufiger Fehler:** Vorzeichen bei λ! Und: λ ≠ 0 prüfen, sonst greift die NB nicht.
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+---
+
+## 🔗 DER ROTE FADEN
+
+```
+GRUNDLAGEN (Rechnen) → FOLGEN (Grenzwerte) → STETIGKEIT (keine Sprünge)
+                                                      ↓
+OPTIMIERUNG ← MEHRERE VARIABLEN ← DIFFERENZIERBARKEIT (Steigung)
+(mit Restriktion)    (∂/∂x, ∂/∂y)         (f'(x))
+```
+
+**Merksatz:** *"Von der Zahl zur Folge, von der Folge zum Grenzwert, vom Grenzwert zur Ableitung, von der Ableitung zum Optimum."*
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+*Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler | Kompakt-Übersicht*