From 98c6f85a4bd6476d0133677f0097399078a4985d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: DIsakov <55271574+DSIsakov@users.noreply.github.com> Date: Wed, 11 Dec 2024 19:09:26 +0300 Subject: [PATCH 1/4] fix q/a and add new --- data/data.yaml | 1722 ++++++------------------------------------------ 1 file changed, 201 insertions(+), 1521 deletions(-) diff --git a/data/data.yaml b/data/data.yaml index d1408854..2abd65f6 100644 --- a/data/data.yaml +++ b/data/data.yaml @@ -1,1527 +1,207 @@ -- question: Что представляет собой язык, распознаваемый недетерминированным конечным автоматом (НКА)? - answer: > - Язык, распознаваемый недетерминированным конечным автоматом (НКА) – это все такие слова, - по которым существует хотя бы один путь из стартовой вершины в терминальную. - author: Лисов Алексей - -- question: Дан регулярный язык, опиши алгоритм нахождения кратчайшего слова, принадлежащего этому регулярному языку - answer: > - Регулярный язык может быть задан с помощью конечного автомата. - Так как автомат конечен, то мы можем его обойти (пройти через все состояния) за конечное время. - Так как нам нужно найти самое короткое слово, то эта задача сводится к тому, что нам необходимо - найти кратчайший путь от стартовой вершины до какой-либо терминальной. По определению это - можно сделать с помощью поиска в ширину (bfs, breadth-first search). Поиск в ширину - алгоритм, находящий - все кратчайшие пути от заданной вершины в невзвешенном графе. Запускаем поиск в ширину и выйдем из него, - когда пришли в терминальное состояние. Так как нам нужно явно найти кратчайшее слово, то после этого делаем - восстановление ответа. Это можно сделать используя дополнительную структуру данных (например массив prev), для того, - чтобы для каждого состояния v хранить состояние u, из которого мы в него пришли. Мы можем пройти от найденной - вершины по массиву prev, пока не придем в начальное состояние. Записав все переходы мы получим кратчайшее слово, - принадлежащее регулярному языку. - author: Лисов Алексей - -- question: Опиши алгоритм подсчета количества слов определенной длины в заданном регулярном языке - answer: > - Обозначим регулярный язык за L и пусть длина слов, количество которых мы хотим найти - l. - Так как язык L регулярен, то мы можем построить соответствующий ему конечный автомат A. - Решим задачу с помощью динамического программирования. Пусть a_(q,i) – количество слов длины i, переводящих - автомат A из начального состояния q0 в состояние q. - Чтобы пересчитать эту величину, нужно просуммировать значения динамического программирования - из предыдущего по длине слоя для всех состояний, из которых есть ребро в состояние q. Ответом является - сумма элементов столбца, отвечающего за длину l, соответствующих терминальным вершинам. - author: Лисов Алексей - -- question: Какими являются языки недетерминированных автоматов с магазинной памятью? - answer: > - Языки недетерминированных автоматов с магазинной памятью являются контекстно-свободными. - То есть эти языки могут быть заданы с помощью контекстно свободных грамматик. - author: Лисов Алексей - -- question: Какая структура данных может описать магазинную память у автомата с магазинной памятью? - answer: Магазинная память у автомата с магазинной памятью является стеком. - author: Лисов Алексей - -- question: Опиши алгоритм нахождения эпсилон замыкания для каждой из вершин автомата? - answer: > - ε-замыкание состояния q – это множество состояний, достижимых из q только по ε-переходам. - Соотсветственно эпсилон замыкание для каждой из вершин автомата можно предподсчитать с помощью поиска в глубину - (dfs) для каждой вершины. - author: Лисов Алексей - -- question: Дай определение произведения двух автоматов - answer: > - Прямым произведением двух ДКА A1=⟨Σ1,Q1,s1,T1,δ1⟩ и A2=⟨Σ2,Q2,s2,T2,δ2⟩ называется ДКА - A=⟨Σ,Q,s,T,δ⟩, где: - 1) Σ = Σ1∪Σ2, то есть он работает над пересечением алфавитов двух данных автоматов - 2) Q = Q1×Q2, множество пар состояниий включает в себя состояния обоих автоматов - 3) s =⟨s1,s2), стартуем с символов в обоих автоматах - 4) T=T1×T2, терминальные состояния включают в себя терминальные состояния обоих автоматов - 5) δ(⟨q1,q2⟩,c)=⟨δ1(q1,c),δ2(q2,c)⟩, то есть переходим по символу в обоих автоматах" - author: Лисов Алексей - -- question: Как из недетерминированного конечного автомата A сделать pushdown automat B? - answer: > - Для этого нужно заменить переход из состояния q в состояние p по символу x на такой же переход, - только добавить z_0/z_0, где z_0 это дно стека. Из этого следует, что регулярные языки являются подмножеством - МП-автоматных языков (языков автоматов с магазинной памятью). - author: Лисов Алексей - -- question: Теорема Клини (англ. Kleene's theorem) - answer: > - Теорема Клини (англ. Kleene's theorem) гласит о том, что множество языков, принимаемых детерминированным конечным автоматом совпадает с - множеством языком, принимаемых академическим регулярным выражением. - author: Лисов Алексей - -- question: Какой язык называется префиксным (беспрефиксным) - answer: > - Язык L называется префиксным, если для любого слова w не равного слову v из L не верно, что w – префикс v. - Также такие языки называют беспрефиксными. - author: Лисов Алексей - -- question: > - Что можно сказать о языке L, который принимается детерминированным конечным автоматом - с магазинной памятью по пустому стеку - answer: > - Это значит, что язык L принимается детерминированным конечным автоматом с магазинной памятью по терминальному - состоянию, а также язык L – префиксный (то есть если для любого w не равного v из языка L не верно, - что w – префикс v). - author: Лисов Алексей - -- question: > - Является ли регулярным язык Дика (англ. Dyck's language) с единственным типом скобок? - (язык Дика - множество правильных скобочных структур вместе с пустой структурой, - образующее язык над алфавитом {a,b}.) - answer: > - Язык Дика (англ. Dyck's language) не является регулярным. - Докажем с помощью леммы о накачке. Предположим, что он регулярный, тогда по лемме о накачке существует - n, являющееся длиной накачки. Возьмём последовательность из n открывающих, а затем n закрывающих скобок. - Для неё существуют соответствующие x, y, z из леммы о накачке. Но так как |xy| <= n, то y - состоит только из открывающих скобок, причём по условию леммы y не пустая. А значит при i = 2 в строке xy^iz - получится больше открывающих скобок, чем закрывающих, то есть это будет не правильной скобочной последовательностью. - Получили противоречие. Следовательно язык Дика с единственным типом скобок не является регулярным. - author: Лисов Алексей - -- question: > - Является ли контекстно-свободным языком разность контекстно-свободного и регулярного языка? - answer: > - Да, разность контекстно-свободного и регулярного языка является контекстно-свободным языком. - author: Лисов Алексей - -- question: > - Что такое переход машины Тьюринга? - answer: > - Переход машины Тьюринга — это функция, зависящая от состояния конечного управления и обозреваемого символа. - За один переход машина Тьюринга должна выполнить следующие действия: изменить состояние, - записать ленточный символ в обозреваемую клетку, сдвинуть головку влево или вправо. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Какие языки допускаются при помощи машины Тьюринга? - answer: > - Языки, допустимые с помощью машины Тьюринга, называются рекурсивно перечислимыми, или РП-языками. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Опишите прием «память в состоянии» машины Тьюринга. - answer: > - Память в состоянии — конечное управление можно использовать не только для представления позиции в «Программе» машины Тьюринга, - но и для хранения конечного объема данных. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Опишите прием «Подпрограммы» машины Тьюринга. - answer: > - Подпрограмма машины Тьюринга представляет собой множество состояний, выполняющее некоторый полезный процесс. - Это множество включает в себя стартовое состояние и еще одно состояние, - которое не имеет переходов и служит состоянием «возврата» для передачи управления какому-либо множеству состояний, - вызвавшему данную подпрограмму. «Вызов» подпрограммы возникает везде, где есть переход в ее начальное состояние. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Можно ли запомнить позицию ленточной головки в позиции управления у машины Тьюринга? - answer: > - Хотя позиции конечны в каждый момент времени, всё множество позиций может быть и бесконечным. - Если состояние должно представлять любую позицию головки, то в состоянии должен быть компонент данных, - имеющий любое целое в качестве значения. Из-за этого компонента множество состояний должно быть бесконечным, - даже если только конечное число состояний используется в любой конечный момент времени. Определение же машин Тьюринга требует, - чтобы множество состояний было конечным. Таким образом, запомнить позицию ленточной головки в конечном управлении нельзя. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Что такое счетчиковая машина? - answer: > - Счетчиковые машины — это класс машин, обладающий возможностью запоминать конечное число целых чисел (счетчиков) - и совершать различные переходы в зависимости от того, какие из счетчиков равны 0 (если таковые вообще есть). - Счетчиковая машина может только прибавить 1 к счетчику или вычесть 1 из него, - но отличить значения двух различных ненулевых счетчиков она не способна. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Какой язык допускается счетчиковой машиной? - answer: > - Каждый язык, допускаемый счетчиковой машиной, рекурсивно перечислим. Причина в том, - что счетчиковые машины являются частным случаем магазинных, а магазинные — частным случаем многоленточных машин Тьюринга, - которые по теореме допускают только рекурсивно перечислимые языки. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Допускается ли любой рекурсивно перечислимый язык двухсчетчиковой машиной? - answer: > - Для имитации машины Тьюринга и, следовательно, для допускания любого рекурсивно перечислимого языка, достаточно двух счетчиков. - Для обоснования этого утверждения вначале доказывается, что достаточно трех счетчиков, - а затем три счетчика имитируются с помощью двух. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Что такое универсальная машина Тьюринга? - answer: > - Универсальной машиной Тьюринга называют машину Тьюринга, которая может заменить собой любую машину Тьюринга. - Получив на вход программу и входные данные, она вычисляет ответ, который вычислила бы по входным данным машина Тьюринга, - чья программа была дана на вход. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Какое время необходимо многоленточной машине Тьюринга для имитации шагов компьютера? - answer: > - Рассмотрим компьютер, обладающий следующими свойствами: у него есть только инструкции, - увеличивающие максимальную длину слова не более чем на один; у него есть только инструкции, - которые многоленточная машина Тьюринга может выполнить на словах длиной k за O(k^2) или меньшее число шагов. - Шаг — это выполнение одной инструкции. Таким образом, выполнение n шагов работы компьютера можно проимитировать - на многоленточной машине Тьюринга с использованием не более O(n^3) шагов. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Как связаны мощности следующих машин Тьюринга: многодорожечная машина Тьюринга, - машина Тьюринга с односторонней лентой, многоленточная машина Тьюринга, недетерминированная машина Тьюринга? - answer: > - Многодорожечная машина Тьюринга, машина Тьюринга с односторонней лентой, многоленточная машина Тьюринга - и недетерминированная машина Тьюринга, несмотря на различия в их конструкции или правилах работы, - обладают одинаковой вычислительной мощностью, то есть способны вычислить одни и те же классы функций. - Различия между видами машин Тьюринга (например, между машинами с одним или несколькими лентами) - могут повлиять на эффективность вычислений (время или пространство), но не на саму вычислительную мощность. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Если проблема P1 неразрешима и ее можно свести к проблеме P2, то является ли проблема P2 неразрешимой? - answer: > - Если проблему P1 можно свести к проблеме P2 и если P1 неразрешима, то и P2 неразрешима. - author: Дмитрий Теньшов - -- question: > - Что такое рандомизированная машина Тьюринга? - answer: > - Рандомизированная машина Тьюринга — это вариант многоленточной машины Тьюринга. Первая лента, - как обычно для многоленточных машин, содержит вход. Вторая лента также начинается непустыми клетками. - В принципе, вся она содержит символы 0 и 1, выбранные с вероятностью 1/2. Вторая лента называется случайной лентой. - Третья и последующие, если используются, вначале пусты и при необходимости выступают как рабочие. - author: Дмитрий Теньшов - - -- question: "Рекурсивные языки." - answer: > - Языки, допускаемые машинами Тьюринга, называются рекурсивно-перечислимыми (РП), - а РП-языки, допускаемые МТ, которые всегда останавливаются, — рекурсивными. “Разрешимость” есть - синоним “рекурсивности”, однако языки чаще называются “рекурсивными”, а проблемы (которые - представляют собой языки, интерпретируемые как вопросы) — “разрешимыми”. - Если язык не является рекурсивным, то проблема, которую выражает этот язык, называется “неразрешимой”. - Рекурсивный язык позволяет построить разрешающую функцию: т.е. МТ, возвращающую один из двух результатов (да-нет), и корректно завершающую работу. - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: "Рекурсивно-перечислимые языки. Примеры языков, которые являются рекурсивно-перечислимыми, но не рекурсивными." - answer: > - Язык L является рекурсивно-перечислимым (РП-языком), если L = L(M) для некоторой машины Тьюринга M. - Проблема останова машины Тьюринга является РП, но не рекурсивной. В действительности, определенная А. М. Тьюрингом - машина допускала, не попадая в допускающее состояние, а останавливаясь. Для МТ - M можно определить H(M) как множество входов w, на которых M останавливается - независимо от того, допускает ли M вход w. Тогда проблема останова состоит в опре - делении множества таких пар (M, w), у которых w принадлежит H(M). Это еще один - пример проблемы/языка, которая является РП, но не рекурсивной. - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: "Что такое язык диагонализации L_d" - answer: > - Язык диагонализации L_d — это множество всех цепочек w_i, не принадлежащих L(M_i). - Понятие M_i, “i-й машины Тьюринга”. Это машина Тьюринга M, кодом которой является i-я двоичная цепочка w_i. - В язык L_d входит каждая цепочка в алфавите {0, 1}, которая, будучи проинтерпретированной как код МТ, не принадлежит языку этой МТ. - Язык L_d является хорошим примером не РП-языка, т.е. его не допускает ни одна машина Тьюринга. - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: "Является ли язык L_d рекурсивно-перечислимым" - answer: > - Язык L_d не является рекурсивно-перечислимым, т.е. не существует машины Тьюринга, которая допускала бы L_d. - Доказательство. Допустим, что L_d = L(M) для некоторой МТ M. - Так как L_d — язык над алфавитом {0, 1}, M должна содержаться в построенной нами последовательности машин Тьюринга, - поскольку эта последовательность содержит все МТ с входным алфавитом {0, 1}. - Следовательно, в ней есть, по крайней мере, один код машины M, скажем, i, т.е. M = M_i. - Понятие M_i, “i-й машины Тьюринга”. Это МТ M, кодом которой является i-я двоичная цепочка w_i. - Выясним теперь, принадлежит ли w_i языку L_d. - Если w_i принадлежит L_d, то M_i допускает w_i. Но тогда (по определению L_d) w_i не принадлежит L_d, - так как L_d содержит лишь такие w_j, для которых M_j не допускает w_j. - Точно так же, если w_i не принадлежит L_d, то M_i не допускает w_i. - Но тогда (по определению L_d) w_i принадлежит L_d. - Поскольку w_i не может одновременно и принадлежать, и не принадлежать L_d, приходим к противоречию с нашим предположением о том, что M существует. - Таким образом, L_d не является рекурсивно-перечислимым языком. - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: "Почему языки 'рекурсивные'?" - answer: > - Рекурсивные функции были введены в 30-х годах XX века С. К. Клини. - Это название закрепилось за одним из наиболее распространённых вариантов - уточнения общего понятия арифметического алгоритма, то есть такого алгоритма, - допустимые исходные данные которого представляют собой системы натуральных чисел, - а возможные результаты применения — натуральные числа. - Языки называются рекурсивными, если они являются рекурсивным подмножеством набора всех - возможных конечных последовательностей по алфавиту языка. Тезис Чёрча — Тьюринга: любая функция, - которая может быть вычислена физическим устройством, может быть вычислена машиной Тьюринга. То есть - рекурсивные функции вычисляют те же классы алгоритмов, что и машины Тьюринга. Эквивалентно, формальный язык - является рекурсивным, если существует машина Тьюринга, которая при вводе конечной - последовательности символов всегда останавливается и принимает её, если она - принадлежит языку, и останавливается и отвергает её в противном случае. - author: "Филимонов Михаил" - - - -- question: > - Почему универсальный язык L_u является рекурсивно-перечислимым, но не рекурсивным. - answer: > - Язык L_u состоит из цепочек, интерпретируемых как код - МТ, к которому дописан ее вход. Цепочка принадлежит L_u, если эта МТ до - пускает данный вход. - Язык L_u является рекурсивно-перечислимым. Допустим, что L_u рекурсивен. Тогда по теореме дополнение L_u (дополнение L_u) - также рекурсивный язык. Но если существует МТ M, допускающая L_u, то, используя описанный ниже метод, - можно построить МТ, допускающую L_d. Язык диагонализации L_d — это множество всех цепочек w_i, не принадлежащих L(M_i). - Понятие M_i, “i-й машины Тьюринга”. Это МТ M, кодом которой является i-я двоичная цепочка w_i. - В язык L_d входит каждая цепочка в алфавите {0, 1}, которая, будучи проинтерпретированной как код МТ, не принадлежит языку этой МТ. - Поскольку нам известно, что L_d не является РП, приходим к - противоречию с предположением, что язык L_u является рекурсивным. Предположим, что L(M) = L_u. Можно - преобразовать МТ M в МТ M', которая допускает L_d с помощью следующих действий: 1. M' преобразует - входную цепочку w в w111w. Легче это сделать, используя для копии w вторую ленту, и затем - преобразовать двухленточную МТ в одноленточную. 2. M' имитирует M на новом входе. Если w есть w_i - в нашем перечислении, то M' определяет, допускает ли M_i вход w_i. Поскольку M допускает L_u, то она - допускает тогда и только тогда, когда M_i не допускает w_i, т.е. когда w_i принадлежит L_d. Таким образом, - M' допускает w тогда и только тогда, когда w принадлежит L_d. Поскольку по теореме машины M' не существует, - приходим к выводу, что язык L_u не является рекурсивным. - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: > - Является ли язык, состоящий из кодов всех машин Тьюринга, - которые допускают хотя бы одну цепочку, L_ne рекурсивно-перечислимым/рекурсивным? - answer: > - L_ne – непустой язык состоит из кодов всех машин Тьюринга, которые допускают хотя бы одну цепочку. - Он рекурсивно-перечислим, но не рекурсивный. Чтобы доказать РП, достаточно предъявить МТ, допускающую L_ne. - Проще всего это сделать, описав недетерминированную МТ M. Работа M заключается в следующем: 1. На вход M подается - код МТ M_i. 2. Используя недетерминизм, M угадывает вход w, который, возможно, допускается M_i. - 3. M проверяет, допускает ли M_i свой вход w. В этой части M может моделировать работу универсальной МТ U, - допускающей L_u (язык L_u состоит из цепочек, интерпретируемых как код - МТ, к которому дописан ее вход. Цепочка принадлежит L_u, если эта МТ до - пускает данный вход). 4. Если M_i допускает w, то и M допускает свой вход, т.е. M_i. Понятие M_i, “i-й машины - Тьюринга”. Это МТ M, кодом которой является i-я двоичная цепочка w_i. В этот язык входит каждая цепочка - в алфавите {0, 1}, которая, будучи проинтерпретированной как код МТ, не принадлежит языку этой МТ. - Таким образом, если M_i допускает хотя бы одну цепочку, то M угадает ее (среди прочих, конечно) и допустит M_i. - Если же L(M_i) = ∅, то ни одна из угаданных w не допускается M_i, и M не допустит M_i. Таким образом, L(M) = L_ne. - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: > - Является ли язык L_e, состоящий из кодов всех МТ, языки которых пусты, рекурсивно-перечислимым/рекурсивным? - answer: > - L_e – пустой язык состоит из кодов всех МТ, языки которых пусты. Он не рекурсивно-перечислим. - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: > - Теорема Райса - answer: > - Свойство называется тривиальным, если оно либо пустое (т.е. никакой язык вообще - ему не удовлетворяет), либо содержит все РП-языки (рекурсивно-перечислимые). В противном случае свойство назы - вается нетривиальным. - Теорема Райса: Всякое нетривиальное свойство языков, допускаемых МТ, является неразрешимым. Например, множество кодов - машин Тьюринга, допускающих пустой язык, согласно теореме Райса является неразрешимым. В действительности - этот язык не является РП, хотя его дополнение — множество кодов МТ, допускающих хотя бы одну цепочку, — - является РП, но не рекурсивным. - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: > - Существует ли такой вход для заданной машины Тьюринга, - при обработке которого машина выполняет более пяти переходов, - прежде чем достигнет состояния останова (либо завершится, либо зациклится)? - answer: > - Алгоритм решения становится очевидным, если заметить, что, когда МТ делает пять переходов, - она обозревает не более девяти клеток вокруг начальной позиции головки. Поэтому можно проимитировать - пять переходов МТ на любом из конечного числа входов, длина которых не более девяти. Если все эти - имитации не достигают останова, то делается вывод, что на любом входе данная МТ совершает более пяти переходов. - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: > - Что такое проблема соответствий Поста. - answer: > - Экземпляр проблемы соответствий Поста (ПСП) состоит из двух списков равной длины в некотором алфавите Σ. - Как правило, мы будем называть их списками A и B, и писать A = w_1, w_2, …, w_k и B = x_1, x_2, …, x_k при - некотором целом k. Для каждого i пара (w_i, x_i) называется парой соответствующих цепочек. Мы говорим, что - экземпляр ПСП имеет решение, если существует последовательность из одного или нескольких целых чисел - i_1, i_2, …, i_m, которая, если считать эти числа индексами цепочек и выбрать соответствующие цепочки из - списков A и B, дает одну и ту же цепочку, т.е. w_i_1w_i_2…w_i_m = x_i_1xi_2…x_i_m. В таком случае последовательность - i_1, i_2, …, i_m называется решающей последовательностью, или просто решением, данного экземпляра ПСП. - author: "Филимонов Михаил" - -- question: > - Что такое модифицированная проблема соответствий Поста. - answer: > - Модифицированной проблемой соответствий Поста, или МПСП. - В модифицированной ПСП на решение накладывается дополнительное требование, - чтобы первой парой в решении была пара первых элементов списков A и B. - Более формально, экземпляр МПСП состоит из двух списков A = w_1, w_2, …, w_k - и B = x_1, x_2, …, x_k, и решением является последовательность из 0 или - нескольких целых чисел i_1, i_2, …, i_m, при которой - w_1w_i_1w_i_2…w_i_m = x_1x_i_1x_i_2…x_i_m. Отметим, что цепочки обязательно начинаются парой (w_1, x_1), - хотя индекс 1 даже не указан в качестве начального элемента решения. Кроме того, в отличие от ПСП, - решение которой содержит хотя бы один элемент, решением МПСП может быть и пустая последовательность (когда w_1 = x_1). - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: > - Разрешима ли ПСП/проблема соответствий Поста - answer: > - Заданы два списка, содержащие одинаковое количество цепочек. - Спрашивается, можно ли, выбирая последовательности соответствующих - цепочек из этих двух списков, построить путем их конкатенации одну - и ту же цепочку. ПСП является важным примером неразрешимой проблемы. - Сводимость ПСП к ряду других проблем обеспечивает доказательство их неразрешимости - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: > - Разрешим ли вопрос о неоднозначности КС-грамматики (контекстно-свободной грамматики) - answer: > - Вопрос о неоднозначности КС-грамматики (контекстно-свободной грамматики) неразрешим. - Неразрешимые проблемы, связанные с контекстно-свободными языками. - Посредством сведения ПСП(проблема соответствий Поста) к вопросу об определении некоторых свойств КС-грамматики можно доказать неразрешимость многих вопросов - о КС-языках или их грамматиках. В силу неразрешимости ПСП это сведение доказывает неразрешимость про - блемы неоднозначности КС-грамматики. Так же, например, о включении одного КС-языка в - другой или о пустоте пересечения двух КС-языков." - author: "Филимонов Михаил" - - -- question: > - Что называется нейтральным элементом операции в регулярных выражениях? - answer: > - Нейтральный (единичный) элемент в контексте операций в регулярных выражениях — это элемент, - для которого верно: если данная операция применяется к единичному элементу и некоторому выражению, - то результат равен этому выражению. Для регулярных выражений нейтральные элементы зависят от конкретного типа операции: - 1. Конкатенация: Нейтральным элементом для конкатенации является пустая строка (обозначается ε). - При конкатенации любой строки с ε результат остается неизменным. - 2. Объединение (дизъюнкция): Для операции объединения нейтральным элементом является пустое множество (обозначается ∅). - Объединение любого выражения с ∅ не изменяет его. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Что называется нулевым элементом (аннулятором) операции в регулярных выражениях? - answer: > - Нулевой элемент (или аннулятор) в контексте операций в регулярных выражениях — это элемент, - который при применении операции с другим выражением всегда возвращает сам нулевой элемент. В алгебре нулевой элемент обнуляет результат операции, - независимо от второго аргумента. В контексте регулярных выражений это понятие также применимо, и оно зависит от типа операции: - 1. Конкатенация: Для конкатенации нулевым элементом является пустое множество (обозначаемое ∅). При конкатенации любого выражения с ∅ результатом всегда будет ∅. - 2. Объединение (дизъюнкция): Для операции объединения (дизъюнкции) нулевого элемента как такового не существует. - Объединение с ∅ даёт исходное выражение, а не ∅, то есть ∅ здесь является нейтральным, а не нулевым элементом. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - В каком случае два регулярных выражения с переменными являются эквивалентными? - answer: > - Два выражения с переменными являются эквивалентными, если при подстановке любых языков вместо переменных оба выражения представляют один и тот же язык. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Какие операторы регулярных выражений ассоциативны? Коммутативны? Дистрибутивны? Идемпотентны? - answer: > - Объединение и конкатенация ассоциативны. Коммутативно только объединение. Конкатенация дистрибутивна относительно объединения. - Объединение идемпотентно. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Закон идемпотентности операции объединения для регулярных выражений - answer: > - Закон идемпотентности операции объединения утверждает, что объединение двух одинаковых выражений можно заменить одним таким выражением. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Что такое обращение строки в формальных языках? - answer: > - Строку также часто называют словом. Обращением строки (a_1)(a_2)...(a_n) называется строка, записанная в обратном порядке, т.е. (a_n)(a_n-1)...(a_1). - Обращение w обозначается w^R. Таким образом, например, (0010)^R есть 0100, а ε^R = ε. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Что такое обращение языка L? - answer: > - Обращение языка L, обозначаемое L^R, состоит из всех строк, являющихся реверсами (обращениями) строк из исходного языка L. - То есть, если L — это язык, состоящий из строк w_1, w_2, ..., w_n, то обращение этого языка L^R включает строки, полученные путём инвертирования каждой из строк языка L. - Например, если L = {001, 10, 111}, то L^R = {100, 01, 111}. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Что такое гомоморфизм строк в регулярных языках? - answer: > - Строку также часто называют словом. Гомоморфизм строк — это такая функция на множестве строк, являющаяся расширением функции отображения символов алфавита в строки относительно операции конкатенации. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Как рекурсивно определяется регулярное выражение? - answer: > - Регулярное выражение над алфавитом Σ = {c_1, c_2, …, c_k} — способ порождения языка над Σ. Определяется рекурсивно следующим образом: - Для любого i слово c_i является регулярным выражением, задающим язык из одного слова ci. ε является регулярным выражением, задающим язык из одной пустой - строки, а ∅ — пустой язык. Если a_1 и a_2 являются регулярными выражениями, задающими языки L_1 и L_2 соответственно, то (a_1)|(a_2) — регулярное выражение, - задающее L_1 ⋃ L_2. Если a_1 и a_2 являются регулярными выражениями, задающими языки L_1 и L_2 соответственно, то (a_1)(a_2) — регулярное выражение, - задающее L_1L_2. Если a_1 является регулярным выражением, задающим язык L_1, то (a_1)* — регулярное выражение, задающее (L_1)*. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Что такое замыкание Клини и где оно используется в регулярных выражениях? - answer: > - Итерация (“звездочка”, или замыкание Клини) языка L обозначается L* и представляет собой множество всех тех цепочек, которые можно образовать путем - конкатенации любого количества цепочек из L. При этом допускаются повторения, т.е. одна и та же цепочка из L может быть выбрана для конкатенации более одного - раза. Например, если L = {0, 1}, то L* — это все цепочки, состоящие из нулей и единиц. Если L = {0, 11}, то в L* входят цепочки из нулей и единиц, - содержащие четное количество единиц, например, цепочки 011, 11110 или ε, и не входят цепочки 01011 или 101. Более формально язык L* можно представить - как бесконечное объединение L^i, где L^0 = ε, L^1 = L и Li для i>1 равен LL...L(конкатенация i копий L). - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Лемма о разрастании для контекстно-свободных языков - answer: > - Также называется леммой о накачке для контекстно-свободных языков. Пусть L — контекстно-свободный язык над алфавитом Σ, тогда существует такое натуральное n, что для любого слова ω, принадлежащего L, длины не меньше n - найдутся слова u, v, x, y, z, принадлежащие Σ*, для которых верно: uvxyz = ω, vy ≠ ε, |vxy| <= n и ∀k >= 0 u(v^k)x(y^k)z ∈ L. Иначе говоря, любую - достаточно длинную цепочку в КС-языке можно разбить на пять частей так, что повторение второй и четвёртой частей произвольное количество раз (возможно, 0) - не приведут к выходу за пределы языка. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Относительно каких операций замкнуты регулярные языки? - answer: > - Регулярные языки замкнуты относительно следующих операций: - 1. Объединение - 2. Пересечение - 3. Дополнение - 4. Разность - 5. Обращение - 6. Итерация (звездочка) - 7. Конкатенация - 8. Гомоморфизм (подстановка цепочек вместо символов языка) - 9. Обратный гомоморфизм. - author: "Захарин Сергей" - - -- question: > - Законы регулярных выражений, связанные с единичным элементом и нулевым элементом - answer: > - Для регулярных выражений существует три закона, связанных с этими понятиями. - • ∅ + L = L + ∅ = L. Этот закон утверждает, что ∅ является единицей объединения. - • εL = Lε = L. Этот закон гласит, что ε является единицей конкатенации. - • ∅L = L∅ = ∅. Этот закон утверждает, что ∅ является нулевым элементом конкатенации. - author: "Захарин Сергей" - -- question: > - Какие существуют приемы интерпретации ленты и конечного управления машины Тьюринга? - answer: > - Существует три приема интерпретации ленты и конечного управления машины Тьюринга: память в состоянии, многодорожечные ленты, подпрограммы. - author: Пишикина Мария - -- question: > - Опишите прием «Многодорожечные ленты» в машине Тьюринга. - answer: > - При использовании приема «Многодорожечные ленты» рассматривается лента машины Тьюринга, образованная несколькими дорожками. - Каждая дорожка может хранить один символ (в одной клетке), и алфавит машины Тьюринга состоит из кортежей, с одним компонентом для каждой «дорожки». - author: Пишикина Мария - -- question: > - Существуют ли не рекурсивно перечислимые языки, допускаемые многоленточными машинами Тьюринга? - answer: > - Каждый язык, допускаемый многоленточной машиной Тьюринга, рекурсивно перечислим. - author: Пишикина Мария - -- question: > - Какое время необходимо одноленточной машине Тьюринга для имитации переходов многоленточной машины Тьюринга? - answer: > - Время, необходимое одноленточной машине Тьюринга для имитации n переходов многоленточной машины Тьюринга, есть O(n^2). - author: Пишикина Мария - -- question: > - Что такое «мультистековая (многомагазинная) машина»? - answer: > - Мультистековая (многомагазинная) машина представляет собой детерминированный МП-автомат (или машина с магазинной памятью) с несколькими магазинами. Он получает свои входные данные, как и МП-автомат, из некоторого их источника, - а не с ленты или из магазина, как машина Тьюринга. Мультистековая машина имеет конечное управление, то есть конечное множество состояний, и конечный магазинный алфавит, используемый для всех магазинов. - Переход мультистековой машины основывается на состоянии, входном символе и верхних символах всех магазинов. - author: Пишикина Мария - -- question: > - Как называется язык, который допускается односчетчиковой машиной? - answer: > - «Односчетчиковые машины» — это класс машин, которые могут запоминать значение одного целого числа («счетчика») и совершать различные переходы в зависимости от того, равен ли счетчик 0. - Односчетчиковая машина может только прибавить 1 к счетчику или вычесть 1 из него, но не способна различать различные ненулевые значения счетчика. - Каждый язык, допускаемый односчетчиковой машиной, является КС-языком. Контекстно-свободный (КС) язык — это язык, задаваемый контекстно-свободной грамматикой. - Контекстно-свободной грамматикой называется грамматика, у которой в левых частях всех правил стоят только одиночные нетерминалы. - author: Пишикина Мария - -- question: - Можно ли имитировать машину Тьюринга на компьютере? - answer: > - Имитация машины Тьюринга на компьютере в принципе возможна, если допустить, что для имитации значащей части ленты существует потенциально бесконечный запас сменных запоминающих устройств вроде диска. - Поскольку физические ресурсы, необходимые для создания дисков, конечны, данный довод сомнителен. Однако, поскольку пределы памяти Вселенной неизвестны или, без сомнения, обширны, - предположение о бесконечности ресурсов (как для ленты машины Тьюринга) является практически реалистичным и в целом допустимо. - author: Пишикина Мария - -- question: > - Какое время необходимо одноленточной машине Тьюринга для имитации переходов компьютера? - answer: > - Машина Тьюринга может имитировать n шагов компьютера за O(n^6) своих шагов. - author: Пишикина Мария - -- question: > - Почему язык, допускающийся в недетерминированных машинах Тьюринга, также допускается и обычной детерминированной машиной Тьюринга? - answer: > - Несмотря на кажущуюся большую мощность недетерминированных машин в связи с тем, что они выполняют несколько возможных вычислений сразу - (требуя только, чтобы хоть одно из них заканчивалось в допускающем состоянии), любой язык, допускающийся недетерминированной машиной Тьюринга, - также допускается и обычной детерминированной машиной Тьюринга, поскольку она может моделировать любой недетерминированный переход, делая многократные копии состояния, если встречается неоднозначность. - author: Пишикина Мария - -- question: > - Как машина Тьюринга имитирует реальный компьютер? - answer: > - Машина Тьюринга может имитировать память и управление реального компьютера путем использования одной ленты для записи всех элементов памяти и их содержимого — регистров, основной памяти, дисков и других запоминающих устройств. - Таким образом, можно быть уверенным, что все, не выполнимое машиной Тьюринга, не может быть сделано и компьютером. - author: Пишикина Мария - -- question: > - Какая проблема может возникнуть при допуске языка в рандомизированную машину Тьюринга? - answer: > - Имея дело с рандомизированными машинами Тьюринга, нужно быть более аккуратным с тем, что значит допускание входа такой машиной; становится возможным, что машина Тьюринга не определяет функции математически корректно (т.е. независимо от рандомизированных данных). - Проблема в том, что при анализе действий рандомизированной машины Тьюринга со входом приходится рассматривать все возможные случайные последовательности на второй ленте. Вполне возможно, что машина Тьюринга - допускает при одних случайных последовательностях, но отвергает при других; в действительности, если рандомизированная машина Тьюринга должна делать что-то более эффективно, чем детерминированная машина Тьюринга, - то существенно, чтобы различные последовательности на рандомизированной ленте приводили к различному поведению. - author: Пишикина Мария - -- question: > - Перечисли возможные операции над машинами Тьюринга. - answer: > - 1) Композиция (суперпозиция) машин Тьюринга - пусть две машины Тьюринга X и Y вычисляют функции f(P) и g(P) соответственно, тогда можно построить машину Тьюринга T = Y(X), вычисляющую суперпозицию функций g(f(P)). - 2) Разветвление машин Тьюринга - пусть две машины Тьюринга X и Y вычисляют функции f(P) и g(P) соответственно, причём множеством значений функции f(P) является множество {0, 1}, тогда можно построить машину Тьюринга T = X->Y, - которая перерабатывает слово P в g(P), если f(P)=1 и оставляет его без изменений если f(P)=0. - 3) Цикл машин Тьюринга - пусть две машины Тьюринга X и Y вычисляют функции f(P) и g(P) соответственно, причём множеством значений функции f(P) является множество {0, 1}, тогда можно построить машину Тьюринга T = X∘Y, которая - выполняет следующую последовательность действий: - 1 - вычисляет f(P) и если f(P)=1, то вычисляет новое значение P=g(P), а если f(P)=0, то переходит к заключительному состоянию с выходным словом P; - 2 - повторяет действие 1 до тех пор пока для очередного значения P не будет выполнено f(P)=0. - author: Пишикина Мария - -- question: > - Что такое самоприменимая машина Тьюринга? - answer: > - Машина Тьюринга называется самоприменимой, если она останавливается, когда в качестве входного слова для неё используется описание самой машины. - author: Пишикина Мария - -- question: > - Определение фундированного множества - answer: > - Определение 1: Частично упорядоченное множество (A, ≤) называется фундированным, - если в любом непустом подмножестве A есть минимальный элемент. - Определение 2: Частично упорядоченное множество (A, ≤) называется фундированным, если в нём нет бесконечных - убывающих цепей, то есть в A нельзя выбрать бесконечную последовательность элементов a0, a1, a2, …, такую, - что a0 > a1 > a2 > … > an > … - Определение 3: Частично упорядоченное множество (A, ≤) называется фундированным, - если для него выполняется принцип индукции: для любого свойства P(x) - выполнено условие: [∀a ((∀a’ < a (P(a’))) → P(a))] → (∀a (P(a))). - То есть, если для любого a из множества A из истинности P(a’) для всех a’ < a следует истинность P(a), то свойство P(a) - верно при всех a. - Теорема: Три определения фундированного множества эквивалентны друг другу. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Что называется трансфинитной индукцией? - answer: > - Трансфинитная индукция — метод доказательства, обобщающий математическую индукцию на случай несчетного числа - значений параметра. Трансфинитная индукция основана на следующем утверждении: пусть M — вполне упорядоченное - множество, P(x) — некоторое утверждение для x из M. Если для любого x из M, из того, что P(y) истинно - для всех y < x, следует, что верно P(x), и если P(x) верно для минимального элемента множества M, - то утверждение P(x) верно для любого x из M. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Какие существуют операции над языками в теории формальных языков? - answer: > - Теоретико-множественные операции: - Пусть K,L ⊆ Σ∗. - 1) Объединение K и L: K ∪ L = { w | w ∈ K или w ∈ L} - 2) Пересечение K и L: K ∩ L = { w | w ∈ K и w ∈ L} - 3) Язык Σ∗ − L называется дополнением (англ. complement) языка L относительно алфавита Σ. - Когда из контекста ясно, о каком алфавите идёт речь, говорят просто, что язык Σ∗ − L является дополнением языка L. - 4) Конкатенация K и L: Конкатенация двух языков, K и L — это язык, состоящий из всех возможных конкатенаций - строки из K и строки из L. KL = K·L={ uv | u ∈ K и v ∈ L} - 5) Степень языка: конкатенация k экземпляров одного и того же языка называется её k-й степенью. - L^k = L · ... · L (повторяется k раз) = {w_1 ... w_k | w_1,...,w_k ∈ L}. В частности, L^0 = {ε} для всякого языка L. - 6) Замыкание Клини (англ. Kleene closure): замыканием языка L (обозначение L∗) называется язык ∪(L^n), где n ∈ [0,∞). - Другими словами, это объединение L^n при n от нуля (включительно) до бесконечности. - Эта операция также называется звёздочкой Клини (англ. Kleene star, star operation). - 7) Гомоморфизм: Пусть Σ_1 и Σ_2 — алфавиты. Если отображение h : Σ∗_1 → Σ∗_2 удовлетворяет условию h(x · y) = h(x) · h(y) - для всех слов x ∈ Σ∗_1 и y ∈ Σ∗_1, то отображение h называется гомоморфизмом (морфизмом). - Также могут использоваться другие операции, например, обратный гомоморфизм. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Теорема Цермело - answer: > - Теорема Цермело (англ. Zermelo’s theorem): На любом множестве A можно ввести такой порядок ≤, что множество (A, ≤) будет вполне упорядоченным. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Что такое свободный моноид над множеством? - answer: > - Свободным моноидом M над множеством S (обозначается как M_S ) называется моноид над множеством - S^* — набором всевозможных последовательностей (или списков) конечной длины (в том числе и нулевой), - образованных из элементов множества S, — с ассоциативной операцией. - Поскольку операция в свободном моноиде не накладывает дополнительных соотношений между элементами множества S, - все слова в S^* однозначно определяются своим синтаксисом. Часто для свободного моноида над множеством S - используется операция конкатенации, которая в данном случае является полугрупповой операцией. Нейтральным элементом - свободного моноида является пустая последовательность. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Опиши структурную индукцию и приведи пример ее использования - answer: > - В теории автоматов используется несколько рекурсивно определяемых понятий, относительно которых будет необходимо - доказывать те или иные утверждения. Важными примерами таких понятий являются деревья и выражения. Подобно индукции, - все рекурсивные определения включают базис, где определяется одна или несколько элементарных структур, и индуктивный - шаг, с помощью которого более сложные структуры определяются через структуры, определенные ранее. - Пример: Рассмотрим рекурсивное определение дерева. Базис: одиночный узел есть дерево, и этот узел является корнем - дерева. Индукция: Если T1, T2, ..., Tk — деревья, то можно построить новое дерево следующим образом. - Возьмем в качестве корня новый узел N. Возьмем по одному экземпляру деревьев T1, T2 ,..., Tk. - Добавим ребра, соединяющие корень N с корнями каждого из деревьев T1, T2, ..., Tk. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Что такое нётерова индукция? - answer: > - Нётерова индукция — это обобщение трансфинитной индукции, которое заключается в следующем: - пусть ⟨X, R⟩ — фундированное множество, P(x) — некоторое утверждение об элементах множества X, и пусть мы хотим - показать, что P(x) верно для всех x ∈ X. Для этого достаточно показать, что если x ∈ X, и P(y) верно для всех - таких y ∈ X, что y R x, то P(x) также верно. Другими словами: ∀x ∈ X ((∀y ∈ X (y R x → P(y))) → P(x)) → ∀x ∈ X (P(x)). - author: Дьячков Егор - -- question: > - Что называется частичным порядком на множестве M? - answer: > - Отношением порядка, или частичным порядком, на множестве M называется бинарное отношение ϕ на M (определяемое - некоторым множеством R_{ϕ} ⊆ M × M), удовлетворяющее следующим условиям: - Рефлексивность: ∀a (a ϕ a) - Транзитивность: ∀a, b, c ((a ϕ b) ∧ (b ϕ c) ⇒ a ϕ c) - Антисимметричность: ∀a, b ((a ϕ b) ∧ (b ϕ a) ⇒ a = b) - Множество M, на котором задано отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным. - Если быть совсем точным, то частично упорядоченным множеством называется пара ⟨M, ϕ⟩, где M — множество, - а ϕ — отношение частичного порядка на M. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Чему равна размерность частично упорядоченного множества? - answer: > - Размерность частично упорядоченного множества ⟨M, ϕ⟩ равна максимальной - численности совокупности линейных порядков <_i (i ∈ I). - В основе этого определения находится свойство продолжаемости частичного порядка до линейного. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Какие существуют специальные типы частично упорядоченных множеств? - answer: > - 1) Линейно упорядоченные: Частично упорядоченное множество (X,<) называется линейно упорядоченным, или просто упорядоченным, если любые x, y ∈ - X сравнимы. - 2) Плотные: Два элемента x, y линейно упорядоченного множества называют соседними, если x < y и не существует - элемента между ними, то есть такого z, что x < z < y. Линейно упорядоченное множество называют плотным, если - в нём нет соседних элементов (то есть между любыми двумя есть третий). - 3) Вполне упорядоченные: Фундированные линейно упорядоченные множества называются вполне упорядоченными, - а соответствующие порядки — полными. - 4) Тривиально упорядоченные: Диагональное отношение △ (однородное на множестве A отношение ρ называется - △: диагональным (единичным), если xρy ⇔ x = y. Для единичного отношения на A часто используют также обозначение 1_A.) - на произвольном множестве можно рассматривать не только как - эквивалентность, но и как частичный порядок. Множество с таким порядком называют тривиально упорядоченным. - 5) Решётки: Частично упорядоченное множество (L, ≤) называется решёткой, если для любой пары элементов a, b ∈ L - существуют sup{a, b} и inf {a, b} - 6) Фундированные: Частично упорядоченное множество (P, ≤) называется фундированным, если всякое непустое подмножество S ⊆ P - имеет минимальный элемент. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Как можно рассматривать частично упорядоченное множество в теории категорий? - answer: > - Каждое частично упорядоченное множество (и каждый предпорядок) можно рассматривать как категорию, в которой каждое - множество морфизмов Hom(A, B) состоит не более чем из одного элемента. - Например, эту категорию можно определить так: Hom(A, B) = {(A, B)}, если A ≤ B (и пустое множество в противном - случае); правило композиции морфизмов: (y, z) ∘ (x, y) = (x, z). Каждая категория-предпорядок эквивалентна частично - упорядоченному множеству. Функтор из категории-частично упорядоченного множества — это коммутативная диаграмма. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Опиши совместную индукцию - answer: > - Совместная индукция — это метод, который используется, когда невозможно доказать по индукции отдельное утверждение. - Вместо этого необходимо доказать одновременно целую группу утверждений S_1(n), S_2(n), …, S_k(n) с помощью индукции - по n. В теории автоматов такая ситуация возникает достаточно часто. Например, существует общая ситуация, - когда действие автомата описывается группой утверждений, по одному для каждого состояния. В этих утверждениях - говорится, какие последовательности входных сигналов приводят автомат в каждое из его состояний. Строго говоря, - доказательство группы утверждений не отличается от доказательства их конъюнкции (логическое «И») — всех этих - утверждений одновременно. Например, группу утверждений S_1(n), S_2(n), …, S_k(n) можно заменить одним утверждением - S_1(n) ∧ S_2(n) ∧ … ∧ S_k(n). Однако, если необходимо доказывать несколько действительно независимых утверждений, - то проще рассматривать их отдельно, доказывая для каждого свой базис и индуктивный шаг. - Такой тип доказательства называется совместной индукцией. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Напиши теорему о трансфинитной рекурсии - answer: > - Ординалом называется порядковый тип вполне упорядоченного множества, то есть класс всех изоморфных ему упорядоченных - множеств. - Теорема (о трансфинитной рекурсии): - Фиксируем некоторый ординал α. Пусть h : X^{<α} → X. Тогда существует и единственная f : α → X такая, - что для любого β ∈ α, f(β) = h(f ⏐ β). - То есть можно построить единственную функцию f, определённую на всём ординале α, такую, - что её значение в каждой точке β определяется значениями функции на всех предыдущих отрезках - (меньших β) с использованием некоторого правила, заданного функцией h. - author: Дьячков Егор - -- question: > - Напиши аксиому регулярности и ее следствие - answer: > - Аксиома выбора: - Для любого непустого множества x существует выбирающая - функция, т.е. ψ : 2^x \{∅} → x , такая, что ∀y ⊆ x : y ≠ ∅ → ψ(y) ∈ y. - Аксиома регулярности (фундирования): каждое непустое множество X содержит элемент x такой, что X ∩ x = ∅. - ∀X(¬(X = ∅) → (∃x ∈ X)(x ∩ X = ∅)) - То есть для любого не пустого множества Х, существует элемент х в Х - такой, что пересечение Х и х пусто. Это означает, что (х) не содержит в себе элементов из (Х). - Следствие: не существует бесконечной последовательности множеств x_0,x_1,x_2,... такой, что x_0 ∋ x_1 ∋ x_2 ∋ ... - (в частности, ∃/ X(X ∈ X)) — достаточно рассмотреть X = {x_0,x_1,x_2,...} и применить аксиому. Из аксиомы выбора - следует, что верно и обратное: из несуществования бесконечной последовательности x_0 ∋ x_1 ∋ x_2 ∋ ... вытекает - аксиома регулярности — иначе (∃X ≠ ∅)(∀x ∈ X)(x ∩ X ≠ ∅) и по аксиоме выбора существует множество {x_0,x_1,x_2,...}, - в котором x_0 ∈ X, x_1 ∈ X ∩ x_0, x_2 ∈ X ∩ x_1 и т.д. - author: Дьячков Егор - - - -- question: > - Как реализуется алгоритм для проверки принадлежности слова w к языку L в детерминированном конечном автомате (сокр. ДКА)? - answer: > - Для проверки принадлежности слова w к языку L, распознаваемому детерминированным конечным автоматом (сокр. ДКА), используется рекурсивный алгоритм, который определяет, можно ли дойти до заключительного состояния автомата, прочитывая символы из w. - - На вход подаются: - - детерминированный конечный автомат A, заданный как кортеж (Q, Σ, δ, q₀, F), где Q — множество состояний, Σ — алфавит, δ — функция переходов, q₀ — начальное состояние, F — множество заключительных состояний; - - начальное состояние q из множества Q; - - слово w, которое представляется как последовательность символов из алфавита Σ. - - Алгоритм возвращает true, если слово w принадлежит языку, распознаваемому автоматом из состояния q, и false в противном случае. - - Пошаговое описание алгоритма: - 1. Если слово w пустое (обозначается ε), алгоритм проверяет, принадлежит ли текущее состояние q множеству заключительных состояний F. Если принадлежит, возвращается true; в противном случае возвращается false. - 2. Если слово w непустое, алгоритм разбивает его на первый символ (head(w)) и оставшуюся часть (tail(w)). Затем он вызывает функцию δ, чтобы перейти в следующее состояние на основе текущего состояния q и первого символа head(w). После этого алгоритм рекурсивно вызывает себя для оставшейся части слова tail(w) и нового состояния, полученного после перехода. - - Сложность алгоритма зависит от длины слова w: O(|w|), где |w| — это длина слова. - author: Шиятов Наиль - -- question: > - Как реализуется операция дополнения языка в детерминированном конечном автомате (сокр. ДКА)? - answer: > - Реализация операции дополнения для детерминированного конечного автомата (сокр. ДКА) предполагает преобразование автомата таким образом, чтобы он принимал все слова, которые не были приняты исходным автоматом. Поскольку ДКА имеет единственный путь для каждого слова, которое принимается только в случае достижения финального состояния, можно поменять местами финальные и нефинальные состояния и добавить состояние-ловушку, если это необходимо, для корректного дополнения. - Алгоритм предусматривает линейную сложность и включает состояние-ловушку, чтобы гарантировать, что автомат правильно обрабатывает все возможные слова языка. Если автомат не полон (то есть не определены переходы для некоторых символов), добавляется состояние-ловушка, в которое ведут все отсутствующие переходы из каждого состояния. - Входные данные: - - Детерминированный конечный автомат A, представленный как (Q, Σ, δ, q₀, F), где Q — множество состояний, Σ — алфавит, δ — функция переходов, q₀ — начальное состояние, а F — множество финальных состояний. - - На выходе: - - Новый ДКА B, представленный как (Q′, Σ, δ′, q′₀, F′), такой что язык L(B) является дополнением языка L(A). - - Шаги алгоритма: - 1. Установить Q′ = Q, δ′ = δ, q′₀ = q₀ и F′ = ∅. - 2. Если у автомата отсутствуют переходы для некоторых символов в состояниях, добавить новое состояние trap (ловушка) в Q′. Обновить δ′, направив все отсутствующие переходы из каждого состояния в trap. - 3. Для каждого состояния q из Q: - - Если q не принадлежит F (то есть не является финальным состоянием), добавить q в F′. - 4. Включить trap в F′, чтобы гарантировать, что любое слово, которое не принимается в исходном автомате, будет принято в дополненном автомате. - author: Шиятов Наиль - -- question: > - Почему операция дополнения для детерминированного конечного автомата (сокр. ДКА) сохраняет минимальность автомата? - answer: > - Операция дополнения для детерминированного конечного автомата (сокр. ДКА) сохраняет минимальность, поскольку каждое состояние дополненного автомата B распознает дополнение языка, который распознавало то же состояние в исходном автомате A. Если состояния исходного автомата A распознают попарно разные языки, то и состояния автомата B также будут распознавать различные языки. В соответствии с критерием минимальности, ДКА является минимальным, если его состояния распознают различные языки, то есть если каждое состояние соответствует уникальному подмножеству языка. - Однако, если исходный минимальный ДКА был сокращённым (trim), то после дополнения может появиться состояние-ловушка. Для сохранения числа состояний может потребоваться удалить это состояние-ловушку. - author: Шиятов Наиль - -- question: > - Какова цель и структура универсального алгоритма для выполнения бинарных булевых операций над языками, распознаваемыми детерминированным конечным автоматом (сокр. ДКА)? - answer: > - Цель универсального алгоритма заключается в том, чтобы, принимая два детерминированных конечных автомата (сокр. ДКА), распознающих языки L₁ и L₂, и бинарную булевую операцию (например, объединение, пересечение или разность), возвращать ДКА, распознающий результат применения этой операции к языкам L₁ и L₂. - Для корректной работы алгоритма с операциями объединения или разности необходимо, чтобы в исходных ДКА явно присутствовали все ловушки (или «непринимающие» состояния). Если ловушка отсутствует, алгоритм может не учесть все возможные переходы, и результат может быть некорректным. - Алгоритм работает следующим образом: +# fixed +- question: Какая система называется генератором лексического анализатора? + author: Dias Issakov + answer: > + Генератор лексического анализатора — это инструмент, который + автоматически создает код для лексического анализа на основе + заданного описания. Он принимает на вход правила, определяющие, + как распознавать лексемы, и генерирует программу, выполняющую + эти задачи. Примером таких генераторов являются lex в UNIX и + его GNU-версия flex, которые используют регулярные выражения + для описания лексем, сопровождаемые кодом действий для каждой + из них +# fixed +- question: Как различные языки программирования (например, Python, Java, JavaScript) реализуют поддержку обратных ссылок и захватывающих групп в регулярных выражениях, и как это может влиять на производительность? + author: Dias Issakov + answer: > + Обратные ссылки и захватывающие группы поддерживаются в большинстве + современных языков программирования, включая Python, Java и JavaScript. + Эти языки используют номера групп для создания обратных ссылок, например, + `\1`, `\2` и так далее. В Python и Java такие ссылки позволяют обращаться + к ранее захваченным подстрокам, что делает регулярные выражения мощным + инструментом, но при сложных шаблонах может замедлить выполнение. + В JavaScript также поддерживаются обратные ссылки и захватывающие группы, + но их производительность зависит от реализации движка JavaScript (например, + V8 или SpiderMonkey). Использование большого количества захватывающих групп + может увеличивать нагрузку на память и время обработки, независимо от языка +# fixed +- question: Как можно оптимизировать сложные регулярные выражения для обработки больших объемов данных в конкретных проектах на Java или C#? Приведите примеры. + author: Dias Issakov + answer: |- + Оптимизация сложных регулярных выражений в Java и C# включает несколько подходов: + + 1. Предварительная компиляция шаблонов: Используйте `Pattern.compile()` в Java или `Regex.Compile()` в C#. Это позволяет избежать затрат на повторную компиляцию выражения при его многократном использовании, что особенно важно для обработки больших объемов данных. Например: + ```java + Pattern pattern = Pattern.compile("\d{4}-\d{2}-\d{2}"); + Matcher matcher = pattern.matcher(input); + while (matcher.find()) { + System.out.println(matcher.group()); + } + ``` + ```csharp + var regex = new Regex(@"\d{4}-\d{2}-\d{2}", RegexOptions.Compiled); + foreach (Match match in regex.Matches(input)) { + Console.WriteLine(match.Value); + } + ``` + + 2. Избегайте жадных квантификаторов: По возможности используйте ленивые (`?`) или конкретные квантификаторы, чтобы уменьшить количество итераций и попыток сопоставления. Например, замените `.*` на `[^\s]*` для поиска без пробелов. + + 3. Оптимизация классов символов: Используйте точные классы символов. Вместо `.` укажите допустимые символы, например `[a-zA-Z]`. + + 4. Работа с потоками данных: Если объем данных велик, обрабатывайте их построчно или блоками, чтобы уменьшить потребление памяти. + + 5. Профилирование и тестирование: Для больших данных используйте профилировщики (например, JMH для Java или BenchmarkDotNet для C#) для измерения производительности регулярных выражений в контексте вашего приложения. + + Эти методы позволяют добиться как повышения производительности, так и улучшения читаемости и сопровождения кода +# fixed +- question: Как подходить к тестированию регулярных выражений? Какие методологии и инструменты использовать для обеспечения их корректности? + author: Dias Issakov + answer: |- + Тестирование регулярных выражений следует проводить систематически, используя следующие подходы: + + 1. Разработка через тестирование (TDD): Сначала создавайте тестовые примеры, охватывающие как корректные, так и некорректные входные данные. Это помогает определить, насколько точно регулярное выражение соответствует заданным требованиям. + + 2. Ручное тестирование и отладка: Используйте инструменты, такие как Regex101 или RegExr, для визуализации совпадений и пошагового анализа работы выражения. Например: + - Для шаблона `\b\d{4}-\d{2}-\d{2}\b` вы можете проверить строки "2024-11-23" (должно совпасть) и "2024/11/23" (не должно совпасть). + + 3. Юнит-тесты в коде: Интегрируйте тестирование в проект с помощью тестовых фреймворков: + - В Java с использованием JUnit: + ```java + @Test + public void testDateRegex() { + String regex = "\\b\\d{4}-\\d{2}-\\d{2}\\b"; + assertTrue("2024-11-23".matches(regex)); + assertFalse("2024/11/23".matches(regex)); + } + ``` + - В C# с NUnit: + ```csharp + [Test] + public void TestDateRegex() { + string regex = @"\b\d{4}-\d{2}-\d{2}\b"; + Assert.IsTrue(Regex.IsMatch("2024-11-23", regex)); + Assert.IsFalse(Regex.IsMatch("2024/11/23", regex)); + } + ``` + + 4. Крайние случаи: Учитывайте особые сценарии, такие как пустые строки, длинные строки или символы, выходящие за рамки предполагаемого диапазона. + + 5. Профилирование: Для больших данных проверяйте производительность регулярных выражений с помощью тестов, чтобы выявить потенциальные проблемы с избыточными итерациями. + + Методическое тестирование помогает не только выявить ошибки, но и улучшить производительность регулярных выражений +- question: Как регулярные выражения интегрируются с асинхронным программированием в таких языках, как JavaScript? Как это влияет на производительность? + author: Dias Issakov + answer: > + В асинхронных функциях использование регулярных выражений может быть трудным, + так как операции с ними могут блокировать поток. Однако, использование методов + match() или replace() в промисах помогает сохранить асинхронность, особенно при + обработке больших объемов данных. +- question: Опиши процесс принятия решения о том, когда использовать регулярные выражения, а когда — альтернативные методы разбора + author: Dias Issakov + answer: > + Если задача простая (например, валидация форматов), выбираю регулярные выражения. + Для сложных структур (например, HTML) использую парсеры, чтобы избежать ошибок. +- question: Расскажи про преобразование НКА в ДКА + author: Dias Issakov + answer: > + Одной из ключевых задач в теории автоматов является преобразование НКА в эквивалентный ДКА. + Этот процесс называется алгоритмом подмножества: создаются состояния для ДКА, которые + представляют собой множество состояний НКА; переходы определяются на основе всех возможных + переходов в НКА для каждого входного символа. +# fixed +- question: Опиши плюсы и минусы НКА и ДКА + author: Dias Issakov + answer: |- + НКА и ДКА имеют свои плюсы и минусы, которые определяют их применение в разных задачах: + + Плюсы НКА: + 1. Компактность: НКА часто требуют меньшее количество состояний для описания сложных шаблонов, чем ДКА. + 2. Простота построения: Алгоритмы для создания НКА из регулярных выражений проще и выполняются быстрее. + 3. Гибкость: НКА поддерживают несколько путей разбора, что делает их удобными для задач, где требуется обрабатывать неоднозначности. + + Минусы НКА: + 1. Сложность обработки: НКА требуют отслеживания всех возможных путей одновременно, что может быть вычислительно затратным. + 2. Неэффективность исполнения: При обработке входных данных производительность НКА хуже из-за необходимости проверки нескольких состояний параллельно. + + Плюсы ДКА: + 1. Однозначность: ДКА обрабатывают входные данные строго по одному пути, что обеспечивает детерминированное поведение. + 2. Высокая производительность: ДКА работают быстрее за счет отсутствия необходимости параллельно проверять несколько состояний. + 3. Простота исполнения: После построения ДКА легче интегрировать в программы, так как не требуется сложная логика обработки состояний. + + Минусы ДКА: + 1. Размер: ДКА могут требовать экспоненциально больше состояний, особенно для сложных регулярных выражений. + 2. Сложность построения: Преобразование НКА в ДКА (алгоритм subset construction) может быть вычислительно трудоемким и сложным. + + Практический трейд-офф: Выбор между НКА и ДКА зависит от задачи. Например, если требуется быстрое выполнение (например, в компиляторах), предпочтителен ДКА. Если задача связана с построением сложных шаблонов и гибкостью, НКА может быть удобнее. Однако в реальных системах часто применяется компромисс — генерация ДКА из НКА с оптимизацией размера автомата. +- question: Как использовать regex в многопоточном контексте? + author: Dias Issakov + answer: > + Разделите большой текстовый файл или данные на несколько частей, и каждая часть обрабатывается + в своем потоке. Например, в Java можно использовать ForkJoinPool для распараллеливания задач. + Далее используйте потокобезопасные библиотеки, как re в Python. Создавайте отдельные экземпляры + классов для работы с регулярными выражениями в каждом потоке - это предотвращает возможные + проблемы с состоянием. + +# new questions +- question: "Какие современные оптимизации применяются для работы с регулярными выражениями в языках программирования?" + author: Dias Issakov + answer: > + Современные языки программирования, такие как Python, JavaScript, C#, используют + множество оптимизаций для повышения производительности работы с регулярными + выражениями: + + 1. Предварительная компиляция шаблонов: Например, в C# используется флаг + `RegexOptions.Compiled`, который позволяет создать машинный код для выражения, + уменьшая накладные расходы на повторную обработку текста. - Вход: - - ДКА A₁ = (Q₁, Σ, δ₁, q₀₁, F₁) - - ДКА A₂ = (Q₂, Σ, δ₂, q₀₂, F₂) - - Выход: - - Новый ДКА A = (Q, Σ, δ, q₀, F), где L(A) — результат бинарной операции L(A₁) ♢ L(A₂) - - Структура алгоритма: - 1. Инициализация: - - Q, δ, F ← ∅. - - Начальное состояние q₀ ← [q₀₁, q₀₂]. - - W ← {q₀} — очередь, содержащая начальное состояние. - 2. Пока очередь W не пуста: - - Извлечь [q₁, q₂] из W. - - Добавить [q₁, q₂] в Q. - - Если (q₁ ∈ F₁) ♢ (q₂ ∈ F₂), то добавить [q₁, q₂] в F. - - Для каждого символа a из алфавита Σ: - - Вычислить δ₁(q₁, a) и δ₂(q₂, a). - - Если пара состояний [δ₁(q₁, a), δ₂(q₂, a)] не находится в Q, добавить ее в W. - - Добавить переход ([q₁, q₂], a, [δ₁(q₁, a), δ₂(q₂, a)]) в δ. - - Логика работы с различными операциями: - - Для операции объединения (L₁ ∪ L₂) нужно, чтобы каждое состояние переходило в ловушку, если оно не может принять строку, которая не принадлежит ни одному из языков. Поэтому наличие всех ловушек в исходных ДКА обязательно. - - Для операции пересечения (L₁ ∩ L₂) алгоритм работает аналогично, но состояния будут попадать в финальные только если оба исходных состояния — финальные. - - Для операции разности (L₁ - L₂) алгоритм требует, чтобы все состояния, которые могут перейти в финальные состояния, но не могут переходить в финальные состояния второго автомата, были учтены и правильно обработаны. - - Этот алгоритм подходит для выполнения любых бинарных операций над языками, распознаваемыми ДКА, с учетом правильной обработки состояния-ловушки для операции объединения и пересечения. - author: Шиятов Наиль - -- question: > - Каково количество состояний у результирующего детерминированного конечного автомата (сокр. ДКА) при выполнении бинарной булевой операции над двумя ДКА, и в каких случаях минимальность не сохраняется? - answer: > - Количество состояний у результирующего детерминированного конечного автомата (ДКА), полученного в результате выполнения бинарной булевой операции (например, объединения, пересечения или разности) над двумя ДКА, будет O(|Q₁| ⋅ |Q₂|), где |Q₁| и |Q₂| — количество состояний в исходных автоматах A₁ и A₂. Это количество состояний достигается независимо от выполняемой булевой операции, поскольку для каждой пары состояний из A₁ и A₂ создается новое состояние в результирующем автомате. - Для демонстрации достижимости этого предела рассмотрим алфавит Σ = {a} и язык Multₙ, который включает все слова длиной, кратной n. Минимальный ДКА для этого языка представляет собой цикл из n состояний, где начальное состояние также является единственным заключительным. Если взять два взаимно простых числа n₁ и n₂, то пересечение языков Multₙ₁ и Multₙ₂ будет равно языку Mult(n₁ ⋅ n₂), и минимальный ДКА для этого языка будет иметь не менее n₁ ⋅ n₂ состояний. - Однако минимальность не сохраняется в общем случае. Например, минимальный ДКА для языка L ∩ L будет иметь только одно состояние, в то время как результат выполнения операции над автоматами (то есть объединения, пересечения или разности) будет иметь количество состояний, равное количеству состояний минимального ДКА для L. Это связано с тем, что операция бинарной булевой операции может привести к увеличению количества состояний, даже если исходные автоматы были минимальными. - Важно также отметить, что для операции объединения двух ДКА, распознающих взаимно простые языки, результирующий автомат будет иметь количество состояний, равное произведению состояний этих двух автоматов. Это происходит, потому что все возможные комбинации состояний обоих автоматов должны быть учтены, и минимальность при этом не сохраняется из-за природы самой операции объединения. - author: Шиятов Наиль - -- question: > - Как определяется, что детерминированный конечный автомат (сокр. ДКА) принимает пустой язык, и какова сложность алгоритма проверки? - answer: > - Детерминированный конечный автомат (сокр. ДКА) принимает пустой язык тогда и только тогда, когда у него нет достижимых финальных состояний. Функция Empty(A) определяет, что автомат принимает пустой язык, если множество финальных состояний F пусто и если все финальные состояния недостижимы из начального состояния. - - В случае, когда автомат представлен как кортеж множеств (Q, Σ, δ, q₀, F), проверка на пустой язык сводится к выполнению двух шагов: - 1. Проверка, что множество финальных состояний F пусто. - 2. Проверка, что все финальные состояния недостижимы из начального состояния с помощью обхода графа состояний. + 2. Just-In-Time компиляция: В Java движок `java.util.regex` применяет JIT для + оптимизации часто используемых шаблонов. - Если финальные состояния F пусты, автомат сразу принимается как принимающий пустой язык. В случае, если F не пусто, алгоритм проверяет, достижимы ли эти состояния из начального состояния. - Время выполнения зависит от реализации. Если мы храним булевое значение, указывающее, есть ли в ДКА конечное состояние, то сложность функции Empty() составляет O(1). Если для проверки, что F = ∅, требуется линейный обход множества состояний Q, то сложность будет O(|Q|), где |Q| — количество состояний. - При этом, поскольку из каждого состояния может исходить лишь константное число переходов, на оценку сложности не влияет размер множества переходов, если размер алфавита считается константным. В случае с недетерминированным конечным автоматом (сокр. НКА) количество переходов могло бы повлиять на сложность, но в ДКА это не так. - author: Шиятов Наиль - -- question: > - Как определяется, что детерминированный конечный автомат (сокр. ДКА) принимает универсальный язык Σ∗, и какова сложность алгоритма проверки? - answer: > - Детерминированный конечный автомат (сокр. ДКА) принимает универсальный язык Σ* тогда и только тогда, когда все его состояния являются финальными. Автомат принимает универсальный язык, если множество финальных состояний F совпадает с множеством всех состояний Q автомата. Это условие гарантирует, что автомат будет принимать все слова из Σ*, так как любое слово приведет к одному из финальных состояний. - Если автомат находится в нормальной форме (каждое состояние достижимо из начального), то проверка сводится к проверке равенства множества F и множества Q, что имеет сложность O(1), а также к проверке, что автомат полон (т.е. есть переходы по всем буквам из всех состояний). - В противном случае, если автомат не находится в нормальной форме, необходимо сначала проверить достижимость состояний, что может потребовать O(|Q|) времени для поиска всех достижимых состояний, где |Q| — это количество состояний автомата. Затем, если все состояния достижимы, проверяется равенство множеств F и Q, что дает сложность O(|Q|). - author: Шиятов Наиль - -- question: > - Как можно проверить, что язык, распознаваемый одним детерминированным конечным автоматом (сокр. ДКА), является подмножеством языка, распознаваемого другим ДКА? - answer: > - Для проверки того, что язык L(A₁), распознаваемый детерминированным конечным автоматом A₁, является подмножеством языка L(A₂), распознаваемого детерминированным конечным автоматом A₂, используется алгоритм, который строит все возможные комбинации состояний из обоих автоматов (т.е. пары состояний [q₁, q₂], где q₁ — состояние из A₁, а q₂ — состояние из A₂). Затем для каждой такой пары проверяется, что если состояние q₁ является финальным в A₁ (q₁ ∈ F₁), то состояние q₂ должно быть финальным в A₂ (q₂ ∈ F₂). Если находится хотя бы одна пара, где q₁ является финальным состоянием в A₁, а q₂ не является финальным в A₂, то алгоритм возвращает false, что означает, что L(A₁) не является подмножеством L(A₂). В противном случае, если таких пар не найдено, алгоритм возвращает true, подтверждая, что L(A₁) является подмножеством L(A₂). - author: Шиятов Наиль - -- question: > - Как проверяется равенство языков двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА)? - answer: > - Равенство языков двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА) L(A₁) = L(A₂) проверяется с помощью симметрической разности L(A₁) Δ L(A₂). Если симметрическая разность пуста, то языки равны. Алгоритм проверки равенства двух языков модифицирует алгоритм проверки включения языков, проверяя, что для состояний [q₁, q₂] выполняется одно из следующих условий: если q₁ ∈ F₁ и q₂ ∉ F₂, или если q₁ ∉ F₁ и q₂ ∈ F₂, то возвращается false, что означает, что языки не равны. В противном случае возвращается true. - Назовём такой алгоритм стандартным алгоритмом проверки равенства языков двух ДКА. - author: Шиятов Наиль - -- question: > - Какой альтернативный подход существует для проверки равенства двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА), помимо алгоритма стандартного алгоритма проверки равенства языков двух ДКА? - answer: > - Альтернативный подход заключается в минимизации двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА) A₁ и A₂, а затем проверке, являются ли они изоморфными. Проверка изоморфизма может быть пропущена, если применить алгоритм бисимуляции (англ. CSR, coarsest stable refinement) к объединению двух недетерминированных конечных автоматов (сокр. НКА) A₁ ∪ A₂ и разделить состояния на блоки. Языки равны, если начальные состояния обоих автоматов находятся в одном блоке после завершения алгоритма. - author: Шиятов Наиль + 3. Оптимизация DFA и NFA: Регулярные выражения преобразуются в конечные + автоматы. Многие языки, такие как JavaScript, используют гибридный подход — + начальная обработка происходит на основе NFA, а при сложных выражениях используется + DFA. -- question: > - Какая сложность проверки равенства языков двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА) с использованием алгоритма Хопкрофта для вычисления бисимуляции (англ. CSR, coarsest stable refinement)? - answer: > - Если используется алгоритм Хопкрофта для вычисления бисимуляции (англ. CSR, coarsest stable refinement), то проверка равенства языков может быть выполнена за время O(n log n), где n — это сумма состояний автоматов A₁ и A₂. - author: Шиятов Наиль + 4. Векторизация операций: В Python 3.11 появилась поддержка векторизированной + обработки данных для ускорения сопоставлений. -- question: > - Какие преимущества имеет стандартный алгоритм проверки равенства двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА) по сравнению с методом минимизации автоматов для проверки равенства языков? - answer: > - Первое преимущество заключается в том, что стандартный алгоритм проверки равенства языков двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА) A₁ и A₂ работает "на лету" (on-the-fly). Это позволяет проверять равенство языков L(A₁) и L(A₂) ещё на этапе их построения и прерывать выполнение при обнаружении различий. Второе преимущество — возможность модифицировать алгоритм так, чтобы он возвращал контрпример (witness) — слово, принадлежащее симметрической разности L(A₁) и L(A₂), если языки не равны. - author: Шиятов Наиль - -- question: > - Как можно вычислить частичные производные Антимирова? - answer: > - Частичные производные Антимирова — это метод, который используется в классической теории автоматов для преобразования регулярных выражений в конечные автоматы. Для вычисления частичной производной от большого регулярного выражения, алгоритм вычисляет частичные производные рекурсивно. - Базовые случаи: - 1. Если регулярное выражение состоит из одного символа c, то его частичная производная по c равна пустому слову. - 2. Если регулярное выражение состоит из одного символа, отличного от c, то его частичная производная по c пустое множество. - 3. Частичная производная от пустого слова ε по любому символу пустое множество. - Сложные случаи: - Пусть r_1 и r_2 - регулярные выражения, L - язык, который описывается регулярным выражением. - 1. Если пустое слово принадлежит L(r_1), то частичная производная от r_1 r_2 по c получается путем взятия частичных производных от r_1 и r_2 по c и конкатенацией результата со вторым регулярным выражением r_2. - 2. Если пустое слово не принадлежит L(r_1), то частичная производная от r_1 r_2 по c получается путем взятия частичной производной от r_1 по c и конкатенацией результата со вторым регулярным выражением r_2. - 3. Частичная производная от r_1 | r_2 по c является объединением частичных производных от r_1 и r_2 по c. - 4. Частичная производная от r* по c состоит из всех конкатенаций r'r*, где r' - это частичная производная от r по c. - Алгоритм построения частных производных возвращает их множество. Полученные частичные производные используются для построения автомата Антимирова, где состояния автомата соответствуют элементам этого множества. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Какие условия необходимы для бисимуляции двух НКА? - answer: > - Бисимуляция определяет, когда два автомата ведут себя одинаково с точки зрения наблюдателя, который может видеть только входные символы и выходные состояния. - Чтобы определить отношение бисимуляции на конечных автоматах, к отношению бисимуляции на LTS(Система размеченных переходов) нужно добавить ограничения на бисимуляцию начальных и конечных состояний. Более точно, для бисимуляции НКА(недетерминированный конечный автомат) A1 и A2 необходимы следующие условия: - 1) каждому состоянию A1 бисимилярно состояние A2 и наоборот - 2) стартовому состоянию A1 бисимилярно стартовое состояние A2 - 2) каждому финальному состоянию A1 бисимилярно финальное состояние A2 и наоборот - Бисимилярные НКА распознают равные языки. - Состояния q_i и q_j в НКА А бисимилярны, если они связаны LTS-бисимуляцией и имеют одинаковую финальность в А. - Бисимуляцию НКА можно переформулировать как отношение бисимуляции состояний НКА такое, что стартовые состояния бисимилярны. - Отношение бисимуляции имеет важное свойство: бисимилярные состояния в автомате можно объединить без изменения его семантики. Это преобразование часто позволяет существенно упростить НКА. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Являются ли финальные состояния и состояния-ловушки бисимилярными в НКА? - answer: > - Состояния q_i и q_j в НКА(недетерминированный конечный автомат) А бисимилярны, если они связаны LTS-бисимуляцией(форма бисимуляции в системе размеченных переходов, которая используется для сравнения поведения автоматов) и имеют одинаковую финальность в А, то есть состояния либо оба являются конечными, либо оба не являются конечными состояниями. - Все состояния-ловушки в любом полном автомате (т.е. с явно присутствующими переходами по всем буквам алфавита) бисимилярны друг другу. Все финальные состояния без переходов из них (кроме как в ловушки) также бисимилярны. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Что такое трансформационный моноид? + 5. Ограничение экспоненциальной сложности: Современные интерпретаторы + добавляют защиту от атак типа Regular Expression Denial of Service (ReDoS), + автоматически определяя потенциально уязвимые выражения. +- question: "Какой подход используется для многопоточной работы с регулярными выражениями в современных языках программирования?" + author: Dias Issakov answer: > - Трансформационный моноид M_A для ДКА А - это моноид над базисом функций F_a таких, что F_a(q_i) = q_j тогда и только тогда, когда состояние q_i переходит в состояние q_j по a в А. - Иначе можно сказать, что трансформационный моноид M_A определяется множеством классов эквивалентности {w | w ∈ ∑+} таким, что w_i = w_j тогда и только тогда, когда F_{w_i} = F_{w_j}. В трансформационном моноиде строки являются действиями над состояниями автомата. - author: Егорова Алиса + Поддержка многопоточности при работе с регулярными выражениями сильно зависит от + языка программирования и особенностей его реализации: -- question: > - Какие свойства есть у трансформационного моноида? - answer: > - Для трансформационного моноида M_A верны эти свойства: - 1) M_A определяется фактормножеством классов эквивалентности и правилами переписывания, задающими эквивалентность. Пустое слово обычно не включается в множество w_i. - 2) Поскольку множество F_{w_i} в случае ДКА конечно, то M_A содержит конечное число классов эквивалентности (верно и обратное: каждый такой моноид определяет ДКА). F_{w_i} - множество возможных действий над состояниями автомата. - 3) Трансмоноид строится для ДКА без ловушек; переход в ловушку обозначается в таблице переходов прочерком. - 4) Для единообразия записи трансформаций и перестановок в алгебре, в таблице переходов пишут только номера состояний ДКА А. - Таблица переходов - таблица, в которой столбцы соответствуют состояниям автомата, строки - символам входного алфавита, а каждая ячейка содержит состояние, в которое происходит переход по соответствующему символу из соответсвующего состояния. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Как строится трансформационный моноид? - answer: > - Построим таблицу переходов, в которой столбцы соответствуют состояниям автомата, строки - символам входного алфавита, а каждая ячейка содержит состояние, в которое происходит переход по соответствующему символу из соответсвующего состояния. - Таким образом определяем соответсвие между буквами и множествами переходов по ним и будем расширять этот список новыми словами в лексикографическом порядке. Если очередное слово задает такую же трансформацию, как и уже рассмотренное, порождаем соответствующее правило переписывания. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Что такое синтаксический моноид? - answer: > - Определим отношение синтаксической конгруэнтности слов: - w_i ~ по L w_j ⇔ для любых x, y (x w_i y ∈ L ⇔ x w_j y ∈ L). - То есть, заменяя подслова из одного класса эквивалентности друг на друга, мы не меняем принадлежности слова, в котором сделана замена, языку. - Синтаксическая конгруэнтность делит все слова на классы эквивалентности. Слова в одном классе можно заменять друг на друга, не нарушая принадлежности к языку. - Синтаксический моноид M(L) - это множество классов эквивалентности языка L относительно ~ по L (отношение бисимуляции по L). То есть такая полугруппа с единицей над w ∈ ∑*, что w_i = w_j ⇔ w_i ~ по L w_j (равенство здесь понимается в алгебраическом смысле: как возможность преобразовать w_i и w_j к одному и тому же слову) - Лемма. Синтаксический моноид регулярного языка L совпадает с трансформационным моноидом минимального ДКА, его распознающего. - Синтаксический моноид - атрибут языка, а трансформационный моноид - атрибут конкретного автомата, распознающего этот язык. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Доказательство теоремы Майхилла-Нероуда (англ. Myhill-Nerode theorem)? - answer: > - L-некоторый регулярный язык. Определим отношение эквивалентности по Нероуду как: w_i ≡ по L w_j ⇔ для любых y (w_i y ∈ L ⇔ w_j y ∈ L). Таким образом, два слова эквивалентны по Нероуду тогда и только тогда замена префикса слова на другой префикс из того же класса эквивалентности не меняет принадлежности слова языку. - Теорема Майхилла-Нероуда.(Критерий регулярности языка) - Язык L регулярен тогда и только тогда, когда множество классов эквивалентности ≡ по L конечно. - Доказательство: - =>: Пусть L регулярен. Тогда он порождается некоторым DFA A с конечным числом состояний N. Значит, множество {q_i | q_0 переходит по w в q_i} конечно, а для каждых двух w_1, w_2 таких, что q_0 переходит по w_1 в q_i и q_0 переходит по w_2 в q_i выполняется w_1 ≡ по L w_2. - <=: Пусть все слова в ∑* принадлежат N классам эквивалентности A_1...A_n по ≡ по L. Построим по ним DFA A, распознающий L. - Классы A_i сопоставим состояниям: - 1) Начальным объявим класс эквивалентности A_0 такой, что ε ∈ A_0. - 2) Конечными объявим такие A_j, что для любого w ∈ A_j: (w ∈ L). - 3) Если w_i a ≡ по L w_j, то w_i переходит по a в w_j. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Как минимизировать ДКА? - answer: > - Минимизация ДКА. Рассмотрим один из методов минимизиции: - 1) Построим таблицу всех двухэлементных множеств {q_i, q_j} q_i, q_j ∈ Q (множество состояний). - 2) Пометим все пары, в которых один элемент финальный, а другой нет. - 3) Пометим все множества {q_i, q_j} такие, что существует такой a, что (q_i переходит по a в q_1' и q_j переходит по a в q_2' и {q_1',q_2'} - помеченная пара). - 4) Продолжаем шаг 3, пока не будет появляться новых помеченых пар. Пары оставшиеся непомеченными, можно объединить. - Существуют и другие методы минимизации ДКА, например, алгоритм минимизации Бреннера и алгоритм Хопкрофта. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Как доказать минимальность детерминированного конечного автомата? - answer: > - Для доказательства минимальности детерминированного конечного автомата способом построения таблиц необходимо построить таблицу классов эквивалентности. Для построения таблицы выбираются w_i - префиксы, которые приводят в различные состояния автомата. Эти префиксы используются для определения строк таблицы. - Подбираются различающие суффиксы z_i, которые используются для определения столбцов таблицы. - Для каждого префикса w_i и суффикса z_i проверяется, принадлежит ли слово w_i z_i языку. Значения таблицы содержат 0 и 1, то есть принадлежит или не принадлежит слово языку. Если в этой таблице все строчки различны, значит выбранные w_i действительно лежат в различных классах эквивалентности, и ДКА, распознающий язык L, не может иметь меньше len(w_i) состояний. - При доказательстве минимальности ДКА достаточно подобрать [log_2(n)]+1 различающих суффиксов z_i, где n - число состояний автомата. - Также можно минимизировать автомат и в случае, если результат равен исходному с точностью до нумерации состояний - это означает, что данный автомат минимален. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Какие свойства есть у множества функций переходов ДКА (детерминированного конечного автомата)? - answer: > - Свойства множества функций переходов ДКА: - 1) Существует единичная функция F_ε такая, что F_ε ∘ F_ξ = F_ξ ∘ F_ε = F_ξ. То есть композиция единичной функции с любой другой функцией из множества функций переходов детерминированного конечного автомата (ДКА) сохраняет эту другую функцию. - 2) Композиция ассоциативна. - Таким образом, функции переходов по словам из ∑* в ДКА А образуют моноид относительно композиции. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Означает ли бисимуляция состояний равенство НКА? - answer: > - В равных НКА состояния бисимилярны, однако только условия существования бисимуляции и биекции бисимилярных состояний недостаточно, чтобы гарантировать равенство. - author: Егорова Алиса - -- question: > - Учитывает ли трансформационный моноид финальность состояний? - answer: > - Трансформационный моноид строится в контексте LTS(Система размеченных переходов), то есть без учета финальности состояний. - Поэтому из ДКА, по которому строится трансформационный моноид, предварительно удаляются все ловушки, иначе в нем могут появиться правила переписывания, не имеющие никакого отношения к языку ДКА. - author: Егорова Алиса - -- question: > - В хорошо написанном регулярном выражении должны быть сбалансированы какие факторы? - answer: > - В хорошо написанном регулярном выражении должны быть сбалансированы несколько факторов: - • Регулярное выражение должно находить именно те фрагменты текста, которые соответствуют заданным условиям. В зависимости от задачи, подход может различаться: например, fullmatch проверяет полное совпадение всей строки с выражением, в то время как search подходит для нахождения фрагментов внутри строки. Такое разграничение позволяет выбирать правильный метод для каждой задачи, будь то полное соответствие или частичное. - • Регулярное выражение должно оставаться понятным и легким для поддержки. Сложные, трудно читаемые выражения могут затруднить их использование и усложнить внесение изменений, повышая риск ошибок. - • При использовании механизма недетерминированного конечного автомата (НКА) выражение должно быть эффективно и приводить к быстрому результату. Однако стоит учитывать, что конструкции с итерацией Клини (* и +) особенно в начале выражения могут усилить недетерминизм, что повышает вероятность долгого перебора вариантов и ухудшает производительность. Хорошо составленное регулярное выражение должно минимизировать такие конструкции, если это возможно, чтобы избежать избыточной сложности и не затягивать обработку. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Какие возможности механизм НКА может поддерживать, недоступные для ДКА? (в конетексте регулярных выражений и языков) - answer: > - Механизм недетерминированного конечного автомата (НКА) обладает рядом возможностей, недоступных для детерминированного конечного автомата (ДКА), что делает его более гибким и мощным инструментом для работы с регулярными выражениями: - 1. Возможность использовать захваченную строку по имени группы вне регулярного выражения: НКА поддерживает возможность захвата текста, заключённого в круглые скобки в регулярном выражении, и использования этих захваченных фрагментов в дальнейшем, что позволяет гибко работать с результатами сопоставлений. - 2. Позиционные и сложные проверки с нулевой длиной совпадения: НКА может выполнять позиционные проверки (например, проверки начала или конца строки) и другие сложные проверки, не требующие дополнительных символов для совпадения. - 3. Минимальные квантификаторы и упорядоченный выбор: В отличие от ДКА, который обеспечивает поиск минимального совпадения в целом, НКА поддерживает локальные минимальные квантификаторы и упорядоченный выбор, что позволяет регулировать последовательность проверок и минимизировать длину совпадений на более локальном уровне. - 4. Захватывающие квантификаторы и атомарная группировка: НКА поддерживает захватывающие квантификаторы и атомарную группировку, что позволяет эффективно контролировать совпадения и избегать ненужных проверок. - 5. Обработка многоопределённости: НКА поддерживает обработку языков, в которых на одном и том же месте могут быть несколько вариантов ввода, что позволяет учитывать альтернативные пути при распознавании строки (например, через операторы выбора, такие как | в регулярных выражениях). Это даёт НКА гибкость, так как он может одновременно рассматривать несколько возможных путей для распознавания. В отличие от этого, ДКА ограничен обработкой языков, где каждый ввод имеет строго определённый путь разбора, и требует создания отдельных состояний для каждой альтернативы, что делает его менее компактным и сложным в плане реализации для таких выражений. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Три закона для коммутативности и ассоциативности регулярных языков - answer: > - 1. L + M = M + L — коммутативный закон для объединения утверждает, что два языка можно объединять в любом порядке. - 2. (L + M) + N = L + (M + N) — это ассоциативный закон объединения, который говорит, что для объединения трёх языков можно сначала объединить как два первых, так и два последних из них. Вместе с коммутативным законом этот закон позволяет объединять любое количество языков в произвольном порядке, разбивая их на любые группы, и результат будет одним и тем же. Очевидно, что некоторая цепочка принадлежит объединению L_1 ∪ L_2 ∪ … ∪ L_k тогда и только тогда, когда она принадлежит одному или нескольким языкам L_i. - 3. (LM)N = L(MN) — ассоциативный закон конкатенации гласит, что для конкатенации трёх языков можно сначала соединить как два первых, так и два последних из них. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Три закона для коммутативности и ассоциативности регулярных выражений - answer: > - 1. L∣M=M∣L — коммутативный закон для объединения утверждает, что операнды в регулярных выражениях объединения можно менять местами, и это не изменяет язык, который они распознают. - 2. ((L∣M)∣N)=(L∣(M∣N)) — это ассоциативный закон объединения, который говорит, что для объединения трёх регулярных выражений можно сначала объединить как два первых, так и два последних из них, и результат будет тот же. Вместе с коммутативным законом этот закон позволяет менять порядок и группировку операндов в объединении произвольного числа регулярных выражений без изменения распознаваемого ими языка. - 3. (LM)N = L(MN) — ассоциативный закон конкатенации гласит, что для конкатенации трёх регулярных выражений можно сначала соединить два первых, а затем третий, либо наоборот, и результат останется одинаковым. - Примечание: в данном ответе для операции объединения используется символ |, который является стандартным в регулярных выражениях. В то же время в математической теории автоматов и в рамках полукольца эту операцию может быть записана, как +. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Дистрибутивные законы для регулярных выражений - answer: > - Для регулярных выражений существует закон дистрибутивности, но, поскольку операция конкатенации некоммутативна, то он формулируется в виде следующих двух законов: - • L(M∣N)=(LM∣LN). Этот закон называется левосторонним дистрибутивным законом конкатенации относительно объединения. - • (M∣N)L=(ML∣NL). Этот закон называется правосторонним дистрибутивным законом конкатенации относительно объединения. - Примечание: в данном ответе для операции объединения используется символ |, который является стандартным в регулярных выражениях. В то же время в математической теории автоматов и в рамках полукольца эту операцию может быть записана, как +. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Законы связанные с оператором итерации (в контексте регулярных выражений и языков) - answer: > - Существует ряд законов, связанных с операцией итерации и её разновидностями + и ? в стиле UNIX. - • (L^*)^* = L^*. Этот закон утверждает, что при повторной итерации язык уже итерированного выражения не меняется. Язык выражения (L^*)^* содержит все цепочки, образованные конкатенацией цепочек языка L^*. Последние же цепочки построены из цепочек языка L. Таким образом, цепочки языка ( также являются конкатенациями цепочек из L и, следовательно, принадлежат языку L^*. - • ∅^* = ε. Итерация языка ∅ состоит из одной-единственной цепочки ε. - • ε* = ε. Легко проверить, что единственной цепочкой, которую можно образовать конкатенацией любого количества пустых цепочек, будет всё та же пустая цепочка. - • L⁺ = L(L^*) = (L^*)L. - Поскольку L⁺ по определению равно L∣LL∣LLL∣…. - А также в силу того, что L^* = ε∣L∣LL∣LLL∣…, то - L(L^*) = Lε∣LL∣LLL∣LLLL∣… - Если учесть, что Lε = L, то очевидно, что бесконечные разложения для L(L^*) и для L⁺ совпадают. Это доказывает, что L⁺ = L(L^*). Доказательство того, что L⁺ = (L^*)L, аналогично. - • L^* = L⁺|ε. Это легко доказать, поскольку в разложении L⁺ присутствуют те же члены, что и в разложении L^*, за исключением цепочки ε. Заметим, что если язык L содержит цепочку ε, то `|ε` лишнее, т.е. в этом случае L⁺ = L^*. - • L? = ε|L. В действительности это правило является определением оператора "?". - Примечание: в данном ответе символ | используется для обозначения объединения, что является стандартом в регулярных выражениях. При этом в математических обозначениях или в рамках теории полуколец операция объединения часто записывается как +. Однако, чтобы избежать путаницы с оператором "позитивной итерации" (+), используется синонимичный символ |. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Преобразование НКА в ДКА - answer: > - Преобразование НКА в ДКА может занимать экспоненциальное время относительно количества состояний НКА. Вычисление ε-замыкания для n состояний занимает O(n³), так как нужно исследовать до n² дуг. Это можно сделать с помощью алгоритма Флойда-Уоршелла нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин. - После вычисления ε-замыкания можно перейти к синтезу ДКА с помощью конструкции подмножеств. Основное влияние на расход времени оказывает количество состояний ДКА, которое может равняться 2ⁿ. Для каждого состояния можно вычислить переходы завремя O(n³), используя ε-замыкание и таблицу переходов НКА для каждого входного символа. Предположим, нужно вычислить δ({q_1, q_2, …, q_k}, a) для ДКА. Из каждого со стояния q_i можно достичь не более n состояний вдоль путей с меткой ε, и каждое из этих состояний может иметь не более, чем n дуг с меткой a. Создав массив, проиндексиро ванный состояниями, можно вычислить объединение не более n множеств, состоящих из не более, чем n состояний, за время, пропорциональное n². - Таким способом для каждого состояния q_i можно вычислить множество состояний, достижимых из q_i вдоль пути с меткой a (возможно, включая дуги, отмеченные ε). Поскольку k ≤ n, то существует не более n таких состояний q_i, и для каждого из них вычисление достижимых состояний занимает время O(n²). Таким образом, общее время вычисления достижимых состояний равно O(n³). Для объединения множеств достижимых состояний потребуется только O(n²) дополнительного времени, следовательно, вычисление одного перехода ДКА занимает время O(n³). - Заметим, что количество входных символов считается постоянным и не зависит от n. Таким образом, как в этой, так и в других оценках времени работы количество входных символов не рассматривается. Размер входного алфавита влияет только на постоянный коэффициент, скрытый в обозначении “О большого”. - Итак, время преобразования НКА в ДКА, включая ситуацию, когда НКА содержит ε переходы, равно O((n³)(2ⁿ)). Конечно, на практике обычно число состояний, которые строятся, намного меньше 2ⁿ. Иногда их всего лишь n. Поэтому можно установить оценку времени работы равной O(n³s), где s — это число состояний, которые в действительности есть у ДКА. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Проверка истинности алгебраических тождеств (в контексте регулярных языков и выражений) - answer: > - Проверка истинности алгебраических тождеств заключается в проверке эквивалентности двух регулярных выражений. Это означает, что оба выражения должны описывать один и тот же язык — множество строк, которые они распознают, должно совпадать. - Подходы для проверки эквивалентности регулярных выражений: - 1. Преобразование в конечные автоматы: - Можно преобразовать оба регулярных выражения в недетерминированные конечные автоматы (НКА), а затем привести их к эквивалентным детерминированным конечным автоматам (ДКА). - После этого проверяется эквивалентность автоматов, что означает, что их язык принимаемый ими язык одинаков. - Автоматы считаются эквивалентными, если они принимают один и тот же язык, то есть принимают одни и те же строки. - 2. Минимизация автоматов: - После получения ДКА для каждого регулярного выражения можно минимизировать оба автомата. - Минимизированные ДКА будут эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны (имеют одинаковую структуру). - 3. Метод разницы языков: - Можно построить автомат, который распознает разницу языков, описываемых двумя регулярными выражениями L_1 и L_2 : это язык, состоящий из всех строк, которые принадлежат L_1, но не принадлежат L_2, и всех строк, которые принадлежат L_2 , но не принадлежат L_1. - Если разность языков пуста (нет таких строк), значит, регулярные выражения эквивалентны. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Доказательство леммы о накачке для регулярных языков (Пусть L - регулярный язык) - answer: > - Теорема: Для любого регулярного языка L существует число n ∈ ℕ такое, что ∀ w ∈ L, |w| ≥ n найдутся такие три слова x, y, z, что: w = xyz; y ≠ ε; |xy| ≤ n; ∀ k ≥ 0: x(y^k)z ∈ L. - Доказательсво: Пусть L — регулярный язык, которому соответствует конечный автомат с числом вершин n, а w ∈ L — слово длины не менее n. - Рассмотрим последовательность вершин конечного автомата в порядке их посещения при разборе слова w: a_0, a_1, a_2, ..., a_m. Последовательность, очевидно, содержит m+1 вершину, и m ≥ n. - Так как всего в графе только n вершин, хотя бы одна из них повторяется в последовательности. Пусть a_i — первая вершина последовательности из числа повторяющихся, причём второй раз она встретилась в позиции j. Тогда x — первые i символов строки w, y — отрезок w, соответствующий перемещению из a_i в a_j, а z — отрезок w, соответствующий перемещению из a_j в a_n. - Так как переход от a_i к a_j образует цикл в конечном автомате, по этому циклу можно пройти произвольное (в том числе и нулевое!) число раз, и всякий раз будет получаться строчка, принимаемая автоматом, поэтому ∀ k ∈ ℕ_0: x(y^k)z ∈ L. - При этом пара состояний a_i, a_j — первый повтор в рассматриваемой последовательности. Значит, все состояния a_0, a_1, ..., a_{j-1} являются различными. Раз так, то их не больше n. Отсюда получаем, что j ≤ n и |xy| ≤ n, что и требовалось доказать. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Что делать, если языки имеют разные алфавиты? (в контексте регулярных языков и выражений) - answer: > - При объединении или пересечении двух языков L и M может оказаться, что они определены в разных алфавитах. Например, возможен случай, когда L1 ⊆ {a, b}^*, а L2 ⊆ {b, c, d}^*. Однако, если язык L состоит из цепочек символов алфавита Σ, то L можно также рассматривать как язык в любом конечном алфавите, включающем Σ (надмножестве Σ). - Например, можно представить указанные выше языки L_1 и L_2 как языки в алфавите {a, b, c, d}. То, что ни одна цепочка языка L_1 не содержит символов c или d, несущественно, как и то, что ни одна цепочка языка L_2 не содержит a. Аналогично, рассматривая дополнение языка L, который является подмножеством множества (Σ_1)* для некоторого алфавита Σ_1, можно взять дополнение относительно некоторого алфавита Σ_2, включающего Σ_1 (надмножества Σ_1). В этом случае дополнением L будет (Σ_2)* – L, т.е. дополнение языка L относительно алфавита Σ_2 включает (среди прочих) все цепочки из (Σ_2)*, которые содержат хотя бы один символ алфавита Σ_2, не принадлежащий Σ_1. - Если взять дополнение L относительно Σ_1, то ни одна цепочка, содержащая символы из Σ_2 – Σ_1, не попадет в L. - Таким образом, чтобы избежать неточностей, нужно указывать алфавит, относительно которого берется дополнение. Часто, однако, бывает очевидно, какой алфавит подразумевается в конкретном случае. Например, если язык L определен некоторым автоматом, то в описании этого автомата указывается и алфавит. - Итак, во многих ситуациях можно говорить о “дополнении”, не указывая алфавит. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Теорема Майхилла-Нероде (англ. Myhill-Nerode) для регулярных языков - answer: > - Теорема Майхилла-Нероде (англ. Myhill-Nerode). Пусть L — язык и пусть ≡_L — отношение эквивалентности на множестве строк, где u ≡_L u', если для всякой строки v строки uv и u'v или обе лежат в L или обе не лежат. Это отношение называется суффиксной конгруэнтностью для языка L. Утверждается, что язык L регулярен тогда и только тогда, когда число классов эквивалентности в отношении ≡_L конечно. - Расширение понятия на другие классы языков: - Подходы, аналогичные теореме Майхилла-Нероде, применяются и в анализе более сложных языков, таких как древесные языки и видимо-контекстно-свободные языки (VPL). - Суффиксная конгруэнтность древесных языков: Для древесных языков суффиксная конгруэнтность классифицирует деревья на основе их суффиксов. Два дерева эквивалентны, если добавление одного и того же поддерева приводит к деревьям, которые либо оба принадлежат языку, либо оба не принадлежат. Это позволяет разбить множество деревьев на конечное число классов эквивалентности. - Visibly Pushdown Languages (VPL): Для VPL суффиксная конгруэнтность применяется к сбалансированным словам, где видна структура стека. Два слова считаются эквивалентными, если любые продолжения этих слов приводят к одинаковым конфигурациям стека. Это также позволяет выделить конечное число классов эквивалентности. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Что называется конфигурацией ДКА - answer: > - Пусть M = (Q, Σ, s, F, 𝛿). Q – конечное множество состояний, Σ - алфавит. s ∈ Q – начальное состояние, F ⊆ Q – - множество заключительных состояний, а 𝛿 : Q × Σ → Q – функция перехода. - Конфигурацией ДКА M = (Q, Σ, s, F, 𝛿) называется произвольная пара (q, w), где q ∈ Q, w ∈ Σ*. - Где Σ* Множество слов алфавита Σ, Σ* = ⋃︁_(n ∈ N) Σⁿ. - Таким образом, Конфигурация (q, w) описывает текущее состояние автомата и оставшуюся часть входного слова, которое нужно обработать. - q — текущее состояние, в котором находится автомат. - w — оставшаяся часть слова, которую автомат ещё не прочитал. - Каждый шаг работы ДКА можно представить как переход из одной конфигурации в другую, где автомат «чтение за чтением» меняет состояние в зависимости от текущего символа слова (с помощью функции перехода δ), пока либо не завершит чтение слова, либо не придёт в состояние, из которого больше нет возможных переходов. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Как задаётся суффиксная конгруэнтность языка L на множестве слов алфавита? - answer: > - Σ* - Множество слов алфавита Σ. Σ* = ⋃︁_(n ∈ N) Σⁿ. - Бинарное отношение ≡_L, называемое суффиксной конгруэнтностью для языка L, задаётся на множестве Σ* следующим образом: - ∀x, y ∈ Σ*, x ≡_L y ⇔ ∀ z ∈ Σ*, xz ∈ L ⇔ yz ∈ L - Проще говоря, слова x и y находятся в отношении ≡_L, если для каждого слова z приписывание его справа к x приводит к слову, принадлежащему языку L, тогда и только тогда, когда приписывание справа того же слова z к y также приводит к слову, принадлежащему L. Это отношение называется суффиксной конгруэнтностью для языка L. - Таким образом, бинарное отношение ≡_L делит множество Σ* на классы эквивалентности. Каждому классу эквивалентности соответствуют слова, которые ведут себя одинаково с точки зрения принадлежности к языку L после добавления любого другого слова. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Пусть a – регулярное выражение алфавита. Как Язык L(a), являющийся подмножеством множества слов алфавита, определяется по регулярному выражению a индукцией по структуре a? - answer: > - Чтобы определить язык L(a) ⊆ Σ* по регулярному выражению a, можно использовать индукцию по структуре выражения a, основываясь на его составных частях. То есть мы последовательно определяем язык, соответствующий каждому элементарному случаю и операции над регулярными выражениями: - 1. Пустое множество: L(∅) = ∅ — язык, который не содержит ни одного слова. - 2. Базовый символ: L(a) = {a}, где a ∈ Σ. Это язык, состоящий из одного слова, представляющего символ a. - 3. Объединение языков: L(a ∪ b) = L(a) ∪ L(b). Если регулярное выражение a ∪ b описывает объединение двух языков, то язык L(a ∪ b) включает все слова из L(a) и L(b). - 4. Конкатенация языков: L(a ∘ b) = L(a) ∘ L(b). Здесь a∘b описывает конкатенацию языков, и язык L(a∘b) состоит из всех слов, которые можно получить, последовательно объединяя слова из L(a) и L(b). - 5. Замыкание Клини (итерация): L(a*) = L(a)*. Замыкание Клини для регулярного выражения a представляет собой множество всех возможных конкатенаций любого количества (включая ноль) слов из L(a). Это позволяет получить язык, включающий все повторения слов из L(a). - Таким образом, используя эти правила, можно по шагам построить язык для любого регулярного выражения, последовательно применяя операторы к более простым выражениям и определяя язык для каждой из составляющих частей. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Лемма о разрастании для регулярных языков - answer: > - Лемма о разрастании также называется леммой о накачке (по-английски - никаких разночтений: pumping lemma) - Теорема: Для любого регулярного языка L существует число n ∈ ℕ такое, что для любого слова w ∈ L, |w| ≥ n найдутся такие три слова x, y, z, что: - 1. w = xyz; y ≠ ε; - 2. |xy| ≤ n; - 3. ∀ k ≥ 0: x(y^k)z ∈ L. - Таким образом эта лемма утверждает, что любой регулярный язык допускает представление всех своих достаточно длинных цепочек в виде соединения трех цепочек, причем средняя цепочка из этих трех не пуста, ограничена по длине, и ее `накачка` — повторение любое число раз — или выбрасывание не выводит за пределы языка (т.е. дает цепочки, принадлежащие данному регулярному языку). - author: Еделькин Герман - -- question: > - Какие факторы должны быть сбалансированны в хорошо написанном регулярном выражении? - answer: > - В хорошо написанном регулярном выражении должны быть сбалансированы несколько факторов: - • Регулярное выражение должно находить именно те фрагменты текста, которые соответствуют заданным условиям. В зависимости от задачи, подход может различаться: например, fullmatch проверяет полное совпадение всей строки с выражением, в то время как search подходит для нахождения фрагментов внутри строки. Такое разграничение позволяет выбирать правильный метод для каждой задачи, будь то полное соответствие или частичное. - • Регулярное выражение должно оставаться понятным и легким для поддержки. Сложные, трудно читаемые выражения могут затруднить их использование и усложнить внесение изменений, повышая риск ошибок. - • При использовании механизма недетерминированного конечного автомата (НКА) выражение должно быть эффективно и приводить к быстрому результату. Однако стоит учитывать, что конструкции с итерацией Клини (* и +) особенно в начале выражения могут усилить недетерминизм, что повышает вероятность долгого перебора вариантов и ухудшает производительность. Хорошо составленное регулярное выражение должно минимизировать такие конструкции, если это возможно, чтобы избежать избыточной сложности и не затягивать обработку. - author: Еделькин Герман - -- question: > - Что такое существенно неоднозначный контекстно-свободный язык? - answer: > - Контекстно-свободный язык L называется существенно неоднозначным, если все - его грамматики неоднозначны (Неоднозначной грамматикой (англ. ambiguous grammar) называется грамматика, - в которой можно вывести некоторое слово более чем одним способом (то есть для строки (слова) есть более одного дерева разбора). - Если хотя бы одна грамматика языка L однозначна, то L является однозначным языком. - author: "Якубов Павел" -- question: > - Что такое полезный символ в контекстно-свободной грамматике Γ = ⟨N, Σ, P, S⟩? - answer: > - Символ X называется полезным в грамматике Γ = ⟨N, Σ, P, S⟩, если существует - некоторое порождение вида S ⇒* αXβ ⇒* w, где w ∈ Σ*, что экивалентно тому, что символ - является одновременно и порождающим, и достижимым (Символ X называется порождающим (англ. generating), - если X ⇒* w для некоторой терминальной цепочки w. Заметим, что каждый терминал является - порождающим, поскольку w может быть этим терминалом, порождаемым за 0 шагов. - Символ X называется достижимым (англ. reachable), если существует порождение S ⇒* αXβ для некоторых α и β). - Если символ X не является полезным, то называется бесполезным, что эквивалентно тому, - что он является недостижимым (терминалы, нетерминалы) или непорождающим (нетерминалы). - Эти определения возможны в силу независимости переписывания нетерминала от контекста в КС-грамматиках, - что также делает проблему пустоты языка КС-грамматики разрешимой: - язык грамматики непустой <=> стартовый нетерминал не является бесполезным, или, что эквивалентно, - в грамматике есть хотя бы один порождающий и достижимый нетерминал. - Очевидно, что исключение бесполезных символов из грамматики не изменяет порождаемого языка, - поэтому все бесполезные символы можно обнаружить и удалить. - author: "Якубов Павел" -- question: > - Пусть Γ = ⟨N, Σ, P, S⟩ — КС-грамматика. Опиши алгоритм нахождения всех - ε-порождающих символов Γ. - answer: > - Все ε-порождающие символы Γ можно найти с помощью следующего алгоритма. - 1. Найти все ε-правила. Составить множество Z, состоящее из нетерминалов, входящих в левые части таких правил. - 2. Перебираем правила грамматики Γ. Если найдено правило A→C_1C_2...C_k, для которого верно, что каждый C_i принадлежит Z, то добавить A в Z. - 3. Если на шаге 2 множество Z изменилось, то повторить шаг 2. - Докажем корректность алгоритма. - Для доказательства корректности алгоритма достаточно показать, что, если множество Z ε-порождающих - нетерминалов на очередной итерации алгоритма не изменялось, то алгоритм нашел все ε-порождающие нетерминалы. - Пусть после завершения алгоритма существуют нетерминалы такие, что они являются ε-порождающими, - но не были найдены алгоритмом. - Выберем из этих нетерминалов нетерминал B, из которого выводится ε за наименьшее число шагов. - Тогда в грамматике есть правило B→C_1C_2...C_k, где каждый нетерминал C_i — ε-порождающий. - Каждый C_i входит в множество Z ε-порождающих нетерминалов, так как иначе вместо B необходимо было взять C_i. - Следовательно, на одной из итераций алгоритма B уже добавился в множество Z ε-порождающих нетерминалов. - Противоречие. Следовательно, алгоритм находит все ε-порождающие нетерминалы. - author: "Якубов Павел" -- question: > - Список наиболее значительных неразрешимых вопросов о контекстно-свободных - грамматиках и языках - answer: > - 1. Неоднозначна ли данная КС-грамматика Γ? - 2. Является ли данный КС-язык существенно неоднозначным? - 3. Пусто ли пересечение двух КС-языков? - 4. Равны ли два данных КС-языка? - 5. Равен ли Σ* данный КС-язык, где Σ — алфавит этого языка? - Отметим, что вопрос 1 о неоднозначности отличается от остальных тем, что это вопрос о грамматике, а не о языке. - Все остальные вопросы предполагают, что язык представлен грамматикой или МП-автоматом, но это все равно вопросы о языке (или языках). - Например, в противоположность вопросу 1 вопрос 2 требует по данной грамматике Γ (или МП-автомату) определить, - существует ли некоторая эквивалентная ей однозначная грамматика Γ′. - Если Γ сама по себе однозначна, то ответом, безусловно, будет “да”, но если Γ неоднозначна, - то для языка грамматики Γ может существовать другая грамматика Γ′, которая однозначна. - author: "Якубов Павел" -- question: > - Замкнуты ли контекстно-свободные языки относительно операции 'пересечение с - регулярным языком'? - answer: > - Если L — КС-язык, а R — регулярный язык, то L ∩ R является КС-языком. - Доказательство: Построим автомат с магазинной памятью - (МП-автомат, англ. pushdown automaton, PDA) для пересечения регулярного языка и - КС-языка. Пусть регулярный язык задан своим ДКА, а КС-язык — своим - МП-автоматом c допуском по допускающему состоянию. Построим прямое - произведение этих автоматов так же, как строилось прямое произведение для - двух ДКА. Более формально, пусть R — регулярный язык, заданный своим ДКА - ⟨Σ, Q_1, s_1, T_1, δ_1⟩, и L — КС-язык, заданный своим МП-автоматом: - ⟨Σ, Γ, Q_2, s_2, T_2, z_0, δ_2⟩. Тогда прямым произведением назовем следующий автомат: - Q={⟨q_1, q_2⟩ | q_1 ∈ Q_1, q_2 ∈ Q_2}. Иначе говоря, состояние в новом автомате — пара из - состояния первого автомата и состояния второго автомата. s=⟨s_1, s_2⟩ Стековый - алфавит Γ остается неизменным. T={⟨t_1, t_2⟩ ∣ t_1 ∈ T_1, t_2 ∈ T_2}. Допускающие - состояния нового автомата — пары состояний, где оба состояния были - допускающими в своем автомате. δ(⟨q_1, q_2⟩, c, d)=⟨δ_1(q_1, c), δ_2(q_2, c, d)⟩. При - этом на стек кладется то, что положил бы изначальный МП-автомат при - совершении перехода из состояния q_2, видя на ленте символ c и символ d на - вершине стека. Этот автомат использует в качестве состояний пары из двух - состояний каждого автомата, а за операции со стеком отвечает только - МП-автомат. Слово допускается этим автоматом тогда и только тогда, - когда слово допускается и ДКА и МП-автоматом, то есть язык данного автомата - совпадает с L ∩ R. - author: "Якубов Павел" -- question: > - Что такое неукорачивающаяся грамматика в теории формальных языков? - answer: > - Неукорачивающая грамматика (англ. noncontracting grammar) — это формальная - грамматика, всякое правило из P которой имеет вид α→β, где α, β ∈ {Σ ∪ N}+ и - |α|⩽|β| (возможно правило S→ε, но тогда S не встречается в правых частях - правил). - author: "Якубов Павел" -- question: > - Что такое грамматика в ослабленной нормальной форме Грейбах? - answer: > - Грамматикой в ослабленной нормальной форме Грейбах (англ. Greibach weak - normal form) называется контекстно-свободная грамматика, в которой могут - содержаться только правила одного из следующих типов: A→aγ, S→ε, где a — - терминал, A — нетерминал (возможно, стартовый), S — стартовый нетерминал - (причём он не должен встречаться в правых частях правил), ε — пустая строка, - γ — строка из произвольного числа терминалов и нетерминалов. - author: "Якубов Павел" -- question: > - Докажи, что любую контекстно-свободную грамматику можно привести к - ослабленной нормальной форме Грейбах. - answer: > - Рассмотрим контекстно-свободную грамматику Γ. Для приведения её к нормальной - ослабленной форме Грейбах нужно выполнить три шага. На каждом шаге мы строим - новую грамматику, допускающую тот же язык, что и Γ. - 1. Избавимся от ε-правил. Для этого воспользуемся алгоритмом удаления ε-правил. - 2. Воспользуемся алгоритмом устранения левой рекурсии. Получим грамматику, все - правила которой будут иметь следующий вид: A_i→aγ, A_i→A_jγ, где A_i, A_j — - нетерминалы, a — терминал, γ — произвольная последовательность из терминалов - и нетерминалов, i - Что такое рекурсивный нетерминал? - answer: > - Рекурсивный нетерминал (англ. recursive nonterminal symbol) — такой нетерминал A - контекстно-свободной грамматики G = ⟨N, Σ, P, S⟩, что A ⇒* αAβ для некоторых α и β, причем α≠ε ∧ β≠ε. - Если α=ε, то A называется леворекурсивным. Аналогично, если β≠ε, то A называется праворекурсивным. - Контекстно-свободная грамматика, содержащая рекурсивный нетерминал, называется самоприменимой (англ. self-embedded). - author: "Якубов Павел" -- question: > - Что такое взаимно рекурсивные нетерминалы? - answer: > - Нетерминалы A, B ∈ N в грамматике G = ⟨N, Σ, P, S⟩ называются взаимно рекурсивными - (англ. mutual recursive), если ∃ α_1, β_1, α_2, β_2 ∈ (Σ ∪ N)* : A ⇒* α_1Bβ_1 ∧ B ⇒* α_2Aβ_2 . - author: "Якубов Павел" -- question: > - Докажи, что любую контекстно-свободную грамматику можно привести к - нормальной форме Хомского. - answer: > - Рассмотрим контекстно-свободную грамматику Γ. Для приведения ее к нормальной - форме Хомского необходимо выполнить пять шагов. На каждом шаге мы строим - новую Γ_i, которая допускает тот же язык, что и Γ. - 1. Уберём длинные правила. - Воспользуемся алгоритмом удаления длинных правил из грамматики. Получим - грамматику Γ_1, эквивалентную исходной, содержащую правила длины 0, 1 и 2. - 2. Удаление ε-правил. - Воспользуемся алгоритмом удаления ε-правил из грамматики. - Получим грамматику Γ_2, эквивалентную исходной, но в которой нет ε-правил. - 3. Удаление цепных правил. Воспользуемся алгоритмом удаления цепных правил из - грамматики. Алгоритм работает таким образом, что новые ε-правила не - образуются. Получим грамматику Γ_3, эквивалентную Γ. - 4. Удалим бесполезные символы. Воспользуемся алгоритмом удаления бесполезных символов из - грамматики. Так как Γ_3 эквивалентна Γ, то бесполезные символы не могли - перестать быть бесполезными. Более того, мы только удаляем правила, новые - ε-правила и цепные правила не могли появиться. - 5. Уберём ситуации, когда в правиле встречаются несколько терминалов. - Для всех правил вида A → u_1u_2 (где u_i — терминал или нетерминал) заменим все терминалы u_i на новые нетерминалы - U_i и добавим правила U_i→u_i. Теперь правила содержат либо одиночный терминал, - либо строку из двух нетерминалов. Таким образом, мы получили грамматику в - нормальной форме Хомского, которая допускает тот же язык, что и Γ. Стоит - заметить, что порядок выполнения операций важен. Первое правило должно быть - выполнено перед вторым, иначе время нормализации ухудшится до O(2^|Γ|). - (|Γ| - размер грамматики - численно равен числу символов в правой части правил вывода). - Третье правило идет после второго, потому что после удаления ε-правил, могут - образоваться новые цепные правила. Также четвертое правило должно быть - выполнено позже третьего и второго, так как они могут порождать бесполезные - символы. При таком порядке действий размеры грамматики возрастают - полиномиально. После удалении длинных правил из каждого правила длины k⩾3 - могло появиться k−1 новых правил, причем их длина не превышает двух. На этом - шаге размер грамматики возрастает не более, чем вдвое. При удалении ε-правил - из грамматики, содержащей правила длины 0, 1 и 2, размеры грамматики могли - вырасти не больше, чем в 3 раза. Всего цепных правил в грамматике не больше, - чем n^2, где n — число нетерминалов. При удалении цепных правил мы берем - каждую из цепных пар и производим добавление нецепных правил, выводимых из - второго нетерминала в паре. Если максимальная суммарная длина всех правил, - выводимых из какого-либо нетерминала, равна k, то размер грамматики - возрастет не больше, чем на k*n^2. Наконец, на последнем шаге может произойти - добавление не более, чем |Σ| (Σ — алфавит грамматики) новых правил, причем - все они будут длины 1. - author: "Якубов Павел" -- question: > - Сформулируй лемму Огдена для контекстно-свободных языков. - answer: > - Позицией в слове длины k назовем такое целое i, что 1 ≤ i ≤ k. Символ a занимает - позицию i в слове ω, если ω = xay и |x| = i - 1. Выделенные (помеченные, размеченные) - позиции в слове - некоторое подмножество всех позиций в нём. - Лемма Огдена для контекстно-свободных языков является расширением леммы о накачке - для контекстно-свободных языков. Она отличается от леммы о накачке тем, что - позволяет сосредоточиться на любых p «выделенных» позициях цепочки ω и гарантирует, - что накачиваемые цепочки содержат от 1 до p выделенных позиций. Преимущество этого - свойства в том, что язык может иметь цепочки, состоящие из двух частей, одна из - которых может быть накачана без создания цепочек, не принадлежащих языку, тогда как - вторая при накачке обязательно порождает цепочки вне языка. Если мы не можем утверждать, - что накачка имеет место во второй части, то мы не можем завершить доказательство того, - что язык не контекстно-свободный. - Лемма Огдена утверждает, что если язык L контекстно-свободен, то существует некоторое - число p > 0 (где p может быть, а может и не быть длиной накачки), такое что - для любой строки ω ∈ L длины не меньше p и для любой «разметки» p или более позиций в ω, - w может быть представлено в виде ω = uvxyz, где u, v, x, y, и z — строки, такие что: - 1. x содержит по меньшей мере одну помеченную позицию; - 2. либо и u и v содержат помеченную позицию, либо её содержат и y и z; - 3. vxy содержит не более p помеченных позиций; - 4. u(v^i)x(y^i)z принадлежит L для любого i ≥ 0. - Лемма Огдена может использоваться для доказательства того, что данный язык не является - контекстно-свободным, в случаях, когда леммы о накачке для контекстно-свободных языков недостаточно. - Примером может быть язык {(a^i)(b^j)(c^k)(d^l) : i = 0 или j = k = l}. - Она также полезна для доказательства существенной неоднозначности некоторых языков. - Заметим, что если все позиции помечены, данная лемма эквивалентна лемме о накачке для контекстно-свободных языков. - author: "Якубов Павел" + 1. Изолированные объекты регулярных выражений: В C# класс `Regex` обеспечивает + потокобезопасность за счет иммутабельности скомпилированных шаблонов. + + 2. Контекстное создание шаблонов: В Python каждое регулярное выражение в + потоке должно быть создано локально, чтобы избежать состояния гонки. + + 3. Оптимизация памяти: В Java используется механизм `ThreadLocal`, чтобы + каждый поток мог переиспользовать скомпилированные шаблоны. + + 4. Асинхронная обработка: В JavaScript регулярные выражения могут быть + применены в асинхронных функциях с использованием Web Workers для распределения + нагрузки. +- question: "Как интерпретаторы регулярных выражений в Python, Java и JavaScript обеспечивают поддержку ленивых и жадных квантификаторов?" + author: Dias Issakov + answer: > + Интерпретаторы регулярных выражений в этих языках поддерживают жадные (`*`, `+`, + `{n,m}`) и ленивые (`*?`, `+?`, `{n,m}?`) квантификаторы через различную + обработку совпадений: + + 1. Python: Использует библиотеку `re`, где для ленивых квантификаторов + применяется дополнительная проверка после первого успешного совпадения. Жадные + квантификаторы завершают обработку, только когда не найдено больше совпадений. + + 2. Java: В основе лежит механизм NFA, который повторяет поиск по всем + возможным путям для жадных квантификаторов и прекращает при первом совпадении + для ленивых. + + 3. JavaScript: Движок V8 (используемый в Chrome и Node.js) оптимизирует поиск + для ленивых квантификаторов с использованием обхода путей NFA, минимизируя + количество итераций через пропуск дополнительных символов. From 9a3ecf9db4e1e0e31dfd1e3c7e99adf1e9ce7475 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: DIsakov <55271574+DSIsakov@users.noreply.github.com> Date: Wed, 11 Dec 2024 19:27:38 +0300 Subject: [PATCH 2/4] Add files via upload --- data/data.yaml | 1552 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 1540 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/data/data.yaml b/data/data.yaml index 2abd65f6..f08f7b23 100644 --- a/data/data.yaml +++ b/data/data.yaml @@ -1,6 +1,1534 @@ +- question: Что представляет собой язык, распознаваемый недетерминированным конечным автоматом (НКА)? + answer: > + Язык, распознаваемый недетерминированным конечным автоматом (НКА) – это все такие слова, + по которым существует хотя бы один путь из стартовой вершины в терминальную. + author: Лисов Алексей + +- question: Дан регулярный язык, опиши алгоритм нахождения кратчайшего слова, принадлежащего этому регулярному языку + answer: > + Регулярный язык может быть задан с помощью конечного автомата. + Так как автомат конечен, то мы можем его обойти (пройти через все состояния) за конечное время. + Так как нам нужно найти самое короткое слово, то эта задача сводится к тому, что нам необходимо + найти кратчайший путь от стартовой вершины до какой-либо терминальной. По определению это + можно сделать с помощью поиска в ширину (bfs, breadth-first search). Поиск в ширину - алгоритм, находящий + все кратчайшие пути от заданной вершины в невзвешенном графе. Запускаем поиск в ширину и выйдем из него, + когда пришли в терминальное состояние. Так как нам нужно явно найти кратчайшее слово, то после этого делаем + восстановление ответа. Это можно сделать используя дополнительную структуру данных (например массив prev), для того, + чтобы для каждого состояния v хранить состояние u, из которого мы в него пришли. Мы можем пройти от найденной + вершины по массиву prev, пока не придем в начальное состояние. Записав все переходы мы получим кратчайшее слово, + принадлежащее регулярному языку. + author: Лисов Алексей + +- question: Опиши алгоритм подсчета количества слов определенной длины в заданном регулярном языке + answer: > + Обозначим регулярный язык за L и пусть длина слов, количество которых мы хотим найти - l. + Так как язык L регулярен, то мы можем построить соответствующий ему конечный автомат A. + Решим задачу с помощью динамического программирования. Пусть a_(q,i) – количество слов длины i, переводящих + автомат A из начального состояния q0 в состояние q. + Чтобы пересчитать эту величину, нужно просуммировать значения динамического программирования + из предыдущего по длине слоя для всех состояний, из которых есть ребро в состояние q. Ответом является + сумма элементов столбца, отвечающего за длину l, соответствующих терминальным вершинам. + author: Лисов Алексей + +- question: Какими являются языки недетерминированных автоматов с магазинной памятью? + answer: > + Языки недетерминированных автоматов с магазинной памятью являются контекстно-свободными. + То есть эти языки могут быть заданы с помощью контекстно свободных грамматик. + author: Лисов Алексей + +- question: Какая структура данных может описать магазинную память у автомата с магазинной памятью? + answer: Магазинная память у автомата с магазинной памятью является стеком. + author: Лисов Алексей + +- question: Опиши алгоритм нахождения эпсилон замыкания для каждой из вершин автомата? + answer: > + ε-замыкание состояния q – это множество состояний, достижимых из q только по ε-переходам. + Соотсветственно эпсилон замыкание для каждой из вершин автомата можно предподсчитать с помощью поиска в глубину + (dfs) для каждой вершины. + author: Лисов Алексей + +- question: Дай определение произведения двух автоматов + answer: > + Прямым произведением двух ДКА A1=⟨Σ1,Q1,s1,T1,δ1⟩ и A2=⟨Σ2,Q2,s2,T2,δ2⟩ называется ДКА + A=⟨Σ,Q,s,T,δ⟩, где: + 1) Σ = Σ1∪Σ2, то есть он работает над пересечением алфавитов двух данных автоматов + 2) Q = Q1×Q2, множество пар состояниий включает в себя состояния обоих автоматов + 3) s =⟨s1,s2), стартуем с символов в обоих автоматах + 4) T=T1×T2, терминальные состояния включают в себя терминальные состояния обоих автоматов + 5) δ(⟨q1,q2⟩,c)=⟨δ1(q1,c),δ2(q2,c)⟩, то есть переходим по символу в обоих автоматах" + author: Лисов Алексей + +- question: Как из недетерминированного конечного автомата A сделать pushdown automat B? + answer: > + Для этого нужно заменить переход из состояния q в состояние p по символу x на такой же переход, + только добавить z_0/z_0, где z_0 это дно стека. Из этого следует, что регулярные языки являются подмножеством + МП-автоматных языков (языков автоматов с магазинной памятью). + author: Лисов Алексей + +- question: Теорема Клини (англ. Kleene's theorem) + answer: > + Теорема Клини (англ. Kleene's theorem) гласит о том, что множество языков, принимаемых детерминированным конечным автоматом совпадает с + множеством языком, принимаемых академическим регулярным выражением. + author: Лисов Алексей + +- question: Какой язык называется префиксным (беспрефиксным) + answer: > + Язык L называется префиксным, если для любого слова w не равного слову v из L не верно, что w – префикс v. + Также такие языки называют беспрефиксными. + author: Лисов Алексей + +- question: > + Что можно сказать о языке L, который принимается детерминированным конечным автоматом + с магазинной памятью по пустому стеку + answer: > + Это значит, что язык L принимается детерминированным конечным автоматом с магазинной памятью по терминальному + состоянию, а также язык L – префиксный (то есть если для любого w не равного v из языка L не верно, + что w – префикс v). + author: Лисов Алексей + +- question: > + Является ли регулярным язык Дика (англ. Dyck's language) с единственным типом скобок? + (язык Дика - множество правильных скобочных структур вместе с пустой структурой, + образующее язык над алфавитом {a,b}.) + answer: > + Язык Дика (англ. Dyck's language) не является регулярным. + Докажем с помощью леммы о накачке. Предположим, что он регулярный, тогда по лемме о накачке существует + n, являющееся длиной накачки. Возьмём последовательность из n открывающих, а затем n закрывающих скобок. + Для неё существуют соответствующие x, y, z из леммы о накачке. Но так как |xy| <= n, то y + состоит только из открывающих скобок, причём по условию леммы y не пустая. А значит при i = 2 в строке xy^iz + получится больше открывающих скобок, чем закрывающих, то есть это будет не правильной скобочной последовательностью. + Получили противоречие. Следовательно язык Дика с единственным типом скобок не является регулярным. + author: Лисов Алексей + +- question: > + Является ли контекстно-свободным языком разность контекстно-свободного и регулярного языка? + answer: > + Да, разность контекстно-свободного и регулярного языка является контекстно-свободным языком. + author: Лисов Алексей + +- question: > + Что такое переход машины Тьюринга? + answer: > + Переход машины Тьюринга — это функция, зависящая от состояния конечного управления и обозреваемого символа. + За один переход машина Тьюринга должна выполнить следующие действия: изменить состояние, + записать ленточный символ в обозреваемую клетку, сдвинуть головку влево или вправо. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Какие языки допускаются при помощи машины Тьюринга? + answer: > + Языки, допустимые с помощью машины Тьюринга, называются рекурсивно перечислимыми, или РП-языками. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Опишите прием «память в состоянии» машины Тьюринга. + answer: > + Память в состоянии — конечное управление можно использовать не только для представления позиции в «Программе» машины Тьюринга, + но и для хранения конечного объема данных. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Опишите прием «Подпрограммы» машины Тьюринга. + answer: > + Подпрограмма машины Тьюринга представляет собой множество состояний, выполняющее некоторый полезный процесс. + Это множество включает в себя стартовое состояние и еще одно состояние, + которое не имеет переходов и служит состоянием «возврата» для передачи управления какому-либо множеству состояний, + вызвавшему данную подпрограмму. «Вызов» подпрограммы возникает везде, где есть переход в ее начальное состояние. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Можно ли запомнить позицию ленточной головки в позиции управления у машины Тьюринга? + answer: > + Хотя позиции конечны в каждый момент времени, всё множество позиций может быть и бесконечным. + Если состояние должно представлять любую позицию головки, то в состоянии должен быть компонент данных, + имеющий любое целое в качестве значения. Из-за этого компонента множество состояний должно быть бесконечным, + даже если только конечное число состояний используется в любой конечный момент времени. Определение же машин Тьюринга требует, + чтобы множество состояний было конечным. Таким образом, запомнить позицию ленточной головки в конечном управлении нельзя. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Что такое счетчиковая машина? + answer: > + Счетчиковые машины — это класс машин, обладающий возможностью запоминать конечное число целых чисел (счетчиков) + и совершать различные переходы в зависимости от того, какие из счетчиков равны 0 (если таковые вообще есть). + Счетчиковая машина может только прибавить 1 к счетчику или вычесть 1 из него, + но отличить значения двух различных ненулевых счетчиков она не способна. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Какой язык допускается счетчиковой машиной? + answer: > + Каждый язык, допускаемый счетчиковой машиной, рекурсивно перечислим. Причина в том, + что счетчиковые машины являются частным случаем магазинных, а магазинные — частным случаем многоленточных машин Тьюринга, + которые по теореме допускают только рекурсивно перечислимые языки. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Допускается ли любой рекурсивно перечислимый язык двухсчетчиковой машиной? + answer: > + Для имитации машины Тьюринга и, следовательно, для допускания любого рекурсивно перечислимого языка, достаточно двух счетчиков. + Для обоснования этого утверждения вначале доказывается, что достаточно трех счетчиков, + а затем три счетчика имитируются с помощью двух. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Что такое универсальная машина Тьюринга? + answer: > + Универсальной машиной Тьюринга называют машину Тьюринга, которая может заменить собой любую машину Тьюринга. + Получив на вход программу и входные данные, она вычисляет ответ, который вычислила бы по входным данным машина Тьюринга, + чья программа была дана на вход. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Какое время необходимо многоленточной машине Тьюринга для имитации шагов компьютера? + answer: > + Рассмотрим компьютер, обладающий следующими свойствами: у него есть только инструкции, + увеличивающие максимальную длину слова не более чем на один; у него есть только инструкции, + которые многоленточная машина Тьюринга может выполнить на словах длиной k за O(k^2) или меньшее число шагов. + Шаг — это выполнение одной инструкции. Таким образом, выполнение n шагов работы компьютера можно проимитировать + на многоленточной машине Тьюринга с использованием не более O(n^3) шагов. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Как связаны мощности следующих машин Тьюринга: многодорожечная машина Тьюринга, + машина Тьюринга с односторонней лентой, многоленточная машина Тьюринга, недетерминированная машина Тьюринга? + answer: > + Многодорожечная машина Тьюринга, машина Тьюринга с односторонней лентой, многоленточная машина Тьюринга + и недетерминированная машина Тьюринга, несмотря на различия в их конструкции или правилах работы, + обладают одинаковой вычислительной мощностью, то есть способны вычислить одни и те же классы функций. + Различия между видами машин Тьюринга (например, между машинами с одним или несколькими лентами) + могут повлиять на эффективность вычислений (время или пространство), но не на саму вычислительную мощность. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Если проблема P1 неразрешима и ее можно свести к проблеме P2, то является ли проблема P2 неразрешимой? + answer: > + Если проблему P1 можно свести к проблеме P2 и если P1 неразрешима, то и P2 неразрешима. + author: Дмитрий Теньшов + +- question: > + Что такое рандомизированная машина Тьюринга? + answer: > + Рандомизированная машина Тьюринга — это вариант многоленточной машины Тьюринга. Первая лента, + как обычно для многоленточных машин, содержит вход. Вторая лента также начинается непустыми клетками. + В принципе, вся она содержит символы 0 и 1, выбранные с вероятностью 1/2. Вторая лента называется случайной лентой. + Третья и последующие, если используются, вначале пусты и при необходимости выступают как рабочие. + author: Дмитрий Теньшов + + +- question: "Рекурсивные языки." + answer: > + Языки, допускаемые машинами Тьюринга, называются рекурсивно-перечислимыми (РП), + а РП-языки, допускаемые МТ, которые всегда останавливаются, — рекурсивными. “Разрешимость” есть + синоним “рекурсивности”, однако языки чаще называются “рекурсивными”, а проблемы (которые + представляют собой языки, интерпретируемые как вопросы) — “разрешимыми”. + Если язык не является рекурсивным, то проблема, которую выражает этот язык, называется “неразрешимой”. + Рекурсивный язык позволяет построить разрешающую функцию: т.е. МТ, возвращающую один из двух результатов (да-нет), и корректно завершающую работу. + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: "Рекурсивно-перечислимые языки. Примеры языков, которые являются рекурсивно-перечислимыми, но не рекурсивными." + answer: > + Язык L является рекурсивно-перечислимым (РП-языком), если L = L(M) для некоторой машины Тьюринга M. + Проблема останова машины Тьюринга является РП, но не рекурсивной. В действительности, определенная А. М. Тьюрингом + машина допускала, не попадая в допускающее состояние, а останавливаясь. Для МТ + M можно определить H(M) как множество входов w, на которых M останавливается + независимо от того, допускает ли M вход w. Тогда проблема останова состоит в опре + делении множества таких пар (M, w), у которых w принадлежит H(M). Это еще один + пример проблемы/языка, которая является РП, но не рекурсивной. + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: "Что такое язык диагонализации L_d" + answer: > + Язык диагонализации L_d — это множество всех цепочек w_i, не принадлежащих L(M_i). + Понятие M_i, “i-й машины Тьюринга”. Это машина Тьюринга M, кодом которой является i-я двоичная цепочка w_i. + В язык L_d входит каждая цепочка в алфавите {0, 1}, которая, будучи проинтерпретированной как код МТ, не принадлежит языку этой МТ. + Язык L_d является хорошим примером не РП-языка, т.е. его не допускает ни одна машина Тьюринга. + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: "Является ли язык L_d рекурсивно-перечислимым" + answer: > + Язык L_d не является рекурсивно-перечислимым, т.е. не существует машины Тьюринга, которая допускала бы L_d. + Доказательство. Допустим, что L_d = L(M) для некоторой МТ M. + Так как L_d — язык над алфавитом {0, 1}, M должна содержаться в построенной нами последовательности машин Тьюринга, + поскольку эта последовательность содержит все МТ с входным алфавитом {0, 1}. + Следовательно, в ней есть, по крайней мере, один код машины M, скажем, i, т.е. M = M_i. + Понятие M_i, “i-й машины Тьюринга”. Это МТ M, кодом которой является i-я двоичная цепочка w_i. + Выясним теперь, принадлежит ли w_i языку L_d. + Если w_i принадлежит L_d, то M_i допускает w_i. Но тогда (по определению L_d) w_i не принадлежит L_d, + так как L_d содержит лишь такие w_j, для которых M_j не допускает w_j. + Точно так же, если w_i не принадлежит L_d, то M_i не допускает w_i. + Но тогда (по определению L_d) w_i принадлежит L_d. + Поскольку w_i не может одновременно и принадлежать, и не принадлежать L_d, приходим к противоречию с нашим предположением о том, что M существует. + Таким образом, L_d не является рекурсивно-перечислимым языком. + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: "Почему языки 'рекурсивные'?" + answer: > + Рекурсивные функции были введены в 30-х годах XX века С. К. Клини. + Это название закрепилось за одним из наиболее распространённых вариантов + уточнения общего понятия арифметического алгоритма, то есть такого алгоритма, + допустимые исходные данные которого представляют собой системы натуральных чисел, + а возможные результаты применения — натуральные числа. + Языки называются рекурсивными, если они являются рекурсивным подмножеством набора всех + возможных конечных последовательностей по алфавиту языка. Тезис Чёрча — Тьюринга: любая функция, + которая может быть вычислена физическим устройством, может быть вычислена машиной Тьюринга. То есть + рекурсивные функции вычисляют те же классы алгоритмов, что и машины Тьюринга. Эквивалентно, формальный язык + является рекурсивным, если существует машина Тьюринга, которая при вводе конечной + последовательности символов всегда останавливается и принимает её, если она + принадлежит языку, и останавливается и отвергает её в противном случае. + author: "Филимонов Михаил" + + + +- question: > + Почему универсальный язык L_u является рекурсивно-перечислимым, но не рекурсивным. + answer: > + Язык L_u состоит из цепочек, интерпретируемых как код + МТ, к которому дописан ее вход. Цепочка принадлежит L_u, если эта МТ до + пускает данный вход. + Язык L_u является рекурсивно-перечислимым. Допустим, что L_u рекурсивен. Тогда по теореме дополнение L_u (дополнение L_u) + также рекурсивный язык. Но если существует МТ M, допускающая L_u, то, используя описанный ниже метод, + можно построить МТ, допускающую L_d. Язык диагонализации L_d — это множество всех цепочек w_i, не принадлежащих L(M_i). + Понятие M_i, “i-й машины Тьюринга”. Это МТ M, кодом которой является i-я двоичная цепочка w_i. + В язык L_d входит каждая цепочка в алфавите {0, 1}, которая, будучи проинтерпретированной как код МТ, не принадлежит языку этой МТ. + Поскольку нам известно, что L_d не является РП, приходим к + противоречию с предположением, что язык L_u является рекурсивным. Предположим, что L(M) = L_u. Можно + преобразовать МТ M в МТ M', которая допускает L_d с помощью следующих действий: 1. M' преобразует + входную цепочку w в w111w. Легче это сделать, используя для копии w вторую ленту, и затем + преобразовать двухленточную МТ в одноленточную. 2. M' имитирует M на новом входе. Если w есть w_i + в нашем перечислении, то M' определяет, допускает ли M_i вход w_i. Поскольку M допускает L_u, то она + допускает тогда и только тогда, когда M_i не допускает w_i, т.е. когда w_i принадлежит L_d. Таким образом, + M' допускает w тогда и только тогда, когда w принадлежит L_d. Поскольку по теореме машины M' не существует, + приходим к выводу, что язык L_u не является рекурсивным. + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: > + Является ли язык, состоящий из кодов всех машин Тьюринга, + которые допускают хотя бы одну цепочку, L_ne рекурсивно-перечислимым/рекурсивным? + answer: > + L_ne – непустой язык состоит из кодов всех машин Тьюринга, которые допускают хотя бы одну цепочку. + Он рекурсивно-перечислим, но не рекурсивный. Чтобы доказать РП, достаточно предъявить МТ, допускающую L_ne. + Проще всего это сделать, описав недетерминированную МТ M. Работа M заключается в следующем: 1. На вход M подается + код МТ M_i. 2. Используя недетерминизм, M угадывает вход w, который, возможно, допускается M_i. + 3. M проверяет, допускает ли M_i свой вход w. В этой части M может моделировать работу универсальной МТ U, + допускающей L_u (язык L_u состоит из цепочек, интерпретируемых как код + МТ, к которому дописан ее вход. Цепочка принадлежит L_u, если эта МТ до + пускает данный вход). 4. Если M_i допускает w, то и M допускает свой вход, т.е. M_i. Понятие M_i, “i-й машины + Тьюринга”. Это МТ M, кодом которой является i-я двоичная цепочка w_i. В этот язык входит каждая цепочка + в алфавите {0, 1}, которая, будучи проинтерпретированной как код МТ, не принадлежит языку этой МТ. + Таким образом, если M_i допускает хотя бы одну цепочку, то M угадает ее (среди прочих, конечно) и допустит M_i. + Если же L(M_i) = ∅, то ни одна из угаданных w не допускается M_i, и M не допустит M_i. Таким образом, L(M) = L_ne. + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: > + Является ли язык L_e, состоящий из кодов всех МТ, языки которых пусты, рекурсивно-перечислимым/рекурсивным? + answer: > + L_e – пустой язык состоит из кодов всех МТ, языки которых пусты. Он не рекурсивно-перечислим. + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: > + Теорема Райса + answer: > + Свойство называется тривиальным, если оно либо пустое (т.е. никакой язык вообще + ему не удовлетворяет), либо содержит все РП-языки (рекурсивно-перечислимые). В противном случае свойство назы + вается нетривиальным. + Теорема Райса: Всякое нетривиальное свойство языков, допускаемых МТ, является неразрешимым. Например, множество кодов + машин Тьюринга, допускающих пустой язык, согласно теореме Райса является неразрешимым. В действительности + этот язык не является РП, хотя его дополнение — множество кодов МТ, допускающих хотя бы одну цепочку, — + является РП, но не рекурсивным. + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: > + Существует ли такой вход для заданной машины Тьюринга, + при обработке которого машина выполняет более пяти переходов, + прежде чем достигнет состояния останова (либо завершится, либо зациклится)? + answer: > + Алгоритм решения становится очевидным, если заметить, что, когда МТ делает пять переходов, + она обозревает не более девяти клеток вокруг начальной позиции головки. Поэтому можно проимитировать + пять переходов МТ на любом из конечного числа входов, длина которых не более девяти. Если все эти + имитации не достигают останова, то делается вывод, что на любом входе данная МТ совершает более пяти переходов. + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: > + Что такое проблема соответствий Поста. + answer: > + Экземпляр проблемы соответствий Поста (ПСП) состоит из двух списков равной длины в некотором алфавите Σ. + Как правило, мы будем называть их списками A и B, и писать A = w_1, w_2, …, w_k и B = x_1, x_2, …, x_k при + некотором целом k. Для каждого i пара (w_i, x_i) называется парой соответствующих цепочек. Мы говорим, что + экземпляр ПСП имеет решение, если существует последовательность из одного или нескольких целых чисел + i_1, i_2, …, i_m, которая, если считать эти числа индексами цепочек и выбрать соответствующие цепочки из + списков A и B, дает одну и ту же цепочку, т.е. w_i_1w_i_2…w_i_m = x_i_1xi_2…x_i_m. В таком случае последовательность + i_1, i_2, …, i_m называется решающей последовательностью, или просто решением, данного экземпляра ПСП. + author: "Филимонов Михаил" + +- question: > + Что такое модифицированная проблема соответствий Поста. + answer: > + Модифицированной проблемой соответствий Поста, или МПСП. + В модифицированной ПСП на решение накладывается дополнительное требование, + чтобы первой парой в решении была пара первых элементов списков A и B. + Более формально, экземпляр МПСП состоит из двух списков A = w_1, w_2, …, w_k + и B = x_1, x_2, …, x_k, и решением является последовательность из 0 или + нескольких целых чисел i_1, i_2, …, i_m, при которой + w_1w_i_1w_i_2…w_i_m = x_1x_i_1x_i_2…x_i_m. Отметим, что цепочки обязательно начинаются парой (w_1, x_1), + хотя индекс 1 даже не указан в качестве начального элемента решения. Кроме того, в отличие от ПСП, + решение которой содержит хотя бы один элемент, решением МПСП может быть и пустая последовательность (когда w_1 = x_1). + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: > + Разрешима ли ПСП/проблема соответствий Поста + answer: > + Заданы два списка, содержащие одинаковое количество цепочек. + Спрашивается, можно ли, выбирая последовательности соответствующих + цепочек из этих двух списков, построить путем их конкатенации одну + и ту же цепочку. ПСП является важным примером неразрешимой проблемы. + Сводимость ПСП к ряду других проблем обеспечивает доказательство их неразрешимости + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: > + Разрешим ли вопрос о неоднозначности КС-грамматики (контекстно-свободной грамматики) + answer: > + Вопрос о неоднозначности КС-грамматики (контекстно-свободной грамматики) неразрешим. + Неразрешимые проблемы, связанные с контекстно-свободными языками. + Посредством сведения ПСП(проблема соответствий Поста) к вопросу об определении некоторых свойств КС-грамматики можно доказать неразрешимость многих вопросов + о КС-языках или их грамматиках. В силу неразрешимости ПСП это сведение доказывает неразрешимость про + блемы неоднозначности КС-грамматики. Так же, например, о включении одного КС-языка в + другой или о пустоте пересечения двух КС-языков." + author: "Филимонов Михаил" + + +- question: > + Что называется нейтральным элементом операции в регулярных выражениях? + answer: > + Нейтральный (единичный) элемент в контексте операций в регулярных выражениях — это элемент, + для которого верно: если данная операция применяется к единичному элементу и некоторому выражению, + то результат равен этому выражению. Для регулярных выражений нейтральные элементы зависят от конкретного типа операции: + 1. Конкатенация: Нейтральным элементом для конкатенации является пустая строка (обозначается ε). + При конкатенации любой строки с ε результат остается неизменным. + 2. Объединение (дизъюнкция): Для операции объединения нейтральным элементом является пустое множество (обозначается ∅). + Объединение любого выражения с ∅ не изменяет его. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Что называется нулевым элементом (аннулятором) операции в регулярных выражениях? + answer: > + Нулевой элемент (или аннулятор) в контексте операций в регулярных выражениях — это элемент, + который при применении операции с другим выражением всегда возвращает сам нулевой элемент. В алгебре нулевой элемент обнуляет результат операции, + независимо от второго аргумента. В контексте регулярных выражений это понятие также применимо, и оно зависит от типа операции: + 1. Конкатенация: Для конкатенации нулевым элементом является пустое множество (обозначаемое ∅). При конкатенации любого выражения с ∅ результатом всегда будет ∅. + 2. Объединение (дизъюнкция): Для операции объединения (дизъюнкции) нулевого элемента как такового не существует. + Объединение с ∅ даёт исходное выражение, а не ∅, то есть ∅ здесь является нейтральным, а не нулевым элементом. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + В каком случае два регулярных выражения с переменными являются эквивалентными? + answer: > + Два выражения с переменными являются эквивалентными, если при подстановке любых языков вместо переменных оба выражения представляют один и тот же язык. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Какие операторы регулярных выражений ассоциативны? Коммутативны? Дистрибутивны? Идемпотентны? + answer: > + Объединение и конкатенация ассоциативны. Коммутативно только объединение. Конкатенация дистрибутивна относительно объединения. + Объединение идемпотентно. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Закон идемпотентности операции объединения для регулярных выражений + answer: > + Закон идемпотентности операции объединения утверждает, что объединение двух одинаковых выражений можно заменить одним таким выражением. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Что такое обращение строки в формальных языках? + answer: > + Строку также часто называют словом. Обращением строки (a_1)(a_2)...(a_n) называется строка, записанная в обратном порядке, т.е. (a_n)(a_n-1)...(a_1). + Обращение w обозначается w^R. Таким образом, например, (0010)^R есть 0100, а ε^R = ε. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Что такое обращение языка L? + answer: > + Обращение языка L, обозначаемое L^R, состоит из всех строк, являющихся реверсами (обращениями) строк из исходного языка L. + То есть, если L — это язык, состоящий из строк w_1, w_2, ..., w_n, то обращение этого языка L^R включает строки, полученные путём инвертирования каждой из строк языка L. + Например, если L = {001, 10, 111}, то L^R = {100, 01, 111}. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Что такое гомоморфизм строк в регулярных языках? + answer: > + Строку также часто называют словом. Гомоморфизм строк — это такая функция на множестве строк, являющаяся расширением функции отображения символов алфавита в строки относительно операции конкатенации. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Как рекурсивно определяется регулярное выражение? + answer: > + Регулярное выражение над алфавитом Σ = {c_1, c_2, …, c_k} — способ порождения языка над Σ. Определяется рекурсивно следующим образом: + Для любого i слово c_i является регулярным выражением, задающим язык из одного слова ci. ε является регулярным выражением, задающим язык из одной пустой + строки, а ∅ — пустой язык. Если a_1 и a_2 являются регулярными выражениями, задающими языки L_1 и L_2 соответственно, то (a_1)|(a_2) — регулярное выражение, + задающее L_1 ⋃ L_2. Если a_1 и a_2 являются регулярными выражениями, задающими языки L_1 и L_2 соответственно, то (a_1)(a_2) — регулярное выражение, + задающее L_1L_2. Если a_1 является регулярным выражением, задающим язык L_1, то (a_1)* — регулярное выражение, задающее (L_1)*. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Что такое замыкание Клини и где оно используется в регулярных выражениях? + answer: > + Итерация (“звездочка”, или замыкание Клини) языка L обозначается L* и представляет собой множество всех тех цепочек, которые можно образовать путем + конкатенации любого количества цепочек из L. При этом допускаются повторения, т.е. одна и та же цепочка из L может быть выбрана для конкатенации более одного + раза. Например, если L = {0, 1}, то L* — это все цепочки, состоящие из нулей и единиц. Если L = {0, 11}, то в L* входят цепочки из нулей и единиц, + содержащие четное количество единиц, например, цепочки 011, 11110 или ε, и не входят цепочки 01011 или 101. Более формально язык L* можно представить + как бесконечное объединение L^i, где L^0 = ε, L^1 = L и Li для i>1 равен LL...L(конкатенация i копий L). + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Лемма о разрастании для контекстно-свободных языков + answer: > + Также называется леммой о накачке для контекстно-свободных языков. Пусть L — контекстно-свободный язык над алфавитом Σ, тогда существует такое натуральное n, что для любого слова ω, принадлежащего L, длины не меньше n + найдутся слова u, v, x, y, z, принадлежащие Σ*, для которых верно: uvxyz = ω, vy ≠ ε, |vxy| <= n и ∀k >= 0 u(v^k)x(y^k)z ∈ L. Иначе говоря, любую + достаточно длинную цепочку в КС-языке можно разбить на пять частей так, что повторение второй и четвёртой частей произвольное количество раз (возможно, 0) + не приведут к выходу за пределы языка. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Относительно каких операций замкнуты регулярные языки? + answer: > + Регулярные языки замкнуты относительно следующих операций: + 1. Объединение + 2. Пересечение + 3. Дополнение + 4. Разность + 5. Обращение + 6. Итерация (звездочка) + 7. Конкатенация + 8. Гомоморфизм (подстановка цепочек вместо символов языка) + 9. Обратный гомоморфизм. + author: "Захарин Сергей" + + +- question: > + Законы регулярных выражений, связанные с единичным элементом и нулевым элементом + answer: > + Для регулярных выражений существует три закона, связанных с этими понятиями. + • ∅ + L = L + ∅ = L. Этот закон утверждает, что ∅ является единицей объединения. + • εL = Lε = L. Этот закон гласит, что ε является единицей конкатенации. + • ∅L = L∅ = ∅. Этот закон утверждает, что ∅ является нулевым элементом конкатенации. + author: "Захарин Сергей" + +- question: > + Какие существуют приемы интерпретации ленты и конечного управления машины Тьюринга? + answer: > + Существует три приема интерпретации ленты и конечного управления машины Тьюринга: память в состоянии, многодорожечные ленты, подпрограммы. + author: Пишикина Мария + +- question: > + Опишите прием «Многодорожечные ленты» в машине Тьюринга. + answer: > + При использовании приема «Многодорожечные ленты» рассматривается лента машины Тьюринга, образованная несколькими дорожками. + Каждая дорожка может хранить один символ (в одной клетке), и алфавит машины Тьюринга состоит из кортежей, с одним компонентом для каждой «дорожки». + author: Пишикина Мария + +- question: > + Существуют ли не рекурсивно перечислимые языки, допускаемые многоленточными машинами Тьюринга? + answer: > + Каждый язык, допускаемый многоленточной машиной Тьюринга, рекурсивно перечислим. + author: Пишикина Мария + +- question: > + Какое время необходимо одноленточной машине Тьюринга для имитации переходов многоленточной машины Тьюринга? + answer: > + Время, необходимое одноленточной машине Тьюринга для имитации n переходов многоленточной машины Тьюринга, есть O(n^2). + author: Пишикина Мария + +- question: > + Что такое «мультистековая (многомагазинная) машина»? + answer: > + Мультистековая (многомагазинная) машина представляет собой детерминированный МП-автомат (или машина с магазинной памятью) с несколькими магазинами. Он получает свои входные данные, как и МП-автомат, из некоторого их источника, + а не с ленты или из магазина, как машина Тьюринга. Мультистековая машина имеет конечное управление, то есть конечное множество состояний, и конечный магазинный алфавит, используемый для всех магазинов. + Переход мультистековой машины основывается на состоянии, входном символе и верхних символах всех магазинов. + author: Пишикина Мария + +- question: > + Как называется язык, который допускается односчетчиковой машиной? + answer: > + «Односчетчиковые машины» — это класс машин, которые могут запоминать значение одного целого числа («счетчика») и совершать различные переходы в зависимости от того, равен ли счетчик 0. + Односчетчиковая машина может только прибавить 1 к счетчику или вычесть 1 из него, но не способна различать различные ненулевые значения счетчика. + Каждый язык, допускаемый односчетчиковой машиной, является КС-языком. Контекстно-свободный (КС) язык — это язык, задаваемый контекстно-свободной грамматикой. + Контекстно-свободной грамматикой называется грамматика, у которой в левых частях всех правил стоят только одиночные нетерминалы. + author: Пишикина Мария + +- question: + Можно ли имитировать машину Тьюринга на компьютере? + answer: > + Имитация машины Тьюринга на компьютере в принципе возможна, если допустить, что для имитации значащей части ленты существует потенциально бесконечный запас сменных запоминающих устройств вроде диска. + Поскольку физические ресурсы, необходимые для создания дисков, конечны, данный довод сомнителен. Однако, поскольку пределы памяти Вселенной неизвестны или, без сомнения, обширны, + предположение о бесконечности ресурсов (как для ленты машины Тьюринга) является практически реалистичным и в целом допустимо. + author: Пишикина Мария + +- question: > + Какое время необходимо одноленточной машине Тьюринга для имитации переходов компьютера? + answer: > + Машина Тьюринга может имитировать n шагов компьютера за O(n^6) своих шагов. + author: Пишикина Мария + +- question: > + Почему язык, допускающийся в недетерминированных машинах Тьюринга, также допускается и обычной детерминированной машиной Тьюринга? + answer: > + Несмотря на кажущуюся большую мощность недетерминированных машин в связи с тем, что они выполняют несколько возможных вычислений сразу + (требуя только, чтобы хоть одно из них заканчивалось в допускающем состоянии), любой язык, допускающийся недетерминированной машиной Тьюринга, + также допускается и обычной детерминированной машиной Тьюринга, поскольку она может моделировать любой недетерминированный переход, делая многократные копии состояния, если встречается неоднозначность. + author: Пишикина Мария + +- question: > + Как машина Тьюринга имитирует реальный компьютер? + answer: > + Машина Тьюринга может имитировать память и управление реального компьютера путем использования одной ленты для записи всех элементов памяти и их содержимого — регистров, основной памяти, дисков и других запоминающих устройств. + Таким образом, можно быть уверенным, что все, не выполнимое машиной Тьюринга, не может быть сделано и компьютером. + author: Пишикина Мария + +- question: > + Какая проблема может возникнуть при допуске языка в рандомизированную машину Тьюринга? + answer: > + Имея дело с рандомизированными машинами Тьюринга, нужно быть более аккуратным с тем, что значит допускание входа такой машиной; становится возможным, что машина Тьюринга не определяет функции математически корректно (т.е. независимо от рандомизированных данных). + Проблема в том, что при анализе действий рандомизированной машины Тьюринга со входом приходится рассматривать все возможные случайные последовательности на второй ленте. Вполне возможно, что машина Тьюринга + допускает при одних случайных последовательностях, но отвергает при других; в действительности, если рандомизированная машина Тьюринга должна делать что-то более эффективно, чем детерминированная машина Тьюринга, + то существенно, чтобы различные последовательности на рандомизированной ленте приводили к различному поведению. + author: Пишикина Мария + +- question: > + Перечисли возможные операции над машинами Тьюринга. + answer: > + 1) Композиция (суперпозиция) машин Тьюринга - пусть две машины Тьюринга X и Y вычисляют функции f(P) и g(P) соответственно, тогда можно построить машину Тьюринга T = Y(X), вычисляющую суперпозицию функций g(f(P)). + 2) Разветвление машин Тьюринга - пусть две машины Тьюринга X и Y вычисляют функции f(P) и g(P) соответственно, причём множеством значений функции f(P) является множество {0, 1}, тогда можно построить машину Тьюринга T = X->Y, + которая перерабатывает слово P в g(P), если f(P)=1 и оставляет его без изменений если f(P)=0. + 3) Цикл машин Тьюринга - пусть две машины Тьюринга X и Y вычисляют функции f(P) и g(P) соответственно, причём множеством значений функции f(P) является множество {0, 1}, тогда можно построить машину Тьюринга T = X∘Y, которая + выполняет следующую последовательность действий: + 1 - вычисляет f(P) и если f(P)=1, то вычисляет новое значение P=g(P), а если f(P)=0, то переходит к заключительному состоянию с выходным словом P; + 2 - повторяет действие 1 до тех пор пока для очередного значения P не будет выполнено f(P)=0. + author: Пишикина Мария + +- question: > + Что такое самоприменимая машина Тьюринга? + answer: > + Машина Тьюринга называется самоприменимой, если она останавливается, когда в качестве входного слова для неё используется описание самой машины. + author: Пишикина Мария + +- question: > + Определение фундированного множества + answer: > + Определение 1: Частично упорядоченное множество (A, ≤) называется фундированным, + если в любом непустом подмножестве A есть минимальный элемент. + Определение 2: Частично упорядоченное множество (A, ≤) называется фундированным, если в нём нет бесконечных + убывающих цепей, то есть в A нельзя выбрать бесконечную последовательность элементов a0, a1, a2, …, такую, + что a0 > a1 > a2 > … > an > … + Определение 3: Частично упорядоченное множество (A, ≤) называется фундированным, + если для него выполняется принцип индукции: для любого свойства P(x) + выполнено условие: [∀a ((∀a’ < a (P(a’))) → P(a))] → (∀a (P(a))). + То есть, если для любого a из множества A из истинности P(a’) для всех a’ < a следует истинность P(a), то свойство P(a) + верно при всех a. + Теорема: Три определения фундированного множества эквивалентны друг другу. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Что называется трансфинитной индукцией? + answer: > + Трансфинитная индукция — метод доказательства, обобщающий математическую индукцию на случай несчетного числа + значений параметра. Трансфинитная индукция основана на следующем утверждении: пусть M — вполне упорядоченное + множество, P(x) — некоторое утверждение для x из M. Если для любого x из M, из того, что P(y) истинно + для всех y < x, следует, что верно P(x), и если P(x) верно для минимального элемента множества M, + то утверждение P(x) верно для любого x из M. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Какие существуют операции над языками в теории формальных языков? + answer: > + Теоретико-множественные операции: + Пусть K,L ⊆ Σ∗. + 1) Объединение K и L: K ∪ L = { w | w ∈ K или w ∈ L} + 2) Пересечение K и L: K ∩ L = { w | w ∈ K и w ∈ L} + 3) Язык Σ∗ − L называется дополнением (англ. complement) языка L относительно алфавита Σ. + Когда из контекста ясно, о каком алфавите идёт речь, говорят просто, что язык Σ∗ − L является дополнением языка L. + 4) Конкатенация K и L: Конкатенация двух языков, K и L — это язык, состоящий из всех возможных конкатенаций + строки из K и строки из L. KL = K·L={ uv | u ∈ K и v ∈ L} + 5) Степень языка: конкатенация k экземпляров одного и того же языка называется её k-й степенью. + L^k = L · ... · L (повторяется k раз) = {w_1 ... w_k | w_1,...,w_k ∈ L}. В частности, L^0 = {ε} для всякого языка L. + 6) Замыкание Клини (англ. Kleene closure): замыканием языка L (обозначение L∗) называется язык ∪(L^n), где n ∈ [0,∞). + Другими словами, это объединение L^n при n от нуля (включительно) до бесконечности. + Эта операция также называется звёздочкой Клини (англ. Kleene star, star operation). + 7) Гомоморфизм: Пусть Σ_1 и Σ_2 — алфавиты. Если отображение h : Σ∗_1 → Σ∗_2 удовлетворяет условию h(x · y) = h(x) · h(y) + для всех слов x ∈ Σ∗_1 и y ∈ Σ∗_1, то отображение h называется гомоморфизмом (морфизмом). + Также могут использоваться другие операции, например, обратный гомоморфизм. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Теорема Цермело + answer: > + Теорема Цермело (англ. Zermelo’s theorem): На любом множестве A можно ввести такой порядок ≤, что множество (A, ≤) будет вполне упорядоченным. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Что такое свободный моноид над множеством? + answer: > + Свободным моноидом M над множеством S (обозначается как M_S ) называется моноид над множеством + S^* — набором всевозможных последовательностей (или списков) конечной длины (в том числе и нулевой), + образованных из элементов множества S, — с ассоциативной операцией. + Поскольку операция в свободном моноиде не накладывает дополнительных соотношений между элементами множества S, + все слова в S^* однозначно определяются своим синтаксисом. Часто для свободного моноида над множеством S + используется операция конкатенации, которая в данном случае является полугрупповой операцией. Нейтральным элементом + свободного моноида является пустая последовательность. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Опиши структурную индукцию и приведи пример ее использования + answer: > + В теории автоматов используется несколько рекурсивно определяемых понятий, относительно которых будет необходимо + доказывать те или иные утверждения. Важными примерами таких понятий являются деревья и выражения. Подобно индукции, + все рекурсивные определения включают базис, где определяется одна или несколько элементарных структур, и индуктивный + шаг, с помощью которого более сложные структуры определяются через структуры, определенные ранее. + Пример: Рассмотрим рекурсивное определение дерева. Базис: одиночный узел есть дерево, и этот узел является корнем + дерева. Индукция: Если T1, T2, ..., Tk — деревья, то можно построить новое дерево следующим образом. + Возьмем в качестве корня новый узел N. Возьмем по одному экземпляру деревьев T1, T2 ,..., Tk. + Добавим ребра, соединяющие корень N с корнями каждого из деревьев T1, T2, ..., Tk. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Что такое нётерова индукция? + answer: > + Нётерова индукция — это обобщение трансфинитной индукции, которое заключается в следующем: + пусть ⟨X, R⟩ — фундированное множество, P(x) — некоторое утверждение об элементах множества X, и пусть мы хотим + показать, что P(x) верно для всех x ∈ X. Для этого достаточно показать, что если x ∈ X, и P(y) верно для всех + таких y ∈ X, что y R x, то P(x) также верно. Другими словами: ∀x ∈ X ((∀y ∈ X (y R x → P(y))) → P(x)) → ∀x ∈ X (P(x)). + author: Дьячков Егор + +- question: > + Что называется частичным порядком на множестве M? + answer: > + Отношением порядка, или частичным порядком, на множестве M называется бинарное отношение ϕ на M (определяемое + некоторым множеством R_{ϕ} ⊆ M × M), удовлетворяющее следующим условиям: + Рефлексивность: ∀a (a ϕ a) + Транзитивность: ∀a, b, c ((a ϕ b) ∧ (b ϕ c) ⇒ a ϕ c) + Антисимметричность: ∀a, b ((a ϕ b) ∧ (b ϕ a) ⇒ a = b) + Множество M, на котором задано отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным. + Если быть совсем точным, то частично упорядоченным множеством называется пара ⟨M, ϕ⟩, где M — множество, + а ϕ — отношение частичного порядка на M. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Чему равна размерность частично упорядоченного множества? + answer: > + Размерность частично упорядоченного множества ⟨M, ϕ⟩ равна максимальной + численности совокупности линейных порядков <_i (i ∈ I). + В основе этого определения находится свойство продолжаемости частичного порядка до линейного. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Какие существуют специальные типы частично упорядоченных множеств? + answer: > + 1) Линейно упорядоченные: Частично упорядоченное множество (X,<) называется линейно упорядоченным, или просто упорядоченным, если любые x, y ∈ + X сравнимы. + 2) Плотные: Два элемента x, y линейно упорядоченного множества называют соседними, если x < y и не существует + элемента между ними, то есть такого z, что x < z < y. Линейно упорядоченное множество называют плотным, если + в нём нет соседних элементов (то есть между любыми двумя есть третий). + 3) Вполне упорядоченные: Фундированные линейно упорядоченные множества называются вполне упорядоченными, + а соответствующие порядки — полными. + 4) Тривиально упорядоченные: Диагональное отношение △ (однородное на множестве A отношение ρ называется + △: диагональным (единичным), если xρy ⇔ x = y. Для единичного отношения на A часто используют также обозначение 1_A.) + на произвольном множестве можно рассматривать не только как + эквивалентность, но и как частичный порядок. Множество с таким порядком называют тривиально упорядоченным. + 5) Решётки: Частично упорядоченное множество (L, ≤) называется решёткой, если для любой пары элементов a, b ∈ L + существуют sup{a, b} и inf {a, b} + 6) Фундированные: Частично упорядоченное множество (P, ≤) называется фундированным, если всякое непустое подмножество S ⊆ P + имеет минимальный элемент. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Как можно рассматривать частично упорядоченное множество в теории категорий? + answer: > + Каждое частично упорядоченное множество (и каждый предпорядок) можно рассматривать как категорию, в которой каждое + множество морфизмов Hom(A, B) состоит не более чем из одного элемента. + Например, эту категорию можно определить так: Hom(A, B) = {(A, B)}, если A ≤ B (и пустое множество в противном + случае); правило композиции морфизмов: (y, z) ∘ (x, y) = (x, z). Каждая категория-предпорядок эквивалентна частично + упорядоченному множеству. Функтор из категории-частично упорядоченного множества — это коммутативная диаграмма. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Опиши совместную индукцию + answer: > + Совместная индукция — это метод, который используется, когда невозможно доказать по индукции отдельное утверждение. + Вместо этого необходимо доказать одновременно целую группу утверждений S_1(n), S_2(n), …, S_k(n) с помощью индукции + по n. В теории автоматов такая ситуация возникает достаточно часто. Например, существует общая ситуация, + когда действие автомата описывается группой утверждений, по одному для каждого состояния. В этих утверждениях + говорится, какие последовательности входных сигналов приводят автомат в каждое из его состояний. Строго говоря, + доказательство группы утверждений не отличается от доказательства их конъюнкции (логическое «И») — всех этих + утверждений одновременно. Например, группу утверждений S_1(n), S_2(n), …, S_k(n) можно заменить одним утверждением + S_1(n) ∧ S_2(n) ∧ … ∧ S_k(n). Однако, если необходимо доказывать несколько действительно независимых утверждений, + то проще рассматривать их отдельно, доказывая для каждого свой базис и индуктивный шаг. + Такой тип доказательства называется совместной индукцией. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Напиши теорему о трансфинитной рекурсии + answer: > + Ординалом называется порядковый тип вполне упорядоченного множества, то есть класс всех изоморфных ему упорядоченных + множеств. + Теорема (о трансфинитной рекурсии): + Фиксируем некоторый ординал α. Пусть h : X^{<α} → X. Тогда существует и единственная f : α → X такая, + что для любого β ∈ α, f(β) = h(f ⏐ β). + То есть можно построить единственную функцию f, определённую на всём ординале α, такую, + что её значение в каждой точке β определяется значениями функции на всех предыдущих отрезках + (меньших β) с использованием некоторого правила, заданного функцией h. + author: Дьячков Егор + +- question: > + Напиши аксиому регулярности и ее следствие + answer: > + Аксиома выбора: + Для любого непустого множества x существует выбирающая + функция, т.е. ψ : 2^x \{∅} → x , такая, что ∀y ⊆ x : y ≠ ∅ → ψ(y) ∈ y. + Аксиома регулярности (фундирования): каждое непустое множество X содержит элемент x такой, что X ∩ x = ∅. + ∀X(¬(X = ∅) → (∃x ∈ X)(x ∩ X = ∅)) + То есть для любого не пустого множества Х, существует элемент х в Х + такой, что пересечение Х и х пусто. Это означает, что (х) не содержит в себе элементов из (Х). + Следствие: не существует бесконечной последовательности множеств x_0,x_1,x_2,... такой, что x_0 ∋ x_1 ∋ x_2 ∋ ... + (в частности, ∃/ X(X ∈ X)) — достаточно рассмотреть X = {x_0,x_1,x_2,...} и применить аксиому. Из аксиомы выбора + следует, что верно и обратное: из несуществования бесконечной последовательности x_0 ∋ x_1 ∋ x_2 ∋ ... вытекает + аксиома регулярности — иначе (∃X ≠ ∅)(∀x ∈ X)(x ∩ X ≠ ∅) и по аксиоме выбора существует множество {x_0,x_1,x_2,...}, + в котором x_0 ∈ X, x_1 ∈ X ∩ x_0, x_2 ∈ X ∩ x_1 и т.д. + author: Дьячков Егор + + + +- question: > + Как реализуется алгоритм для проверки принадлежности слова w к языку L в детерминированном конечном автомате (сокр. ДКА)? + answer: > + Для проверки принадлежности слова w к языку L, распознаваемому детерминированным конечным автоматом (сокр. ДКА), используется рекурсивный алгоритм, который определяет, можно ли дойти до заключительного состояния автомата, прочитывая символы из w. + + На вход подаются: + - детерминированный конечный автомат A, заданный как кортеж (Q, Σ, δ, q₀, F), где Q — множество состояний, Σ — алфавит, δ — функция переходов, q₀ — начальное состояние, F — множество заключительных состояний; + - начальное состояние q из множества Q; + - слово w, которое представляется как последовательность символов из алфавита Σ. + + Алгоритм возвращает true, если слово w принадлежит языку, распознаваемому автоматом из состояния q, и false в противном случае. + + Пошаговое описание алгоритма: + 1. Если слово w пустое (обозначается ε), алгоритм проверяет, принадлежит ли текущее состояние q множеству заключительных состояний F. Если принадлежит, возвращается true; в противном случае возвращается false. + 2. Если слово w непустое, алгоритм разбивает его на первый символ (head(w)) и оставшуюся часть (tail(w)). Затем он вызывает функцию δ, чтобы перейти в следующее состояние на основе текущего состояния q и первого символа head(w). После этого алгоритм рекурсивно вызывает себя для оставшейся части слова tail(w) и нового состояния, полученного после перехода. + + Сложность алгоритма зависит от длины слова w: O(|w|), где |w| — это длина слова. + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Как реализуется операция дополнения языка в детерминированном конечном автомате (сокр. ДКА)? + answer: > + Реализация операции дополнения для детерминированного конечного автомата (сокр. ДКА) предполагает преобразование автомата таким образом, чтобы он принимал все слова, которые не были приняты исходным автоматом. Поскольку ДКА имеет единственный путь для каждого слова, которое принимается только в случае достижения финального состояния, можно поменять местами финальные и нефинальные состояния и добавить состояние-ловушку, если это необходимо, для корректного дополнения. + Алгоритм предусматривает линейную сложность и включает состояние-ловушку, чтобы гарантировать, что автомат правильно обрабатывает все возможные слова языка. Если автомат не полон (то есть не определены переходы для некоторых символов), добавляется состояние-ловушка, в которое ведут все отсутствующие переходы из каждого состояния. + Входные данные: + - Детерминированный конечный автомат A, представленный как (Q, Σ, δ, q₀, F), где Q — множество состояний, Σ — алфавит, δ — функция переходов, q₀ — начальное состояние, а F — множество финальных состояний. + + На выходе: + - Новый ДКА B, представленный как (Q′, Σ, δ′, q′₀, F′), такой что язык L(B) является дополнением языка L(A). + + Шаги алгоритма: + 1. Установить Q′ = Q, δ′ = δ, q′₀ = q₀ и F′ = ∅. + 2. Если у автомата отсутствуют переходы для некоторых символов в состояниях, добавить новое состояние trap (ловушка) в Q′. Обновить δ′, направив все отсутствующие переходы из каждого состояния в trap. + 3. Для каждого состояния q из Q: + - Если q не принадлежит F (то есть не является финальным состоянием), добавить q в F′. + 4. Включить trap в F′, чтобы гарантировать, что любое слово, которое не принимается в исходном автомате, будет принято в дополненном автомате. + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Почему операция дополнения для детерминированного конечного автомата (сокр. ДКА) сохраняет минимальность автомата? + answer: > + Операция дополнения для детерминированного конечного автомата (сокр. ДКА) сохраняет минимальность, поскольку каждое состояние дополненного автомата B распознает дополнение языка, который распознавало то же состояние в исходном автомате A. Если состояния исходного автомата A распознают попарно разные языки, то и состояния автомата B также будут распознавать различные языки. В соответствии с критерием минимальности, ДКА является минимальным, если его состояния распознают различные языки, то есть если каждое состояние соответствует уникальному подмножеству языка. + Однако, если исходный минимальный ДКА был сокращённым (trim), то после дополнения может появиться состояние-ловушка. Для сохранения числа состояний может потребоваться удалить это состояние-ловушку. + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Какова цель и структура универсального алгоритма для выполнения бинарных булевых операций над языками, распознаваемыми детерминированным конечным автоматом (сокр. ДКА)? + answer: > + Цель универсального алгоритма заключается в том, чтобы, принимая два детерминированных конечных автомата (сокр. ДКА), распознающих языки L₁ и L₂, и бинарную булевую операцию (например, объединение, пересечение или разность), возвращать ДКА, распознающий результат применения этой операции к языкам L₁ и L₂. + Для корректной работы алгоритма с операциями объединения или разности необходимо, чтобы в исходных ДКА явно присутствовали все ловушки (или «непринимающие» состояния). Если ловушка отсутствует, алгоритм может не учесть все возможные переходы, и результат может быть некорректным. + Алгоритм работает следующим образом: + + Вход: + - ДКА A₁ = (Q₁, Σ, δ₁, q₀₁, F₁) + - ДКА A₂ = (Q₂, Σ, δ₂, q₀₂, F₂) + + Выход: + - Новый ДКА A = (Q, Σ, δ, q₀, F), где L(A) — результат бинарной операции L(A₁) ♢ L(A₂) + + Структура алгоритма: + 1. Инициализация: + - Q, δ, F ← ∅. + - Начальное состояние q₀ ← [q₀₁, q₀₂]. + - W ← {q₀} — очередь, содержащая начальное состояние. + 2. Пока очередь W не пуста: + - Извлечь [q₁, q₂] из W. + - Добавить [q₁, q₂] в Q. + - Если (q₁ ∈ F₁) ♢ (q₂ ∈ F₂), то добавить [q₁, q₂] в F. + - Для каждого символа a из алфавита Σ: + - Вычислить δ₁(q₁, a) и δ₂(q₂, a). + - Если пара состояний [δ₁(q₁, a), δ₂(q₂, a)] не находится в Q, добавить ее в W. + - Добавить переход ([q₁, q₂], a, [δ₁(q₁, a), δ₂(q₂, a)]) в δ. + + Логика работы с различными операциями: + - Для операции объединения (L₁ ∪ L₂) нужно, чтобы каждое состояние переходило в ловушку, если оно не может принять строку, которая не принадлежит ни одному из языков. Поэтому наличие всех ловушек в исходных ДКА обязательно. + - Для операции пересечения (L₁ ∩ L₂) алгоритм работает аналогично, но состояния будут попадать в финальные только если оба исходных состояния — финальные. + - Для операции разности (L₁ - L₂) алгоритм требует, чтобы все состояния, которые могут перейти в финальные состояния, но не могут переходить в финальные состояния второго автомата, были учтены и правильно обработаны. + + Этот алгоритм подходит для выполнения любых бинарных операций над языками, распознаваемыми ДКА, с учетом правильной обработки состояния-ловушки для операции объединения и пересечения. + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Каково количество состояний у результирующего детерминированного конечного автомата (сокр. ДКА) при выполнении бинарной булевой операции над двумя ДКА, и в каких случаях минимальность не сохраняется? + answer: > + Количество состояний у результирующего детерминированного конечного автомата (ДКА), полученного в результате выполнения бинарной булевой операции (например, объединения, пересечения или разности) над двумя ДКА, будет O(|Q₁| ⋅ |Q₂|), где |Q₁| и |Q₂| — количество состояний в исходных автоматах A₁ и A₂. Это количество состояний достигается независимо от выполняемой булевой операции, поскольку для каждой пары состояний из A₁ и A₂ создается новое состояние в результирующем автомате. + Для демонстрации достижимости этого предела рассмотрим алфавит Σ = {a} и язык Multₙ, который включает все слова длиной, кратной n. Минимальный ДКА для этого языка представляет собой цикл из n состояний, где начальное состояние также является единственным заключительным. Если взять два взаимно простых числа n₁ и n₂, то пересечение языков Multₙ₁ и Multₙ₂ будет равно языку Mult(n₁ ⋅ n₂), и минимальный ДКА для этого языка будет иметь не менее n₁ ⋅ n₂ состояний. + Однако минимальность не сохраняется в общем случае. Например, минимальный ДКА для языка L ∩ L будет иметь только одно состояние, в то время как результат выполнения операции над автоматами (то есть объединения, пересечения или разности) будет иметь количество состояний, равное количеству состояний минимального ДКА для L. Это связано с тем, что операция бинарной булевой операции может привести к увеличению количества состояний, даже если исходные автоматы были минимальными. + Важно также отметить, что для операции объединения двух ДКА, распознающих взаимно простые языки, результирующий автомат будет иметь количество состояний, равное произведению состояний этих двух автоматов. Это происходит, потому что все возможные комбинации состояний обоих автоматов должны быть учтены, и минимальность при этом не сохраняется из-за природы самой операции объединения. + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Как определяется, что детерминированный конечный автомат (сокр. ДКА) принимает пустой язык, и какова сложность алгоритма проверки? + answer: > + Детерминированный конечный автомат (сокр. ДКА) принимает пустой язык тогда и только тогда, когда у него нет достижимых финальных состояний. Функция Empty(A) определяет, что автомат принимает пустой язык, если множество финальных состояний F пусто и если все финальные состояния недостижимы из начального состояния. + + В случае, когда автомат представлен как кортеж множеств (Q, Σ, δ, q₀, F), проверка на пустой язык сводится к выполнению двух шагов: + 1. Проверка, что множество финальных состояний F пусто. + 2. Проверка, что все финальные состояния недостижимы из начального состояния с помощью обхода графа состояний. + + Если финальные состояния F пусты, автомат сразу принимается как принимающий пустой язык. В случае, если F не пусто, алгоритм проверяет, достижимы ли эти состояния из начального состояния. + Время выполнения зависит от реализации. Если мы храним булевое значение, указывающее, есть ли в ДКА конечное состояние, то сложность функции Empty() составляет O(1). Если для проверки, что F = ∅, требуется линейный обход множества состояний Q, то сложность будет O(|Q|), где |Q| — количество состояний. + При этом, поскольку из каждого состояния может исходить лишь константное число переходов, на оценку сложности не влияет размер множества переходов, если размер алфавита считается константным. В случае с недетерминированным конечным автоматом (сокр. НКА) количество переходов могло бы повлиять на сложность, но в ДКА это не так. + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Как определяется, что детерминированный конечный автомат (сокр. ДКА) принимает универсальный язык Σ∗, и какова сложность алгоритма проверки? + answer: > + Детерминированный конечный автомат (сокр. ДКА) принимает универсальный язык Σ* тогда и только тогда, когда все его состояния являются финальными. Автомат принимает универсальный язык, если множество финальных состояний F совпадает с множеством всех состояний Q автомата. Это условие гарантирует, что автомат будет принимать все слова из Σ*, так как любое слово приведет к одному из финальных состояний. + Если автомат находится в нормальной форме (каждое состояние достижимо из начального), то проверка сводится к проверке равенства множества F и множества Q, что имеет сложность O(1), а также к проверке, что автомат полон (т.е. есть переходы по всем буквам из всех состояний). + В противном случае, если автомат не находится в нормальной форме, необходимо сначала проверить достижимость состояний, что может потребовать O(|Q|) времени для поиска всех достижимых состояний, где |Q| — это количество состояний автомата. Затем, если все состояния достижимы, проверяется равенство множеств F и Q, что дает сложность O(|Q|). + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Как можно проверить, что язык, распознаваемый одним детерминированным конечным автоматом (сокр. ДКА), является подмножеством языка, распознаваемого другим ДКА? + answer: > + Для проверки того, что язык L(A₁), распознаваемый детерминированным конечным автоматом A₁, является подмножеством языка L(A₂), распознаваемого детерминированным конечным автоматом A₂, используется алгоритм, который строит все возможные комбинации состояний из обоих автоматов (т.е. пары состояний [q₁, q₂], где q₁ — состояние из A₁, а q₂ — состояние из A₂). Затем для каждой такой пары проверяется, что если состояние q₁ является финальным в A₁ (q₁ ∈ F₁), то состояние q₂ должно быть финальным в A₂ (q₂ ∈ F₂). Если находится хотя бы одна пара, где q₁ является финальным состоянием в A₁, а q₂ не является финальным в A₂, то алгоритм возвращает false, что означает, что L(A₁) не является подмножеством L(A₂). В противном случае, если таких пар не найдено, алгоритм возвращает true, подтверждая, что L(A₁) является подмножеством L(A₂). + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Как проверяется равенство языков двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА)? + answer: > + Равенство языков двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА) L(A₁) = L(A₂) проверяется с помощью симметрической разности L(A₁) Δ L(A₂). Если симметрическая разность пуста, то языки равны. Алгоритм проверки равенства двух языков модифицирует алгоритм проверки включения языков, проверяя, что для состояний [q₁, q₂] выполняется одно из следующих условий: если q₁ ∈ F₁ и q₂ ∉ F₂, или если q₁ ∉ F₁ и q₂ ∈ F₂, то возвращается false, что означает, что языки не равны. В противном случае возвращается true. + Назовём такой алгоритм стандартным алгоритмом проверки равенства языков двух ДКА. + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Какой альтернативный подход существует для проверки равенства двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА), помимо алгоритма стандартного алгоритма проверки равенства языков двух ДКА? + answer: > + Альтернативный подход заключается в минимизации двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА) A₁ и A₂, а затем проверке, являются ли они изоморфными. Проверка изоморфизма может быть пропущена, если применить алгоритм бисимуляции (англ. CSR, coarsest stable refinement) к объединению двух недетерминированных конечных автоматов (сокр. НКА) A₁ ∪ A₂ и разделить состояния на блоки. Языки равны, если начальные состояния обоих автоматов находятся в одном блоке после завершения алгоритма. + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Какая сложность проверки равенства языков двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА) с использованием алгоритма Хопкрофта для вычисления бисимуляции (англ. CSR, coarsest stable refinement)? + answer: > + Если используется алгоритм Хопкрофта для вычисления бисимуляции (англ. CSR, coarsest stable refinement), то проверка равенства языков может быть выполнена за время O(n log n), где n — это сумма состояний автоматов A₁ и A₂. + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Какие преимущества имеет стандартный алгоритм проверки равенства двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА) по сравнению с методом минимизации автоматов для проверки равенства языков? + answer: > + Первое преимущество заключается в том, что стандартный алгоритм проверки равенства языков двух детерминированных конечных автоматов (сокр. ДКА) A₁ и A₂ работает "на лету" (on-the-fly). Это позволяет проверять равенство языков L(A₁) и L(A₂) ещё на этапе их построения и прерывать выполнение при обнаружении различий. Второе преимущество — возможность модифицировать алгоритм так, чтобы он возвращал контрпример (witness) — слово, принадлежащее симметрической разности L(A₁) и L(A₂), если языки не равны. + author: Шиятов Наиль + +- question: > + Как можно вычислить частичные производные Антимирова? + answer: > + Частичные производные Антимирова — это метод, который используется в классической теории автоматов для преобразования регулярных выражений в конечные автоматы. Для вычисления частичной производной от большого регулярного выражения, алгоритм вычисляет частичные производные рекурсивно. + Базовые случаи: + 1. Если регулярное выражение состоит из одного символа c, то его частичная производная по c равна пустому слову. + 2. Если регулярное выражение состоит из одного символа, отличного от c, то его частичная производная по c пустое множество. + 3. Частичная производная от пустого слова ε по любому символу пустое множество. + Сложные случаи: + Пусть r_1 и r_2 - регулярные выражения, L - язык, который описывается регулярным выражением. + 1. Если пустое слово принадлежит L(r_1), то частичная производная от r_1 r_2 по c получается путем взятия частичных производных от r_1 и r_2 по c и конкатенацией результата со вторым регулярным выражением r_2. + 2. Если пустое слово не принадлежит L(r_1), то частичная производная от r_1 r_2 по c получается путем взятия частичной производной от r_1 по c и конкатенацией результата со вторым регулярным выражением r_2. + 3. Частичная производная от r_1 | r_2 по c является объединением частичных производных от r_1 и r_2 по c. + 4. Частичная производная от r* по c состоит из всех конкатенаций r'r*, где r' - это частичная производная от r по c. + Алгоритм построения частных производных возвращает их множество. Полученные частичные производные используются для построения автомата Антимирова, где состояния автомата соответствуют элементам этого множества. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Какие условия необходимы для бисимуляции двух НКА? + answer: > + Бисимуляция определяет, когда два автомата ведут себя одинаково с точки зрения наблюдателя, который может видеть только входные символы и выходные состояния. + Чтобы определить отношение бисимуляции на конечных автоматах, к отношению бисимуляции на LTS(Система размеченных переходов) нужно добавить ограничения на бисимуляцию начальных и конечных состояний. Более точно, для бисимуляции НКА(недетерминированный конечный автомат) A1 и A2 необходимы следующие условия: + 1) каждому состоянию A1 бисимилярно состояние A2 и наоборот + 2) стартовому состоянию A1 бисимилярно стартовое состояние A2 + 2) каждому финальному состоянию A1 бисимилярно финальное состояние A2 и наоборот + Бисимилярные НКА распознают равные языки. + Состояния q_i и q_j в НКА А бисимилярны, если они связаны LTS-бисимуляцией и имеют одинаковую финальность в А. + Бисимуляцию НКА можно переформулировать как отношение бисимуляции состояний НКА такое, что стартовые состояния бисимилярны. + Отношение бисимуляции имеет важное свойство: бисимилярные состояния в автомате можно объединить без изменения его семантики. Это преобразование часто позволяет существенно упростить НКА. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Являются ли финальные состояния и состояния-ловушки бисимилярными в НКА? + answer: > + Состояния q_i и q_j в НКА(недетерминированный конечный автомат) А бисимилярны, если они связаны LTS-бисимуляцией(форма бисимуляции в системе размеченных переходов, которая используется для сравнения поведения автоматов) и имеют одинаковую финальность в А, то есть состояния либо оба являются конечными, либо оба не являются конечными состояниями. + Все состояния-ловушки в любом полном автомате (т.е. с явно присутствующими переходами по всем буквам алфавита) бисимилярны друг другу. Все финальные состояния без переходов из них (кроме как в ловушки) также бисимилярны. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Что такое трансформационный моноид? + answer: > + Трансформационный моноид M_A для ДКА А - это моноид над базисом функций F_a таких, что F_a(q_i) = q_j тогда и только тогда, когда состояние q_i переходит в состояние q_j по a в А. + Иначе можно сказать, что трансформационный моноид M_A определяется множеством классов эквивалентности {w | w ∈ ∑+} таким, что w_i = w_j тогда и только тогда, когда F_{w_i} = F_{w_j}. В трансформационном моноиде строки являются действиями над состояниями автомата. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Какие свойства есть у трансформационного моноида? + answer: > + Для трансформационного моноида M_A верны эти свойства: + 1) M_A определяется фактормножеством классов эквивалентности и правилами переписывания, задающими эквивалентность. Пустое слово обычно не включается в множество w_i. + 2) Поскольку множество F_{w_i} в случае ДКА конечно, то M_A содержит конечное число классов эквивалентности (верно и обратное: каждый такой моноид определяет ДКА). F_{w_i} - множество возможных действий над состояниями автомата. + 3) Трансмоноид строится для ДКА без ловушек; переход в ловушку обозначается в таблице переходов прочерком. + 4) Для единообразия записи трансформаций и перестановок в алгебре, в таблице переходов пишут только номера состояний ДКА А. + Таблица переходов - таблица, в которой столбцы соответствуют состояниям автомата, строки - символам входного алфавита, а каждая ячейка содержит состояние, в которое происходит переход по соответствующему символу из соответсвующего состояния. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Как строится трансформационный моноид? + answer: > + Построим таблицу переходов, в которой столбцы соответствуют состояниям автомата, строки - символам входного алфавита, а каждая ячейка содержит состояние, в которое происходит переход по соответствующему символу из соответсвующего состояния. + Таким образом определяем соответсвие между буквами и множествами переходов по ним и будем расширять этот список новыми словами в лексикографическом порядке. Если очередное слово задает такую же трансформацию, как и уже рассмотренное, порождаем соответствующее правило переписывания. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Что такое синтаксический моноид? + answer: > + Определим отношение синтаксической конгруэнтности слов: + w_i ~ по L w_j ⇔ для любых x, y (x w_i y ∈ L ⇔ x w_j y ∈ L). + То есть, заменяя подслова из одного класса эквивалентности друг на друга, мы не меняем принадлежности слова, в котором сделана замена, языку. + Синтаксическая конгруэнтность делит все слова на классы эквивалентности. Слова в одном классе можно заменять друг на друга, не нарушая принадлежности к языку. + Синтаксический моноид M(L) - это множество классов эквивалентности языка L относительно ~ по L (отношение бисимуляции по L). То есть такая полугруппа с единицей над w ∈ ∑*, что w_i = w_j ⇔ w_i ~ по L w_j (равенство здесь понимается в алгебраическом смысле: как возможность преобразовать w_i и w_j к одному и тому же слову) + Лемма. Синтаксический моноид регулярного языка L совпадает с трансформационным моноидом минимального ДКА, его распознающего. + Синтаксический моноид - атрибут языка, а трансформационный моноид - атрибут конкретного автомата, распознающего этот язык. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Доказательство теоремы Майхилла-Нероуда (англ. Myhill-Nerode theorem)? + answer: > + L-некоторый регулярный язык. Определим отношение эквивалентности по Нероуду как: w_i ≡ по L w_j ⇔ для любых y (w_i y ∈ L ⇔ w_j y ∈ L). Таким образом, два слова эквивалентны по Нероуду тогда и только тогда замена префикса слова на другой префикс из того же класса эквивалентности не меняет принадлежности слова языку. + Теорема Майхилла-Нероуда.(Критерий регулярности языка) + Язык L регулярен тогда и только тогда, когда множество классов эквивалентности ≡ по L конечно. + Доказательство: + =>: Пусть L регулярен. Тогда он порождается некоторым DFA A с конечным числом состояний N. Значит, множество {q_i | q_0 переходит по w в q_i} конечно, а для каждых двух w_1, w_2 таких, что q_0 переходит по w_1 в q_i и q_0 переходит по w_2 в q_i выполняется w_1 ≡ по L w_2. + <=: Пусть все слова в ∑* принадлежат N классам эквивалентности A_1...A_n по ≡ по L. Построим по ним DFA A, распознающий L. + Классы A_i сопоставим состояниям: + 1) Начальным объявим класс эквивалентности A_0 такой, что ε ∈ A_0. + 2) Конечными объявим такие A_j, что для любого w ∈ A_j: (w ∈ L). + 3) Если w_i a ≡ по L w_j, то w_i переходит по a в w_j. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Как минимизировать ДКА? + answer: > + Минимизация ДКА. Рассмотрим один из методов минимизиции: + 1) Построим таблицу всех двухэлементных множеств {q_i, q_j} q_i, q_j ∈ Q (множество состояний). + 2) Пометим все пары, в которых один элемент финальный, а другой нет. + 3) Пометим все множества {q_i, q_j} такие, что существует такой a, что (q_i переходит по a в q_1' и q_j переходит по a в q_2' и {q_1',q_2'} - помеченная пара). + 4) Продолжаем шаг 3, пока не будет появляться новых помеченых пар. Пары оставшиеся непомеченными, можно объединить. + Существуют и другие методы минимизации ДКА, например, алгоритм минимизации Бреннера и алгоритм Хопкрофта. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Как доказать минимальность детерминированного конечного автомата? + answer: > + Для доказательства минимальности детерминированного конечного автомата способом построения таблиц необходимо построить таблицу классов эквивалентности. Для построения таблицы выбираются w_i - префиксы, которые приводят в различные состояния автомата. Эти префиксы используются для определения строк таблицы. + Подбираются различающие суффиксы z_i, которые используются для определения столбцов таблицы. + Для каждого префикса w_i и суффикса z_i проверяется, принадлежит ли слово w_i z_i языку. Значения таблицы содержат 0 и 1, то есть принадлежит или не принадлежит слово языку. Если в этой таблице все строчки различны, значит выбранные w_i действительно лежат в различных классах эквивалентности, и ДКА, распознающий язык L, не может иметь меньше len(w_i) состояний. + При доказательстве минимальности ДКА достаточно подобрать [log_2(n)]+1 различающих суффиксов z_i, где n - число состояний автомата. + Также можно минимизировать автомат и в случае, если результат равен исходному с точностью до нумерации состояний - это означает, что данный автомат минимален. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Какие свойства есть у множества функций переходов ДКА (детерминированного конечного автомата)? + answer: > + Свойства множества функций переходов ДКА: + 1) Существует единичная функция F_ε такая, что F_ε ∘ F_ξ = F_ξ ∘ F_ε = F_ξ. То есть композиция единичной функции с любой другой функцией из множества функций переходов детерминированного конечного автомата (ДКА) сохраняет эту другую функцию. + 2) Композиция ассоциативна. + Таким образом, функции переходов по словам из ∑* в ДКА А образуют моноид относительно композиции. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Означает ли бисимуляция состояний равенство НКА? + answer: > + В равных НКА состояния бисимилярны, однако только условия существования бисимуляции и биекции бисимилярных состояний недостаточно, чтобы гарантировать равенство. + author: Егорова Алиса + +- question: > + Учитывает ли трансформационный моноид финальность состояний? + answer: > + Трансформационный моноид строится в контексте LTS(Система размеченных переходов), то есть без учета финальности состояний. + Поэтому из ДКА, по которому строится трансформационный моноид, предварительно удаляются все ловушки, иначе в нем могут появиться правила переписывания, не имеющие никакого отношения к языку ДКА. + author: Егорова Алиса + +- question: > + В хорошо написанном регулярном выражении должны быть сбалансированы какие факторы? + answer: > + В хорошо написанном регулярном выражении должны быть сбалансированы несколько факторов: + • Регулярное выражение должно находить именно те фрагменты текста, которые соответствуют заданным условиям. В зависимости от задачи, подход может различаться: например, fullmatch проверяет полное совпадение всей строки с выражением, в то время как search подходит для нахождения фрагментов внутри строки. Такое разграничение позволяет выбирать правильный метод для каждой задачи, будь то полное соответствие или частичное. + • Регулярное выражение должно оставаться понятным и легким для поддержки. Сложные, трудно читаемые выражения могут затруднить их использование и усложнить внесение изменений, повышая риск ошибок. + • При использовании механизма недетерминированного конечного автомата (НКА) выражение должно быть эффективно и приводить к быстрому результату. Однако стоит учитывать, что конструкции с итерацией Клини (* и +) особенно в начале выражения могут усилить недетерминизм, что повышает вероятность долгого перебора вариантов и ухудшает производительность. Хорошо составленное регулярное выражение должно минимизировать такие конструкции, если это возможно, чтобы избежать избыточной сложности и не затягивать обработку. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Какие возможности механизм НКА может поддерживать, недоступные для ДКА? (в конетексте регулярных выражений и языков) + answer: > + Механизм недетерминированного конечного автомата (НКА) обладает рядом возможностей, недоступных для детерминированного конечного автомата (ДКА), что делает его более гибким и мощным инструментом для работы с регулярными выражениями: + 1. Возможность использовать захваченную строку по имени группы вне регулярного выражения: НКА поддерживает возможность захвата текста, заключённого в круглые скобки в регулярном выражении, и использования этих захваченных фрагментов в дальнейшем, что позволяет гибко работать с результатами сопоставлений. + 2. Позиционные и сложные проверки с нулевой длиной совпадения: НКА может выполнять позиционные проверки (например, проверки начала или конца строки) и другие сложные проверки, не требующие дополнительных символов для совпадения. + 3. Минимальные квантификаторы и упорядоченный выбор: В отличие от ДКА, который обеспечивает поиск минимального совпадения в целом, НКА поддерживает локальные минимальные квантификаторы и упорядоченный выбор, что позволяет регулировать последовательность проверок и минимизировать длину совпадений на более локальном уровне. + 4. Захватывающие квантификаторы и атомарная группировка: НКА поддерживает захватывающие квантификаторы и атомарную группировку, что позволяет эффективно контролировать совпадения и избегать ненужных проверок. + 5. Обработка многоопределённости: НКА поддерживает обработку языков, в которых на одном и том же месте могут быть несколько вариантов ввода, что позволяет учитывать альтернативные пути при распознавании строки (например, через операторы выбора, такие как | в регулярных выражениях). Это даёт НКА гибкость, так как он может одновременно рассматривать несколько возможных путей для распознавания. В отличие от этого, ДКА ограничен обработкой языков, где каждый ввод имеет строго определённый путь разбора, и требует создания отдельных состояний для каждой альтернативы, что делает его менее компактным и сложным в плане реализации для таких выражений. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Три закона для коммутативности и ассоциативности регулярных языков + answer: > + 1. L + M = M + L — коммутативный закон для объединения утверждает, что два языка можно объединять в любом порядке. + 2. (L + M) + N = L + (M + N) — это ассоциативный закон объединения, который говорит, что для объединения трёх языков можно сначала объединить как два первых, так и два последних из них. Вместе с коммутативным законом этот закон позволяет объединять любое количество языков в произвольном порядке, разбивая их на любые группы, и результат будет одним и тем же. Очевидно, что некоторая цепочка принадлежит объединению L_1 ∪ L_2 ∪ … ∪ L_k тогда и только тогда, когда она принадлежит одному или нескольким языкам L_i. + 3. (LM)N = L(MN) — ассоциативный закон конкатенации гласит, что для конкатенации трёх языков можно сначала соединить как два первых, так и два последних из них. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Три закона для коммутативности и ассоциативности регулярных выражений + answer: > + 1. L∣M=M∣L — коммутативный закон для объединения утверждает, что операнды в регулярных выражениях объединения можно менять местами, и это не изменяет язык, который они распознают. + 2. ((L∣M)∣N)=(L∣(M∣N)) — это ассоциативный закон объединения, который говорит, что для объединения трёх регулярных выражений можно сначала объединить как два первых, так и два последних из них, и результат будет тот же. Вместе с коммутативным законом этот закон позволяет менять порядок и группировку операндов в объединении произвольного числа регулярных выражений без изменения распознаваемого ими языка. + 3. (LM)N = L(MN) — ассоциативный закон конкатенации гласит, что для конкатенации трёх регулярных выражений можно сначала соединить два первых, а затем третий, либо наоборот, и результат останется одинаковым. + Примечание: в данном ответе для операции объединения используется символ |, который является стандартным в регулярных выражениях. В то же время в математической теории автоматов и в рамках полукольца эту операцию может быть записана, как +. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Дистрибутивные законы для регулярных выражений + answer: > + Для регулярных выражений существует закон дистрибутивности, но, поскольку операция конкатенации некоммутативна, то он формулируется в виде следующих двух законов: + • L(M∣N)=(LM∣LN). Этот закон называется левосторонним дистрибутивным законом конкатенации относительно объединения. + • (M∣N)L=(ML∣NL). Этот закон называется правосторонним дистрибутивным законом конкатенации относительно объединения. + Примечание: в данном ответе для операции объединения используется символ |, который является стандартным в регулярных выражениях. В то же время в математической теории автоматов и в рамках полукольца эту операцию может быть записана, как +. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Законы связанные с оператором итерации (в контексте регулярных выражений и языков) + answer: > + Существует ряд законов, связанных с операцией итерации и её разновидностями + и ? в стиле UNIX. + • (L^*)^* = L^*. Этот закон утверждает, что при повторной итерации язык уже итерированного выражения не меняется. Язык выражения (L^*)^* содержит все цепочки, образованные конкатенацией цепочек языка L^*. Последние же цепочки построены из цепочек языка L. Таким образом, цепочки языка ( также являются конкатенациями цепочек из L и, следовательно, принадлежат языку L^*. + • ∅^* = ε. Итерация языка ∅ состоит из одной-единственной цепочки ε. + • ε* = ε. Легко проверить, что единственной цепочкой, которую можно образовать конкатенацией любого количества пустых цепочек, будет всё та же пустая цепочка. + • L⁺ = L(L^*) = (L^*)L. + Поскольку L⁺ по определению равно L∣LL∣LLL∣…. + А также в силу того, что L^* = ε∣L∣LL∣LLL∣…, то + L(L^*) = Lε∣LL∣LLL∣LLLL∣… + Если учесть, что Lε = L, то очевидно, что бесконечные разложения для L(L^*) и для L⁺ совпадают. Это доказывает, что L⁺ = L(L^*). Доказательство того, что L⁺ = (L^*)L, аналогично. + • L^* = L⁺|ε. Это легко доказать, поскольку в разложении L⁺ присутствуют те же члены, что и в разложении L^*, за исключением цепочки ε. Заметим, что если язык L содержит цепочку ε, то `|ε` лишнее, т.е. в этом случае L⁺ = L^*. + • L? = ε|L. В действительности это правило является определением оператора "?". + Примечание: в данном ответе символ | используется для обозначения объединения, что является стандартом в регулярных выражениях. При этом в математических обозначениях или в рамках теории полуколец операция объединения часто записывается как +. Однако, чтобы избежать путаницы с оператором "позитивной итерации" (+), используется синонимичный символ |. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Преобразование НКА в ДКА + answer: > + Преобразование НКА в ДКА может занимать экспоненциальное время относительно количества состояний НКА. Вычисление ε-замыкания для n состояний занимает O(n³), так как нужно исследовать до n² дуг. Это можно сделать с помощью алгоритма Флойда-Уоршелла нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин. + После вычисления ε-замыкания можно перейти к синтезу ДКА с помощью конструкции подмножеств. Основное влияние на расход времени оказывает количество состояний ДКА, которое может равняться 2ⁿ. Для каждого состояния можно вычислить переходы завремя O(n³), используя ε-замыкание и таблицу переходов НКА для каждого входного символа. Предположим, нужно вычислить δ({q_1, q_2, …, q_k}, a) для ДКА. Из каждого со стояния q_i можно достичь не более n состояний вдоль путей с меткой ε, и каждое из этих состояний может иметь не более, чем n дуг с меткой a. Создав массив, проиндексиро ванный состояниями, можно вычислить объединение не более n множеств, состоящих из не более, чем n состояний, за время, пропорциональное n². + Таким способом для каждого состояния q_i можно вычислить множество состояний, достижимых из q_i вдоль пути с меткой a (возможно, включая дуги, отмеченные ε). Поскольку k ≤ n, то существует не более n таких состояний q_i, и для каждого из них вычисление достижимых состояний занимает время O(n²). Таким образом, общее время вычисления достижимых состояний равно O(n³). Для объединения множеств достижимых состояний потребуется только O(n²) дополнительного времени, следовательно, вычисление одного перехода ДКА занимает время O(n³). + Заметим, что количество входных символов считается постоянным и не зависит от n. Таким образом, как в этой, так и в других оценках времени работы количество входных символов не рассматривается. Размер входного алфавита влияет только на постоянный коэффициент, скрытый в обозначении “О большого”. + Итак, время преобразования НКА в ДКА, включая ситуацию, когда НКА содержит ε переходы, равно O((n³)(2ⁿ)). Конечно, на практике обычно число состояний, которые строятся, намного меньше 2ⁿ. Иногда их всего лишь n. Поэтому можно установить оценку времени работы равной O(n³s), где s — это число состояний, которые в действительности есть у ДКА. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Проверка истинности алгебраических тождеств (в контексте регулярных языков и выражений) + answer: > + Проверка истинности алгебраических тождеств заключается в проверке эквивалентности двух регулярных выражений. Это означает, что оба выражения должны описывать один и тот же язык — множество строк, которые они распознают, должно совпадать. + Подходы для проверки эквивалентности регулярных выражений: + 1. Преобразование в конечные автоматы: + Можно преобразовать оба регулярных выражения в недетерминированные конечные автоматы (НКА), а затем привести их к эквивалентным детерминированным конечным автоматам (ДКА). + После этого проверяется эквивалентность автоматов, что означает, что их язык принимаемый ими язык одинаков. + Автоматы считаются эквивалентными, если они принимают один и тот же язык, то есть принимают одни и те же строки. + 2. Минимизация автоматов: + После получения ДКА для каждого регулярного выражения можно минимизировать оба автомата. + Минимизированные ДКА будут эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны (имеют одинаковую структуру). + 3. Метод разницы языков: + Можно построить автомат, который распознает разницу языков, описываемых двумя регулярными выражениями L_1 и L_2 : это язык, состоящий из всех строк, которые принадлежат L_1, но не принадлежат L_2, и всех строк, которые принадлежат L_2 , но не принадлежат L_1. + Если разность языков пуста (нет таких строк), значит, регулярные выражения эквивалентны. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Доказательство леммы о накачке для регулярных языков (Пусть L - регулярный язык) + answer: > + Теорема: Для любого регулярного языка L существует число n ∈ ℕ такое, что ∀ w ∈ L, |w| ≥ n найдутся такие три слова x, y, z, что: w = xyz; y ≠ ε; |xy| ≤ n; ∀ k ≥ 0: x(y^k)z ∈ L. + Доказательсво: Пусть L — регулярный язык, которому соответствует конечный автомат с числом вершин n, а w ∈ L — слово длины не менее n. + Рассмотрим последовательность вершин конечного автомата в порядке их посещения при разборе слова w: a_0, a_1, a_2, ..., a_m. Последовательность, очевидно, содержит m+1 вершину, и m ≥ n. + Так как всего в графе только n вершин, хотя бы одна из них повторяется в последовательности. Пусть a_i — первая вершина последовательности из числа повторяющихся, причём второй раз она встретилась в позиции j. Тогда x — первые i символов строки w, y — отрезок w, соответствующий перемещению из a_i в a_j, а z — отрезок w, соответствующий перемещению из a_j в a_n. + Так как переход от a_i к a_j образует цикл в конечном автомате, по этому циклу можно пройти произвольное (в том числе и нулевое!) число раз, и всякий раз будет получаться строчка, принимаемая автоматом, поэтому ∀ k ∈ ℕ_0: x(y^k)z ∈ L. + При этом пара состояний a_i, a_j — первый повтор в рассматриваемой последовательности. Значит, все состояния a_0, a_1, ..., a_{j-1} являются различными. Раз так, то их не больше n. Отсюда получаем, что j ≤ n и |xy| ≤ n, что и требовалось доказать. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Что делать, если языки имеют разные алфавиты? (в контексте регулярных языков и выражений) + answer: > + При объединении или пересечении двух языков L и M может оказаться, что они определены в разных алфавитах. Например, возможен случай, когда L1 ⊆ {a, b}^*, а L2 ⊆ {b, c, d}^*. Однако, если язык L состоит из цепочек символов алфавита Σ, то L можно также рассматривать как язык в любом конечном алфавите, включающем Σ (надмножестве Σ). + Например, можно представить указанные выше языки L_1 и L_2 как языки в алфавите {a, b, c, d}. То, что ни одна цепочка языка L_1 не содержит символов c или d, несущественно, как и то, что ни одна цепочка языка L_2 не содержит a. Аналогично, рассматривая дополнение языка L, который является подмножеством множества (Σ_1)* для некоторого алфавита Σ_1, можно взять дополнение относительно некоторого алфавита Σ_2, включающего Σ_1 (надмножества Σ_1). В этом случае дополнением L будет (Σ_2)* – L, т.е. дополнение языка L относительно алфавита Σ_2 включает (среди прочих) все цепочки из (Σ_2)*, которые содержат хотя бы один символ алфавита Σ_2, не принадлежащий Σ_1. + Если взять дополнение L относительно Σ_1, то ни одна цепочка, содержащая символы из Σ_2 – Σ_1, не попадет в L. + Таким образом, чтобы избежать неточностей, нужно указывать алфавит, относительно которого берется дополнение. Часто, однако, бывает очевидно, какой алфавит подразумевается в конкретном случае. Например, если язык L определен некоторым автоматом, то в описании этого автомата указывается и алфавит. + Итак, во многих ситуациях можно говорить о “дополнении”, не указывая алфавит. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Теорема Майхилла-Нероде (англ. Myhill-Nerode) для регулярных языков + answer: > + Теорема Майхилла-Нероде (англ. Myhill-Nerode). Пусть L — язык и пусть ≡_L — отношение эквивалентности на множестве строк, где u ≡_L u', если для всякой строки v строки uv и u'v или обе лежат в L или обе не лежат. Это отношение называется суффиксной конгруэнтностью для языка L. Утверждается, что язык L регулярен тогда и только тогда, когда число классов эквивалентности в отношении ≡_L конечно. + Расширение понятия на другие классы языков: + Подходы, аналогичные теореме Майхилла-Нероде, применяются и в анализе более сложных языков, таких как древесные языки и видимо-контекстно-свободные языки (VPL). + Суффиксная конгруэнтность древесных языков: Для древесных языков суффиксная конгруэнтность классифицирует деревья на основе их суффиксов. Два дерева эквивалентны, если добавление одного и того же поддерева приводит к деревьям, которые либо оба принадлежат языку, либо оба не принадлежат. Это позволяет разбить множество деревьев на конечное число классов эквивалентности. + Visibly Pushdown Languages (VPL): Для VPL суффиксная конгруэнтность применяется к сбалансированным словам, где видна структура стека. Два слова считаются эквивалентными, если любые продолжения этих слов приводят к одинаковым конфигурациям стека. Это также позволяет выделить конечное число классов эквивалентности. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Что называется конфигурацией ДКА + answer: > + Пусть M = (Q, Σ, s, F, 𝛿). Q – конечное множество состояний, Σ - алфавит. s ∈ Q – начальное состояние, F ⊆ Q – + множество заключительных состояний, а 𝛿 : Q × Σ → Q – функция перехода. + Конфигурацией ДКА M = (Q, Σ, s, F, 𝛿) называется произвольная пара (q, w), где q ∈ Q, w ∈ Σ*. + Где Σ* Множество слов алфавита Σ, Σ* = ⋃︁_(n ∈ N) Σⁿ. + Таким образом, Конфигурация (q, w) описывает текущее состояние автомата и оставшуюся часть входного слова, которое нужно обработать. + q — текущее состояние, в котором находится автомат. + w — оставшаяся часть слова, которую автомат ещё не прочитал. + Каждый шаг работы ДКА можно представить как переход из одной конфигурации в другую, где автомат «чтение за чтением» меняет состояние в зависимости от текущего символа слова (с помощью функции перехода δ), пока либо не завершит чтение слова, либо не придёт в состояние, из которого больше нет возможных переходов. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Как задаётся суффиксная конгруэнтность языка L на множестве слов алфавита? + answer: > + Σ* - Множество слов алфавита Σ. Σ* = ⋃︁_(n ∈ N) Σⁿ. + Бинарное отношение ≡_L, называемое суффиксной конгруэнтностью для языка L, задаётся на множестве Σ* следующим образом: + ∀x, y ∈ Σ*, x ≡_L y ⇔ ∀ z ∈ Σ*, xz ∈ L ⇔ yz ∈ L + Проще говоря, слова x и y находятся в отношении ≡_L, если для каждого слова z приписывание его справа к x приводит к слову, принадлежащему языку L, тогда и только тогда, когда приписывание справа того же слова z к y также приводит к слову, принадлежащему L. Это отношение называется суффиксной конгруэнтностью для языка L. + Таким образом, бинарное отношение ≡_L делит множество Σ* на классы эквивалентности. Каждому классу эквивалентности соответствуют слова, которые ведут себя одинаково с точки зрения принадлежности к языку L после добавления любого другого слова. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Пусть a – регулярное выражение алфавита. Как Язык L(a), являющийся подмножеством множества слов алфавита, определяется по регулярному выражению a индукцией по структуре a? + answer: > + Чтобы определить язык L(a) ⊆ Σ* по регулярному выражению a, можно использовать индукцию по структуре выражения a, основываясь на его составных частях. То есть мы последовательно определяем язык, соответствующий каждому элементарному случаю и операции над регулярными выражениями: + 1. Пустое множество: L(∅) = ∅ — язык, который не содержит ни одного слова. + 2. Базовый символ: L(a) = {a}, где a ∈ Σ. Это язык, состоящий из одного слова, представляющего символ a. + 3. Объединение языков: L(a ∪ b) = L(a) ∪ L(b). Если регулярное выражение a ∪ b описывает объединение двух языков, то язык L(a ∪ b) включает все слова из L(a) и L(b). + 4. Конкатенация языков: L(a ∘ b) = L(a) ∘ L(b). Здесь a∘b описывает конкатенацию языков, и язык L(a∘b) состоит из всех слов, которые можно получить, последовательно объединяя слова из L(a) и L(b). + 5. Замыкание Клини (итерация): L(a*) = L(a)*. Замыкание Клини для регулярного выражения a представляет собой множество всех возможных конкатенаций любого количества (включая ноль) слов из L(a). Это позволяет получить язык, включающий все повторения слов из L(a). + Таким образом, используя эти правила, можно по шагам построить язык для любого регулярного выражения, последовательно применяя операторы к более простым выражениям и определяя язык для каждой из составляющих частей. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Лемма о разрастании для регулярных языков + answer: > + Лемма о разрастании также называется леммой о накачке (по-английски - никаких разночтений: pumping lemma) + Теорема: Для любого регулярного языка L существует число n ∈ ℕ такое, что для любого слова w ∈ L, |w| ≥ n найдутся такие три слова x, y, z, что: + 1. w = xyz; y ≠ ε; + 2. |xy| ≤ n; + 3. ∀ k ≥ 0: x(y^k)z ∈ L. + Таким образом эта лемма утверждает, что любой регулярный язык допускает представление всех своих достаточно длинных цепочек в виде соединения трех цепочек, причем средняя цепочка из этих трех не пуста, ограничена по длине, и ее `накачка` — повторение любое число раз — или выбрасывание не выводит за пределы языка (т.е. дает цепочки, принадлежащие данному регулярному языку). + author: Еделькин Герман + +- question: > + Какие факторы должны быть сбалансированны в хорошо написанном регулярном выражении? + answer: > + В хорошо написанном регулярном выражении должны быть сбалансированы несколько факторов: + • Регулярное выражение должно находить именно те фрагменты текста, которые соответствуют заданным условиям. В зависимости от задачи, подход может различаться: например, fullmatch проверяет полное совпадение всей строки с выражением, в то время как search подходит для нахождения фрагментов внутри строки. Такое разграничение позволяет выбирать правильный метод для каждой задачи, будь то полное соответствие или частичное. + • Регулярное выражение должно оставаться понятным и легким для поддержки. Сложные, трудно читаемые выражения могут затруднить их использование и усложнить внесение изменений, повышая риск ошибок. + • При использовании механизма недетерминированного конечного автомата (НКА) выражение должно быть эффективно и приводить к быстрому результату. Однако стоит учитывать, что конструкции с итерацией Клини (* и +) особенно в начале выражения могут усилить недетерминизм, что повышает вероятность долгого перебора вариантов и ухудшает производительность. Хорошо составленное регулярное выражение должно минимизировать такие конструкции, если это возможно, чтобы избежать избыточной сложности и не затягивать обработку. + author: Еделькин Герман + +- question: > + Что такое существенно неоднозначный контекстно-свободный язык? + answer: > + Контекстно-свободный язык L называется существенно неоднозначным, если все + его грамматики неоднозначны (Неоднозначной грамматикой (англ. ambiguous grammar) называется грамматика, + в которой можно вывести некоторое слово более чем одним способом (то есть для строки (слова) есть более одного дерева разбора). + Если хотя бы одна грамматика языка L однозначна, то L является однозначным языком. + author: "Якубов Павел" +- question: > + Что такое полезный символ в контекстно-свободной грамматике Γ = ⟨N, Σ, P, S⟩? + answer: > + Символ X называется полезным в грамматике Γ = ⟨N, Σ, P, S⟩, если существует + некоторое порождение вида S ⇒* αXβ ⇒* w, где w ∈ Σ*, что экивалентно тому, что символ + является одновременно и порождающим, и достижимым (Символ X называется порождающим (англ. generating), + если X ⇒* w для некоторой терминальной цепочки w. Заметим, что каждый терминал является + порождающим, поскольку w может быть этим терминалом, порождаемым за 0 шагов. + Символ X называется достижимым (англ. reachable), если существует порождение S ⇒* αXβ для некоторых α и β). + Если символ X не является полезным, то называется бесполезным, что эквивалентно тому, + что он является недостижимым (терминалы, нетерминалы) или непорождающим (нетерминалы). + Эти определения возможны в силу независимости переписывания нетерминала от контекста в КС-грамматиках, + что также делает проблему пустоты языка КС-грамматики разрешимой: + язык грамматики непустой <=> стартовый нетерминал не является бесполезным, или, что эквивалентно, + в грамматике есть хотя бы один порождающий и достижимый нетерминал. + Очевидно, что исключение бесполезных символов из грамматики не изменяет порождаемого языка, + поэтому все бесполезные символы можно обнаружить и удалить. + author: "Якубов Павел" +- question: > + Пусть Γ = ⟨N, Σ, P, S⟩ — КС-грамматика. Опиши алгоритм нахождения всех + ε-порождающих символов Γ. + answer: > + Все ε-порождающие символы Γ можно найти с помощью следующего алгоритма. + 1. Найти все ε-правила. Составить множество Z, состоящее из нетерминалов, входящих в левые части таких правил. + 2. Перебираем правила грамматики Γ. Если найдено правило A→C_1C_2...C_k, для которого верно, что каждый C_i принадлежит Z, то добавить A в Z. + 3. Если на шаге 2 множество Z изменилось, то повторить шаг 2. + Докажем корректность алгоритма. + Для доказательства корректности алгоритма достаточно показать, что, если множество Z ε-порождающих + нетерминалов на очередной итерации алгоритма не изменялось, то алгоритм нашел все ε-порождающие нетерминалы. + Пусть после завершения алгоритма существуют нетерминалы такие, что они являются ε-порождающими, + но не были найдены алгоритмом. + Выберем из этих нетерминалов нетерминал B, из которого выводится ε за наименьшее число шагов. + Тогда в грамматике есть правило B→C_1C_2...C_k, где каждый нетерминал C_i — ε-порождающий. + Каждый C_i входит в множество Z ε-порождающих нетерминалов, так как иначе вместо B необходимо было взять C_i. + Следовательно, на одной из итераций алгоритма B уже добавился в множество Z ε-порождающих нетерминалов. + Противоречие. Следовательно, алгоритм находит все ε-порождающие нетерминалы. + author: "Якубов Павел" +- question: > + Список наиболее значительных неразрешимых вопросов о контекстно-свободных + грамматиках и языках + answer: > + 1. Неоднозначна ли данная КС-грамматика Γ? + 2. Является ли данный КС-язык существенно неоднозначным? + 3. Пусто ли пересечение двух КС-языков? + 4. Равны ли два данных КС-языка? + 5. Равен ли Σ* данный КС-язык, где Σ — алфавит этого языка? + Отметим, что вопрос 1 о неоднозначности отличается от остальных тем, что это вопрос о грамматике, а не о языке. + Все остальные вопросы предполагают, что язык представлен грамматикой или МП-автоматом, но это все равно вопросы о языке (или языках). + Например, в противоположность вопросу 1 вопрос 2 требует по данной грамматике Γ (или МП-автомату) определить, + существует ли некоторая эквивалентная ей однозначная грамматика Γ′. + Если Γ сама по себе однозначна, то ответом, безусловно, будет “да”, но если Γ неоднозначна, + то для языка грамматики Γ может существовать другая грамматика Γ′, которая однозначна. + author: "Якубов Павел" +- question: > + Замкнуты ли контекстно-свободные языки относительно операции 'пересечение с + регулярным языком'? + answer: > + Если L — КС-язык, а R — регулярный язык, то L ∩ R является КС-языком. + Доказательство: Построим автомат с магазинной памятью + (МП-автомат, англ. pushdown automaton, PDA) для пересечения регулярного языка и + КС-языка. Пусть регулярный язык задан своим ДКА, а КС-язык — своим + МП-автоматом c допуском по допускающему состоянию. Построим прямое + произведение этих автоматов так же, как строилось прямое произведение для + двух ДКА. Более формально, пусть R — регулярный язык, заданный своим ДКА + ⟨Σ, Q_1, s_1, T_1, δ_1⟩, и L — КС-язык, заданный своим МП-автоматом: + ⟨Σ, Γ, Q_2, s_2, T_2, z_0, δ_2⟩. Тогда прямым произведением назовем следующий автомат: + Q={⟨q_1, q_2⟩ | q_1 ∈ Q_1, q_2 ∈ Q_2}. Иначе говоря, состояние в новом автомате — пара из + состояния первого автомата и состояния второго автомата. s=⟨s_1, s_2⟩ Стековый + алфавит Γ остается неизменным. T={⟨t_1, t_2⟩ ∣ t_1 ∈ T_1, t_2 ∈ T_2}. Допускающие + состояния нового автомата — пары состояний, где оба состояния были + допускающими в своем автомате. δ(⟨q_1, q_2⟩, c, d)=⟨δ_1(q_1, c), δ_2(q_2, c, d)⟩. При + этом на стек кладется то, что положил бы изначальный МП-автомат при + совершении перехода из состояния q_2, видя на ленте символ c и символ d на + вершине стека. Этот автомат использует в качестве состояний пары из двух + состояний каждого автомата, а за операции со стеком отвечает только + МП-автомат. Слово допускается этим автоматом тогда и только тогда, + когда слово допускается и ДКА и МП-автоматом, то есть язык данного автомата + совпадает с L ∩ R. + author: "Якубов Павел" +- question: > + Что такое неукорачивающаяся грамматика в теории формальных языков? + answer: > + Неукорачивающая грамматика (англ. noncontracting grammar) — это формальная + грамматика, всякое правило из P которой имеет вид α→β, где α, β ∈ {Σ ∪ N}+ и + |α|⩽|β| (возможно правило S→ε, но тогда S не встречается в правых частях + правил). + author: "Якубов Павел" +- question: > + Что такое грамматика в ослабленной нормальной форме Грейбах? + answer: > + Грамматикой в ослабленной нормальной форме Грейбах (англ. Greibach weak + normal form) называется контекстно-свободная грамматика, в которой могут + содержаться только правила одного из следующих типов: A→aγ, S→ε, где a — + терминал, A — нетерминал (возможно, стартовый), S — стартовый нетерминал + (причём он не должен встречаться в правых частях правил), ε — пустая строка, + γ — строка из произвольного числа терминалов и нетерминалов. + author: "Якубов Павел" +- question: > + Докажи, что любую контекстно-свободную грамматику можно привести к + ослабленной нормальной форме Грейбах. + answer: > + Рассмотрим контекстно-свободную грамматику Γ. Для приведения её к нормальной + ослабленной форме Грейбах нужно выполнить три шага. На каждом шаге мы строим + новую грамматику, допускающую тот же язык, что и Γ. + 1. Избавимся от ε-правил. Для этого воспользуемся алгоритмом удаления ε-правил. + 2. Воспользуемся алгоритмом устранения левой рекурсии. Получим грамматику, все + правила которой будут иметь следующий вид: A_i→aγ, A_i→A_jγ, где A_i, A_j — + нетерминалы, a — терминал, γ — произвольная последовательность из терминалов + и нетерминалов, i + Что такое рекурсивный нетерминал? + answer: > + Рекурсивный нетерминал (англ. recursive nonterminal symbol) — такой нетерминал A + контекстно-свободной грамматики G = ⟨N, Σ, P, S⟩, что A ⇒* αAβ для некоторых α и β, причем α≠ε ∧ β≠ε. + Если α=ε, то A называется леворекурсивным. Аналогично, если β≠ε, то A называется праворекурсивным. + Контекстно-свободная грамматика, содержащая рекурсивный нетерминал, называется самоприменимой (англ. self-embedded). + author: "Якубов Павел" +- question: > + Что такое взаимно рекурсивные нетерминалы? + answer: > + Нетерминалы A, B ∈ N в грамматике G = ⟨N, Σ, P, S⟩ называются взаимно рекурсивными + (англ. mutual recursive), если ∃ α_1, β_1, α_2, β_2 ∈ (Σ ∪ N)* : A ⇒* α_1Bβ_1 ∧ B ⇒* α_2Aβ_2 . + author: "Якубов Павел" +- question: > + Докажи, что любую контекстно-свободную грамматику можно привести к + нормальной форме Хомского. + answer: > + Рассмотрим контекстно-свободную грамматику Γ. Для приведения ее к нормальной + форме Хомского необходимо выполнить пять шагов. На каждом шаге мы строим + новую Γ_i, которая допускает тот же язык, что и Γ. + 1. Уберём длинные правила. + Воспользуемся алгоритмом удаления длинных правил из грамматики. Получим + грамматику Γ_1, эквивалентную исходной, содержащую правила длины 0, 1 и 2. + 2. Удаление ε-правил. + Воспользуемся алгоритмом удаления ε-правил из грамматики. + Получим грамматику Γ_2, эквивалентную исходной, но в которой нет ε-правил. + 3. Удаление цепных правил. Воспользуемся алгоритмом удаления цепных правил из + грамматики. Алгоритм работает таким образом, что новые ε-правила не + образуются. Получим грамматику Γ_3, эквивалентную Γ. + 4. Удалим бесполезные символы. Воспользуемся алгоритмом удаления бесполезных символов из + грамматики. Так как Γ_3 эквивалентна Γ, то бесполезные символы не могли + перестать быть бесполезными. Более того, мы только удаляем правила, новые + ε-правила и цепные правила не могли появиться. + 5. Уберём ситуации, когда в правиле встречаются несколько терминалов. + Для всех правил вида A → u_1u_2 (где u_i — терминал или нетерминал) заменим все терминалы u_i на новые нетерминалы + U_i и добавим правила U_i→u_i. Теперь правила содержат либо одиночный терминал, + либо строку из двух нетерминалов. Таким образом, мы получили грамматику в + нормальной форме Хомского, которая допускает тот же язык, что и Γ. Стоит + заметить, что порядок выполнения операций важен. Первое правило должно быть + выполнено перед вторым, иначе время нормализации ухудшится до O(2^|Γ|). + (|Γ| - размер грамматики - численно равен числу символов в правой части правил вывода). + Третье правило идет после второго, потому что после удаления ε-правил, могут + образоваться новые цепные правила. Также четвертое правило должно быть + выполнено позже третьего и второго, так как они могут порождать бесполезные + символы. При таком порядке действий размеры грамматики возрастают + полиномиально. После удалении длинных правил из каждого правила длины k⩾3 + могло появиться k−1 новых правил, причем их длина не превышает двух. На этом + шаге размер грамматики возрастает не более, чем вдвое. При удалении ε-правил + из грамматики, содержащей правила длины 0, 1 и 2, размеры грамматики могли + вырасти не больше, чем в 3 раза. Всего цепных правил в грамматике не больше, + чем n^2, где n — число нетерминалов. При удалении цепных правил мы берем + каждую из цепных пар и производим добавление нецепных правил, выводимых из + второго нетерминала в паре. Если максимальная суммарная длина всех правил, + выводимых из какого-либо нетерминала, равна k, то размер грамматики + возрастет не больше, чем на k*n^2. Наконец, на последнем шаге может произойти + добавление не более, чем |Σ| (Σ — алфавит грамматики) новых правил, причем + все они будут длины 1. + author: "Якубов Павел" +- question: > + Сформулируй лемму Огдена для контекстно-свободных языков. + answer: > + Позицией в слове длины k назовем такое целое i, что 1 ≤ i ≤ k. Символ a занимает + позицию i в слове ω, если ω = xay и |x| = i - 1. Выделенные (помеченные, размеченные) + позиции в слове - некоторое подмножество всех позиций в нём. + Лемма Огдена для контекстно-свободных языков является расширением леммы о накачке + для контекстно-свободных языков. Она отличается от леммы о накачке тем, что + позволяет сосредоточиться на любых p «выделенных» позициях цепочки ω и гарантирует, + что накачиваемые цепочки содержат от 1 до p выделенных позиций. Преимущество этого + свойства в том, что язык может иметь цепочки, состоящие из двух частей, одна из + которых может быть накачана без создания цепочек, не принадлежащих языку, тогда как + вторая при накачке обязательно порождает цепочки вне языка. Если мы не можем утверждать, + что накачка имеет место во второй части, то мы не можем завершить доказательство того, + что язык не контекстно-свободный. + Лемма Огдена утверждает, что если язык L контекстно-свободен, то существует некоторое + число p > 0 (где p может быть, а может и не быть длиной накачки), такое что + для любой строки ω ∈ L длины не меньше p и для любой «разметки» p или более позиций в ω, + w может быть представлено в виде ω = uvxyz, где u, v, x, y, и z — строки, такие что: + 1. x содержит по меньшей мере одну помеченную позицию; + 2. либо и u и v содержат помеченную позицию, либо её содержат и y и z; + 3. vxy содержит не более p помеченных позиций; + 4. u(v^i)x(y^i)z принадлежит L для любого i ≥ 0. + Лемма Огдена может использоваться для доказательства того, что данный язык не является + контекстно-свободным, в случаях, когда леммы о накачке для контекстно-свободных языков недостаточно. + Примером может быть язык {(a^i)(b^j)(c^k)(d^l) : i = 0 или j = k = l}. + Она также полезна для доказательства существенной неоднозначности некоторых языков. + Заметим, что если все позиции помечены, данная лемма эквивалентна лемме о накачке для контекстно-свободных языков. + author: "Якубов Павел" + # fixed - question: Какая система называется генератором лексического анализатора? - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: > Генератор лексического анализатора — это инструмент, который автоматически создает код для лексического анализа на основе @@ -12,7 +1540,7 @@ из них # fixed - question: Как различные языки программирования (например, Python, Java, JavaScript) реализуют поддержку обратных ссылок и захватывающих групп в регулярных выражениях, и как это может влиять на производительность? - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: > Обратные ссылки и захватывающие группы поддерживаются в большинстве современных языков программирования, включая Python, Java и JavaScript. @@ -26,7 +1554,7 @@ может увеличивать нагрузку на память и время обработки, независимо от языка # fixed - question: Как можно оптимизировать сложные регулярные выражения для обработки больших объемов данных в конкретных проектах на Java или C#? Приведите примеры. - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: |- Оптимизация сложных регулярных выражений в Java и C# включает несколько подходов: @@ -56,7 +1584,7 @@ Эти методы позволяют добиться как повышения производительности, так и улучшения читаемости и сопровождения кода # fixed - question: Как подходить к тестированию регулярных выражений? Какие методологии и инструменты использовать для обеспечения их корректности? - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: |- Тестирование регулярных выражений следует проводить систематически, используя следующие подходы: @@ -91,19 +1619,19 @@ Методическое тестирование помогает не только выявить ошибки, но и улучшить производительность регулярных выражений - question: Как регулярные выражения интегрируются с асинхронным программированием в таких языках, как JavaScript? Как это влияет на производительность? - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: > В асинхронных функциях использование регулярных выражений может быть трудным, так как операции с ними могут блокировать поток. Однако, использование методов match() или replace() в промисах помогает сохранить асинхронность, особенно при обработке больших объемов данных. - question: Опиши процесс принятия решения о том, когда использовать регулярные выражения, а когда — альтернативные методы разбора - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: > Если задача простая (например, валидация форматов), выбираю регулярные выражения. Для сложных структур (например, HTML) использую парсеры, чтобы избежать ошибок. - question: Расскажи про преобразование НКА в ДКА - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: > Одной из ключевых задач в теории автоматов является преобразование НКА в эквивалентный ДКА. Этот процесс называется алгоритмом подмножества: создаются состояния для ДКА, которые @@ -111,7 +1639,7 @@ переходов в НКА для каждого входного символа. # fixed - question: Опиши плюсы и минусы НКА и ДКА - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: |- НКА и ДКА имеют свои плюсы и минусы, которые определяют их применение в разных задачах: @@ -135,7 +1663,7 @@ Практический трейд-офф: Выбор между НКА и ДКА зависит от задачи. Например, если требуется быстрое выполнение (например, в компиляторах), предпочтителен ДКА. Если задача связана с построением сложных шаблонов и гибкостью, НКА может быть удобнее. Однако в реальных системах часто применяется компромисс — генерация ДКА из НКА с оптимизацией размера автомата. - question: Как использовать regex в многопоточном контексте? - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: > Разделите большой текстовый файл или данные на несколько частей, и каждая часть обрабатывается в своем потоке. Например, в Java можно использовать ForkJoinPool для распараллеливания задач. @@ -145,7 +1673,7 @@ # new questions - question: "Какие современные оптимизации применяются для работы с регулярными выражениями в языках программирования?" - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: > Современные языки программирования, такие как Python, JavaScript, C#, используют множество оптимизаций для повышения производительности работы с регулярными @@ -170,7 +1698,7 @@ добавляют защиту от атак типа Regular Expression Denial of Service (ReDoS), автоматически определяя потенциально уязвимые выражения. - question: "Какой подход используется для многопоточной работы с регулярными выражениями в современных языках программирования?" - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: > Поддержка многопоточности при работе с регулярными выражениями сильно зависит от языка программирования и особенностей его реализации: @@ -188,7 +1716,7 @@ применены в асинхронных функциях с использованием Web Workers для распределения нагрузки. - question: "Как интерпретаторы регулярных выражений в Python, Java и JavaScript обеспечивают поддержку ленивых и жадных квантификаторов?" - author: Dias Issakov + author: Диас Исаков answer: > Интерпретаторы регулярных выражений в этих языках поддерживают жадные (`*`, `+`, `{n,m}`) и ленивые (`*?`, `+?`, `{n,m}?`) квантификаторы через различную From a7ef60c6af3fd88c162d3e9e572f18f7c231d2c4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: DIsakov <55271574+DSIsakov@users.noreply.github.com> Date: Mon, 30 Dec 2024 19:41:04 +0300 Subject: [PATCH 3/4] resolving conversations --- data/data.yaml | 71 +++++++++++++++++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 47 insertions(+), 24 deletions(-) diff --git a/data/data.yaml b/data/data.yaml index f08f7b23..ccc222df 100644 --- a/data/data.yaml +++ b/data/data.yaml @@ -1526,7 +1526,6 @@ Заметим, что если все позиции помечены, данная лемма эквивалентна лемме о накачке для контекстно-свободных языков. author: "Якубов Павел" -# fixed - question: Какая система называется генератором лексического анализатора? author: Диас Исаков answer: > @@ -1538,21 +1537,23 @@ его GNU-версия flex, которые используют регулярные выражения для описания лексем, сопровождаемые кодом действий для каждой из них -# fixed - question: Как различные языки программирования (например, Python, Java, JavaScript) реализуют поддержку обратных ссылок и захватывающих групп в регулярных выражениях, и как это может влиять на производительность? author: Диас Исаков answer: > Обратные ссылки и захватывающие группы поддерживаются в большинстве современных языков программирования, включая Python, Java и JavaScript. - Эти языки используют номера групп для создания обратных ссылок, например, - `\1`, `\2` и так далее. В Python и Java такие ссылки позволяют обращаться - к ранее захваченным подстрокам, что делает регулярные выражения мощным - инструментом, но при сложных шаблонах может замедлить выполнение. - В JavaScript также поддерживаются обратные ссылки и захватывающие группы, - но их производительность зависит от реализации движка JavaScript (например, - V8 или SpiderMonkey). Использование большого количества захватывающих групп - может увеличивать нагрузку на память и время обработки, независимо от языка -# fixed + Эти языки используют как номера групп для создания обратных ссылок, + например, \1, \2 и так далее, так и именованные группы, что делает работу + с регулярными выражениями более удобной. В Python можно использовать именованные + группы с синтаксисом (?P...), а в Java — (?...). Например, в Python + обратная ссылка на именованную группу (?P\d{4}) записывается как (?P=year). + Это расширяет возможности работы с шаблонами, но при сложных выражениях может + замедлить выполнение. В JavaScript, начиная с ES2018, также добавлена поддержка + именованных групп через синтаксис (?...) и обратных ссылок вида \k. + + Использование большого количества захватывающих групп, особенно с обратными + ссылками, может увеличивать нагрузку на память и время обработки, независимо + от языка программирования. - question: Как можно оптимизировать сложные регулярные выражения для обработки больших объемов данных в конкретных проектах на Java или C#? Приведите примеры. author: Диас Исаков answer: |- @@ -1573,7 +1574,7 @@ } ``` - 2. Избегайте жадных квантификаторов: По возможности используйте ленивые (`?`) или конкретные квантификаторы, чтобы уменьшить количество итераций и попыток сопоставления. Например, замените `.*` на `[^\s]*` для поиска без пробелов. + 2. Избегание неоднозначных шаблонов: Устраняйте конструкции, которые создают неоднозначности, такие как .* в середине выражения. 3. Оптимизация классов символов: Используйте точные классы символов. Вместо `.` укажите допустимые символы, например `[a-zA-Z]`. @@ -1582,7 +1583,6 @@ 5. Профилирование и тестирование: Для больших данных используйте профилировщики (например, JMH для Java или BenchmarkDotNet для C#) для измерения производительности регулярных выражений в контексте вашего приложения. Эти методы позволяют добиться как повышения производительности, так и улучшения читаемости и сопровождения кода -# fixed - question: Как подходить к тестированию регулярных выражений? Какие методологии и инструменты использовать для обеспечения их корректности? author: Диас Исаков answer: |- @@ -1617,13 +1617,15 @@ 5. Профилирование: Для больших данных проверяйте производительность регулярных выражений с помощью тестов, чтобы выявить потенциальные проблемы с избыточными итерациями. + 6. Фаззинг: Применяйте инструменты фаззинга для генерации случайных входных данных. Это позволяет выявить ошибки в обработке неожиданных случаев и предотвратить уязвимости, такие как регулярные выражения с экспоненциальной сложностью + Методическое тестирование помогает не только выявить ошибки, но и улучшить производительность регулярных выражений - question: Как регулярные выражения интегрируются с асинхронным программированием в таких языках, как JavaScript? Как это влияет на производительность? author: Диас Исаков answer: > В асинхронных функциях использование регулярных выражений может быть трудным, так как операции с ними могут блокировать поток. Однако, использование методов - match() или replace() в промисах помогает сохранить асинхронность, особенно при + match() или replace() в промисах (Promise) помогает сохранить асинхронность, особенно при обработке больших объемов данных. - question: Опиши процесс принятия решения о том, когда использовать регулярные выражения, а когда — альтернативные методы разбора author: Диас Исаков @@ -1634,10 +1636,21 @@ author: Диас Исаков answer: > Одной из ключевых задач в теории автоматов является преобразование НКА в эквивалентный ДКА. - Этот процесс называется алгоритмом подмножества: создаются состояния для ДКА, которые + Этот процесс называется алгоритмом subset construction: создаются состояния для ДКА, которые представляют собой множество состояний НКА; переходы определяются на основе всех возможных переходов в НКА для каждого входного символа. -# fixed + + Алгоритм также включает обработку ε-переходов, которые позволяют НКА перемещаться между + состояниями без потребления входного символа. В процессе преобразования все такие переходы + обрабатываются на этапе инициализации и при вычислении множества достижимых состояний. + + Шаги алгоритма subset construction: + 1. Инициализация: Начальным состоянием ДКА является множество состояний НКА, достижимых из его начального состояния с использованием ε-переходов (если они есть). + 2. Итерация по символам алфавита: Для каждого состояния ДКА вычисляется множество состояний НКА, достижимых из любого состояния текущего множества по одному символу входного алфавита, включая последующие ε-переходы. + 3. Добавление новых состояний: Если вычисленное множество состояний ещё не представлено в ДКА, оно добавляется как новое состояние. + 4. Повторение: Шаги повторяются для всех новых состояний, пока не будут обработаны все возможные множества. + 5. Определение финальных состояний: Если любое состояние из множества ДКА содержит финальное состояние НКА, то это множество становится финальным состоянием ДКА. + - question: Опиши плюсы и минусы НКА и ДКА author: Диас Исаков answer: |- @@ -1647,21 +1660,31 @@ 1. Компактность: НКА часто требуют меньшее количество состояний для описания сложных шаблонов, чем ДКА. 2. Простота построения: Алгоритмы для создания НКА из регулярных выражений проще и выполняются быстрее. 3. Гибкость: НКА поддерживают несколько путей разбора, что делает их удобными для задач, где требуется обрабатывать неоднозначности. + 4. Расширенные операции: НКА позволяют использовать ε-переходы и другие операции, которые упрощают моделирование сложных языков. Минусы НКА: 1. Сложность обработки: НКА требуют отслеживания всех возможных путей одновременно, что может быть вычислительно затратным. 2. Неэффективность исполнения: При обработке входных данных производительность НКА хуже из-за необходимости проверки нескольких состояний параллельно. Плюсы ДКА: - 1. Однозначность: ДКА обрабатывают входные данные строго по одному пути, что обеспечивает детерминированное поведение. + 1. Однозначность: ДКА обрабатывают входные данные строго по одному пути, что обеспечивает детерминированное поведение, избегая неоднозначных переходов. 2. Высокая производительность: ДКА работают быстрее за счет отсутствия необходимости параллельно проверять несколько состояний. 3. Простота исполнения: После построения ДКА легче интегрировать в программы, так как не требуется сложная логика обработки состояний. Минусы ДКА: 1. Размер: ДКА могут требовать экспоненциально больше состояний, особенно для сложных регулярных выражений. 2. Сложность построения: Преобразование НКА в ДКА (алгоритм subset construction) может быть вычислительно трудоемким и сложным. + 3. ДКА жёстко привязаны к регулярности выражаемых ими языков и не допускают гибких расширений. + + Алгоритм subset construction используется для преобразования недетерминированного конечного автомата (НКА) в детерминированный конечный автомат (ДКА). Основная идея алгоритма заключается в том, чтобы каждое состояние ДКА представляло собой множество состояний НКА, которые могут быть достигнуты для заданного входного символа. + Шаги алгоритма subset construction: + 1. Инициализация: Начальным состоянием ДКА является множество состояний НКА, достижимых из его начального состояния с использованием ε-переходов (если они есть). + 2. Итерация по символам алфавита: Для каждого состояния ДКА вычисляется множество состояний НКА, достижимых из любого состояния текущего множества по одному символу входного алфавита, включая последующие ε-переходы. + 3. Добавление новых состояний: Если вычисленное множество состояний ещё не представлено в ДКА, оно добавляется как новое состояние. + 4. Повторение: Шаги повторяются для всех новых состояний, пока не будут обработаны все возможные множества. + 5. Определение финальных состояний: Если любое состояние из множества ДКА содержит финальное состояние НКА, то это множество становится финальным состоянием ДКА. - Практический трейд-офф: Выбор между НКА и ДКА зависит от задачи. Например, если требуется быстрое выполнение (например, в компиляторах), предпочтителен ДКА. Если задача связана с построением сложных шаблонов и гибкостью, НКА может быть удобнее. Однако в реальных системах часто применяется компромисс — генерация ДКА из НКА с оптимизацией размера автомата. + Выбор между НКА и ДКА зависит от задачи. Например, если требуется быстрое выполнение (например, в компиляторах), предпочтителен ДКА. Если задача связана с построением сложных шаблонов и гибкостью, НКА может быть удобнее. Однако в реальных системах часто применяется компромисс — генерация ДКА из НКА с оптимизацией размера автомата, поскольку величина соответствующих ДКА часто оказывается недопустимо большой. - question: Как использовать regex в многопоточном контексте? author: Диас Исаков answer: > @@ -1670,14 +1693,14 @@ Далее используйте потокобезопасные библиотеки, как re в Python. Создавайте отдельные экземпляры классов для работы с регулярными выражениями в каждом потоке - это предотвращает возможные проблемы с состоянием. - -# new questions -- question: "Какие современные оптимизации применяются для работы с регулярными выражениями в языках программирования?" +- question: "Какие оптимизации применяются для работы с регулярными выражениями в языках программирования?" author: Диас Исаков answer: > - Современные языки программирования, такие как Python, JavaScript, C#, используют - множество оптимизаций для повышения производительности работы с регулярными - выражениями: + Современные языки программирования, такие как Python, JavaScript, C#, используют + множество оптимизаций для повышения производительности работы с регулярными + выражениями. Однако в большинстве случаев этим занимаются специализированные + библиотеки, и важно понимать, что они не могут устранить все уязвимости. Например, + выражения вроде (.*)* в Java остаются проблемными. Рассмотрим ключевые оптимизации: 1. Предварительная компиляция шаблонов: Например, в C# используется флаг `RegexOptions.Compiled`, который позволяет создать машинный код для выражения, From 50e1750b7c73c964d88bdce67dd96ce36480be51 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: DIsakov <55271574+DSIsakov@users.noreply.github.com> Date: Tue, 14 Jan 2025 18:42:58 +0300 Subject: [PATCH 4/4] Update data.yaml MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit представил информацию про эпсилон-переходы как отдельный шаг алгоритма, убрал пасту --- data/data.yaml | 17 +++++------------ 1 file changed, 5 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/data/data.yaml b/data/data.yaml index ccc222df..2d8830ab 100644 --- a/data/data.yaml +++ b/data/data.yaml @@ -1646,10 +1646,11 @@ Шаги алгоритма subset construction: 1. Инициализация: Начальным состоянием ДКА является множество состояний НКА, достижимых из его начального состояния с использованием ε-переходов (если они есть). - 2. Итерация по символам алфавита: Для каждого состояния ДКА вычисляется множество состояний НКА, достижимых из любого состояния текущего множества по одному символу входного алфавита, включая последующие ε-переходы. - 3. Добавление новых состояний: Если вычисленное множество состояний ещё не представлено в ДКА, оно добавляется как новое состояние. - 4. Повторение: Шаги повторяются для всех новых состояний, пока не будут обработаны все возможные множества. - 5. Определение финальных состояний: Если любое состояние из множества ДКА содержит финальное состояние НКА, то это множество становится финальным состоянием ДКА. + 2. Обработка ε-переходов: Для каждого множества состояний, которое появляется в процессе построения ДКА, вычисляется ε-замкнутость. Это множество включает все состояния, которые могут быть достигнуты с помощью ε-переходов, начиная с текущих состояний. + 3. Итерация по символам алфавита: Для каждого состояния ДКА вычисляется множество состояний НКА, достижимых из любого состояния текущего множества по одному символу входного алфавита, включая последующие ε-переходы. + 4. Добавление новых состояний: Если вычисленное множество состояний ещё не представлено в ДКА, оно добавляется как новое состояние. + 5. Повторение: Шаги повторяются для всех новых состояний, пока не будут обработаны все возможные множества. + 6. Определение финальных состояний: Если любое состояние из множества ДКА содержит финальное состояние НКА, то это множество становится финальным состоянием ДКА. - question: Опиши плюсы и минусы НКА и ДКА author: Диас Исаков @@ -1676,14 +1677,6 @@ 2. Сложность построения: Преобразование НКА в ДКА (алгоритм subset construction) может быть вычислительно трудоемким и сложным. 3. ДКА жёстко привязаны к регулярности выражаемых ими языков и не допускают гибких расширений. - Алгоритм subset construction используется для преобразования недетерминированного конечного автомата (НКА) в детерминированный конечный автомат (ДКА). Основная идея алгоритма заключается в том, чтобы каждое состояние ДКА представляло собой множество состояний НКА, которые могут быть достигнуты для заданного входного символа. - Шаги алгоритма subset construction: - 1. Инициализация: Начальным состоянием ДКА является множество состояний НКА, достижимых из его начального состояния с использованием ε-переходов (если они есть). - 2. Итерация по символам алфавита: Для каждого состояния ДКА вычисляется множество состояний НКА, достижимых из любого состояния текущего множества по одному символу входного алфавита, включая последующие ε-переходы. - 3. Добавление новых состояний: Если вычисленное множество состояний ещё не представлено в ДКА, оно добавляется как новое состояние. - 4. Повторение: Шаги повторяются для всех новых состояний, пока не будут обработаны все возможные множества. - 5. Определение финальных состояний: Если любое состояние из множества ДКА содержит финальное состояние НКА, то это множество становится финальным состоянием ДКА. - Выбор между НКА и ДКА зависит от задачи. Например, если требуется быстрое выполнение (например, в компиляторах), предпочтителен ДКА. Если задача связана с построением сложных шаблонов и гибкостью, НКА может быть удобнее. Однако в реальных системах часто применяется компромисс — генерация ДКА из НКА с оптимизацией размера автомата, поскольку величина соответствующих ДКА часто оказывается недопустимо большой. - question: Как использовать regex в многопоточном контексте? author: Диас Исаков